Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

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1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

2 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter Aussagen basierend auf den Wahrheitswerten der elementaren Teilaussagen. Hierzu werden wir eine Sprache der Aussagenlogik einführen deren Grundzeichen Symbole für die elementaren Aussagen (Aussagenvariablen) und die verwendeten Verknüpfungen (Junktoren) sind und in der zusammengesetzte Aussagen mit Hilfe von speziellen endlichen Zeichenreihen, den aussagenlogischen (al.) Formeln, dargestellt werden. (Syntax der Aussagenlogik; Kapitel 1.1) Durch Belegung der in einer Formel vorkommenden Aussagen mit Wahrheitswerten können wir dann den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage (in Abhängigkeit von der Belegung) bestimmen. (Semantik der Aussagenlogik; Kapitel 1.2) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 2/ 1

3 Ziele der Aussagenlogik (Fortsetzung) Hierauf basierend werden wir dann Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit (= al. Wahrheit) von al. Formeln und den (aussagen)logischen Äquivalenzund Folgerungsbegriff einführen, sowie Normalformen (Disjunktive und Konjunktive Normalform) von Formeln betrachten. (Kapitel ) Schließlich zeigen wir, dass man den (semantischen) Wahrheits- und Folgerungsbegriff mit Hilfe eines Kalküls (syntaktisch) beschreiben kann, in dem der semantische Folgerungsbegriff mit der Beweisbarkeit (= syntaktischer Folgerungsbegriff) zusammenfällt und in dem gerade die allgemeingültigen Formeln beweisbar sind. (Kapitel ) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 3/ 1

4 Verknüpfung von Aussagen Zur Verknüpfung von Aussagen verwenden wir (Verknüpfungs-) Operationen, die wir aus der Umgangssprache kennen: nicht (Negation, Symbol: ) und (Konjunktion, Symbol: ) oder (Disjunktion, Symbol: ) wenn - dann (Implikation, Symbol: ) genau dann - wenn (Äquivalenz, Symbol: ) Dabei werden wir die Bedeutung dieser Verknüpfungen jedoch präzisieren, da diese in der Umgangssprache nicht immer eindeutig festgelegt sind. Hierzu ordnen wir jeder Verknüpfung eine Wahrheitsfunktion (= Boolesche Funktion) zu. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 4/ 1

5 Wahrheitsfunktionen und Boolesche Funktionen Im Folgenden kürzen wir die Wahrheitswerte WAHR und FALSCH mit W und F ab und identifizieren diese mit den Bits 1 und 0: WAHR = W = 1 und FALSCH = F = 0 Eine n-stellige Wahrheitsfunktion f ist eine Abbildung f : {F, W } n {F, W }. Eine n-stellige Boolesche Funktion f ist eine Abbildung f : {0, 1} n {0, 1}. NB. Wegen der von uns vorgenommenen Identifizierung F = 0 und W = 1 sind Wahrheitsfunktionen gerade Boolesche Funktionen. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 5/ 1

6 Verknüpfungen und Boolesche Funktionen Verknüpfen wir zwei (oder mehrere) Aussagen, so soll der Wahrheitswert der verknüpften Gesamtaussage nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen sowie der gewählten Verknüpfung abhängen. Die Bedeutung (Semantik) einer n-stelligen Verknüpfungsoperation op kann daher durch eine n-stellige Wahrheitsfunktion bzw. Boolesche Funktion f op festgelegt werden. Wir werden im Folgenden auf diese Weise die Bedeutung der von uns betrachteten Verknüpfungen festlegen. Man beachte dabei, dass die Negation 1-stellig ist, während die anderen Verknüpfungen 2-stellig sind. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 6/ 1

7 Negation Durch die Negation wird eine Aussage A verneint, d.h. der Wahrheitswert gerade vertauscht: A wahr A falsch und A falsch A wahr Die Negation wird daher durch die 1-st. Boolesche Funktion f mit folgender Wertetabelle definiert: x 0 f (x 0 ) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 7/ 1

8 Disjunktion Das ODER wird in der Umgangssprache sowohl inklusiv als auch exclusiv verwendet: Inklusiv: A oder B gilt, wenn A gilt oder B gilt oder wenn sowohl A als auch B gelten. Exklusiv: Hier gilt A oder B nur, wenn entweder A oder B gilt (aber nicht beide). Mit der Disjunktion ( ) bezeichnen wir das inklusive ODER: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Es gilt also gerade: f (x 0, x 1 ) = max(x 0, x 1 ). Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 8/ 1

9 Konjunktion Beim UND ist der Sprachgebrauch eindeutig: Die Aussage A und B ist wahr, wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Die Konjunktion ( ) wird also durch folgende Boolesche Funktion definiert: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Es gilt also gerade: f (x 0, x 1 ) = min(x 0, x 1 ). Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 9/ 1

10 Implikation Die Implikation (Folgerung) wird umgangssprachlich meist als sog. materielle Implikation aufgefasst, bei der ein kausaler Zusammenhang hergestellt wird: Wenn es regnet (A), dann wird die Straße nass (B). Die Wahrheit einer solchen materiellen Implikation A B hängt nicht nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen A und B sondern von den Aussagen A und B selbst ab. Hier betrachten wir daher die allgemeinere formale Implikation, bei der ein kausaler Zusammenhang nicht verlangt wird. So ist hier auch die Aussage Wenn es regnet (A), dann ist 3 eine Primzahl (B). wahr. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 10 / 1

11 Implikation (Fortsetzung) Der Wahrheitswert einer formalen Implikation A B ergibt sich wie folgt: Ist die Hypothese A falsch, so ist die Implikation A B unabhängig vom Wahrheitswert von B wahr ( ex falso quodlibet ). Ist die Hypothese A wahr, so muss auch die Konklusion B wahr sein, damit die Implikation A B wahr wird. Die Implikation ( ) wird also durch folgende Boolesche Funktion definiert: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 11 / 1

12 Äquivalenz Zwei Aussagen A und B sind äquivalent, wenn sowohl A B impliziert als auch BAimpliziert. Die Aussage A B ist also genau dann wahr, wenn die Aussagen A B und B A wahr sind (oder die Aussage (A B) (B A) wahr ist). Das lässt sich auch einfacher ausdrücken: A B ist genau dann wahr, wenn A und B entweder beide wahr oder beide falsch sind: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 12 / 1

13 Aussagenlogische Verknüpfungen vs. Boolesche Funktion Wir haben gesehen, dass sich die von uns betrachteten (aussagenlogischen) Verknüpfungen mit Hilfe von Booleschen Funktionen darstellen lassen. Umgekehrt stellt jede n-stellige Boolesche Funktion eine n-stellige Verknüpfung dar. Da es 2 2n verschiedene n-stellige Boolesche Funktionen gibt (warum?), also insbesondere 2 22 = 16 2-st. Boolesche Funktionen, erfassen wir mit den von uns betrachteten Verknüpfungen nur einen Teil der möglichen Verknüpfungen. Wir werden jedoch zeigen, dass sich jede mögliche (n-stellige) Verknüpfung als Kombination der von uns betrachteten Verknüpfungen darstellen lässt. In der Tat genügen hierzu die Verknüpfungen und (oder alternativ und ). Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 13 / 1

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