INGENIEURMATHEMATIK. 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016

2 G. Matthies Ingenieurmathematik 2/105 Funktionen mehrerer Variablen Definitionsbereich D R m skalare Funktion f : D R von m reellen Variablen x = (x 1,..., x m ) f (x) = f (x 1,..., x m ) Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. vektorwertige Funktion f : D R n von m reellen Variablen f 1 (x) f 1 (x 1,..., x m ) x = (x 1,..., x m ) f (x) =. =. f n (x) f n (x 1,..., x m ) Jedem x D wird genau ein Vektor mit n Komponenten zugeordnet. Eine vektorwertige Funktion kann stets so aufgefasst werden, dass sie aus n skalaren Funktionen besteht.

3 Darstellung von skalaren Funktionen von zwei Variablen Definitionsbereich D R 2 skalare Funktion f : D R Graph Γ f := {( x, y, f (x, y) ) : (x, y) D } R 3 Niveaumenge N f (c) := {(x, y) D : f (x, y) = c} Senkrechte Schnitte betrachte die Graphen der Funktionen f c (y) = f (c, y) und ˆf d (x) = f (x, d) für jeweils konstantes c und d G. Matthies Ingenieurmathematik 3/105

4 G. Matthies Ingenieurmathematik 4/105 Graph einer reellen Funktion von zwei Variablen D = [ 1, 1] [ 1, 1], f : D R, (x, y) x 2 y 2

5 G. Matthies Ingenieurmathematik 5/105 Darstellung von Funktionen z(x, y) = xy

6 G. Matthies Ingenieurmathematik 6/105 Niveauflächen f (x, y, z) = z x 2 y 2 Niveaus: f = 1, f = 0, f = 1

7 G. Matthies Ingenieurmathematik 7/105 Darstellung von vektorwertigen Funktionen (n = 2)

8 G. Matthies Ingenieurmathematik 8/105 Rechnen mit Funktionen mehrerer Variablen Definitionsbereich D R m Addition und Subtraktion von f, g : D R n (f ± g) : D R n, (f ± g)(x) = f (x) ± g(x) Multiplikation und Division von f, g : D R (fg) : D R, ( ) f : D R, g (fg)(x) = f (x)g(x), ( ) f (x) = f (x) g g(x), g(x) 0 Multiplikation und Division von f : D R n und g : D R (fg) : D R n, ( ) f : D R n, g (fg)(x) = f (x)g(x), ( ) f (x) = 1 f (x), g(x) 0 g g(x)

9 G. Matthies Ingenieurmathematik 9/105 Verknüpfung von Funktionen mehrerer Variablen Definition Gegeben sind die Menge C R m und D R p. Weiterhin seien g : C D und f : D R n zwei Funktionen. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung der Funktionen f und g ist gemäß (f g) : C R n, (f g)(x) := f ( g(x) ) erklärt. Bemerkung Die Verkettung f g von Funktionen ist nur dann möglich, wenn das Bild der inneren Funktion g eine Teilmenge des Definitionsbereiches der äußeren Funktion f ist. Die Verkettung von mehr als zwei Funktionen ergibt sich als Verallgemeinerung der Verkettung von zwei Funktionen.

10 G. Matthies Ingenieurmathematik 10/105 Norm Erinnerung: Länge oder Betrag des Vektors x R n x = n Eigenschaften x 0 für alle x R n i=1 x = 0 genau dann, wenn x = 0 λx = λ x für alle x R n und alle λ R x + y x + y für alle x, y R n (Dreiecksungleichung) x wird auch als Euklidische Norm bezeichnet. Es gibt weitere Normen mit den gleichen Eigenschaften, z. B. n x := max x i, x 1 := x i i=1,...,n x 2 i i=1

11 G. Matthies Ingenieurmathematik 11/105 Kugeln Definition Seien r R mit r > 0 und a R n. Dann heißt K(a, r) := {x R n : x a r} abgeschlossene Kugel um a mit Radius r, während K(a, r) := {x R n : x a <r} als offene Kugel um a mit Radius r genannt wird. Bemerkung Im zweidimensionalen Fall (n = 2) entspricht die abgeschlossene Kugel K(a, r) einem Kreis um den Punkt a mit Radius r, wobei die Kreislinie zu K(a, r) gehört. Im Gegensatz dazu schließt die offene Kugel K(a, r) die Kreislinie selbst aus.

12 G. Matthies Ingenieurmathematik 12/105 Umgebung, Rand, Inneres Definition Seien a R n und M R n. Die Menge M heißt Umgebung von a, wenn es eine positive reelle Zahl r mit K(a, r) M gibt. a heißt Randpunkt der Menge M, wenn es in jeder Umgebung U von a Punkte x, y mit x M und y M gibt. Die Menge aller Randpunkte der Menge M heißt Rand von M und wird mit M bezeichnet. a heißt innerer Punkt der Menge M, wenn es eine positive reelle Zahl r mit K(a, r) M gibt. Die Menge aller inneren Punkte von M wird Inneres von M genannt und mit int M bezeichnet.

13 G. Matthies Ingenieurmathematik 13/105 Eigenschaften von Mengen Definition Sei M R n. Die Menge M heißt offen, wenn jeder Punkt a M innerer Punkt ist. Die Menge M heißt abgeschlossen, wenn alle Randpunkte von M bereits in M enthalten sind. Die Menge M M heißt Abschluss von M und wird mit M bezeichnet. Die Menge M heißt beschränkt, wenn es eine positive reelle Zahl R mit M K(0, R) gibt. Die Menge M heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

14 G. Matthies Ingenieurmathematik 14/105 Verbindungsstrecke und Polygonzug Definition Seien x, y R m und x 0,..., x p R m. Dann heißt [x, y] := { x + λ(y x) : λ [0, 1] } Verbindungsstrecke von x und y. Unter p [x 0,..., x p ] := [x i 1, x i ] verstehen wir den Polygonzug, der x 0,..., x p in dieser Reihenfolge durch Verbindungstrecken verbindet. i=1

15 G. Matthies Ingenieurmathematik 15/105 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Definition Eine Menge M R m heißt konvex, falls zu jedem Paar (x, y) von Punkten aus M auch die Verbindungsstrecke [x, y] vollständig zu M gehört. Definition Seien M R m eine konvexe Menge und f : M R eine Funktion. Die Funktion f wird konvex genannt, wenn f ( (1 λ)x + λy ) (1 λ)f (x) + λf (y) für alle x, y M und alle λ [0, 1] erfüllt ist. Gilt f ( (1 λ)x + λy ) <(1 λ)f (x) + λf (y) für alle x, y M mit x y und alle λ (0, 1), dann nennen wir f streng konvex.

16 G. Matthies Ingenieurmathematik 16/105 Veranschaulichung einer konvexen Funktion x (1 λ)x + λy y λ (0, 1), f ( (1 λ)x + λy ) (1 λ)f (x) + λf (y) f (x) + λ ( f (y) f (x) )

17 G. Matthies Ingenieurmathematik 17/105 Punktfolgen Definition analog zu Zahlenfolgen Sei x k R n für alle k N. Dann schreiben wir x (k) 1 x (k) x k = 2., x n (k) wobei der obere Index in Klammern den Folgenindex darstellt und der untere Index die Komponenten des Vektors bezeichnet. Beispiel: k a k = k + 1 R 2, 2 k k N

18 Grenzwert von Punktfolgen Definition Die Folge (x k ) k N mit x k R n konvergiert gegen x, wenn lim x k x = 0 k gilt. Wir schreiben dann lim x k = x k und nennen x den Grenzwert der Folge (x k ) k N. G. Matthies Ingenieurmathematik 18/105

19 G. Matthies Ingenieurmathematik 19/105 Bestimmung des Grenzwerts von Punktfolgen Bemerkung Eine Folge von Punkten konvergiert genau dann, wenn jede einzelne Komponte konvergiert. Es gilt lim x k = k lim. x (k) 1 k lim x n (k) k. Der Grenzwert der Punktfolge kann also komponentenweise berechnet werden.

20 G. Matthies Ingenieurmathematik 20/105 Grenzwert von Funktionen mehrerer Variablen Definition (Grenzwert einer Funktion) Sei f : D R n R eine Funktion. Der Wert f R heißt Grenzwert von f an der Stelle x D, wenn für alle Folgen (x k ) k N D mit x k x und lim k x k = x die Beziehung lim k f (x k) = f gilt. Dafür wird dann kurz geschrieben. Bemerkung lim f (x) = f x x Es sind alle Folgen zu betrachten, die gegen x konvergieren.

21 G. Matthies Ingenieurmathematik 21/105 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen Definition (Stetigkeit) Die Funktion f : D R n R heißt an der Stelle x D stetig, wenn lim x x f (x) = f (x ) gilt. Die Funktion f heißt auf A D stetig, wenn f an allen Stellen x A stetig ist. Ist f auf D stetig, so wird f kurz stetige Funktion genannt. Bemerkung In der Definition des Grenzwertes und damit auch in der Definition der Stetigkeit ist es entscheidend, dass alle möglichen Folgen betrachtet werden, nicht nur einige.

22 G. Matthies Ingenieurmathematik 22/105 Beispiel I sin(πxy) z(x, y) = x 2, (x, y) (0, 0), + y 2 0, (x, y) = (0, 0),

23 G. Matthies Ingenieurmathematik 23/105 Beispiel II z(x, y) = { x sin ( 1 y ), y 0, 0, y = 0,

24 G. Matthies Ingenieurmathematik 24/105 Beispiel III xy 2 z(x, y) = x 2, (x, y) (0, 0), + y 2 0, (x, y) = (0, 0),

25 G. Matthies Ingenieurmathematik 25/105 Rechnen mit stetigen Funktionen Satz Sei D R m. Weiterhin seien die Funktionen f, g : D R n und die Funktion h : D R in x 0 D stetig. Dann haben wir Die Funktionen f + g, f g : D R n sind in x 0 stetig. Die Funktion hf : D R n, x h(x)f (x) ist stetig in x 0. Ist h(x 0 ) 0, dann ist die Funktion in x 0 stetig. Bemerkung f h = 1 h f : D Rn, x f (x) h(x) Bei der Multiplikation ist es wichtig, dass ein Faktor eine skalare Funktion ist. Bei der Division muss die Divisorfunktion skalar sein, da durch Vektoren nicht geteilt werden kann.

26 G. Matthies Ingenieurmathematik 26/105 Beschränktheit Definition Seien D R m und f : D R. Die Funktion f heißt nach oben (unten) beschränkt, falls es eine Zahl c R mit f (x) c ( f (x) c ) für alle x D gibt; beschränkt, falls f nach oben und unten beschränkt ist. Jede Zahl c R mit der Eigenschaft f (x) c (f (x) c) für alle x D wird als obere (untere) Schranke von f auf D bezeichnet.

27 G. Matthies Ingenieurmathematik 27/105 Infimum und Supremum Definition Die kleinste obere (größte untere) Schranke nennen wir Supremum (Infimum). Wir schreiben sup f (x) x D bzw. inf x D Existiert ein x 0 D mit f (x 0 ) = sup f (x) bzw. f (x 0 ) = inf f (x) x D x D so heißt f (x 0 ) Maximum (Minimum) von f auf D. In diesem Fall wird x 0 als Maximalstelle (Minimalstelle) von f auf D bezeichnet.

28 G. Matthies Ingenieurmathematik 28/105 Eigenschaften von Supremum und Infimum Satz Seien D R m und f : D R. Die Zahl M ist genau dann Supremum der Funktion f, wenn f (x) M für alle x D gilt und es eine Folge (x k ) k N D mit gibt. lim f (x k) = M =: sup f (x) k x D Die Zahl m ist genau dann Infimum der Funktion f, wenn f (x) m für alle x D gilt und es eine Folge (x k ) k N D mit gibt. lim f (x k) = m =: inf f (x) k x D

29 G. Matthies Ingenieurmathematik 29/105 Existenz von Supremum und Infimum Satz Seien D R m und f : D R. Wenn f nach oben beschränkt ist, dann existiert das Supremum von f auf D. Ist f nach unten beschränkt, dann existiert das Infimum von f auf D. Bemerkung Selbst wenn Supremum bzw. Infimum existieren, müssen Maximum bzw. Minimum nicht existieren.

30 G. Matthies Ingenieurmathematik 30/105 Satz von Weierstraß Satz Seien D R m eine kompakte Menge und f : D R stetig. Dann gelten die folgenden Aussagen: f ist auf D beschränkt und Maximum und Minimum von f auf D existieren. Bemerkung Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge Supremum und Infimum an.

31 G. Matthies Ingenieurmathematik 31/105 Partielle Ableitung Definition Seien D R m und x 0 D ein innerer Punkt. Existiert der Grenzwert f (x 0 + he i ) f (x 0 ) lim, h 0 h dann wird dieser partielle Ableitung von f nach x i an der Stelle x 0 genannt und mit f (x 0 ), f xi (x 0 ), f,i (x 0 ) x i bezeichnet. Die Funktion f heißt dann an der Stelle x 0 partiell nach x i differenzierbar. Um partielle Ableitungen zu bestimmen, verwenden wir die gleichen Techniken wie beim normalen Differenzieren. Für die partielle Ableitung nach x i werden alle anderen Variablen wie Konstanten betrachtet.

32 Illustration zu partiellen Ableitungen I G. Matthies Ingenieurmathematik 32/105

33 Illustration zu partiellen Ableitungen II G. Matthies Ingenieurmathematik 33/105

34 Partielle Differenzierbarkeit Definition 1. Existieren an der Stelle x 0 alle partiellen Ableitungen f x i, i = 1,..., m, dann heißt f an der Stelle x 0 partiell differenzierbar. 2. Die Funktion f heißt partiell differenzierbar in A D, wenn f an allen inneren Stellen x A partiell differenzierbar ist. 3. Ist f partiell differenzierbar im gesamten Definitionsbereich D, so nennen wir f partiell differenzierbar. G. Matthies Ingenieurmathematik 34/105

35 G. Matthies Ingenieurmathematik 35/105 Stetige partielle Differenzierbarkeit Definition Seien D R m, x D innerer Punkt und f : D R n. Die Funktion f heißt stetig partiell differenzierbar in x, falls f in x partiell differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen f x i : D R n, i = 1,..., m, stetig in x sind. Ist D offen und ist f für jedes x D stetig partiell differenzierbar, so heißt f stetig partiell differenzierbar.

36 G. Matthies Ingenieurmathematik 36/105 Gradient Definition Seien D R m und f : D R partiell differenzierbar in x. Der Vektor f (x) x 1 f (x) := grad f (x) :=. f Rm (x) x m wird Gradient der Funktion f an der Stelle x genannt. Ist f partiell differenzierbar, so definiert f : D R m eine vektorwertige Abbildung, die Gradient von f genannt wird.

37 G. Matthies Ingenieurmathematik 37/105 Jacobi-Matrix Definition Seien D R m, x D innerer Punkt und f : D R n partiell an der Stelle x differenzierbar. Dann wird die Matrix f 1 f 1 (x)... (x) f (x) = f x (x) = x 1 x m.. f n f n Rn m (x)... (x) x 1 x m als Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix von f an der Stelle x bezeichnet. Bemerkung Im Fall n = 1 ist die Jacobi-Matrix ein Zeilenvektor. Transponiert ergibt sich als Spaltenvektor der Gradient von f.

38 G. Matthies Ingenieurmathematik 38/105 Differenzierbarkeit Definition Seien D R m, x 0 D ein innerer Punkt und f : D R n. Dann heißt f an der Stelle x 0 (total) differenzierbar, wenn f an der Stelle x 0 partiell differenzierbar ist und in der Form f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + k(x 0 ) mit k : D R n geschrieben werden kann, wobei lim x x 0 k(x) x x 0 = 0 gilt. Die Funktion f heißt in A D (total) differenzierbar, wenn f in allen Punkten x A (total) differenzierbar ist. Ist f in D (total) differenzierbar, nennen wir f (total) differenzierbar.

39 G. Matthies Ingenieurmathematik 39/105 Bemerkungen 1. Im Ausdruck f (x 0 )(x x 0 ) wird das Produkt der Jacobi- Matrix f (x 0 ) R n m mit dem Vektor x x 0 R m gebildet. 2. Der Grenzwert lim x x 0 k(x) x x 0 = 0 besagt, dass k für x x 0 schneller gegen 0 strebt als der Abstand x x Analog zu Ableitungen für Funktionen einer Variablen lässt sich zeigen, dass eine in x 0 (total) differenzierbare Funktion dort auch stetig ist. 4. Es gibt partiell in x 0 differenzierbare Funktionen, die in x 0 nicht stetig sind.

40 G. Matthies Ingenieurmathematik 40/105 Richtungsableitung Definition Seien D R m, x 0 D ein innerer Punkt, f : D R n und a R m ein Vektor. Dann heißt f a (x f (x 0 + ha) f (x 0 ) 0) := lim h 0 h die Richtungsableitung von f an der Stelle x 0 in Richtung a. Bemerkung Die Richtungsableitungen in Richtung der kanonischen Einheitsvektoren e 1,..., e m R m entsprechen gerade den partiellen Ableitungen.

41 G. Matthies Ingenieurmathematik 41/105 Bestimmung der Richtungsableitung Satz Seien D R m, x 0 D ein innerer Punkt und f : D R n in x 0 differenzierbar. Dann gilt f a (x 0) = f (x 0 )a, d. h., die Richtungsableitung ergibt sich aus dem Produkt der Jacobi-Matrix f (x 0 ) und der Richtung a. Bemerkung Im Fall n = 1 gilt speziell f a (x 0) = f (x 0 ) a, es ist also das Skalarprodukt des Gradienten mit der Richtung zu bestimmen.

42 G. Matthies Ingenieurmathematik 42/105 Eigenschaften der Richtungsableitung Sei n = 1 und f differenzierbar an der Stelle x 0 mit f (x 0 ) 0. Dann gelten die folgenden Aussagen: Von allen Richtungsableitungen an der Stelle x 0 hat die Ableitung in Richtung 1 f (x 0 ) f (x 0) T den maximalen Wert, d. h., der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs an. Der transponierte Gradient an der Stelle x 0 ist orthogonal zur Tangente an die Höhenlinie (m = 2) bzw. zur Tangentialebene an die Niveaufläche (m = 3) an der Stelle x 0.

43 G. Matthies Ingenieurmathematik 43/105 Tangentialebene Seien f : D R 2 R eine Funktion und (x, y ) D. Ist f in (x, y ) D differenzierbar, dann lässt sich gemäß z = f (x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) ( ) = f (x, y ) + f (x, y x x ) y y ( ) = f (x, y ) + f (x, y x x ) y y die Tangentialebene an f an der Stelle (x, y ) definieren. Bemerkung Ist f in (x, y ) differenzierbar, dann stellt die Tangentialebene unter allen Ebenen, die durch den Punkt ( x, y, f (x, y ) ) gehen, die beste Näherung an f in der Umgebung von (x, y ) dar.

44 Illustration G. Matthies Ingenieurmathematik 44/105

45 Illustration G. Matthies Ingenieurmathematik 44/105

46 G. Matthies Ingenieurmathematik 45/105 Hinreichendes Differenzierbarkeitskriterium Satz Seien D R m, x 0 D ein innerer Punkt und f : D R n. Wenn alle partiellen Ableitungen von f in einer Umgebung von x 0 existieren und in x 0 stetig sind, dann ist f an der Stelle x 0 (total) differenzierbar.

47 G. Matthies Ingenieurmathematik 46/105 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Satz Seien D R m und f, g : D R n in x 0 D differenzierbar. Dann ist für alle α, β R die Funktion αf + βg in x 0 differenzierbar und die Ableitung lässt sich gemäß bestimmen. (αf + βg) (x 0 ) = αf (x 0 ) + βg (x 0 ) Bemerkung Die Linearität der Ableitung ist somit auch bei Funktionen von mehreren Variablen und mit mehreren Komponenten gegeben.

48 G. Matthies Ingenieurmathematik 47/105 Kettenregel Satz Seien C R m und D R p. Weiterhin seien g : C D in x 0 C und f : D R n in y 0 = g(x 0 ) D differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion f g : C R n in x 0 differenzierbar und es gilt (f g) (x 0 ) = f (y 0 )g (x 0 ), wobei (f g) (x 0 ) R n m, f (y 0 ) R n p und g (x 0 ) R p m die entsprechenden Jacobi-Matrizen sind. Bemerkung Wie bei Funktionen von einer Variablen wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert. Allerdings handelt es sich nun um Matrizen und die Multiplikation muss von außen nach innen erfolgen.

49 G. Matthies Ingenieurmathematik 48/105 Höhere partielle Ableitungen Definition Seien D R m und f : D R n partiell differenzierbar. Existiert die partielle Ableitung 2 f := ( ) f von f nach x j, so x j x i x j x i x i heißt sie zweite partielle Ableitung von f nach x i und x j. 2 f Falls alle zweiten Ableitungen, i, j = 1,..., m, existieren, so heißt f zweimal partiell differenzierbar. Sind alle zweiten x j x i partiellen Ableitungen stetig, dann heißt f zweimal stetig partiell differenzierbar. Die k-ten partiellen Ableitungen von f werden rekursiv mittels k f := ( k 1 ) f x i1 x ik 1 x ik x i1 x i2 x ik erklärt.

50 G. Matthies Ingenieurmathematik 49/105 Satz von Schwarz Satz Sei f : D R m R eine Funktion von m Variablen. Ist f k- mal stetig partiell differenzierbar, dann ist f sogar k-mal (total) differenzierbar und alle partiellen Ableitungen der Ordnung j mit j k hängen nicht von der Reihenfolge der Differentiation ab. Bemerkung Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist für die Vertauschbarkeit entscheidend. Im Fall der Vertauschbarkeit genügt damit die Angabe, wie oft nach welcher Variablen differenziert wird.

51 G. Matthies Ingenieurmathematik 50/105 Totales Differential für in x 0 differenzierbare Funktion gilt: mit f (x) f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + k(x 0 ) lim x x 0 k(x) x x 0 = 0 Definition Der Ausdruck df = m i=1 f x i (x 0 ) dx i heißt vollständiges oder totales Differential von f an der Stelle x 0.

52 G. Matthies Ingenieurmathematik 51/105 Notwendige und hinreichende Bedingung Satz Der Ausdruck P(x, y) dx + Q(x, y) dy ist genau dann ein totales Differential,wenn es eine Funktion Φ mit gibt. Satz dφ = Φ x dx + Φ y dy = P(x, y) dx + Q(x, y) dy Der Ausdruck P(x, y) dx + Q(x, y) dy ist genau dann ein totales Differential, wenn die Bedingung erfüllt ist. P y Q (x, y) = (x, y) x

53 Anwendung des totalen Differentials Gesucht: Näherungswert für Idee: betrachte Funktion f := R 2 + R, (x, y) x y und an der Stelle (2, 3) das totale Differential es ergibt sich: = f (2.02, 3.01) df = f f dx + x y dy f (2, 3) + f f (2, 3) (2, 3) 0.01 x y exakter Wert: G. Matthies Ingenieurmathematik 52/105

54 G. Matthies Ingenieurmathematik 53/105 Hesse-Matrix Definition Seien D R m, x 0 D innerer Punkt und f : D R zweimal stetig differenzierbar in x 0. Dann heißt 2 f 2 f x 2 (x 0 )... (x 0 ) 1 x 1 x m H f (x 0 ) :=..... R m m 2 f 2 f (x 0 )... x m x 1 xm 2 (x 0 ) die Hesse-Matrix von f in x 0. Bemerkung Der Satz von Schwarz liefert, dass die Hesse-Matrix stets eine symmetrische Matrix ist.

55 G. Matthies Ingenieurmathematik 54/105 Vereinbarungen I Notationen Nabla-Operator = symbolischer Vektor x 1 :=. x m Skalarprodukt mit Vektor h R m, h = (h 1,..., h m ) T h = h h m = x 1 x m m i=1 h i x i Anwendung auf eine Funktion f : D R mit D R m : m f (h )f := h i = f (x)h = f (x) h x i i=1

56 G. Matthies Ingenieurmathematik 55/105 Vereinbarungen II formale Potenzen (m = 2) ( ) (h ) 2 2 = h 1 + h 2 = x 1 x 2 allgemein 2 i,j=1 = h 1 h 1 2 x 1 x 1 + h 1 h 2 2 x 1 x 2 + h 2 h 1 2 x 2 x 1 + h 2 h 2 2 (h ) k = m i 1,...,i k =1 x 2 x 2 k h i h j 2 x i x j h i1... h ik x i1... x ik Die Summe läuft über alle k-tupel (i 1,..., i k ), wobei die Einträge i 1,..., i k aus {1,..., m} stammen. Insgesamt sind es m k Summanden.

57 G. Matthies Ingenieurmathematik 56/105 Taylor-Formel Satz Seien D R m offen, x 0 D, h R m und f : D R eine (k + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Weiterhin liege die Verbindungsstrecke [x 0, x 0 + h] vollständig in D. Dann gilt die Taylor-Formel f (x 0 + h) = f (x 0 ) + 1 1! (h )f (x 0) + 1 2! (h )2 f (x 0 )+ mit dem Restglied R k (x 0, h) = + 1 k! (h )k f (x 0 ) + R k (x 0, h) 1 (k + 1)! (h )k+1 f (x 0 + ϑh) mit einem geeigneten ϑ (0, 1), das in der Regel von x 0 und h abhängt.

58 G. Matthies Ingenieurmathematik 57/105 Taylor-Polynome Definition Seien D R m offen, x 0 D, h R m und f : D R eine (k + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Weiterhin liege die Verbindungsstrecke [x 0, x 0 + h] vollständig in D. Dann heißt für x [x 0, x 0 + h] die Funktion T p (x) = p j=0 1 j! (h )j f (x 0 ) = f (x 0 ) + 1 1! (h )f (x 0) + 1 2! (h )2 f (x 0 )+ + 1 p! (h )p f (x 0 ) das p-te Taylor-Polynom der Funktion f an der Stelle x 0, wobei h := x x 0 ist.

59 G. Matthies Ingenieurmathematik 58/105 Spezielle Taylor-Polynome 0-tes Taylor-Polynom = konstante Funktion T 0 (x) = f (x 0 ) 1-tes Taylor-Polynom = Tangentialebene T 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) T (x x 0 ) 2-tes Taylor-Polynom T 2 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) T (x x 0 ) (x x 0) T H f (x 0 )(x x 0 ) mit der Hesse-Matrix H f (x 0 ) von f an der Stelle x 0

60 G. Matthies Ingenieurmathematik 59/105 Beispiel 1 für Taylor-Polynome I f (x, y) = e xy + y, (x 0, y 0 ) = (0, 0)

61 G. Matthies Ingenieurmathematik 60/105 Beispiel 1 für Taylor-Polynome II T 1 (x, y) = 1 + y, (x 0, y 0 ) = (0, 0)

62 G. Matthies Ingenieurmathematik 61/105 Beispiel 1 für Taylor-Polynome III T 2 (x, y) = 1 + y + xy, (x 0, y 0 ) = (0, 0)

63 G. Matthies Ingenieurmathematik 62/105 Beispiel 2 für Taylor-Polynome I f (x, y) = sin(πxy), (x 0, y 0 ) = (0, 0)

64 G. Matthies Ingenieurmathematik 63/105 Beispiel 2 für Taylor-Polynome II T 2 (x, y) = πxy, (x 0, y 0 ) = (0, 0)

65 G. Matthies Ingenieurmathematik 64/105 Beispiel 3 für Taylor-Polynome I f (x, y) = sin(πxy), (x 0, y 0 ) = ( 1, 1 ) 2

66 G. Matthies Ingenieurmathematik 65/105 Beispiel 3 für Taylor-Polynome II ( T 2 (x, y) = 1 π2 8 (x + 2y 2)2, (x 0, y 0 ) = 1, 1 ) 2

67 G. Matthies Ingenieurmathematik 66/105 Mittelwertsatz Satz Seien D R m offen und f : D R stetig differenzierbar. Weiterhin liege die Verbindungsstrecke [x 0, x 0 + h] vollständig in D. Dann gibt es eine Zahl ϑ (0, 1) derart, dass f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 + ϑh) T h gilt. Zudem ist die Abschätzung f (x 0 + h) f (x 0 ) h max erfüllt. 0 t 1 f (x 0 + th) Bemerkung Für vektorwertige Funktionen gilt der Mittelwertsatz in der Regel nicht.

68 Bestimmung von Schnittpunkten Gesucht ist ein Schnittpunkt der Kurven 2 x 2 + y 2 = 4, x 2 = y. 2 2 F (x, y) = ( x 2 + y 2 ) 4 x 2 y 2 Der Punkt (x, y ) R 2 ist ( genau ) dann Schnittpunkt der beiden Kurven, wenn F (x, y 0 ) = gilt. 0 G. Matthies Ingenieurmathematik 67/105

69 G. Matthies Ingenieurmathematik 68/105 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Gegeben: D R n, stetig differenzierbare Funktion F : D R n, Näherung x k D für eine Nullstelle x von F Idee: Ersetze F durch das Taylor-Polynom T 1 an der Stelle x k und verwende dessen Nullstelle als neue Näherung x k+1 an x : Taylor-Polynom T 1 : Nullstellengleichung: T 1 (x) = F (x k ) + F (x k )(x x k ) 0 = T 1 (x k+1 ) = F (x k ) + F (x k )(x k+1 x k ) Bestimmung der Nullstelle x k+1 = x k F (x k ) 1 F (x k )

70 G. Matthies Ingenieurmathematik 69/105 Newton-Verfahren Seien D R n, F : D R n eine stetig differenzierbare Funktion und x 0 D eine Näherung für eine Nullstelle x von F, wobei die Jacobi-Matrix F (x 0 ) regulär ist. Definition (Newton-Verfahren) Für k = 0, 1, 2,... berechne x k+1 = x k F (x k ) 1 F (x k ), falls F (x k ) regulär Bemerkung Probleme bei der Anwendung des Newton-Verfahrens Abbruch bei singulärer Jacobi-Matrix F (x k ) Zyklen-Bildung Divergenz möglich

71 G. Matthies Ingenieurmathematik 70/105 Konvergenz des Newton-Verfahrens Satz Seien D R n offen und F : D R n zweimal stetig differenzierbar. Weiterhin sei x D eine Nullstelle von F mit regulärer Jacobi-Matrix F (x ). Dann gibt es eine Umgebung U von x derart, dass das Newton- Verfahren für jeden Startvektor x 0 U wohldefiniert ist und die Folge (x k ) der erzeugten Iterierten gegen x konvergiert. Zudem gibt es eine Konstante C > 0 mit x k+1 x C x k x 2, k = 0, 1,..., es liegt also quadratische Konvergenz vor.

72 G. Matthies Ingenieurmathematik 71/105 Beispiel für das Newton-Verfahrens Gesucht ist ein Schnittpunkt der Kurven x 2 + y 2 = 4, x 2 = y F (x, y) = ( x 2 + y 2 ) 4 x 2 y ( ) F 2x 2y (x, y) = 2x 1 ( x0 y 0 ) = ( ) 1 2 2

73 G. Matthies Ingenieurmathematik 72/105 Konvergenzverhalten x =, y = i x i y i Fehler e e e e e Fehler: (x i x ) 2 + (y i y ) 2

74 G. Matthies Ingenieurmathematik 73/105 Implizite Funktionen Definition Eine implizit definierte Funktion (kurz implizite Funktion) ist eine Funktion, die nicht durch eine explizite Zuordnungsvorschrift y = f (x) gegeben ist, sondern deren Funktionswerte sich durch eine Gleichung F (x, y) = 0 ergeben. Dabei ist F eine vektorwertige Funktion mit n 1 Komponenten, wenn y aus n Komponenten besteht. Wird x fixiert, so ergibt sich ein (nicht-lineares) Gleichungssystem in y mit n Gleichungen und n Unbekannten. Beispiel F : R 2 R, F (x, y) = x 2 + y 2 r 2 mit gegebenem r R \ {0} Auflösungen für x ( r, r) y 1 (x) = r 2 x 2, y 2 (x) = r 2 x 2

75 G. Matthies Ingenieurmathematik 74/105 Auflösung von impliziten Funktionen Beispiel Für x = r und x = r ist ein eindeutiges Auflösen nicht möglich, da es den positiven und den negativen Ast gibt. Frage Für den Parameter x 0 sei eine Lösung y 0 mit F (x 0, y 0 ) = 0 bekannt. Lassen sich Bedingungen angeben, die sichern, dass für jedes x aus einer geeigneten Umgebung von x 0 stets ein eindeutig bestimmtes y aus einer Umgebung von y 0 mit F (x, y) = 0 existiert?

76 G. Matthies Ingenieurmathematik 75/105 Satz über implizite Funktionen (Spezialfall) zunächst: Spezialfall m = 2 Satz Seien D R 2, F : D R stetig differenzierbar und (x 0, y 0 ) D gegeben. Falls F (x 0, y 0 ) = 0 und F y (x 0, y 0 ) 0 gilt, dann gibt es offene Intervalle U um x 0 und V um y 0 derart, dass zu jedem x U genau ein y V mit F (x, y) = 0 existiert. Jedem x U ist damit eindeutig ein y = f (x) V zugeordnet. Die so definierte Abbildung f : U V erfüllt die Gleichung F ( x, f (x) ) = 0 für alle x U. Außerdem ist f stetig differenzierbar mit f (x) = F ( ) x x, f (x) ( ) F y x, f (x) für alle x U.

77 G. Matthies Ingenieurmathematik 76/105 Beispiel F (x, y) = x 2 + y 2 r 2 = 0 mit gegebenem r R \ {0} Ableiten nach x, dabei y = y(x) beachten: d dx F ( x, y(x) ) = 2x + 2yy (x) = 0 = y (x) = x y Zusammenhang zu den aufgelösten Funktionen mit den Ableitungen y 1 (x) = + r 2 x 2, y 2 (x) = r 2 x 2 y 1(x) = y 2(x) = 2x 2 r 2 x = x 2 y 1 (x), 2x 2 r 2 x = x 2 y 2 (x),

78 G. Matthies Ingenieurmathematik 77/105 Taylor-Polynome für implizit gegebene Funktionen implizit gegebene Funktion x 4 +y 4 2x 2 y = 0 bei (x 0, y 0 ) = (1, 1) y 1.1 T 1 (x) = 1 T 2 (x) = 1 2(x 1) 2 T 3 (x) = 1 2(x 1) 2 6(x 1) x

79 G. Matthies Ingenieurmathematik 78/105 Satz über implizite Funktionen I allgemeiner Fall Satz Seien D R m R n, F : D R n stetig differenzierbar und (x 0, y 0 ) D gegeben. Falls F (x 0, y 0 ) = 0 gilt und die Matrix F 1 F 1 (x 0, y 0 )... (x 0, y 0 ) F y (x y 1 y n 0, y 0 ) =..... F n F n Rn n (x 0, y 0 )... (x 0, y 0 ) y 1 y n invertierbar ist, dann gibt es Umgebungen U von x 0 und V von y 0 derart, dass zu jedem x U genau ein y V mit F (x, y) = 0 existiert.

80 G. Matthies Ingenieurmathematik 79/105 Satz über implizite Funktionen II Satz (Fortsetzung) Jedem x U ist damit eindeutig ein y = f (x) V zugeordnet. Die auf diese Weise erklärte Abbildung f : U V erfüllt die Gleichung F ( x, f (x) ) = 0 für alle x U. Weiterhin ist f stetig differenzierbar und es gilt f (x) = F y ( x, f (x) ) 1Fx ( x, f (x) ) für alle x U.

81 G. Matthies Ingenieurmathematik 80/105 Extremstellen Definition Seien D R m R und x 0 D gegeben. Der Wert f (x 0 ) heißt (strenges) lokales Maximum von f in x 0, wenn es eine Umgebung U von x 0 mit ( f (x) f (x 0 ) f (x) < f (x0 ) ) für alle x (U D) \ {x 0 } gibt. Die Stelle x 0 heißt dann lokale Maximalstelle von f. Der Wert f (x 0 ) heißt (strenges) lokales Minimum von f in x 0, wenn es eine Umgebung U von x 0 mit ( f (x) f (x 0 ) f (x) > f (x0 ) ) für alle x (U D) \ {x 0 } gibt. Die Stelle x 0 heißt dann lokale Minimalstelle von f.

82 G. Matthies Ingenieurmathematik 81/105 Notwendige Bedingung für lokale Extrema Definition Seien D R m, x 0 D ein innerer Punkt und f : D R partiell differenzierbar. Gilt grad f (x 0 ) = 0, dann heißen x 0 stationäre Stelle von f und ( x 0, f (x 0 ) ) stationärer Punkt des Graphen von f. Satz Seien D R m, x 0 D ein innerer Punkt und f : D R partiell differenzierbar. Ist x 0 eine lokale Extremalstelle, dann ist x 0 eine stationäre Stelle von f, d. h., es muss gelten. grad f (x 0 ) = 0

83 G. Matthies Ingenieurmathematik 82/105 Bemerkungen Die Bestimmung aller stationären Punkte führt in der Regel auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit den m Gleichungen f x i (x 0 ) = 0, i = 1,..., m, in den m Variablen x 1,..., x m. Stationäre Stellen müssen keine lokalen Extremalstellen sein. Beispiel Funktion f : R 2 R, (x, y) x 2 y 2 partielle Ableitungen f x (x, y) = 2x, f y (x, y) = 2y einzige stationäre Stelle (0, 0) aber: keine lokale Extremalstelle, da in jeder Umgebung von (0, 0) positive und negative Funktionswerte angenommen werden.

84 G. Matthies Ingenieurmathematik 83/105 Definitheit von Matrizen Erinnerung: Definition Die reelle symmetrische n n-matrix A heißt positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind, positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte positiv oder 0 sind, negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind, negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte negativ oder 0 sind, indefinit, wenn A positive und negative Eigenwerte hat.

85 G. Matthies Ingenieurmathematik 84/105 Hinreichende Bedingungen für lokale Extremalstellen Satz Seien D R m, f : D R zweimal stetig differenzierbar und x 0 D eine stationäre Stelle, d. h., grad f (x 0 ) = 0. Ist die Hesse-Matrix H(x 0 ) positiv (negativ) definit, so ist x 0 eine strenge lokale Minimalstelle (Maximalstelle) von f. Ist die Hesse-Matrix H(x 0 ) indefinit, so liegt an der Stelle x 0 ein Sattelpunkt vor, d. h., in jeder Umgebung von x 0 gibt es Punkte x, y mit f (x) < f (x 0 ) < f (y). Bemerkung Bei einer stationären Stelle x 0 mit det H(x 0 ) = 0 können mehrere Fälle auftreten: f 1 (x, y) = x 2 + y 4, f 2 (x, y) = x 2, f 3 (x, y) = x 2 + y 3

86 G. Matthies Ingenieurmathematik 85/105 Satz von Hadamar Satz Sei A R m m eine reelle symmetrische Matrix. Dann ist A genau dann positiv definit, wenn a a 1j det..... > 0 a j1... a jj für alle j = 1,..., m gilt.

87 G. Matthies Ingenieurmathematik 86/105 Beispiel 1 f (x, y) = x 2 + y 2 + xy 2x + 3y + 7

88 G. Matthies Ingenieurmathematik 86/105 Beispiel 1 f (x, y) = x 2 + y 2 + xy 2x + 3y + 7

89 G. Matthies Ingenieurmathematik 87/105 Beispiel 2 f (x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x + 1)

90 G. Matthies Ingenieurmathematik 87/105 Beispiel 2 f (x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x + 1)

91 G. Matthies Ingenieurmathematik 88/105 Lineare Ausgleichsrechnung (Regression) Gegeben: Messreihe (x i, y i ) R m R, i = 1,..., k Linearer Ansatz mit Parametervektor a = (a 1,..., a n ) T R n y = F (x; a) = a 1 ϕ 1 (x) +... a n ϕ n (x) = mit Ansatzfunktionen ϕ 1,..., ϕ n : R m R typische Situation: n k n a j ϕ j (x) Bestimme die Parameter a so, dass die Summe der Fehlerquadrate k ( Φ(a) = yi F (x i ; a) ) 2 minimiert wird i=1 j=1

92 G. Matthies Ingenieurmathematik 89/105 Beispiel

93 G. Matthies Ingenieurmathematik 90/105 Notwendiges Kriterium n Gleichungen für a 1,..., a n Φ a j (a 1,..., a n ) = 0, j = 1,..., n Festlegungen für y R k, a R n, A R k n y 1 a 1 ϕ 1 (x 1 )... ϕ n (x 1 ) y :=., a :=., A :=..... ϕ 1 (x k )... ϕ n (x k ) y k a n Matrix-Vektor-Schreibweise n F (x i ; a) = a j ϕ j (x i ) = (Aa) i, Φ(a) = j=1 k ( yi F (x i ; a) ) k 2 ( ) 2 = yi (Aa) i = y Aa 2 i=1 i=1

94 G. Matthies Ingenieurmathematik 91/105 Lösbarkeit Satz Das lineare Quadratmittelproblem y Aa 2 min ist für beliebige Matrizen A R k n und beliebige Vektoren y R k lösbar. Jede Lösung des linearen Quadratmittelproblems löst die Gaußsche Normalengleichung A T Aa = A T y und umgekehrt. Falls Rang A = k, also maximal, ist, dann ist die Matrix A T A positiv definit (also auch regulär) und das lineare Quadratmittelproblem besitzt eine eindeutige Lösung.

95 G. Matthies Ingenieurmathematik 92/105 Ausgleichsgerade funktionaler Zusammenhang Fehlerquadratfunktion Φ(a, b) = y = ax + b k i=1 (ax i + b y i ) 2 min a,b notwendige Bedingungen für Minimum k Φ a (a, b) = 2(ax i + b y i )x i = 0, Φ b (a, b) = i=1 k 2(ax i + b y i ) = 0 i=1 ergeben lineares Gleichungssystem für a und b

96 G. Matthies Ingenieurmathematik 93/105 Ausgleichsgerade Lineares Gleichungssystem k a xi 2 +b Lösung mit x = 1 k k x i, i=1 s 2 x = 1 k 1 k i=1 a i=1 k x i +b i=1 a = s xy s 2 x k x i = i=1 k 1 = i=1 k x i y i, i=1 k i=1 y i, b = y ax y = 1 k k y i, i=1 (x i x) 2, s xy = 1 k 1 k (x i x)(y i y) i=1

97 G. Matthies Ingenieurmathematik 94/105 Beispiel exponentieller Zusammenhang y = ae bx nach Logarithmieren: ln(y) = ln ( ae bx) = ln(a) + bx

98 G. Matthies Ingenieurmathematik 95/105 Extremwerte unter Nebenbedingungen Oft werden Extremwerte nicht auf dem gesamten Definitionsbereich D gesucht, sondern unter allen Punkten, die gewisse Nebenbedingungen erfüllen. Diese werden von den eigentlichen Extremwerten nur in Ausnahmefällen erfüllt. Problemstellung: Gegeben f : D R n R, g 1,..., g m : D R Gesucht Extremstellen von f auf der Menge G := { x D : g 1 (x) = 0,..., g m (x) = 0 } = { x D : g(x) = 0 } mit g 1 (x) g(x) =. g m (x)

99 G. Matthies Ingenieurmathematik 96/105 Lagrange-Funktion Lagrange-Funktion oder ausführlich L(x, λ) = f (x) + λ g(x) L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n ) + λ 1 g 1 (x 1,..., x n ) + + λ m g m (x 1,..., x n )

100 G. Matthies Ingenieurmathematik 97/105 Kriterium für Extremwerte unter Nebenbedingungen Satz Die Funktionen f, g 1,..., g m : D R n R seien stetig partiell differenzierbar. Wenn x G D eine lokale Extremstelle von f auf G ist und die Matrix 1 g 1 (x )... 1 g m (x )..... R n m n g 1 (x )... n g m (x ) den Rang m besitzt, dann gibt es einen Lagrange-Multiplikator λ R m derart, dass alle (n + m) partiellen Ableitungen von L im Punkt (x, λ ) R n+m verschwinden, d. h., die Bedingungen m j f (x1,..., xn) + λ k jg k (x1,..., xn) = 0, j = 1,..., n, sind erfüllt. k=1 g l (x 1,..., x n) = 0, l = 1,..., m,

101 G. Matthies Ingenieurmathematik 98/105 Hinreichende Bedingung Extremwertaufgabe: f (x, y) min / max Nebenbedingung: g(x, y) = 0 Lagrange-Funktion Hilfsgröße = 2 L x 2 L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) ( ) g L g g y x y x y + 2 L y 2 an den stationären Punkten (x, y, λ ) berechnen ( ) g 2 x Kriterium < 0, > 0, = 0, lokales Maximum, lokales Minimum, so keine Entscheidung möglich.

102 G. Matthies Ingenieurmathematik 99/105 Beispiel 1 f (x, y) = x 2 + y 2 min unter g(x, y) = x + y 1 = 0

103 G. Matthies Ingenieurmathematik 100/105 Beispiel 2 f (x, y) = (1 x 2 )(1 y 2 ) min unter g(x, y) = x 2 +y = 0

104 G. Matthies Ingenieurmathematik 100/105 Beispiel 2 f (x, y) = (1 x 2 )(1 y 2 ) min unter g(x, y) = x 2 +y = 0

105 Beispiel 2: Funktionswert entlang der Kurve f (x, y) = (1 x 2 )(1 y 2 ) min unter g(x, y) = x 2 +y = f ϕ π 2 π 3π 2 2π periodische Funktion des Winkels ϕ G. Matthies Ingenieurmathematik 101/105

106 G. Matthies Ingenieurmathematik 102/105 Parameterintegrale Definition Seien f : [a, b] R R und g, h : [a, b] R gegeben. Weiter sei die Funktion f (x, ) : R R für alle x [a, b] integrierbar. Dann heißt die Funktion F : [a, b] R mit F (x) := h(x) y=g(x) f (x, y) dy = h(x) g(x) Parameterintegral von f mit Parameter x. f (x, y) dy, x [a, b], Bemerkung Das Parameterintegral hängt nur noch von x ab, da über y integriert wurde.

107 G. Matthies Ingenieurmathematik 103/105 Beispiele Gamma-Funktion Γ(x) := 0 t x 1 e t dt, x > 0 Besselfunktion J n (x) := 1 π π 0 cos ( x sin(t) nt ) dt, n Z Laplace-Transformierte der Funktion f F (x) := 0 e xt f (t) dt

108 G. Matthies Ingenieurmathematik 104/105 Differentiation von Parameterintegralen Satz Seien f : [a, b] R R und g, h : [a, b] R gegeben. Wenn f (x, ) : R R für alle x [a, b] integrierbar ist, f (, y) : [a, b] R für alle y R stetig differenzierbar ist, g, h stetig differenzierbar sind, dann ist das Parameterintegral differenzierbar und es gilt F (x) = d dx = h(x) g(x) h(x) g(x) f (x, y) dy f x (x, y) dy + f ( x, h(x) ) h (x) f ( x, g(x) ) g (x).

109 G. Matthies Ingenieurmathematik 105/105 Speziallfälle 1. Parameterintegral mit festen Integrationsgrenzen Ableitung F (x) := d c F (x) = f (x, y) dy, d c f (x, y) dy x x [a, b], 2. zu integrierende Funktion ist unabhängig von x Ableitung F (x) := h(x) g(x) f (y) dy F (x) = f ( h(x) ) h (x) f ( g(x) ) g (x)