Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakulä V Vekeh- und Machinenyee - Iniu fü Mechanik FG Syedynaik und Reibungphyik Pof D e na V Popov wwweibungphyikde Kineaik und Dynaik (Mechanik II Voleungnoizen SS 9

2 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Voleung Kineaik eine eindienionalen Bewegung: Gechwindigkei al Ableiung, Enfenung al Inegal, Bechleunigung Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, - I Kineaik und Dynaik Une de Kineaik veeh an ein aheaiche und geoeiche Mehoden zu Becheibung von Bewegungen, wie Koodinaen, Vekoen, geoeiche Bindungen ec Da Wo Dynaik, ode Englich dynaic, wid in allen Wienchafzweigen al Synony zu Bewegung veanden An einigen deupachigen Technichen Univeiäen i fü die Dynaik auch ein andee Wo gebäuchlich: "die Kineik" I Sinne unee Voleung ind "die Dynaik" und "die Kineik" Synonye Alle Fagen übe die Uachen und Chaake von Bewegungen weden in de klaichen Mechanik ganz einheilich beanwoe: Geäß den Newonchen Geezen Die Newonchen Geeze und deen Anwendung in vechiedenen Siuaionen ind da Hauphea de Veanalung Kineaik und Dynaik II Maenpunk De Begiff eine Maenpunke i eine de Gundbegiffe de Mechanik Une eine Maenpunk veeh an einen Köpe, deen Auaße an bei de Becheibung eine Bewegung venachläigen kann Naülich häng die Möglichkei eine olchen Venachläigung von den konkeen Bedingungen de Aufgabe ab So kann an zb die Planeen al Maenpunke annehen, wenn an ihe Bewegung u die Sonne uneuch, dagegen feilich nich, wenn an ihe ägliche Dehung beache III Eindienionale Bewegung Wi beginnen i de Bewegung in eine Richung, wie in eine Wagen auf eine geaden Saße U Koodinaen angeben zu können, üen wi ein Koodinaenye wählen Bei eine eindienionalen Bewegung eich die Angabe eine Koodinaenache, die in de Bewegungichung zeig: O Wi wählen auf diee Ache einen Koodinaenupung Zu jede Zeipunk befinde ich de Wagen in eine beien Punk diee Ache Dieen Sachvehal eken wi un, inde wi cheiben: ( IV Gechwindigkei al Ableiung Die ilee Gechwindigkei auf de Zeiinevall (, wid al Vehälni de zuückgelegen Wege zu de veichenen Zei definie: ( ( v Die oenane Gechwindigkei i Genzwe diee Vehälnie fü : ( ( v li Da i nich andee al die ee Ableiung de Koodinae nach de Zei: d v d In de Mechanik i e üblich die Ableiung nach Zei duch einen Punk übe de Buchaben zu bezeichnen: v Nüzliche Regeln de Diffenzial- und Inegalechnung Funkion ( Ableiung d d Funkion ( g Safunkion (unbeie Inegal G ( g (d C C + C u ( + f( du df + d d u ( f( du df f + u d d u ( + v ( ud+ vd+ C paielle Inegaion du df f d+ u d uv+ C d d / n u u( f, f f( n n n du du df d df d / + C + C n+ /( n+ + C Subiionehode in co co in + C co e in in co e e e + C ln / / ln + C acin acin

3 V Enfenung al Inegal I die Gechwindigkei v al Funkion de Zei bekann, o kann Koodinae zu eine beliebigen Zeipunk bei weden Zwei Löungöglichkeien: Unbeie Inegaion Gechwindigkei i zeiliche Ableiung de Koodinae: d( v ( Koodinae zu beien bedeue denach eine Funkion zu finden, de- d en Ableiung de gegebenen Funkion v ( gleich i Diee Funkion nenn an Safunkion ode unbeie Inegal von de Funkion v ( Bezeichnung: ( v(d + C Inegaion i offenba eine Ukehopeaion zu Ableiung Die Tabelle de Ableiungen - geleen in de ugekehen Richung - i gleichzeiig eine Tabelle de Inegale ( Tabelle Beie Inegaion In eine kuzen Zeiabchni ände ich die Koodinae de Wagen u v Die geae Ändeung de Koodinae auf eine längeen Zeiinevall kann an al Sue ( ( v( i beechnen Jedoch i i die i diee Mehode ehalene Koodinae nich ganz genau, weil ich die Gechwindigkei wähend de Zeiinevall ände Wenn wi die Zei klein genug wählen, o i die Sue päzie: ( ( li v( i Den Genzwe nenn an beie Inegal: ( ( v( d Die Bezeichnung de Inegal einne an eine Hekunf: Da Dela wid zu d, u un daan zu einnen, daß die Zei o geing i, wie öglich, und die Addiion wid gechieben al eine Sue i eine goßen "S", da ich i Laufe de Zei ewa augeeck ha Beie Inegale beechne an i de Haupaz de Diffeenial- und Inegalechnung: I G eine Safunkion von g, o gil: i b g (d Gb Ga a VI Bechleunigung Ände ich die Gechwindigkei i de Zei: v v(, o pechen wi von eine bechleunigen Bewegung Bechleunigung i zeiliche Ableiung de Gechwindigkei: dv a d Da die Gechwindigkei elb eine Ableiung de Koodinae nach de Zei i, o i die Bechleunigung eine Ableiung von Ableiung ode, wie an ag, die zweie Ableiung de Koodinae nach de Zei Da wid in eine de folgenden Foen gechieben: d d d a d d d I die Abhängigkei de Koodinae von de Zei bekann, o kann an alle onigen wichigen kineaichen Gößen ofo beechnen: Nach einalige Ableiung haben wi die Gechwindigkei, nach de zweien Ableiung die Bechleunigung VII Kineaiche Gundaufgaben a Da bedeue: a v dv / d Ee Inegaion: v con vo (gleichföige Bewegung Au de Definiion v d/ d ehalen wi nach de zweien Inegaion v + C Inegaionkonane ehäl an i Hilfe de Anfangbedingung: v C + v + a a (gleichäßig bechleunige Bewegung Zweifache Inegaion a a( Zweifache Inegaion 4 a a( v Wi cheiben Bechleunigung al zeiliche Ableiung de Gechwindigkei: dv av ( und ennen die Vaiablen: d dv d av ( Inegaion dv C av ( + egib nun einen Zuaenhang zwichen Zei und Gechwindigkei Zu Beechnung de Koodinae inegie an Gechwindigkei nach Zei 5 a a Löung duch Muliplikaion i v und Daellung in de Fo vv d a d

4 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Voleung Ebene und äuliche Bewegung: Polakoodinaen, Kugelkoodinaen, Vekoen Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik II, 4 I Ebene Bewegung Kaeiche und Polakoodinaen Die Lage eine Maenpunke auf eine Ebene wid duch zwei Koodinaen bechieben Meien weden dafü enwede kaeiche ode polae Koodinaen benuz Kaeiche Koodinaen: (,y Polakoodinaen: (, ϕ Zuaenhang zwichen beiden wid duch die folgenden Gleichungen gegeben: coϕ y inϕ Ugekeh: + y ϕ acan ( / y II Räuliche Bewegung Kaeiche, zylindiche und Kugelkoodinaen In dei Dienionen wid die Lage eine Maenpunke i dei Koodinaen gegeben Definiion von kaeichen, zylindichen und Kugelkoodinaen owie Zuaenhänge zwichen ihnen weden i den dei nachfolgenden Bilden illuie Kaeiche Koodinaen: (,y,z III Vekoielle Daellung Ohonoiee Baen (,y,z eien kaeiche Koodinaen de Maenpunke P in eine echhändigen Koodinaenye Alenaiv kann die Lage de Punke i de Radiuveko chaakeiie weden Definieen wi dei Vekoen e, e y, e, die z enlang de Koodinaenachen geiche ind und je die Länge Ein haben Diee dei Einheivekoen ind zu einande ohogonal und bilden eine ohonoiee Bai Jede Veko kann in eine kaeichen Koponenen zeleg weden: + y + z e + yey + zez (, y, z Kaeiche Koodinaen können al Skalapoduke de Veko i enpechenden Baivekoen bei weden: e, y e, y z e z In de bechiebenen Fall eine konanen kaeichen Bai (Einheivekoen de Bai ind "aufe" leie an den Radiuveko ab, inde an eine Koponenen ableie: + + e + ye + ze, y, z y z y z Zylindiche Koodinaen: ( ρ,ϕ,z Zuaenhang i kaeichen Koodinaen: ρ coϕ y ρ inϕ z z Kugelkoodinaen: (, ϕ, θ Zuaenhang i kaeichen Koodinaen: coθ coϕ y coθ inϕ z inθ Diee Gleichung kann an auch al v v + vy + vz ve + vyey + vzez ( v, vy, vz cheiben Eine weiee Ableiung egib Bechleunigung: a v v + v y + v z ve + vyey + vzez ( v, vy, vz + y + z e + yey + zez (, y, z a + a + a a e + a e + a e a, a, a y z y y z z y z IV Polae Bai Die ohonoiee Bai, in die an den Veko zeleg, uß nich unbeding konan ein: Sie kann ich al Ganze (al ohonoiee Deibein bewegen; dabei änden ich die Richungen de Baivekoen; beide Vekoen bleiben abe ohogonal zu einande und ihe Länge bleib Ein I Weieen uneuchen wi nähe ebene Bewegung Zu Becheibung ebene Bewegung wid in de Mechanik eh of die oge-

5 nanne "polae Bai" benuz Al Bai füh an zwei Einheivekoen: e in Richung de Radiu- Veko eine Maenpunke und e ϕ enkech zu e ( Bild Selbveändlich beweg ich die polae Bai zuaen i de Radiuveko De Radiuveko kann in de polaen Bai beonde einfach dageell weden: e Bei de zeilichen Ableiung uß an abe beachen, da ich auch die Baivekoen i de Zei änden: ( e ( ( Bei Ableien u an die Regel zu Ableien von Poduken benuzen: ( e ( ( + e ( ( ( U weie zu vefahen bauchen wi zeiliche Ableiung von Baivekoen Diee wid i de nachehenden Skizze illuie a ( ( ( ϕ e + ( ( ϕ+ ( ϕ e ϕ ( adialekoponene zikulaekoponene Zeiliche Ableiung de polaen Winkel ϕ ω nenn an Winkelgechwindigkei Sondefall: Bewegung auf eine Keibahn Beweg ich ein Maenpunk auf eine Kei i de Radiu, o gil, Die Gleichung ( ni die Fo v ( ϕe an Gechwindigkei i ϕ ie enkech zu Radiu (und angenial zu Kei geiche und beagäßig gleich v ϕ ω Die Gleichung ( ni die Fo a ϕ e ( + ϕe ϕ ( an Die Bechleunigung ha die Koponene in Tangenialichung aϕ ω und die Koponene in adiale Richung v a ϕ ω Sie i nach innen - zu Zenu hin - geiche und heiß dahe Zenipealbechleunigung de zeig in Richung e ϕ und ha die Länge dϕ dϕ Dahe: de dϕe ϕ de ϕ zeig in Richung e und ha die Länge dϕ dϕ Dahe: de ϕ dϕe Inde wi diee Gleichungen duch d dividieen und ekennen, da d ϕ ϕ, ehalen d wi e ϕe, ϕ eϕ ϕe Fü die zeiliche Ableiung de Radiuveko (Gleichung ( egib ich oi v ( ( e ( + ( ϕe ϕ Eine weiee Ableiung liefe den Becheunigungveko: a v e ( + e ( + ( ϕeϕ + ( ϕeϕ + ( ϕe ϕ ( e + ( ϕe + ( ϕe + ( ϕe ( ϕ e ϕ ϕ ϕ Sondefall: Zenalbewegung Bei de Zenalbewegung i de Bechleunigungveko e auf einen Punk, da Zenu Z, hin geiche Die iff zu Beipiel fü die Bewegung de Planeen zu Bei eine Zenalbewegung vechwinde die zikulae Koponene de Bechleunigung, wenn wi den Koodinaenupung in da Zenu legen: a d ( ω + ( ω d ω ϕ ω con Nach de Bild übeeich de Fahahl in de Zei d die Fläche da dϕ Die Flächengechwindigkei d A/d ω bleib dahe konan (da Kepleche Geez

6 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Voleung Newonche Geeze de Dynaik Beiung de Kaf bei vogegebene Bewegung, Beiung de Bewegung bei vogegebene Kaf Schiefe Wuf Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik II, - I Newonche Geeze (Newon, 687 Newonche Geez: Wik auf einen Köpe keine Kaf, o füh e eine geadlinige, gleichföige Bewegung au: v con (Auch al Tägheigeez bekann: Galilei, 68 Newonche Geez: a F ode dv F d : Mae al Bechleunigung gleich Kaf Diee Geez gil nu fü ein Ineialye Newonche Geez: Käfe, die zwei wechelwikende Köpe aufeinande auüben, ind gleich goß, engegengeiche und haben eine geeinae Wikunglinie Vaianen de Scheibweie de NG a F ode d v F d d ode F d ode v F ode F Scheibweie in Koponenen: a F v F F ay Fy ode v y Fy ode y Fy az Fz v z Fz z Fz Einhei de Kaf i kg N ( Newon Beekung zu Spachgebauch: Gechieben in de Fo F, ell da NG eine Diffeenialgleichung bezüglich ( da, die al Bewegunggleichung bezeichne wid (Engl: "equaion of oion" Radiuveko al Funkion de Zei ( nenn an in diee Zuaenhang Bewegunggeez II Beiung de Kaf bei vogegebene Bewegung i die einfache Aufgabe de Dynaik I da Bewegunggeez ( bekann, o beechne ich die Kaf nach de NG duch zweifache Diffeenzieen Beipiel Ein Köpe (Mae füh eine eindienionale Bewegung nach de Geez ( ainω (a und ω ind Konanen Zu beien i die auf ihn wikende Kaf Löung Die ee Ableiung de Koodinae nach Zei liefe aω coω, nochalige Diffeenzieen egib aω inω Die Kaf i nach de NG gleich F aω inω Beipiel Kuvenfah Ein Auo (Mae kg duchfäh eine Kuve (Radiu R i de Gechwindigkei v / (8 k/h Wie goß i die Kaf, die auf e wik, wie i ie geiche, wa i da fü eine Kaf? Löung Bei eine Bewegung auf eine Keibahn i eine beagäßig konanen Gechwindigkei i die Bechleunigung zu Zenu de Keie geiche und i gleich a / v R Nach de NG ha auch die Kaf nu die adiale Koponene: v F a R v / kg F kg 9 9 N R Da i die Reibungkaf zwichen de Saße und den Reifen III Beiung de Bewegung bei vogegebene Kaf I die Kaf, die auf einen Köpe wik, bekann (ode i da "Kafgeez" bekann, o kann an die Bewegung beien, inde an die Diffeenialgleichung F lö Zu eindeuigen Beiung de Bewegunggeeze ( üen die Anfangbe- dingungen - die Lage und die Gechwindigkei zu eine Zeipunk bekann ein Beipiel Zu beien i die eindienionale Bewegung une de Einwikung eine konanen Kaf Zu Zeipunk befand ich de Köpe i Punk und hae Gechwindigkei v dv Löung Da NG laue F d Inde wi beide Seien i d uliplizieen dv Fdund unbei inegieen v d F d + C v F + C ehal-

7 en wi die Gechwindigkei Da Egebni cheiben wi in de folgenden Fo: d F+ C Muliplikaion i d : d d F+ C dund zweie unbeie Inegaion liefen d F+ C d+ C F + C + C Die noch unbekannen Inegaionkonanen C und C beien wi au den Anfangbedingungen: C, v C Daau folg F + v + ode F + v + Fü die Gechwindigkei egib ich F v v + Beekung: Diee Löungehode funkionie auch bei eine beliebigen, eplizi vogegebenen Kaf F al Funkion de Zei Die Bechleunigung i dann auch eine gegebene Funkion de Zei Duch ee Inegaion gewinn an die Gechwindigkei, duch zweie Koodinae Die beiden Inegaionkonanen beien ich au den Anfangbedingungen Beipiel 4 Beweg bei Vollbeung Zu beien i de Beweg eine Auo i de Anfanggechwindigkei v bei Vollbeung De Reibungkoeffizien ei µ Löung Die auf da Auo wikenden Käfe weden duch den Feichni ichba geach NG laue: y g + N+ N, R R Au de een Gleichung folg N+ N g Reibungkäfe bei Vollbeung ehalen wi nach de Geez "Noalkaf Reibungkoeffizien": R µ N, R µ N Daau folg R+ R µ ( N+ N µ g und fü die -Koponene de NG µ g Da i eine Bewegung une Wikung eine konanen Kaf, dahe gil v v µ g F + v + + v µ g Au de een Gleichung beechne ich die Zei bi zu Silland: v v µ g v / µ g Einezen in die zweie Gleichung liefe den Weg bi zu Silland: v v v Be µ g µ g µ g Fü v / (8 k/h i v / Be µg / 45 Fü v 5 / (54 k/h i Be Fü v 8,5 / (ca k/h,5 Be Beipiel 5 Schiefe Wuf Ein Köpe i de Mae wid zu Zei une eine Winkel α zu - Ache i eine Gechwindigkei v abgewofen Wenn Lufwideand venachläigba i, wik al einzige Kaf da gewich G in negaive z-richung Da NG in kaeichen Koodinaen laue, z G g Zweifache Inegaion füh nach Küzen von auf C, z g+ C C + C, z g + C+ C4 Die Anfangbedingungen: ( C vcoα z ( C vinα ( C, z( C4 Einezen liefe v coα, z g+ v inα, v coα, in z g + v α Duch Eliinaion de Zei : / v coα ehäl an die Bahngleichung g z + anα v co α De Köpe beweg ich auf eine Paabel Die Wufweie w folg au de Bedingung v z ( w : w in α g Die göße Wufweie egib ich fü α π /4, und ie beäg / w,a v g Die Wufhöhe i gleich z ( v in α /g h

8 Mechanik II / Pof Popov / Voleung 4 Käfe: Schwekaf, Reakionkäfe, Wideandkäfe, Fedekaf, Aufiebkaf, Scheinkäfe Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III,, 4 I Kafgeeze Gaviaionkaf: Jede Objek zieh jede andee Objek i eine Kaf an, welche popoional zu beiden Maen und ugekeh popoional de Quada de Enfenung zwichen ihnen i Die Kaf i enlang de Vebindunglinie zwichen beiden Köpen geiche M F G Gaviaionkonane: G 6,67 kg Wideandkaf (ubulen Ein fahende Auo ode ein Flugzeug efahen eine Wideandkaf, die annähend i de folgenden Gleichung wiedegegeben wid: Fw cwρ Av Dabei i A die Pojekionfläche de Köpe auf eine Ebene enkech zu Anöichung, ρ i die Diche de Mediu (zb Luf, v i die Anögechwindigkei (bzw Fahgechwindigkei und de Wideandbeiwe cw efaß alle weieen Paaee E lieg zb bei odenen Pkw zwichen und 4 Da Kafgeez i nu gülig bei chnellen Bewegungen, bei denen ich eine ubulene Söung bilde Wideandkaf (Laina Beweg ich de Köpe in eine Flüigkei ode eine Ga o langa, da ich keine Wibel bilden (lainae Uöung, o i die Wideandkaf, wie da beei Newon heagefunden ha, popoional zu Gechwindigkei: Fw αv Die Konane α häng von de Geoeie de uöen Köpe und von de Zähigkei de Mediu, dieal nich abe von eine Diche Minu-Vozeichen zeig, da die Kaf engegengez zu Gechwindigkei geiche i Fü eine Kugel gil zb: F 6πη v w (854 Soke; i hie Radiu de Kugel, η - Vikoiä de Mediu (ZB fü Wae bei C i η Pa, fü die Luf 5 bei C η,8 Pa 4 Hafeibung und Gleieibung Duch aufühliche epeienelle Uneuchungen ha Coulob (76-86 fegeell, da die Reibungkaf R zwichen zwei Köpen, die i de Noalkaf N an einande gedück ind, in ee, gobe Näheung folgende einfache Eigenchafen ha: A Die Hafeibung (auch aiche Reibungkaf R, die zu übewinden i, u den Köpe in Bewegung zu ezen, i popoional zu Anpeßkaf N: R µ N De Koeffizien µ heiß aiche Reibungkoeffizien E häng von de Maeialpaaung ab, wei abe dagegen fa keine Abhängigkei von de Konakfläche und Rauhigkei de Obeflächen B Die Gleieibung (auch kineiche Reibungkaf R k i die Wideandkaf, die nach de Übewinden de Hafung wik - Gleieibung i popoional zu Anpeßkaf N Rk µ kn - Die Gleieibung häng nich (bzw nu eh chwach von de Gleigechwindigkei ab V Elaiche Kaf Alle Köpe in de Wel ind eh ode wenige defoieba Bei Feden i ihe Elaiziä beonde augepäg und wid echnich genuz Vechieb an einen i eine Fede gekoppelen Köpe u au eine Gleichgewichpoiion, o wik die fede auf ihn i de Kaf Fel c c i die Seifigkei de Fede

9 VI Aufiebkaf (a Beweg ich ein nich yeiche Köpe in eine Flüigkei ode Luf, o i die auf ihn vo Mediu wikende Kaf i Allgeeinen nich engegengez zu Gechwindigkei geiche Die engegengeeze Koponene de Kaf nenn an Wideandkaf ( oben Die zu Bewegung enkech geichee Koponene heiß Aufiebkaf Beide ind bei ubulenen Uöungen ungefäh popoional zu Quada de Gechwindigkei Fü dünne olinienföige Köpe (wie ein Flügel gil FA παρ v S wobei S die Fläche de Flügel i und α de ogenanne Anellwinkel (b Daübe hinau gib e auch bei eh langaen Bewegungen die engegen de Schweekaf geichee achiediche Aufiebkaf, die gleich de Gewich de vedängen Flüigkei i VII Elekiche, agneiche Käfe Auf einen geladenen Köpe i elekichen Feld i de Feldäke E wik die Kaf F qe, q i die elekiche Ladung Auf einen geladenen Köpe i agneichen Feld i de Indukion B wik die Kaf F qv B ; ie i e enkech zu Gechwindigkei geiche VIII Reakionkäfe (auch Fühungkäfe, Zwangkäfe Wenn ein Maenpunk gezwungen i, ich auf eine vogegebenen Fläche ode Kuve zu bewegen, o pich an von eine gefühen ode gebundenen Bewegung In diee Fall een die ogenannen Reakionkäfe auf, welche geade die gefodee Bindung an eine Fläche ode Kuve bewiken Fü den Beag de Reakionkaf kann an kein pezielle Kafgeez angeben Sie zeig abe ie in die Richung, in de die Bewegung vehinde wid IX Scheinkäfe Da Newonche Geez gil nu in Ineialyeen Manchal i e bequee, eine Bewegung elaiv zu eine ich bechleunig bewegenden ode oieenden Bezugye zu beachen (die Ede i zb auch kein ideale Ineialye Man kann zeigen, da an auch in eine becheunigen Sye die Newonchen Geeze in gewöhnliche Fo anwenden kann, wenn an zuäzliche, ogenanne Scheinkäfe einfüh (a In eine Bezugye, da ich elaiv zu eine Ineialye i de Bechleunigung A beweg, uß die Scheinkaf F anl A eingefüh weden (b In eine i eine Winkelgechwindigkei ω oieende Bezugye üen zwei Scheinkäfe eingefüh weden (diee Kafgeeze weden i Ku Mechanik III hegeleie: Zenifugalkaf Fzenif ω wik adial von de Roaionache ( i de Aband zu Ache Coioli-Kaf F v ω C Beipiel Saellienbewegung Mi welche Gechwindigkei uläuf die Ede ein ednahe Saelli? Radiu de Bahn ei R 6, 4 k Löung Die einzige Kaf, die auf den Saellien wik, i die Anziehungkaf de Ede (Schweekaf Sie i ie zu Zenu de Ede geiche und in de Nähe de Edobefläche gleich F g Beweg ich de Saelli auf eine Keibahn, o i eine Bechleunigung ebenfall zu Zenu geiche und gleich a / v R Nach de NG gil v R g Daau folg / v Rg 6 6, 4 9,8 8 /

10 Mechanik II / Pof Popov / Voleung 5 Da Newonche Geez: Anwendungbeipiele Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III,, 4 Beipiel Geoaionäe Saellien Veläuf die Bewegung eine Saellien in de Äquaoebene de Ede und i die Ulaufzei gleich eine Tag, o "häng" de Saelli ie übe de gleichen Punk de Ede Die einzige auf ihn wikende Kaf i die zu Zenu geichee Gaviaionkaf F G Bei eine Bewegung auf M de Kei i Bechleunigung ebenfall zu Zenu geiche und gleich a ω, wobei ω π /T die Winkelgechwindigkei i (T Tag i die Udehungpeiode NG M π beag, da G ω T / GMT ( ( π Die Fallbechleunigung auf de Edobefläche i gleich g GM / R i R 68 al Edadiu Daau folg GM gr Einezen in ( liefe / 6 gr T 9,8 ( 6,8 ( 4 6 ( π ( π 4k Da Enpich eine Höhe übe de Edobefläche von ca 56k Beipiel Veikale Sa eine Rakee Zu beechnen i die Fluchgechwindigkei bei eine veikalen Sa eine Rakee (Lufwideand i zu venachläigen Löung E lieg eine eindienionale Bewegung vo NG fü die adiale Bewegung GM laue Bechleunigung i hie eine Funkion de Koodinae Man lö diee Diffeenialgleichung duch Muliplizieen d beide Seien i Gechwindigkei v d und Beückichigung, da dv dv d dv a v d d d d Die Bewegunggleichung ni die Fo dv GM v an d / Muliplizieen i d egib GM vdv d Eine beie Inegaion füh auf v v GM + R Die geuche Gechwindigkei i eine olche, bei de v wenn GM v gr, k/ R Beipiel Maiale Gechwindigkei eine Auo In de veikalen Richung gib e keine Bewegung Une Venachläigung de Aufiebkaf gil dahe: N g Da ich da Auo i eine konanen Gechwindigkei bewegen oll, laue die hoizonale Koponene de NG: Fw + R, wobei R µ g die aiale eeichbae Reibungkaf zwichen den Räden und de Saße i und Fw cwρ Av die (ubulene Wideandkaf Au µ g c ρav w folg µ g v c ρ A Mi den chaakeiichen Ween: c w,4, A,5, ρ, kg /, 6kg, µ 8 ehalen wi v 46 / 55 k/ h Beipiel 4 Feie Fall in eine vikoen Flüigkei Zu beien i da Bewegunggeez eine in eine Flüigkei fei fallenden Kugel i Anfangbedingungen: y, v y Löung Da N G laue: dvy g αvy Muliplikaion i d d α egib dvy g + vy d Nach Tennung de Vaiablen und beie Inegaion ehalen wi d vy dvy α g+ v y w

11 α vy ln g+ vy α α α g ln + vy vy e α g α Fü eh goße Zei eeich die Gechwindigkei den Genzwe Minu-Zeichen g α zeig, da ich die Kugel in die negaive y- Richung beweg Zu Beiung de Koodinae cheiben wi die Gechwindigkei al zeiliche Ableiung e, uliplizieen diee α dy g d α Gleichung i d und inegieen bei y g α dy e d α Egebni: α g y + g e α α Beipiel 5 Ein Fede-Mae-Sye Zu beien i da Bewegunggeez eine i eine Fede gekoppelen Mae Anfangbedingungen: fü lauen v ( ; ( Löung Wi beachen nu die Bewegung in hoizonale Richung und venachläigen Reibung in diee Richung Die einzige Kaf, die une dieen Voauezungen auf den au de Ruhelage augelenken Köpe wik, i die Fedekaf F k Da NG ieh wie folg au: a k a ( k/ Mi Bezeichnung k/ ω cheiben wi e in dv de Fo a ω ode ω d Mi de Ideniä dv dv d dv v egib ich d d d d dv v ω Muliplikaion i d und beie Inegaion d egib v vdv ω v d ω Daau egib ich Gechwindigkei al Funkion de Koodinae: v ω Wi cheiben nun Gechwindigkei al zeiliche d Ableiung de Koodinae: ω, d ennen die Vaiablen und inegieen bei: ωd ω d Mi de Subiuion acin ( / in z z ( acin co d z dz co z ehalen wi acin ( / d co z dz ac z ac in( co z ac acin( / π / ω Daau folg in ( ω+ π / / d( / / z: dz / ( / z z / acin acin z acin ω π / Ukehen diee Funkion egib in ω+ π coω Beipiel 6 Scheinkäfe A Wann kipp ein Auo u? Gleichgewich de Kafoene bezüglich de echen Rade (i oieenden Bezugye!!: v / Rh gd v Rgd / h B Neigung eine Mooadfahe ( ( in / in C Zenifuge Duchee 45 c,4 Udehungen po Minue Zu beien i die effekive Fallbechleunigung in de i de Zenifuge vebundenen Bezugye

12 Mechanik II / Voleung 6 / Pof Popov Ipul, Kafoß, Schwepunkaz, Ipulehalung, Soß Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, 5,, 5 I Ipul Vekoielle Göße p v heiß Diee Saz gil fü ein abgechloene Sye beehend au beliebige Zahl von Kö- Ipul de Köpe De Geaipul eine Mehköpeye beechne ich al Sue pen de Ipule eine Beandeile: p v i i IV Innee und äußee Käfe Die Käfe, i denen die Köpe, die zu eine II Ipulaz Sye gehöen, i einande wechelwiken, Gechieben in de Fo nennen wi innee Käfe dp d F äg da Newonche Geez den Naen Ipulaz III Kafoß Duch Muliplizieen i d und Inegaion kann de Ipulaz in de folgenden Inegalfo dageell weden: p d p F d p( p( F( d p Ändeung de Ipule i oi gleich de Göße F F (d, die Kafoß heiß IV Abgechloene Sye Ein Mehköpeye heiß abgechloen, wenn die zu ih gehöigen Köpe nu ieinande wechelwiken V Ipulehalungaz Beachen wi ein abgechloene Sye beehend au zwei Köpen Diee Köpe wechelwiken nu i einande Die Wechelwikungkäfe genügen de Newonchen Geez (acioeacio Da Newonche Geez fü jeden Köpe kann denach wie folg gechieben weden: dv dv F F d d Suieen beide Gleichungen egib dv dv + ode d ( v + v d d d In de Klae eh de Geaipul de dp Sye: d Daau folg: p v + v con Ipul eine abgechloenen Sye bleib ehalen (Ipulehalungaz Die Käfe, i denen die Köpe de Sye i den Köpen außehalb de Sye wechelwiken, nennen wi äußee Käfe Diee Definiionen ind yeabhängig So i zb die Wechelwikungkaf zwichen de Sonne und de Ede eine innee Kaf, wenn wi die Sonne und die Ede al ein Sye beachen Beachen wi dagegen nu die Ede al "Sye", o i da eine äußee Kaf VII Ipulaz fü ein Mehköpeye Beachen wi jez ein nich abgechloene (offene Sye, dh ein Sye, deen Köpe auch i Köpen außehalb de Sye wecheelwiken F und F ind hie innee Käfe F und F ind äußee Käfe Da Newonche Geez fü die beiden Köpe laue: dp dp F + F ; F + F d d Addiion diee Gleichungen egib dp F F Fe d + F e i Sue alle äußeen Käfe Ipulaz: Zeiliche Ableiung de Ipule eine Sye i gleich de Sue alle äußeen Käfe, die auf diee Sye wiken Teilehalung de Ipule: I Pojekion de eulieenden äußeen Kaf auf die -Ache Null, o bleib die - Pojekion de Ipule ehalen

13 dp Bewei: De Ipulaz e d F in de Pojekion auf die -Ache laue: dp d Daau folg con p VIII Schwepunkaz Radiuveko de Schwepunk eine Sye wid wie folg definie: + + i i i i R, + + i M wobei M die Geaae de Sye i Die Gechwindigkei de Schwepunke beechne ich al zeiliche Ableiung diee Veko: + v + i i p V R + + M M Beachen wi zwei Fälle: a Abgechloene Sye dr v + v + p con : d + + M Schwepunk eine abgechloenen Sye beweg ich i konane Gechwindigkei b Offene Sye dv dp / d Fe d M M ode M dr F e Schwepunkaz: De Schwepunk eine Sye beweg ich o, al ob die Geaae in ih veeinig wäe und alle äußeen Käfe an ih angiffen IX Plaiche Soß Beachen wi Zuaenoß zweie Köpe, nach de ie ich al ein Ganze bewegen (an einande kleben Solche Soß nenn an plaiche Soß Die Wechelwikungkäfe zwichen beiden Köpen, unabhängig von deen Göße und phyikaliche Hekunf ind innee Käfe Wiken a Sye keine weieen Käfe, o i da ein abgechloene Sye De Ipul de Sye bleib dehalb ehalen Inbeonde gil da fü beliebige Zeipunke vo und nach de Soß: Ipul vo de Soß: v + v Ipul nach de Soß ( + v Wenn keine äußeen Käfe gewik haben: d v + v ( + v v + v v + X Zefall (zb duch eine Eploion Ipul "vo": ( + Ipul "nach": v + v Ipulehalungaz: v + v v v XI Mielwe eine Kaf Beachen wi eine von de Zei abhängige Kaf F ( Den Mielwe diee Kaf auf de Zeiinevall von bi können wi beien, inde wi da Zeiinevall in eine eh goße Zahl N von Teilinevallen uneeilen (offenichlich gil N Den Mielwe F (de Sich übe de Buchaben bedeue "Mielwe" beechne an Fi i i de bekannen Regel F Inde N wi diee Gleichung i uliplizieen und dividieen, ehalen wi F N N Fi ( i N Fd Nach de Ipulaz in de Inegalfo gil Fd ( p p, wobei p und p Ipule de Sye zu den Zeipunken und ind Fü den Mielwe de Kaf egib ich oi p p F Mielwe de Kaf i gleich Ändeung de Ipule dividie duch da Zeiinevall, in de diee Ändeung agefunden i

14 Mechanik II / Voleung 7 / Pof Popov Abei, kineiche und poenielle Enegie, Elaiche Soß Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, 7 I Mechaniche Abei, Abeiaz Beachen wi einen Köpe i de Mae, de ich une de Wikung eine (i Allgeeinen zei- ode oabhängigen Kaf F beweg Da zweie Newonche Geez fü den Köpe dv laue F d Inde wi diee Gleichung i v uliplizieen, ehalen wi dv v F v d (Skalapoduk! ( Die linke Seie de Gleichung kann in de Fo dv d( v v d( v v d d d dageell weden Die eche Seie cheiben d wi wie folg u: F v F Die Gleichung d ( ni die Fo d ( v F d an Beie Inegaion egib v d ( v F d v ode v v F d ( v Die Göße K i die kineiche Enegie de Köpe W F d F F W F coθ - Wann i W? F ode ode θ 9 - Die Abei von A nach B i gleich inu die Abei von B nach A - Abei i eine addiive Göße (Abei ehee gleichzeiig wikende Käfe i gleich de Sue de Abeien einzelne Käfe Folg au de Definiion III Leiung Beachen wi Bewegung innehalb eine infinieial kleinen Zeiinevall d, o kann an den Abeiaz in de Diffeenialfo cheiben: dk dw Dividieen duch d egib dk dw ( d d Die Göße dw / d heiß Leiung de Kaf Gleichung ( bedeue, da die zeiliche Ändeung de kineichen Enegie eine Objeke gleich de duch die einwikenden Käfe aufgebachen Leiung i Einheien: [ Abei ] Newon Mee {Joule} [ Leiung ] Joule po Sekunde {Wa} 6 Kilowaunde 6 J, 6 Joule θ F Da Inegal W F d nenn an die von de Kaf F auf de Weg zwichen und geleiee Abei Gleichung ( ag au, da Ändeung de kineichen Enegie eine Objeke gleich de duch die einwikenden Käfe geleieen Abei i K K W (Abeiaz II Eigenchafen de Abei -Abei wid al Inegal W Fd definie -Bei eine konanen Kaf gil IV Poenielle Enegie, Enegieehalungaz Beachen wi eine eindienionale Bewegung une de Einwikung eine Kaf F(, die nu von de Koodinae abhäng Da zweie Newonche Geez laue: v F Muliplizieen i v egib dv d v F ode vdv F d d d Beie Inegaion egib v v F d U( U, (4 wobei U F d Safunkion zu Funkion F i (unbeie Inegal von F

15 (4 kann wie folg ugechieben weden: v v + U + U( (5 Die Göße U( heiß poenielle Enegie und v die Sue E + U K + U - volle Enegie de Sye Gleichung (5 beag, da die volle Enegie de Sye ehalen bleib (Enegieehalungaz: E K + U kon De Enegieehalungaz in diee Fo gil nu dann, wenn die Käfe nu von de Koodinae abhängen (i Allgeeinen Fall gil da fü konevaive Käfe, näche Voleung Beekung: Au de Definiion de poeniellen Enegie folg, da F Diee U Gleichung nenn an Saz von Caigliano V Beipiele A Poenielle Enegie de Schweekaf Die Schweekaf i gleich F g Poenielle Enegie i denach U gdh gh + C C i eine beliebige Konane, die zb gleich Null geez weden kann De Enegieehalungaz ha v die Fo + gh kon B Poenielle Enegie eine elaichen Fede Die Fedekaf i gleich F c Poenielle Enegie denach U cd c Enegieehalungaz: v + c kon C Poenielle Enegie de Gaviaionkaf i allgeeinen Fall M F G M M U G d G Enegieehalungaz: v M E G kon I ein Pepeuu obile öglich? Die auf de gechloenen Weg geleiee Abei i gleich W GM Käfe, deen Abei auf jede gechloenen Weg Null i, heißen konevaiv VI Ein Pendel Zu beien i da Bewegunggeez und die Sangenkaf fü ein Pendel beehend au eine leichen Sab und eine Kugel, die an al ein Maenpunk beachen kann Zu Zeipunk wid e au de Ruhelage u den Winkel ϕ augelenk und feigelaen Löung Wi cheiben zunäch den Enegieehalungaz + gh + gh v v Une Beückichigung geoeiche Beziehung h l( co ϕ und v egib ich v + gl( co ϕ gl( co ϕ Daau folg v gl coϕ coϕ Wi wollen da Newonche Geez in polae Bai cheiben Die zikulae und adiale Koponenen de Bechleunigung ind gleich aϕ l ϕ, a l ϕ Fü die zikulae und adiale Kafkoponenen haben wi: Fϕ ginϕ F gcoϕ FN Da NG ni die Fo l ϕ g inϕ, l ( ϕ g coϕ FN an Au de zweien Gleichung können wi die Sangenkaf al Funkion de Winkel ϕ beechnen: v FN g coϕ + g( coϕ coϕ l Da Bewegunggeez bekoen wi au de dϕ Gleichung v l gl( coϕ coϕ d duch Tennung de Vaiablen und Inegaion

16 Kineaik und Dynaik / Mechanik II / Voleung 8 / Pof Popov Abei, kineiche und poenielle Enegie, konevaive Käfe, Enegieehalungaz Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, 7 I Eigenchafen de Abei WO ( P + WP ( Q + WQ ( O ode -Abei wid al Inegal W Fd definie U( P + W( P Q + U( Q Daau folg -Bei eine konanen Kaf gil W( P Q U( P U( Q W F d F ( F Bei eine Bewegung une de Wikung von F konevaiven Käfen gil θ W F coθ K K W U U Daau folg de Enegieehalungaz - Wann i W? F ode ode θ 9 K + U K+ U kon - Die Abei von A nach B i gleich Minu die Abei von B nach A - Abei i eine addiive Göße (Abei ehee gleichzeiig wikende Käfe i gleich de Sue de Abeien einzelne Käfe Folg au de Definiion II Konevaive Käfe Gegeben ei ein Kaffeld F(, y, z F( Da Kaffeld (ode einfach die Kaf heiß konevaiv, wenn die von diee Kaf auf eine beliebigen gechloenen Weg geleiee Abei gleich Null i: W Fd Schlufolgeung: Die Abei zwichen und häng vo Weg nich ab! Konevaive Käfe: Gaviaionkaf, elaiche Kaf, elekoaiche Käfe Nichkonevaive: Wideandkaf, Reibungkaf III Poenielle Enegie eine konevaiven Kaf Wi definieen eine neue Funkion: P U( P F ( d W( O P O Q UQ Fd WO ( Q O O P Q Jez gehen wi den Weg O P Q O Die Abei i gleich IV Wie ell an fe, ob eine Kaf konevaiv i? Ein hoogene Kaffeld i konevaiv W F d F P Eine zenale Kaf, die nu vo Aband zu eine Zenu abhäng, i konevaiv Sue konevaive Käfe i eine konevaive Kaf: Gaviaionkaf eine beliebigen Maenveeilung Elekoaiche Kaf eine beliebigen Veeilung von Ladungen Elaiche Käfe (lezendlich nich andee al elekiche Käfe Eine beliebige Kobinaion au elekichen, elaichen und Gaviaionkäfen V Poenielle Enegien: a Eine elaichen Fede i Seifigkei c: U c ( b I Gaviaionfeld: U ( G ( c De Zenifugalkaf in eine oieenden Bezugye: U ( ω ( VI Käfe, die enkech zu Bewegungichung geiche ind, leien keine Abei Q R

17 und bauchen wede i allgeeinen Abeiaz, noch i Enegieehalungaz beückichig zu weden: - Zwang- ode Reakionkäfe - agneiche Käfe ( F qv B - Coiolikaf i oieenden Bezugye ( F v ω - (aeodynaiche Aufiebkaf Eläueung zu Abei von Zwangkäfen Zwangkäfe in echanichen Syeen ind Käfe, die e enkech zu Bewegungichung geiche ind Daau folg fü die Abei: W Fd F + F d ( Zwang eingepäg F d + F d F d Zwang eingepäg eingepäg Bei Beechnung de Abei können Zwang- (Reakion-käfe auße Ach gelaen weden VII Abeiaz in Anweenhei von konevaiven und nich konevaiven Käfen? De Abeiaz in de allgeeinen Fo K K W gil ie Die Abei können wi cheiben al K K W Wkon + Wnichkon Fü die Abei de konevaiven Käfe gil Wkon U U De Abeiaz ni die K K U U + W an ode Fo nichkon K+ U K + U Wnichkon VIII Gaviaionfeld eine Kugel Mae de infinieialen Ringe: d π h adθ inθ dθ d 4π a 4π a Die duch den Ring ezeuge poenielle Enegie: du G ' d ' inθ dϑ G R Ra coθ + a Die volle poenielle Enegie: π G' inθdθ U R Racoθ + a Eine dünne Kugelchale i Mae G' ( R a ( R+ a Ra a R > a : U G' / R b R < a : U G' / a IX Anwendungbeipiele B Wie goß i die Fluchgechwindigkei fü eine Rakee, die une eine Winkel α zu Veikale geae wid? Löung: α v v M A Anfang: K, U G R R A Ende: K, U v M Enegieehalungaz: G R GM Daau v gr - häng vo Winkel α nich R ab! B Ein Fadenpendel wid nach link bi zu Höhe h augelenk und logelaen In de veikalen Poiion öß de Faden auf ein Hindeni Welche aiale Höhe eeich da Pendel in de echen Poiion? h Löung: A Anfang: K, U gh A Ende: K, U gh Zwangkäfe bleiben unbeückichig Au de Enegieehalungaz folg h h B I Aband h übe de Ende eine ungepannen Fede befinde ich eine Mae Sie wid ohne Anfanggechwindigkei logelaen Wie goß i die aiale Zuaendückung de Fede? Löung: Sowohl Gaviaionkaf al auch elaiche Kaf ind konevaiv E gil de Enegieehalungaz h A Anfang: K, U gh+ A Ende: K, U g+ c Enegieaz: gh g + c Daau g hc + + Sondefall: Bei h c g i g / c - zwei Mal göße, al bei aiche Belaung

18 Mechanik II /Voleung 9 / Pof Popov Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, 7, 5 I Schleifenfah (Looping Ein Köpe gleie von eine Höhe h i de Anfanggechwindigkei v eine chiefe Ebene hinab, die in eine Keichleife auläuf E oll diejenige Höhe bei weden, fü die kein Ablöen von de Keibahn i de Radiu R eini Bedingung dafü i, daß de Bahnduck i höchen Punk P de Keibahn vechwinde, dh v g R Eine Enegiebilanz zwichen de Anfangpunk und de höchen Punk in de Schleife liefe: v + gh gr + h 5/ R Daau folg die Höhe II Elaiche Soß (a Zeniche Soß Gechwindigkeien vo de Soß: v und v Gechwindigkeien nach de Soß: v und v In eine abgechloenen Sye bleib Ipul ehalen: v + v v + v ( Bei eine elaichen Soß bleib Enegie ehalen: v + v v + v ( Diee Gleichungen können ugechieben weden: v v v v ( ( v v v v Wi eilen die zweie Gleichung duch die ee: v v v v v v v v ( + + ode Beag de elaiven Gechwindigkei ände ich bei elaichen Soß nich Au de lineaen Gleichungye ( und ( folg: Enegieehalung, Ipulehalung v + v v v+ + v + v v v + + (b Nich zeniche Soß (hie nu Sondefall, v De Ipulehalungaz ni die Fo v + v v + v an Enegieehalung: v + v v + v Bei gleichen Maen bedeue da v v + v und v v + v Au de een Gleichung i eichlich, da die Vekoen v, v und v ein Deieck bilden Die zweie Gleichung i de Pyhagoa-Saz Daau folg, da die ein echwinklige Deieck i ( θ 9 : nach eine elaichen Soß fliegen die Kugeln une eine echen Winkel zu einande III Enegieändeung bei plaichen Soß Beachen wi noch einal einen plaichen Soß, dh einen Zuaenoß zweie Köpe, nach de ie ich al ein Ganze bewegen (an einende kleben Die Wechelwikungkäfe zwichen beiden Köpen, unabhängig von deen Göße und phyikaliche Hekunf ind innee Käfe Wiken a Sye keine weieen Käfe, o i da ein abgechloene Sye De Ipul de Sye bleib dehalb ehalen Inbeonde gil da fü beliebige Zeipunke vo und nach de Soß: Ipul "vo": v + v Ipul "nach" ( + v Wenn keine äußeen Käfe gewik haben: v + v + v ;

19 v + v v + Wie eh e i de Enegie de Köpe? Die Enegieändeung i gleich ( + v v v K K K v + v ( + + v v ( v + v v v + ( v + v ( v + v ( + ( + ( v + vv + v v v ( + ( v + v ( + vv v+ v v v ( + ( + und i ie negaiv: Enegie geh bei eine plaichen Soß veloen! IV Kineiche Enegie eine Mehköpeye i v v v i i i v i + + v v i i + Kineiche Enegie de Schwepunke Kineiche Enegie i Schwepunk Sye innee Enegie z B Wäe 5 4 v v K? falch! Wi beachen zwei Koodinaenyee: Laboye (,y und ein Sye, da ich i de Gechwindigkei v de Schwepunke beweg (Schwepunkye Gegeben ind: Gechwindigkeien v i i Schwepunkye und Gechwindigkei v de Schwepunke Zu beien i geae kineiche Enegie Gechwindigkeien i Laboye ind v i' v i + v Die geae Kineiche Enegie i gleich v ' i i i vi + v T v i i ivv i v i + +

20 Mechanik II /Voleung / Pof Popov Teilelaiche Soß, Soßzahl Köpe i veändeliche Mae Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, 6, 7 I Elaiche und nich elaiche Soß II Teilelaiche Soß zweie Köpe Bei eilelaichen Soß veinge ich de v v -abolu elaiche Soß Beag de elaiven Gechwindigkei: v -abolu plaiche Soß v e v - eilelaiche Soß e Soßzahl Bei elaichen Soß bleib Enegie ehalen Ein Modell fü einen eilelaichen Soß Ein Köpe i Mae i i eine Fede (Seifigkei c und eine Däpfe (Däpfungkonane d veehen E öß gegen eine ae Wand i de Gechwindigkei v Mi den Mehoden, die päe bei de Schwingungheoie eläue weden (Voleung kann an zeigen, da fü d > c de Soß abolu plaich i: De Köpe ping nich zuück Fü d < c i de Soß eilelaich und die Soßzahl kann duch die Gleichung π e ep 4 c / d angenähe weden (Bild oben Beipiel : Man lä eine elaiche Kugel au eine Höhe h auf eine ae ebene Fläche fallen Nach de Soß eeich ie eine Höhe h Wie goß i die Soßzahl? Löung: Die Gechwindigkei vo de Soß i gleich v gh Die nach de Soß v gh Die Soßzahl i gleich e v / v h / h Bei h / h 78 i e 88 Nach vie Sößen wid die Höhe 78 h 7h 4 ein ( e v v v v Au diee Gleichung zuaen i de Ipulehalungaz v + v v + v kann an v und v beien: v v ( e v( e v v( e v( e III Köpe i veändeliche Mae a Rakee i Welau Eine Rakee öß Vebennungpoduke i eine Aboßgechwindigkei c Die vebliebene Mae de Rakee ei ( Da Maendiffeenial d i eine negaive Göße Dehalb i die abgeoßene Mae gleich d Wi gehen in ein Ineialye übe, da ich zu Zeipunk i de Rakee beweg Ipulehalung bei Aboß eine kleinen Gaae d : Ipul "vo" Ipul "nach" dv c ( d dv cd / ; ( Diee Ändeung de Gechwindigkei gil naülich in jede Ineialye, auch i "uhenden" Inegaion von ( füh zu Ziolkowki-Gleichung: d v c cln cln Beipiel Wie chwe u eine Rakee indeen ein, dai ie eine Kapel i de Mae bi zu Gechwindigkei v bechleunigen kann? Anwo: e v/ c ; Beipiel: vfluchgechwindigkei (, k/ c, ode 4 k/,/,/,/ 4 e 7 ; e 4 ; e 6 b Rakee i Schweefeld

21 Da Sye i nich abgechloen, de Ipul bleib nich ehalen Ipulaz gil abe fü alle Syee, auch nich abgechloene: Ipul "vo" Ipul "nach" dv c ( d Ändeung de Ipule i gleich Kaf al Zei: dp dv c ( d Fd ( + d gd g d Daau folg dv ( d g+ c ( d d ( d q i die po Zeieinhei d augeoßene Mae Die Gleichung ( ni die Fo an: dv g cq F S d + + F i Schweekaf, S i Schub Angenoen, die Maenändeung q i konan Dann gil: q dv cq cq g g+ d q cq q v g+ g clog q Genzfall: kleine q cq g v g+ c Ein Sa i nu dann öglich, wenn cq > g Beipiel Ein Mench (Mae geh vo Bug eine (a Anfang uhenden Booe (Länge L zu Heck übe Wie vechieb ich da Boo une den folgenden Annahen: (a E gib keine Reibung zwichen de Boo und Wae, (b E gib eine Wideandkaf popoional zu Gechwindigkei? Löung (a keine Reibung Die Länge de Booe i L Vechiebung de Schwepunke: g + M S + M (Null nach de Schwepunkaz Au de Gleichungye folg L M + (b (Mi Wideandkaf Da NG fü den Menchen und da Boo: N + M α M N α ode + M α + C Au den Anfangbedingungen folg C Soi α M A Ende de Pozee ind, Soi i : Da Boo i a Ende in deelben Lage wie a Anfang! IV Kineiche Enegie eine Mehköpeye 5 4 Wi beachen zwei Koodinaenyee: Laboye (,y und ein Sye, da ich i de Gechwindigkei v de Schwepunke beweg (Schwepunkye Gegeben ind: Gechwindigkeien v i i Schwepunkye und Gechwindigkei v de Schwepunke Zu beien i geae kineiche Enegie Löung: Gechwindigkeien i Laboye ind v i' v i + v Die geae Kineiche Enegie i gleich v ' i i i vi + v T v i i ivv i v i + + v i i v + v v i i+ i v + Kineiche Enegie de Schwepunke v i i v Kineiche Enegie i Schwepunkye innee Enegie

22 Mechanik II /Voleung / Pof Popov Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III, 6, I Dehipul (Dall eine Maenpunke Den Veko L p v bezeichne an al Dehipul de Maenpunke i dabei de Radiuveko de Maenpunke von eine feen Bezugpunk, de fei wählba i De Dehipul häng oi von de Wahl de Bezugpunke ab II De Dehipulaz (Dallaz Zeiliche Ableiung de Dehipule egib: d d d L ( v v+ v d d d v v+ F + M M i hie Kafoen bezüglich deelben Koodinaenupunge Fü die zeiliche Ableiung de Dehipule gil oi: L M - Die zeiliche Ableiung de Dehipule i Bezug auf einen aufeen Punk i gleich de Moen de a Maenpunk angeifenden Kaf bezüglich deelben Punke (Dehipulaz III Dehipulehalung Vechwinde da Moen M, o i L ode L con - de Dehipul bleib ehalen Ande al bei Ipulehalungaz kann de Dehipul auch in eine nich abgechloenen Sye ehalen bleiben Dafü i e nowendig, da da Kafoen vechwinde (nich abe unbeding die Kaf elb! IV Bewegung in eine Zenalfeld Zeig bei eine Bewegung de Kafveko e zu eine Zenu O hin, o vechwinde da Moen bezüglich O, denn in diee Fall haben F und e die gleiche Richung, oi gil F De Dehipul bezüglich de genannen Kafzenu bleib oi ehalen V Ebene Bewegung Lieg die geae Bahn in eine Ebene (agen wi (,y und wählen wi al Bezugpunk einen Punk in deelben Ebene, o ha de Dehipul eine einzige Koponene L z Dehipul, Dehipulaz (Dallaz Inde z wid in diee Fall eien augelaen Fü die einzige Dallkoponene ehalen wi L vinθ vϕ ω Beipiel Eine Mae, die von eine Faden gehalen wid, beweg ich i de Winkelgechwindigkei ω auf eine glaen, waageechen Keibahn i de Radiu De Faden wid duch ein Loch A in de Mie de Keibahn gefüh a Wie goß i die Winkelgechwindigkei ω, wenn de Faden o angezogen wid, da ich die Mae i Aband beweg? b Wie ände ich dabei die Fadenkaf? Löung: Die Spannkaf de Faden zeig e zu Punk A Sie ha bezüglich A kein Moen De Dehipul bezüglich A bleib oi ehalen: De Dehipul i Anfangzuand: L ω De Dehipul i Endzuand: L ω Au de Dehipulehalung ω ω folg ω ω Da NG fü eine Bewegung auf eine Keibahn une de Wikung de adialen Spannkaf S laue: 4 4 S ω ω ω S Beipiel Gechwindigkei eine Saellien in Anweenhei eine kleinen Wideande Auf die ednahen Saellien wik eine eh kleine Wideandkaf, die ich e übe goße Zeiäue beekba ach Wie ände ich die Gechwindigkei eine Saellien une de Wikung de Wideandkaf? Löung In ee Annäheung beweg ich de Saelli auf eine Keibahn, deen Radiu ich

23 abe eh langa ände De Dehipul de Saellien i gleich L v Au de NG v M fü die Keibewegung folg G Inde wi au diee Gleichung den Radiu beien und in die Gleichung fü den Dehipul einezen, ehalen wi GM L v Die Wideandkaf üb auf den Saellien ein kleine negaive Kafoen De Dehipul wid dahe langa abnehen Da bedeue, da die Gechwindigkei göße wid: Reibung füh zu "Bechleunigung" de Saellien! VI Dallaz fü ein Mehköpeye Beachen wi ein Zweiköpeye, deen Köpe owohl ieinande, al auch i Köpen außehalb de Sye wechelwiken De geae Dehipul de Sye i L p+ p v + v Seine zeiliche Ableiung i gleich L v + v + v + v Nach de NG gil v F F+ F, e, v F F+ F e, Fü L egib ich oi L ( F + F e + v v + ( F + F e + v v ode L ( F + Fe, + ( F + Fe, ( F + Fe,+ Fe, Da und F die gleiche Richung haben (da Newonche Geez! ehalen wi endgülig L ( F + Fe, + ( F + Fe, Fe, + Fe, Me, + Me, Me L M e - Die zeiliche Ableiung de geaen Dehipule eine Mehköpeye bezüglich eine feen Punke i gleich de eulieenden Moen alle äußeen Käfe bezüglich deelben Punke (Dehipulaz,, VII Dehung eine Maenpunkye u eine fee Ache Wi beachen ein Sye von Maen, die alle a i eine Ache vebunden ind Alle Maen fühen eine ebene Bewegung au und bewegen ich i de gleichen Winkelgechwindigkei ϕ De geae Dehipul (genaue geag, eine z-koponene i in diee Fall gleich L ϕ Θ ϕ ( Die Göße Θ a i a i i a i i i bezeichne an al Maenägheioen de Sye bezüglich de gegebenen Ache Leie an ( une Beachung von Θ a con ab, o folg Θ ϕ M a a Auch diee Gleichung nenn an of Dehipulaz, obwohl die lediglich eine pezielle Fo de Dehipulaze i Beipiel Da in A aufgehänge Pendel beeh au eine aen, aeloen Sange, an de die Maen und angebach ind E i die Bewegunggleichung fü eine ebene Bewegung de Pendel aufzuellen Löung: Da Maenägheioen de Sye u den Punk A i gleich Θ l + l ( + 4 l Da Kafoen i M glinϕ glinϕ gl( + inϕ De Dehipulaz laue: + 4 l ϕ gl + inϕ ( ( g( + ϕ inϕ l( + 4

24 Mechanik II /Voleung / Pof Popov Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III,, 4 I Sae Köpe Einen aen Köpe kann an al ein Sye von Maenpunken definieen, deen Abände unveände bleiben Ein ae Köpe kann i Rau dei unabhängige Tanlaionbewegungen und dei Roaionen aufühen Soi i jede ae Köpe ein echaniche Sye i 6 Feiheigaden II Ebene Roaion Beonde einfach lä ich eine ebene Bewegung eine aen Köpe becheiben, dh eine Bewegung, bei de ich jede Punk de Köpe in eine Ebene beweg I ein Punk (O i Bild de aen Köpe unbeweglich, o kann de Köpe nu eine Roaionbewegung u dieen Punk aufühen ( P ei de Radiuveko vo unbeweglichen Zenu zu eine beliebigen Punk P E gil: ( P e, wobei e ein Einheiveko in ( P Richung i Fü die Gechwindigkei de Punke P ehalen wi ( P e + e ϕe e ϕ ω ϕ Die zeiliche Ableiung de Winkel ϕ ω heiß Winkelgechwindigkei de Köpe (ie i gleich fü alle Punke de Köpe III Zuaengeeze Bewegung Zu Becheibung eine beliebigen Bewegung eine aen Köpe fühen wi zwei Koodinaenyee ein: Ein "aufee" Sye (,y und ein i de aen Köpe fe vebunde-, y Bezeichnungen: A ei ein ne Sye beliebige Refeenzpunk i Köpe, P i ein beliebige Punk de Köpe, i Radiuveko de Punke P i beweglichen (in den Köpe "eingefoenen" Sye P ei de Radiuveko deelben Punke i aufeen Sye, A ei Radiuveko de Bezugpunke A i aufeen Sye Kineaik de ebenen Roaion Offenba gil: P A + Die zeiliche Ableiung egib die Gechwindigkei: + + ϕe ϕ ( P A A A nenn an Gechwindigkei de Tanlaionbewegung de Köpe, ϕ ω die Winkelgechwindigkei IV Moenanpol Die den zwei Koodinaenyeen enpechenden Einheivekoen bezeichnen wi al e, ey, e, ey Fü den Radiuveko P de Punke P bezüglich de aufeen Koodinaenye gil dann P A + A + e + ye y In Pojekionen auf Koodinaenachen (,y: P P e ( A + e + ye y e A e + e e + ye y e yp P ey ( A + e + ye y ey y + e e + ye e A y y y Daau folg: P A + coϕ y inϕ yp ya + inϕ + y coϕ Die Gechwindigkei de Punke P ehalen wi duch Ableiung de Koodinaen nach Zei (dabei wid beückichig, da ϕ ϕ( und Keenegel benuz: + inϕ y coϕ ϕ P A ( coϕ in yp ya + y ϕ ϕ I ϕ, o kann an ie einen Punk M finden, deen Gechwindigkei Null i: + inϕ y coϕ ϕ M A ( ϕ ym ya + co y inϕ ϕ Auflöung diee Gleichungye nach, y gib die Lage von diee Punk in de a i de Köpe vebundnen Koodinaenye: M ( Ainϕ yacoϕ ϕ, y M ( Acoϕ yainϕ ϕ + Diee Punk heiß Moenanpol de Köpe Da ich Moenanpol nich beweg, kann ich de Köpe nu u dieen Punk dehen Eine

25 beliebige Bewegung eine aen Köpe kann oi (auf kuzen Zeiabchnien al eine eine Dehung angeehen weden Die Lage de Moenanpol lä ich auch geoeich beien Au de vekoiellen Gleichung (: P A + ϕe ϕ v A + ωe folg ϕ fü den Moenanpol: M v A + ωe ϕ Daau folg v e A ϕ : ω de Veko e ϕ i geiche engegengeez zu v A Da bedeue, da de Veko e, de ie enkech zu e ϕ eh, enkech zu Richung von v A eh In de Pojekion auf die Richung v A laue die Gleichung (: va ω Daau v / ω A Beekung De Moenanpol kann auch außehalb de aen Köpe liegen Beekung De Moenanpol i ein Punk, de ich zu gegebenen Zeipunk nich beweg Die Lage de Moananpol kann ich abe änden Da bedeue, da ich de Köpe i nächen Zeipunk u eine ewa vechobene Ache deh uw Die Geahei alle oenanen Dehzenen nenn an Rapolbahn V Wie finde an den Moenanpol? Sind die Richungen de Gechwindigkeien von zwei Punken eine aen Köpe gegeben (Bild (a, o lieg de Moenanpol auf de Schni de Senkechen zu den jeweiligen Gechwindigkeien Sind die Gechwindigkeien von zwei Punken paallel zu einande (Bild (b, o lieg da Moenanzenu auf de Schnipunk de Senkechen zu den beiden Gechwindigkeien i de Vebindunggeaden de Pfeilpizen beide Gechwindigkeien Roll ein Köpe auf eine unbeweglichen Fläche ohne Gleien, o befinde ich de Moenanpol i Konakpunk (Bei eine Rollen eine Rade kann an ich voellen, da die ae Unelage und da Rad ieinande vezahn ind De Konakpunk kann ich oi elaiv zu Unelage nich bewegen Beipiel Eine Leie i gegen eine Wand geüz und geä in Ruchen Wo lieg de Moenanpol? Löung Gechwindigkeien de obeen und de uneen Ende de Leie ind enlang de Wand bzw de Boden geiche De Moenanpol lieg auf de Schni de Senkechen zu den Gechwindigkeien Beipiel Ein Sab gleie von eine Sufe (Höhe h ab Wo lieg da Moenanzenu? Löung I Punk A gleie de Sab enlang de Boden, i Punk C in eine eigenen Längichung Offenba i a/ / h Daau folg a / h und y h+ / h Beipiel An eine Ache (A i unbeweglich ein Zylinde i de Radiu a befeig U die gleiche Ache deh ich eine Sange AB i de Winkelgechwindigkei ω A andeen Ende de Sange i fei dehba ein Rad i de Radiu b angebach, de an de unbeweglichen Zylinde ohne Ruchen oll Zu beien i die Winkelgechwindigkei ω de Rade Löung Punk A i de Moenanpol de Sange Fü die Gechwindigkei de Punke B egib ich oi vb ω ( a+ b De Konakpunk de Rade i de Zylinde i de Moenanpol de Rade Dahe vb ωb Au de Vegleich beide Audücke folg: ω ω a+ b b / Weiee Beipiele Hauge, Schnell, Go, Techniche Mechanik (Beipiele, 4

26 Mechanik II / Voleung / Pof Popov Dehung in dei Dienionen, Dehipulaz, kineiche Enegie und Abei bei eine Roaion u eine fee Ache Lieau: Hauge, Schnell und Goß Techniche Mechanik III,, I Reine Roaion eine aen Köpe Bezugpunk bezeichnen wi i Bei eine Roaion u den '' + a δϕ δ Winkel δϕ u die Ache P v V + ω ( '' + a vechieb ich de Punk θ enkech zu Ebene V + ω a+ ω '' (Ache- Radiuveko V O' ' + ω ' a '', u den Beag V ' V O + ω a, δ in θ δϕ Wenn wi einen Veko δϕ ω ' ω Winkelgechwindigkei häng nich o definieen, da vo Bezugye ab! e enlang de Ache geiche i und den Beag δϕ ha, o gil: δ δϕ III Eigenchafen vo Vekopoduk (a a b b a δ Fü die Gechwindigkei v egib ich (b a ( b + c a b+ a c δ v (c ( αa b α( a b ω wobei ω δϕ / δ die Winkelgechwindigkei (d a ( b c ( a b c ( c a b de Roaion de aen Köpe i (e a ( b c b( a c c( a b II Allgeeine Bewegung (f a a Zu Becheibung eine beliebigen Bewegung (d a ( a b eine aen Köpe fühen wi zwei Koodinaenyee ein: Ein "aufee" Sye Vekopoduk in Koponenen (,y,z und ein i de aen Köpe fe ( i, j, k - ind Einheivekoen: k vebundene Sye (,, a ai + ay j + azk, Bezeichnungen: O i ein b bi + by j + bzk i j beliebige A a b ab ( i i + ab y( i j + ab z( i k Refeenzpunk i + ab( y j i + ab ( y y j P ' j + ab y z( j k + R Köpe, P i + ab z ( k i + ab z y( k j + ab z z ( k k ein beliebige A ( a Punk de Köpe, by ayb k + ( azb abz j + ( aybz azby i i A aybz azby z Radiuveko de Punke P i beweglichen Ay ab z ab z (in den Köpe "eingefoenen" Sye i Radiuveko deelben Punke i aufeen Sye, R Az aby ayb y i Radiuveko de Bezugpunke IV Bechleunigung bei eine Roaion u O i aufeen Sye eine fee Ache Bei eine zuaengeezen Bewegung Inde wi die Gleichung v ω nach Zei (Tanlaion de Punke O und Roaion u ableien, ehalen wi dieen Punk: d ' dr + dϕ v ω + ω ω + ω ( ω Mi Bezeichnungen: d dr v, V, d d Bei eine konanen Winkelgechwindigkei: dϕ ω v ω ( ω ω( ω ( ω ω d ω( ω ω ehäl an: v V + ω E i leich zu ehen, da diee Veko in de Wählen wi jez den Nullpunk de i de gleichen Ebene lieg wie ω und und ie Köpe vebundenen Koodinaenye i Punk O ' i Aband a enkech zu Ache geiche i: von O Den Radiuveko de Punke P elaiv zu (Skalapoduk ω v ω ( ω( ω ω neuen