Skript Mathematik Klasse 10 Realschule

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1 Skript Mathematik Klasse 0 Realschule

2 Das vorliegende Skript wurde erstellt durch: Marco Johannes Türk Die aktuellste Version dieses Skriptes ist online auf zum Download zu finden. 30. März 05 Marco Johannes Türk

3 Inhaltsverzeichnis Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme Das Additions-Verfahren zur Lösung von LGS Das Gleichsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen Geometrische Deutung der Lösungsmengen Quadratische Gleichungen Lösungsmengen quadratischer Gleichungen Geometrische Deutung der Lösungsmengen Bruchgleichungen Funktionen. Geraden Zeichnen von Geraden Bestimmen von Geradengleichungen Fall : zwei Punkte sind gegeben Fall : ein Punkt und Steigung gegeben Parabeln Parabeln der Form y = a x Parabeln der Form y = ax + c Parabeln der Form y = (x d) + c Die allgemeine Parabel y = x + px + q Bestimmen von Parabelgleichungen Fall : der Scheitelpunkt ist gegeben Fall : zwei Punkte sind gegeben Fall 3: zwei Nullstellen sind gegeben Untersuchung von Funktionen Schnittpunkte mit der x, bzw. y-achse Schnittpunkt zweier Geraden Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel - Schnittsituationen Schnittpunkte zweier Parabeln Schnittpunkte zweier Parabeln - Schnittsituationen Berühren zweier Schaubilder Fall : eine Gerade berührt eine Parabel Fall : Bestimmen der Tangente in einem Punkt Fall 3: zwei Parabeln berühren sich Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem Prozentrechnung 4 3. Grundlagen Prozentuale Zunahme Prozentuale Abnahme Zinsrechnung Zinseszins mit gleichbleibendem Zinssatz Zinseszins mit jährlich änderdem Zinssatz i

4 Inhaltsverzeichnis 4 Diagramme und Auswerten von Daten Auswerten von Listen Das arithmetische Mittel (Durchschnitt) Der Zentralwert (Median) Quartile Daten auswerten, Kastendiagramme (Boxplots) Kreisdiagramme Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnisse und Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit Baumdiagramme Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm Das Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen Ziehen ohne Zurücklegen Der Erwartungswert Geometrie Dreiecke Der Satz des Pythagoaras Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck Das allgemeine Dreieck Besondere Dreiecke Der Kreis Spezielle Vierecke Prismen Besondere Prismen: Der Quader Besondere Prismen: Der Würfel Zylinder Kugel Kegel Pyramiden Die allgemeine Pyramide Besondere Pyramiden: Die vierseitige Pyramide ii

5 Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem (oft auch einfach kurz LGS) besteht in der Regel aus Gleichungen mit Unbekannten. Es besitzt z.b. die Form 4a + 6b = 4 3a + b =.. Das Additions-Verfahren zur Lösung von LGS Man löst ein lineares Gleichungssystem, indem man es zunächst mit Äquivalenzumformungen auf die Stufenform bringt und danach schrittweise nach den Variablen auflöst. Erlaubte Äquivalenzumformungen sind: Gleichungen miteinander vertauschen. Dies entspricht dem Vertauschen von Zeilen. Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren (bzw. durch eine Zahl dividieren), hierzu multipliziert man jeden Eintrag einer Zeile mit dieser Zahl. eine Gleichung durch die Summe oder Differenz zweier Gleichungen ersetzen. D.h. man addiert eine Gleichung (eine Zeile) zu einer anderen Gleichung (Zeile). Ein lineares Gleichungssystem liegt in der Zeilenstufenform vor, wenn es die folgende Form besitzt: Wobei irgendwelche Zahlen darstellen. a + b = b = Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mit dem Additionsverfahren: a + 6b = 3a + b = Lösung: Zunächst multiplizieren wir die erste Zeile mit 3, damit in jeder Gleichung vor a die selbe Zahl steht. I a + 6b = Ia = 3 I II 3a + b = Das neue Gleichungssystem lautet: Ia 3a + 8b = 6 II 3a + b = Danach ersetzen wir die zweite Gleichung durch die Differenz aus der zweiten und der ersten Gleichung: Ia 3a + 8b = 6 II 3a + b = IIa = II Ia

6 Gleichungen Somit lautet das fertig umgeformte Gleichungssystem: Ia 3a + 8b = 6 IIa 0 6b = 8 Jetzt können wir schrittweise die Lösung des linearen Gleichungssystems ablesen, indem wir die einzelnen Gleichungen nacheinander auflösen: 6b = 8 b = Aus der ersten Gleichung folgt nun, indem wir das Ergebnis aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung einsetzen: 3a + 8b = 6 ( 3a + 8 ) = 6 3a 9 = 6 3a = 3 a = Somit besteht die Lösung aus dem Tupel: ( ; ). Die Lösungsmenge Lautet: L = { ( ; ) } Die Lösung eines LGS besteht aus einem Tupel aus drei Zahlen, diese schreibt man in der Form (a; b). Die Lösungsmenge ist dann L = {(a; b)}. Man kann dieses Tupel auch als einen Punkt im Koordinatensystem auffassen und in der Form (a b) schreiben. Der Punkt ist S(a b).

7 Gleichungen.. Das Gleichsetzungsverfahren Man löst ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren, indem man die folgenden Schritte durchführt:. Löse die beiden Gleichungen nach einer Variablen auf, so dass diese die z.b. die Form a = b + besitzen, wobei wieder irgendwelche Zahlen darstellen.. Setze die beiden rechten Seiten der Gleichungen gleich. 3. Löse die neu erhaltene Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 4. Setze das erhaltene Ergebnis in eine der ersten beiden Gleichungen ein, um ein Ergebnis für die andere Variable zu erhalten. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren: a + 6b = 3a + b = Lösung: Zunächst multiplizieren wir die erste Zeile mit 3, damit in jeder Gleichung vor a die selbe Zahl steht. I a + 6b = Ia = 3 I II 3a + b = Danach bringen wir alles was nichts mit a zu tun hat auf die andere Seite: Ia 3a = 6 8b II 3a = b Nun können wir die beiden rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen, da auf der linken Seite jeweils das Gleiche steht: Ia = II 6 8b = b 6b = 8 b = Nun setzt man das erhaltene Ergebnis entweder in Ia oder in II ein und löst diese Gleichung dann nach a auf: 3a = 6 8b 3a = 6 8 3a = a = 3 a = ( ) Somit lautet die Lösung des Gleichungssystems L = { ( ; ) }. 3

8 Gleichungen..3 Das Einsetzungsverfahren Man löst ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, indem man die folgenden Schritte durchführt:. Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen auf, so dass diese die z.b. die Form a = b + besitzen, wobei wieder irgendwelche Zahlen darstellen.. Setze dies für die entsprechende Variable in die andere Gleichung ein. 3. Löse die neu erhaltene Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 4. Setze das erhaltene Ergebnis in eine der ersten beiden Gleichungen ein, um ein Ergebnis für die andere Variable zu erhalten. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren: a + b = 4 3a + b = Lösung: Zunächst teilen wir die erste Zeile durch, damit in dieser Gleichung vor a eine steht. I a + b = 4 II 3a + b = Ia = I : Wir erhalten das neue Gleichungssystem: Ia a + 6b = II 3a + b = Danach bringen wir in Gleichung Ia alles was nichts mit a zu tun hat auf die andere Seite: Ia a = 6b II 3a + b = Nun können wir die Gleichung Ia in die Gleichung II einsetzen: 3a + b = 3 ( 6b) + b = 6 8b + b = 6b = 8 b = Nun setzt man das erhaltene Ergebnis entweder in Ia oder in II ein und löst diese Gleichung dann nach a auf (hier wird Ia gewählt): a = 6b a = 6 a = + 3 a = ( ) Somit lautet die Lösung des Gleichungssystems L = { ( ; ) }. 4

9 Gleichungen..4 Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen Ein lineares Gleichungssystem besitzt entweder keine, eine, oder unendlich viele Lösungen. Man sieht dies folgendermaßen: keine Lösung: Ein lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung, wenn nach dem Umformen eine falsche Aussage im Gleichungssystem steht. Eine falsche Aussage wäre z.b.: 0 = 6 oder 4 = 9. eine Lösung: Ein lineares Gleichungssystem besitzt eine Lösung, wenn man es mit Umformungen auf die Zeilenstufenform brigen kann, wenn man also ein Ergebnis erhält. unendlich viele Lösungen: Ein lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn in einer Zeile eine wahre Aussage steht. Wenn man also nach Umformen die Gleichung 0 = 0 oder 7 = Geometrische Deutung der Lösungsmengen Man kann ein Lineares Gleichungssystem auch interpretieren als die Aufgabe zwei Geraden auf gegenseitige Lage zu untersuchen. Unter gegenseitiger Lage versteht man, die Lage zweier Geraden im Koordinatensystem zueinander. Mögliche Lagen sind: parallel, sie schneiden sich, oder sie sind identisch. Keine Lösung - Die Geraden sind parallel Sind zwei Geraden parallel, so haben diese keinen gemeinsamen Punkt. Das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Geradengleichungen hat damit keine Lösung. Beispiel: Die beiden Geraden y = x + und y = x sind parallel, da diese die selbe Steigung besitzen. Somit gibt es keinen Schnittpunkt, im Schaubild sieht dies folgendermaßen aus: 3 y y = x + y = x x 3 5

10 Gleichungen Eine Lösung - Die Geraden schneiden sich Schneiden sich zwei Geraden, so haben diese einen gemeinsamen Punkt. Das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Geradengleichungen hat damit eine Lösung. Beispiel: Die beiden Geraden y = 0, 5x +, 5 und y = x schneiden sich, im Schaubild sieht dies folgendermaßen aus: 3 y y = x 0 x y = 0, 5x +, 5 3 Unendlich viele Lösungen - Die Geraden sind identisch Sind zwei Geraden identisch, so haben diese alle Punkte gemeinsam. Das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Geradengleichungen hat damit unendlich viele Lösungen. Beispiel: Die beiden Geraden y = 3 x + und y = 3x + sind identisch. y 3 y = 3 x y = 3 x x 3 6

11 Gleichungen. Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x +b x+c = 0, wobei a, b, c irgendwelche Zahlen sind und a nicht 0 ist. Die p-q-formel: Ist eine Gleichung der Form x + px + q = 0 gegeben. Dann erhält man die Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Formel: x ; = p ± (p ) q Wichtig: Um diese anwenden zu können, muss man beachten, dass die Zahl, welche vor x steht, gleich ist. Steht z.b. eine vor x muss man noch die komplette Gleichung durch teilen. Beispiel: Bestimme die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung: x x 4 = 0 0 = x x 4 Zunächst muss man die Gleichung durch teilen, damit vor dem x eine steht. 0 = x x x ; = ± ( ) + = ± 4 + = ± 9 4 = ± 3 x = x = Die Lösungsmenge lautet somit L = { ; }... Lösungsmengen quadratischer Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat entweder keine, eine, oder zwei Lösungen. keine Lösung: Eine quadratische Gleichung besitzt keine Lösung, wenn bei der p-q-formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann. Sie besitzt also keine Lösung, wenn ( p ) q < 0 ist. eine Lösung: Eine quadratische Gleichung besitzt eine Lösung, wenn bei der p-q-formel unter der Wurzel 0 steht, da p ±0 = p ist. Sie besitzt also eine Lösung, wenn ( p q ) = 0 ist. zwei Lösungen: Eine quadratische Gleichung besitzt zwei Lösungen, wenn bei der p-q-formel unter der Wurzel eine Zahl größe 0 steht. Sie besitzt also zwei Lösungen, wenn ( p ) q > 0 ist. 7

12 Gleichungen.. Geometrische Deutung der Lösungsmengen Man kann die Lösung einer quadratischen Gleichung auch interpretieren als die Aufgabe die Schnittpunkte einer Parabel mit der x-achse (die Nullstellen) zu bestimmen. Mögliche Ergebnisse sind: es gibt keinen Schnittpunkt mit der x-achse, es gibt einen Schnittpunkt, die Parabel berührt die x-achse, und es gibt zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Keine Lösung - Die Parabel schneidet die x-achse nicht Ist ( p ) q < 0 so steht bei der p-q-formel eine negative Zahl unter der Wurzel, es gibt somit keine Lösung für die quadratische Gleichung. Beispiel: Die Parabel y = x +x+ besitzt keine Schnittpunkte mit der x-achse, da die Gleichung x + x + 3 = 0 keine Lösung besitzt. 5 y y = x + x x Eine Lösung - Die Parabel berührt die x-achse Ist ( p ) q = 0 so steht bei der p-q-formel eine 0 unter der Wurzel, es gibt somit eine Lösung für die quadratische Gleichung. Beispiel: Die Parabel y = x x+ besitzt einen Schnittpunkt mit der x-achse, da die Gleichung x x + = 0 eine Lösung besitzt. y 5 4 y = x x + 3 ( 0) x 8

13 Gleichungen Zwei Lösungen - Die Parabel schneidet die x-achse Ist ( p ) q > 0 so gibt es zwei Lösungen für die quadratische Gleichung. Beispiel: Die Parabel y = x besitzt zwei Schnittpunkte mit der x-achse, da die Gleichung x x + = 0 zwei Lösungen besitzt. y y = x 4 3 ( 0) ( 0) x.3 Bruchgleichungen Schritte zum Lösen von Bruchgleichungen:. Bestimme zunächst die Definitionsmenge. Dies sind die reellen Zahlen ohne die Lösungen der Gleichungen, wenn man die einzelnen Nenner 0 setzt.. Zerlege die Nenner der Brüche so weit wie möglich in einzelne Faktoren. 3. Multipliziere die gesammte Gleichung mit dem Hauptnenner aller Brüche. 4. Kürze die einzelnen Brüche soweit wie möglich. 5. Löse die so erhaltene Gleichung. 6. Überprüfe, welche der Lösungen in der Definitionsmenge enthalten sind. 9

14 Gleichungen Beispiel: Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: x 3x + 8 = x + 4 x + 4x + x Zunächst bestimmt man die Definitionsmenge, hierzu setzt man die einzelnen Nenner 0.. Nenner:. Nenner: 3. Nenner: x + 4 = 0 x = 4 x + 4x = 0 x (x + 4) = 0 x = 0 x = 0 x = 4 Somit lautet die Definitionsmenge: D = R \ { 4; 0}. Der Hauptnenner der Brüche lautet: x (x + 4), nun multipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner und kürzt soweit wie möglich: x 3x + 8 x (x + 4) = x + 4 x (x + 4) x (x + 4) + x (x + 4) x x x = 3x x + 4 Nun löst man die erhaltene quadratische Gleichung: x x = 3x x + 4 x = 4x + 3 x 4x 3 = 0 x ; = 4 ± x ; = ± x ; = ± 36 x ; = ± 6 x = 8 x = 4 ( 4 ) + 3 x = 8 liegt im Definitionsbereich und ist somit eine Lösung der Gleichung. x = 4 liegt nicht im Definitionsbereich und ist somit keine Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet L = {8}. 0

15 Funktionen. Geraden Eine Gleichung die eine ähnliche Form wie z.b. y = x hat, stellt in einem Koordinatensystem eine Gerade dar, um eine solche Gerade zeichnen zu können, muss man wissen, was die Zahlen, bzw bedeuten. Eine Gleichung der Form y = m x + b nennt man einen Geradengleichung, hierbei stellen m und b irgenwelche Zahlen dar. Die Bedeutung dieser Zahlen ist: m entspricht der Steigung der Geraden. Ist m > 0, so verläuft die Gerade aufwärts, für m < 0 abwärts. Ist die Steigung m = 0 so verläuft die Gerade waagrecht. b ist der y-achsenabschnitt, dies entspricht der Höhe des Schnittpunktes mit der y-achse. Die Steigung einer Geraden ist das Verhältnis aus senkrecht zurückgelegter Strecke zur Waagrecht zurückgelegten Strecke bei einem Steigungsdreieck. Steigung = senkrechte Strecke waagrechte Strecke Um ein Steigungsdreieck zu zeichnen, wählt man sich zwei Punkte auf der Geraden und verbindet diese durch eine waagrechte und eine senkrechte Stecke. Sind zwei Punkte P und Q gegeben, so berechnet man die Steigung einer Geraden mit der folgenden Formel: m = y P y Q x P x Q

16 Funktionen. Zeichnen von Geraden Um eine Gerade zu zeichen führt man die folgenden Schritte durch:. Markiere den y-achsenabschnitt im Koordinatensystem.. Gehe von dieser markierten Stelle aus die Zahl des Nenners (ist die Steigung eine ganze Zahl, so steht im Nenner eine ) der Steigung nach rechts und danach die Zahl des Zählers nach oben (positive Steigung) oder nach unten (negative Steigung) und markiere diesen Punkt. 3. Zeichne eine Gerade durch die beiden Punkte Beispiel: Zeichne die Geraden g : y = x +, 5 und h : y = 3x in ein Koordinatensystem ein. 3 y y = 3 x x 3 3 y = x +, 5 Herangehensweise beim Zeichnen: Für die gerade g : y = x +, 5:. Zunächst liest man den y-achsenabschnitt der Geraden ab, dieser ist bei P (0, 5).. Nun geht es an das Zeichnen des Steigungsdreiecks. Die Steigung ist eine ganze Zahl, weshalb man eine Längeneinheit nach rechts zeichnet. Die Steigung ist negativ, also zeichnet man Längeneinheiten nach unten und erhält den zweiten Punkt Q( 0, 5). 3. Zuletzt zeichnet man eine Gerade durch die beiden Punkte. Für die gerade h : y = 3 x :. Zunächst liest man den y-achsenabschnitt der Geraden ab, dieser ist bei P (0 ).. Nun geht es an das Zeichnen des Steigungsdreiecks. Zuerst zeichnet man die eine Strecke der Länge 3 (Zahl im Nenner) nach rechts und nach eine Strecke der Länge nach oben (Zahl im Zähler). Damit erhält man den zweiten Punkt Q(3 0). 3. Zuletzt zeichnet man eine Gerade durch die beiden Punkte.

17 Funktionen.3 Bestimmen von Geradengleichungen Es gibt zwei verschiedene Aufgabenstellungen bei welchen man Geradengleichungen bestimmen muss:. Gegeben sind zwei Punkte P und Q und man soll eine Gerade angeben, welche durch die beiden Punkte verläuft.. Gegeben ist die Steigung und ein Punkt P welcher auf der Geraden liegt und es soll eine Gerade angegeben werden, welche die angegebene Steigung besitzt und durch den Punkt verläuft..3. Fall : zwei Punkte sind gegeben Schritte zum bestimmen einer Geradengleichung bei zwei gegebenen Punkten:. Schreibe zunächst die allgemeine Geradengleichung auf.. Berechne die Steigung der Geraden. Für diese gilt: m = y P y Q x P x Q 3. Setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein. Löse die erhaltene Gleichung nach b auf. 4. Gib die Gerade mit den eingesetzten Werten für m und b an. Beispiel: Gib die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte P ( ) und Q( 5) verläuft.. Die allgemeine Geradengleichung lautet: y = m x + b.. Die Steigung kann man mit der angegebenen Formel bestimmen: m = y P y Q x P x Q = 5 = 3 3 = 3. Nun wird die Steigung und z.b. der Punkt P ( ) in die Geradengleichung eingesetzt: y = m x + b = ( ) + b = + b 3 = b 4. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet: y = x

18 Funktionen.3. Fall : ein Punkt und Steigung gegeben Schritte zum bestimmen einer Geradengleichung bei gegebenem Punkt und gegebener Steigung:. Schreibe zunächst die allgemeine Geradengleichung auf.. Setze die Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein. Löse die erhaltene Gleichung nach b auf. 3. Gib die Gerade mit den eingesetzten Werten für m und b an. Es kann auch sein, dass die Angabe der Steigung versteckt ist, in einer Formulierung der Form: Gib eine Gleichung der Geraden g an, die zur Geraden h parallel ist und durch den Punkt P verläuft Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die selbe Steigung besitzen. Beispiel: Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P ( 3) verläuft und die Steigung m = 4 besitzt.. Die allgemeine Geradengleichung lautet: y = m x + b.. Nun wird die Steigung und der Punkt P ( 3) in die Geradengleichung eingesetzt: y = m x + b 3 = 4 + b 3 = 4 + b = b 3. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet: y = 4 x. Beispiel: Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P ( ) verläuft und Parallel zur Geraden h : y = x + ist.. Die allgemeine Geradengleichung lautet: y = m x + b.. Aus der anderen Geradengleichung liest man die Steigung ab: m = 3. Nun wird die Steigung und der Punkt P ( ) in die Geradengleichung eingesetzt: y = m x + b = ( ) + b = 4 + b 5 = b 4. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet: y = x

19 Funktionen.4 Parabeln Parabeln sind Funktionsgleichungen in denen ein Term x auftritt. Eigenschaften von Parabeln: Parabeln sind entweder nach oben, oder nach unten geöffnet. Man nennt den höchsten, bzw. den Tiefsten Punkt einer Parabel den Scheitelpunkt der Parabel..4. Parabeln der Form y = a x Eine Parabel der Form y = a x (a steht hierbei für eine beliebige Zahl) besitzt die folgenden Eigenschaften: Eine Parabel mit a = oder a = nennt man die Normalparabel Ist a > 0 so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0 so ist die Parabel nach unten geöffnet. Eine Parabel y = a x ist steiler (bzw. flacher) als die Parabel y = a x, wenn a > a ist (bzw. a < a ). Der Scheitel dieser Parabel ist immer Bei S(0 0). Beispiel: In dem folgenden Schaubildern sind verschiedene Parabeln der Form y = a x eingezeichnet y 6 5 y = x y = x 4 y = 4 x x 5

20 Funktionen y x y = 3 6 x y =, 5 x y = x.4. Parabeln der Form y = ax + c Eine Parabel der Form y = ax + c (a und c stehen hierbei für beliebige Zahlen) besitzt die folgenden Eigenschaften: Parabeln dieser Form besitzen, bis auf den Scheitel, die Selben Eigenschaften, wie die aus dem Abschnitt zuvor. Die Zahl c verschiebt die Parabel nach oben (für c > 0), bzw. nach unten (für c < 0). Der Scheitel dieser Parabel ist bei S(0 c). Beispiel: In dem folgenden Schaubildern sind verschiedene Parabeln der Form y = a x + c eingezeichnet: y 4 y = x 3 0 x y = x y = x + 3 6

21 Funktionen.4.3 Parabeln der Form y = (x d) + c Eine Parabel der Form y = (x d) + c (d und c stehen hierbei für beliebige Zahlen) besitzt die folgenden Eigenschaften: Es handelt sich hierbei um eine verschobene Normalparabel. Die Zahl c verschiebt die Parabel nach oben (für c > 0), bzw. nach unten (für c < 0). Die Zahl d verschiebt die Parabel in x-richtung. Für d > 0 wird die Parabel nach rechts, für d < 0 wird die Parabel nach links verschoben Der Scheitel dieser Parabel ist bei S(d c). Man nennt diese Form der Parabel die Scheitelpunktform einer Parabel. Hier kann der Scheitel einer Parabel direkt abgelesen werden Beispiel: In dem folgenden Schaubildern sind verschiedene Parabeln der Form y = a x + c eingezeichnet: y 6 y = (x + ) y = (x ) 4 y = (x 3) x

22 Funktionen An den Gleichungen der Parabeln kann man die Scheitelpunkte ablesen, hierzu muss man diese eventuell umformen, dass ein Minuszeichen in der Klammer steht. Bei der Parabel mit der Gleichung y = (x ) 4 kann man den Scheitel direkt ablesen, da in der Klammer schon ein Minuszeichen steht. Der Scheitel befindet sich bei S( 4). Bei der Parabel mit der Gleichung y = (x 3) + kann man den Scheitel ebenfalls direkt ablesen, da in der Klammer schon ein Minuszeichen steht. Der Scheitel befindet sich bei S(3 ). Die Parabel y = (x+) muss man zunächst umformen um den Scheitel ablesen zu können: y = (x + ) y = (x ( )) Der Scheitel dieser Parabel liegt bei S( ) Man kann sich merken: Steht in der Klammer ein Plus, so ist der x-wert des Scheitels negativ. Steht ein Minus, so ist der x-wert des Scheitels positiv..4.4 Die allgemeine Parabel y = x + px + q Bei allgemeinen Parabeln ist es von interesse den Scheitel dieser Parabel zu bestimmen, hierzu führt man eine quadratische Eränzung durch um die Parabel auf die Scheitelpunktform zu bringen. Unter quadratischer Ergänzung versteht man den, dass man den Term der Parabel so umformt, dass man einen Teil davon mit einer Binomischen Formel zusammenfassen kann. Schritte um eine Parabel auf die Scheitelpunktform zu bringen:. Teile die Zahl p vor dem x durch und quadriere dann das erhaltene Ergebnis. Lautet die Gleichung der Parabel y = x 6x +, so ist p = 6, teilt man nun durch zwei und quadriert, erhält man 9. Addiere diese Zahl zur Parabel hinzu und ziehe sie gleich wieder ab, dadurch verändert man nicht den Funktionsterm. Fass an dieser Stelle die Zahlen noch nicht zusammen. In dem Beispiel würde dann die Parabelgleichung folgendermaßen lauten: y = x 6x Vertausche den y-achsenabschnitt mit der positiv hinzuaddierten Zahl: Am Beispiel ist klar, was gemeint ist: y = x 6x Die ersten drei Summanden können nun mit einer Binomischen Formel zusammengefasst werden: y = (x 3) + 9. Hierbei steht in der Klammer x minus die Zahl p durch zwei geteilt. 5. Fasse die Zahlen Außerhalb der Klammer zusammen. Die Parabel liegt dann in der Scheitelpunktform vor: y = (x 3) 7 Beispiel: Bestimme den Scheitel der Parabel y = x 3x + 3. Zunächst wird die Zahl p = 3 durch geteilt p =, 5, dies ist die Zahl bei der Binomischen Formel in der Klammer. Das Quadrat von p wird zum Funktionsterm hinzugezählt und gleich wieder abgezogen: y = x 3x + 3 +, 5, 5. Umsortieren ergibt: y = x 3x +, 5 + 3, 5, somit kann man wieder die Binomische Formel anwenden, und erhält: y = (x, 5) 0, 75. Der Scheitel dieser Parabel liegt bei S(, 5 0, 75). 8

23 Funktionen Der Scheitel einer Parabel y = x + px + q liegt bei ( p ( S p ) ) q Die Parabel lautet in der Scheitelpunktform: y = ( x + p ) ( p + q ) Beispiel: Man bringt die Parabel y = x + px + q mittels quadratischer Ergänzung auf die Scheitelpunktform:. Man teilt die Zahl p durch und quadriert das Ergebnis dann: ( p. Diese Zahl wird zur Parabelgleichung hinzuaddiert und gleich wieder Abgezogen: y = x + px + q + ( p ) ( p ). 3. Vertauschen der Summanden: y = x + px + ( p ) + q ( p ). 4. Zusammenfassen mit der Binomischen Formel: y = ( x + p ) + q ( p )..5 Bestimmen von Parabelgleichungen Es gibt drei verschiedene Aufgabenstellungen bei welchen man Parabelgleichungen bestimmen muss:. Gegeben ist der Scheitel der Parabel und es soll eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem angegebenen Scheitel bestimmt werden.. Gegeben sind zwei Punkte P und Q welche auf einer Parabel y = x + px + q liegen und es soll die Parabel dieser Form angegeben werden, auf welcher die beiden Punkte liegen. 3. Gegeben sind die beiden Nullstellen N und N der Parabel und es soll eine Parabel der Form y = x + px + q angegeben werden, welche die beiden Nullstellen besitzt..5. Fall : der Scheitelpunkt ist gegeben ) Ist der Scheitelpunkt S(x S y S ) gegeben so verwendet man die Gleichung für die Scheitelform um die Parabel anzugeben. Die Gleichung der gesuchten Parabel lautet dann: y = (x x S ) + y S Nach angeben der Scheitelform erhält man die Normalenform durch ausmultiplizieren. Bei solchen Aufgabenstellungen werden nur nach oben geöffnete Normalparabeln auftreten. Beispiel: Geben Sie die Parabelgleichung in der Normalenform einer nach oben geöffneten Normalparabel mit dem Scheitel S( 3) an. Aus der Scheitelform erhält man: y = (x x S ) + y S y = (x ) + 3 9

24 Funktionen Multipliziert man dies aus, erhält man die Normalenform: y = (x ) + 3 y = x x y = x x + 4 Die Normalenform der Gesuchten Parabel lautet: y = x x Fall : zwei Punkte sind gegeben Bestimmen der Parabelgleichung bei zwei gegebenen Punkten P (x P y P ) und Q(x Q y Q ):. Schreibe die Parabelgleichung in der Normalenform auf: y = x + px + q.. Setze nacheinander die beiden angegebenen Punkte in diese Parabelgleichung ein, indem man für x den x-wert des Punktes hinschreibt und y den y-wert dieses Punktes. Man erhält somit zwei Gleichungen für die Werte p und q. 3. Löse das so erhaltene Gleichungssystem für die Variablen p und q. 4. Schreibe die Parabelgleichung mit den eingesetzten Werten auf. Beispiel: Gib die Gleichung der Parabel an, die durch die Punkte P ( ) und Q( 3) verläuft.. Die allgemeine Gleichung einer Parabel in der Normalenform lautet y = x + px + q.. Nun setzt man nacheinander die Punkte P und Q in die allgemeine Gleichun ein: Der Punkt P : Der Punkt Q: y = x + px + q = + p + q = + p + q = p + q y = x + px + q 3 = + p + q 3 = 4 + p + q = p + q 3. Es wird nun das Gleichungssystem mittels einsetzungsverfahren gelöst: Hierzu wird die erste Gleichung nach z.b. p umgeformt: = p + q p = q Dies setzt man in die zweite Gleichung ein und Löst diese dann nach q auf: = p + q = ( q) + q = q + q 3 = q 3 = q 0

25 Funktionen um einen Wert für p zu erhalten setzt man den Wert von q in die vorherige Gleichung ein: p = q p = 3 = 4. Die Gleichung der Gesuchten Parabel lautet y = x x Fall 3: zwei Nullstellen sind gegeben Bestimmen der Parabelgleichung bei zwei gegebenen Nullstellen N (x 0) und N (x 0): Variante a: Gehe vor wie bei zwei Punkte gegeben aus dem vorherigen Abschnitt. Variante b: Der x-wert des Scheitelpunktes einer Parabel liegt immer genau in der Mitte zwischen den x-werten der Nullstellen:. Um die Mitte der x-werte der Nullstellen zu berechnen zähle die beiden x-werte der Nullstellen zusammen und teile das Ergebnis durch (Es gilt also x S = x +x ). Dies ist der x-wert des Scheitelpunkts.. Schreibe die allgemeine Scheitelpunktform auf: y = (x x S ) + y S. 3. Setze den ermittelten x-wert des Scheitels und eine Nullstelle in die allgemeine Scheitelpunktform ein und bestimme aus dieser Gleichung den y-wert des Scheitels. 4. Setze den x und den y-wert in die allgemeine Scheitelpunktform ein, dies ist die gesuchte Parabel. Variante c: Sind die beiden Nullstellen der Parabel bekannt, so kann diese in der Produktform der Nullstellen angegeben werden. Für die Gleichung der Parabel gilt dann: y = (x x ) (x x ) Wobei x und x die x-werte der Nullstellen sind. Ausmultiplizieren liefert die Normalengleichung der gesuchten Parabel. Beispiel: Das Schaubild zeigt einen Ausschnitt einer verschobenen Normalparabel p. y x p 3 4 5

26 Funktionen Geben Sie die Gleichung der Normalparabel p. Aus der Zeichnung entnimmt man die beiden Nullstellen N ( 0) und N (4 0).. Der x-wert des Scheitels liegt bei x S = +4 = =. Die allgemeine Scheitelpunktform lautet: y = (x x S ) + y S. 3. Nun setzt man den x-wert des Scheitels und eine Nullstelle in die allgemeine Scheitelpunktform ein um den y-wert des Scheitels zu bestimmen: y = (x x S ) + y S 0 = ( ) + y S 0 = ( 3) + y S 0 = 9 + y S 9 = y S 4. Die Gleichung der Gesuchten Parabel lautet: y = (x ) 9. Ausmultiplizieren liefert die Normalenform: y = x x 8. Lösung mit der Variante c: Man entnimmt aus der Zeichnung die beiden Nullstellen N ( 0) und N (4 0). Damit Lautet die Gleichung der gesuchten Parabel in der Produktform: y = (x x ) (x x ) y = (x ( )) (x 4) y = (x + ) (x 4) Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Parabel in der Normalenform: y = (x + ) (x 4) y = x + x 4x 8 y = x x 8 Die Gleichung der gesuchten Parabel lautet in der Normalenform: y = x x 8.

27 Funktionen.6 Untersuchung von Funktionen Man kann Funktionen auf besondere Punkte untersuchen. Unter Besondere Punkte versteht man Schnittpunkte der Schaubilder von Funktion mit der x, bzw. y-achse und Schnittpunkte der Schaubilder zweier Funktionen miteinander. Man sagt zwei Schaubilder zweier Funktionen schneiden sich, wenn ein Punkt im Koordinatensystem auf beiden Schaubildern liegt..6. Schnittpunkte mit der x, bzw. y-achse Den Schnittpunkt mit der y-achse bestimmt man, indem man für x in die Geraden, oder Parabelgleichung 0 einsetzt. Man nennt diesen Schnittpunkt auch den y-achsenabschnitt. Diese Schnittpunkte haben die Form P (0 c) wobei c eine Zahl ist. Schnittpunkte mit der x-achse bestimmt man, indem man für y in die Geraden, oder Parabelgleichung 0 einsetzt und die entstandene Gleichung löst. Man nennt diese Schnittpunkte auch die Nullstellen der Funktion, diese haben die Form N(x 0)m wobei x eine Zahl ist. Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Geraden g : y = x 3 mit der x und der y-achse. Schnittpunkte mit der y-achse: setze hierzu für x null in die Geradengleichung ein: y = x 3 y = 0 3 y = 3 Der Schnittpunkt mit der y-achse lautet: S y (0 3). Schnittpunkte mit der x-achse: Hierzu setzt man für y null ein und löst die erhaltene Gleichung nach x auf: y = x 3 0 = x 3 3 = x 3 = x Der Schnittpunkt mit der x-achse lautet: S y ( 3 0). 3

28 Funktionen Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: 3 y y = x 3 S x x 3 S y Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Parabel p : y = x 4x + 3 mit der x und der y-achse. Schnittpunkte mit der y-achse: setze hierzu für x null in die Parabelgleichung ein: y = x 4x + 3 y = y = 3 Der Schnittpunkt mit der y-achse lautet: S y (0 3). Schnittpunkte mit der x-achse: Hierzu setzt man für y null ein und löst die erhaltene Gleichung nach x auf: y = x 4x = x 4x + 3 Die erhaltene Gleichung kann man mit der p-q-formel lösen: 0 = x 4x + 3 ( 4 x ; = 4 ) ± 3 x ; = ± 3 x ; = ± x ; = ± x = 3 x = Die Nullstellen lauten: N ( 0) und N (3 0). 4

29 Funktionen Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: y 5 y = x 4x S y 3 0 N N x 5

30 Funktionen.6. Schnittpunkt zweier Geraden Schritte zum Bestimmen des Schnittpunktes zweier Geraden: Variante a: Gleichsetzen der Geradengleichungen.. Setze die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich.. Löse die erhaltene Gleichung nach x auf. Dies ist der x-wert des Schnittpunktes. 3. Setze diesen x-wert in eine der beiden Geradengleichungen ein, um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Variante b: Fasse die beiden Gleichungen als ein Lineares Gleichungssystem auf und Löse dieses Gleichungssystem wie in. beschrieben. Zwei Geraden können sich entweder schneiden, sind parallel oder identisch. Diese drei Fälle sind in..4 und..5 beschrieben. Beispiel: Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g : y = x und h : y = 4 x Zunächst setzt man die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich: x = 4 x + 8. Löse die erhaltene Gleichung nach x auf: Der x-wert des Schnittpunktes ist x S = 4 x = 4 x + 9 x + 4 x = x + 4 x = x = 9 x = x = 4 3. Diesen Setzt man in eine der beiden Geraden ein, z.b. in g: Der Schnittpunkt Lautet S(4 7). g : y = x y = 4 y = 7 Graphisch ist der Schnittpunkt der Punkt im Koordinatensystem, in welchem sich die beiden Schaubilder schneiden. Für ein entsprechendes Bild siehe Abschnitt..5. 6

31 Funktionen.6.3 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel Schritte zum Bestimmen der Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel:. Setze die rechten Seiten der Geradengleichung und der Parabelgleichung gleich.. Löse die erhaltene Gleichung mithilfe der p-q-formel. Dies ergibt die x-werte der Schnittpunkte. 3. Setze diese x-werte in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Am besten verwendet man hier die Geradengleichung, da dies einfacher auszurechnen ist. Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Geraden g : y = x + mit der Parabel p : y = x x.. Zunächst setzt man jeweils die rechten Seiten der Gleichungen gleich:. Wir lösen die erhaltene Gleichung: x + = x x 0 = x x + x 0 = x + x 0 = x + x x ; = ± ( ) ( ) x ; = ± 4 + x ; = ± x ; = ± 9 4 x ; = ± 3 x = x = 3. Nun setzt man die x-werte in die Geradengleichung ein um die Schnittpunkte zu erhalten: Für x : g : y = x + y = + y = Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y =. 7

32 Funktionen Für x : g : y = x + y = ( ) + y = 4 + y = 5 Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y = Die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden lauten S ( ) und S ( 5). Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: 6 y S y = x x S x y = x + 8

33 Funktionen.6.4 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel - Schnittsituationen Untersucht man eine Gerade und eine Parabel auf Schnittpunkte, so gibt es drei möglich Lagen:. Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.. Die Parabel und die Gerade schneiden sich in einem Punkt, man sagt auch die Parabel und die Gerade berühren sich. 3. Die Parabel und die Gerade scheiden sich in keinem Punkt. Fall : zwei Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung zwei Ergebnisse für x liefert, dies entspricht der Situation aus dem Abschnitt zuvor. Beispiel: Die Gerade g : y = x + und die Parabel p : y = x x schneiden sich in zwei Punkten. 6 y S y = x x S x y = x + 9

34 Funktionen Fall : ein Schnittpunkt Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung ein Ergebnis für x liefert, dies ist also der Fall, wenn unter der Wurzel der p-q-formel eine 0 steht. Beispiel: Die Gerade g : y = x und die Parabel p : y = x x schneiden sich in einem Punkt:Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x = x x 0 = x x x + 0 = x x + ( x ; = ) ± x ; = ± ( ) x = ± 0 = Damit schneiden sich die Gerade und die Parabel in einem Punkt. Der y-wert dieses Punktes muss noch bestimmt werden: y = x y = y = D.h. die Gerade und die Parabel schneiden sich im Punkt S( ). Graphisch bedeutet dies: y y = x x y = x S x 30

35 Funktionen Fall 3: keine Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung kein Ergebnis für x liefert, dies ist also der Fall, wenn unter der Wurzel der p-q-formel eine negative Zahl steht (da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann). Beispiel: Die Gerade g : y = x + und die Parabel p : y = x x + schneiden sich in keinem Punkt: Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x + = x x + 0 = x x + + x 0 = x + x ; = 0 ± (0 ) x ; = 0 ± (0) x = 0 ± Aus negative Zahlen kann man keine Wurzel ziehen, somit schneiden sich die Gerade und die Parabel nicht. Graphisch bedeutet dies: y 6 y = x x x y = x + 3

36 Funktionen.6.5 Schnittpunkte zweier Parabeln Schritte zum Bestimmen der Schnittpunkte zweier Parabeln:. Setze die rechten Seiten der Parabelgleichungen gleich.. Löse die erhaltene Gleichung mithilfe der p-q-formel. Dies ergibt die x-werte der Schnittpunkte. 3. Setze diese x-werte in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln p : y = x +4x und p : y = x 4x+4.. Zunächst setzt man jeweils die rechten Seiten der Gleichungen gleich: x + 4x = x 4x = x 4x x 4x + 0 = x 8x + 6. Wir lösen die erhaltene Gleichung (zunächst muss man diese durch teilen): 0 = x 8x = x 4x + 3 ( 4 x ; = 4 ) ± 3 x ; = ± ( ) 3 x ; = ± 4 3 x ; = ± x ; = ± x = 3 x = 3. Nun setzt man die x-werte in die eine der Parabelgleichungen ein um die y-werte der Schnittpunkte zu erhalten: Für x : p : y = x + 4x y = y = 9 + = Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y =. Für x : p : y = x + 4x y = + 4 y = + 4 = Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y =. 3

37 Funktionen 4. Die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden lauten S ( ) und S (3 ). Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: 4 y y = x 4x S S x y = x + 4x.6.6 Schnittpunkte zweier Parabeln - Schnittsituationen Untersucht zwei Parabeln auf Schnittpunkte, so gibt es drei möglich Lagen:. Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.. Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt, oder berühren sich in einem Punkt 3. Die Parabeln sich in keinem Punkt. Fall : zwei Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Parabelgleichungen diese Gleichung zwei Ergebnisse für x liefert, dies entspricht der Situation aus dem Abschnitt zuvor. Beispiel: Die Parabeln p : y = x + 4x und p : y = x 4x + 4. schneiden sich in zwei Punkten (siehe vorheriger Abschnitt) Fall : ein Schnittpunkt Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Parabelgleichungen diese Gleichung ein Ergebnis für x liefert, dies ist der Fall, wenn nach Gleichsetzen der x Term wegfällt. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x 4x + 4 schneiden sich in einem Punkt x x + = x 4x = x 4x + 4 x + x 0 = x = x, 5 = x 33

38 Funktionen Damit schneiden sich die beiden Parabeln in einem Punkt. Der y-wert dieses Punktes muss noch bestimmt werden: p : y = x x + y = (, 5), 5 + y =, y = 0, 5 D.h. die Parabeln schneiden sich im Punkt S(, 5 0, 5). Graphisch bedeutet dies: 3 y y = x 4x + 4 y = x x + S x Fall 3: ein Berührpunkt Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Parabelgleichungen diese Gleichung ein Ergebnis für x liefert, dies ist der Fall, wenn beim Lösen der Gleichung unter der p-q-formel eine 0 steht. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x + 4x 3, 5 berühren sich in einem Punkt. x x + = x + 4x 3, 5 0 = x + 4x 3, 5 x + x 0 = x + 6x 4, 5 0 = x 3x +, 5 (3 x ; = 3 ) ±, 5 x ; =, 5 ± (, 5), 5 x ; =, 5 ±, 5, 5 x ; =, 5 ± 0 x =, 5 Damit berühren sich die beiden Parabeln in einem Punkt. Der y-wert dieses Punktes muss noch bestimmt werden: p : y = x x + y = (, 5), 5 + y =, y = 0, 5 D.h. die Parabeln berühren sich im Punkt S(, 5 0, 5). Graphisch bedeutet dies: 34

39 Funktionen y 3 y = x x + S 0 x 0 y = x + 4x 3, 5 3 Zwei Parabeln: können sich in einem Punkt schneiden, wenn beide nach oben geöffnet sind. (Wenn also bei beiden vor dem x eine positive Zahl steht) können sich in einem Punkt berühren, wenn eine Parabel nach oben und eine Parabel nach unten geöffnet ist. (Wenn also vor bei einer vor x eine positive und bei der anderen vor x eine negative Zahl steht) Fall 4: keine Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung kein Ergebnis für x liefert, dies ist also der Fall, wenn unter der Wurzel der p-q-formel eine negative Zahl steht (da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann), oder wenn nach Gleichsetzen und auflösen der Gleichung eine falsche Aussage entsteht, z.b. = 7. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x + 4x 3 schneiden sich in keinem Punkt: Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x x + = x + 4x 3 0 = x + 4x 3 x + x 0 = x + 6x 5 0 = x 3x +, 5 (3 x ; = 3 ) ±, 5 x ; =, 5 ± (, 5), 5 x ; =, 5 ±, 5, 5 x ; =, 5 ± 0, 5 35

40 Funktionen Aus negative Zahlen kann man keine Wurzel ziehen, somit schneiden sich die Parabeln nicht. Graphisch bedeutet dies: 3 y y = x x + 0 x 0 y = x + 4x 3 3 Beispiel: Die Parabeln p : y = x x und p : y = x x schneiden sich in keinem Punkt: Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x x = x x 0 = x x x + x 0 = 3 Dies ist eine falsche Aussage, somit schneiden sich die Parabeln nicht. Graphisch bedeutet dies: y 3 y = x x 0 0 x y = x x 3 36

41 Funktionen.7 Berühren zweier Schaubilder.7. Fall : eine Gerade berührt eine Parabel Eine Gerade g soll so verschoben werden, dass diese eine Parabel in einem Punkt berührt. Schritte zum bestimmen der neuen Geradengleichung:. Füge am Ende der Geradengleichung noch einen Term +d an.. Setze die Geradengleichung und die Parabelgleichung gleich und Löse die Gleichung so weit wie möglich auf. 3. Unter der Wurzel der p-q-formel steht ein Term, in dem d enthalten ist. Setze diesen Term gleich 0 und Löse diese Gleichung nach d auf. 4. Setze das Ergebnis in die Gerade aus Punkt. ein. Man nennt die verschobene Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt auch die Tangente an die Parabel in diesem Punkt. Beispiel: Die Gerade g : y = x 3 und p : y = x + 4x + schneiden sich in keinem Punkt. Verschiebe die erste Parabel so, dass sich die beiden Parabeln berühren.. Zunächst fügt man am Ende der Geradengleichung noch einen Term +d an. y = x 3 + d. Nun setzt man die Geraden-und die Parabelgleichung gleich und löst die Gleichung so weit wie möglich auf: x 3 + d = x + 4x + 0 = x + 4x + x + 3 d 0 = x + x + 4 d x ; = ± ( ) 4 + d x ; = ± 4 + d x ; =, 5 ± 4 + d x ; =, 5 ± 3 + d 3. Nun setzt man den Term unter der Wurzel 0: 0 = 3 + d 3 = d 4. Somit lautet die Gleichung der verschobenen Geraden: g : y = x 37

42 Funktionen.7. Fall : Bestimmen der Tangente in einem Punkt Es soll eine Gerade bestimmt werden, welche die Parabel in einem Punkt P (der auf der Parabel liegt) berührt. Schritte zum bestimmen der Tangenten:. Schreibe die allgemeine Geradengleichung auf.. Setze den Gegebenen Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein und löse diese nach dem y-achsenabschnitt b auf. Setze diesen wieder in die allgemeine Geradengleichung ein. (Die Geradengleichung hängt nun nur noch von der Steigung m ab. 3. Setze die Geradengleichung und die Parabelgleichung gleich und Löse die Gleichung so weit wie möglich auf. 4. Unter der Wurzel der p-q-formel steht ein Term, in dem m enthalten ist. Setze diesen Term gleich 0 und Löse diese Gleichung nach m auf. 5. Setze das Ergebnis in die Gerade aus Punkt. ein. Beispiel: Bestimme die Tangente an die Parabel p : y = x x + im Punkt ( ).. Die allgemeine Geradengleichung lautet y = m x + b. Nun setzt man den gegebenen Punkt in die Gerade ein und bestimmt den y-achsenabschnitt in abhängigkeit von m: m = b y = m x + b = m + b Dies setzt man nun wieder in die Geradengleichung ein: y = m x + b y = m x + m 3. Nun setzt man die Geraden-und die Parabelgleichung gleich und löst die so erhaltene neue Gleichung so weit wie möglich auf: x x + = mx + b x x + mx + m = 0 x x mx + m = 0 An dieser Stelle muss man ausklammern, damit die p-q-formel angewandt werden kann: x x mx + m = 0 x ( + m)x + m = 0 ( ( ) ( + m) + m) x ; = ± m ( + m) ( + m) x ; = ± m 4 38

43 Funktionen 4. Nun setzt man den Term unter der Wurzel gleich 0: 0 = ( + m) 4 m Man multipliziert mit 4 damit in der Gleichung kein Bruch mehr enthalten ist: 0 = ( + m) 8m 0 = 4 + 4m + m 8m 0 = m 4m + 4 ( 4 m ; = 4 ) ± 4 m ; = ± 4 m ; = ± 4 4 m ; = ± 0 m ; = ± 0 m = Somit hat man bestimmt, dass die steigung der Geraden 0 sein muss. 5. Nun setzt man das Ergebnis in die Geradengleichung ein, welche nur noch von m abhängt: y = m x + m y = x + y = x 3 Die Gleichung der Tangenten in dem Punkt ( ) an die Parabel p lautet somit y = x 3. 39

44 Funktionen.7.3 Fall 3: zwei Parabeln berühren sich. Eine Parabel p soll so verschoben werden, dass sie eine andere Parabel in einem Punkt berührt (dies funktioniert nur, wenn eine Parabel nach oben und eine Parabel nach unten geöffnet ist). Schritte zum bestimmen der neuen Parabel:. Füge am Ende der Parabelgleichung der zu verschiebenden Parabel noch einen Term +d an.. Setze die beiden Parabelterme gleich und Löse die Gleichung so weit wie möglich auf. 3. Unter der Wurzel der p-q-formel steht ein Term, in dem d enthalten ist. Setze diesen Term gleich 0 und Löse diese Gleichung nach d auf. 4. Setze das Ergebnis in die Parabel aus Punkt. ein. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x + 4x 3 schneiden sich in keinem Punkt. Verschiebe die erste Parabel so, dass sich die beiden Parabeln berühren.. Zunächst fügt man am Ende der ersten Parabelgleichung noch einen Term +d an. y = x x + + d. Nun setzt man die beiden Parabelterme gleich und löst die Gleichung so weit wie möglich auf: x x + + d = x + 4x 3 x x + + d + x 4x + 3 = 0 x 6x d = 0 x 3x +, 5 + 0, 5d = 0 ( 3 x ; = 3 ) ±, 5 0, 5d x ; =, 5 ± (, 5), 5 0, 5d x ; =, 5 ±, 5, 5 0, 5d x ; =, 5 ± 0, 5 0, 5d 3. Nun setzt man den Term unter der Wurzel 0: 0 = 0, 5 0, 5d 0, 5 = 0, 5d 0, 5 = d 4. Somit lautet die Gleichung der verschobenen Parabel: p 3 : y = x x +, 5 40

45 Funktionen.8 Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem Gegeben sind zwei Punkte P und Q im Koordinatensystem, gesucht ist der Abstand dieser beiden Punkte zueinander. Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass für den Abstand dieser beiden Punkte zueinander gilt: d = (x P x Q ) + (y P y Q ) Dies folgt graphisch aus: y Q 0 0 P 3 x Beispiel: Bestimme den Abstand der Punkte P ( ) und Q(3 5) zueinander. Nach der angegeben Formel gilt: d = ( 3) + ( 5) d = ( 5) + ( 3) d = d = 34 5, 83 Der Abstand der beiden Punkte zueinander beträgt ungefähr 5, 83 LE. Beispiel: Bestimme den Abstand der Schnittpunkte der Gerade g : y = x + mit der Parabel p : y = x x zueinander. Im Abschnitt zuvor haben wir bereits die Schnittpunkte berechnet, diese sind: S ( ) und S ( 5). Damit folgt für den Abstand der beiden Schnittpunkte zueinander: d = ( ( )) + ( 5) d = (3) + ( 6) d = d = 45 6, 7 Der Abstand der beiden Schnittpunkte zueinander beträgt ungefähr 6, 7 LE. 4

46 3 Prozentrechnung Ein Prozent (man schreibt hierfür %) entspricht einem Hundertstel ( 00) von einem Ganzen. p Prozent (man schreibt hierfür p %) entspricht p Hundertstel ( p 00) von einem Ganzen. 3. Grundlagen Die Prozentrechnung spielt beim Berechnen von Zinsen und im Alltag eine wichtige Rolle. Der Prozentsatz p % gibt einen Anteil von einem Grundwert G an. Die errechnete Zahl nennt man den Prozentwert W Für die Formel zum Berechnen des Prozentwertes gilt: W = p 00 G Für die Formel zum Berechnen des Grundwertes gilt: G = 00 p W Für die Formel zum Berechnen des Prozentsatzes gilt: p = W G 00 Beispiele: 30 % von 300 kg = kg = 390 kg. Herr W. hatt 0 % Körpergewicht zugenommen, dies entspricht einer Gewichtszunahme von 9 kg, wie schwer war er zuvor? Hier möchte man den Grundwert berechnen, dazu verwendet man die entsprechende Formel und erhält: Sein Ausgangsgewicht betrug 90 kg. G = 00 p W G = kg G = 0 9 kg G = 90 kg 4

47 3 Prozentrechnung Ein Kapital wächst von 830 auf 50 an. Um wieviel Prozent ist dies angewachsen? Hier ist der Prozentsatz gesucht, zunächst berechnet man um wie viel das Kapital zugenommen hat. Dies entspricht: = 40, damit lässt sich nun der Prozentsatz berechnen: 3. Prozentuale Zunahme p = W G 00 p = p 50, 6 % Eine Zunahme um p % bedeutet, dass zu dem Grundwert G ein Anteil von p % hinzukommt: G + p 00 G Ausklammern liefert: ( G + p ) 00 Man nennt die Zahl q = ( + 00) p den Prozentfaktor. Beispiel: Prognosen zufolge wird der Preis für ein Produkt im nächsten Jahr um 7 % steigen. Derzeit kostet der Artikel 36, wie viel kostet dieser Artikel nächstes Jahr? zunächst berechnet man den Prozentfaktor: Damit gilt für den neuen Preis: q = + p 00 q = q = + 0, 07 =, 07 36, 07 = 38, 5 Beispiel: Ein Kapital von 00 wächst um 0% an, berechne den neuen Wert des Kapitals = , 00 = 00 ( + 0, ) = 00, =

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