Name: Matrikelnummer: Ergänzungsprüfung January 29, 2016

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2 1. a) (5 Punkte) Löse das Gleichungssystem für (x, y, z) mit einer beliebigen Methode. A. 2x + 4y z =2 B. x + 2y 3z = 4 C. 3x y + z =1 2/30

3 b) (5 Punkte) Hat das folgende Gleichungssystem: a) keine Lösung; b) genau eine Lösung; c) unendlich viele Lösungen? Unterstütze die Antwort mit einem Graph. Falls es genau eine Lösung gibt, finde diese Lösung. Falls es unendlich viele Lösungen gibt, gebe eine spezifische Lösung an. A. 3y 21x =6 B. x + 7y =28 3/30

4 4/30

5 Solution: 1. a) Subtract 2 times equation B. from A. to get 5z = 10 or equivalently z = 2. Plug this into equations B. and C to get the following system of two equations and two unknowns: I. x + 2y =2 II. 3x y = 1 Now add 2 times II. to I. to get 7x = 0 or equivalently x = 0. Plugging this into I. gives y = 1. We may check that (x, y, z) = (0, 1, 2) satisfies all equations and is therefore our solution. b) We write the equations in familiar slope-intercept form A. y =7x + 2 B. y = 1 7 x + 4 which shows that the equations represent perpendicular lines as shown in Figure 1. They intersect at only one point ( 7, ), which is the unique solution to our linear system y = 7x + 2 y ( 7, ) y = 1 7 x Figure 1: The lines are perpendicular and intersect at ( 7, ) x 5/30

6 2. a) (5 Punkte) Eine quadratische Funktion hat die Formel ( y = 2 x + 1 ) (x ) 2 3 r, und nimmt den Wert y = 1 für x = 1 an. Gebe die Formel, in der Form y = c + bx + ax 2, von der Funktion an. Das Zeichen r sollte nicht in der Formel vorkommen. Zeichne den Graph der Funktion und gebe alle Nullstellen und die Koordinaten des Scheitelpunkts an. 6/30

7 7/30

8 b) (5 Punkte) Löse die folgende kubische Gleichung x 3 x 2 4x + 4 = 0 8/30

9 Solution: 2. a) We plug in the point (1, 1) into the equation that defines our function and solve for r. This yields r = 2/3. Expanding then gives To graph the function, we complete the square to get y = 2 ( x 3 ) y = 2 3 x x2 (0.1) Plotting is then just a matter of applying the transformations a) scale by 2/3 (blue in Figure 2 ) b) shift right by 3/4 (red) c) shift down by 25/24 (green, final) to the graph of x 2 (black). We can check that the resulting graph (green line) passes through the points ( 1/2, 0), (2, 0), and (1, 1). We also know that the vertex, or minimum in this case, must lie at (3/4, 25/24) since this is how much we have shifted the vertex of the graph of x 2 which lies at (0, 0) ( 1 2, 0) (2, 0) ( 3 4, ) Figure 2: Graph of y = 2 3 x x2 9/30

10 b) We write the equation in the form x(x 2 x 4) = 4 which shows that any integer solution must divide 4 exactly. Trying the divisors of 4 we see that 1 is a solution. Now we do polynomial division: x 2 4 x 1 ) x 3 x 2 4x + 4 x 3 + x 2 4x + 4 4x 4 Factoring, we get x 2 4 = (x + 2)(x 2) so our solution set is { 2, 1, 2}. 0 10/30

11 3. a) (5 Punkte) Abgebildet ist der Einheitskreis. Trage die gefragten Koordinaten, entsprechend des gegebenen Winkels, ein. (0, 1) (, ) (, ) 5π 6 π 4 ( 1, 0) (1, 0) 7π 6 11π 6 (, ) (, ) (0, 1) 11/30

12 12/30

13 b) (5 Punkte) Zeichne den Graph der Funktion y = 1 cos ( ( )) x + π 2 so, dass eine ganze Periode sichtbar ist. Gebe die Periode, alle Nullstellen, die Extremwerte und die x-koordinaten aller Extremwerte an. 13/30

14 Solution: 3. a) See Figure 3 b) Apply the transformations: a) scale vertically by 1/2 (blue in Figure 4); b) scale horizontally by 2 (red) c) shift left by π/2 (green) to the function cos(x) (black). The resulting function has maximum value 1/2 at points {(8k 1)π/2} k Z and minimum value -1/2 at points {(8k+3)π/2} k Z, zeros at points {(4k + 1)π/2} k Z, and period 4π. 14/30

15 Figure 3: The unit circle 1 Period: 4π ( π 2, 1 2 ) π 2 π 2 5π ( 3π 2, 1 2 ) Figure 4: Graph of y = 1 2 cos ( 1 2 ( )) x + π 2 15/30

16 4. a) (5 Punkte) Überprüfe ob der Grenzwert als reelle Zahl existiert. Wenn er existiert, finde den Grenzwert. Wenn er nicht als reelle Zahl existiert, bestimme ob der Grenzwert ± ist. (i) lim θ π 2 sin(θ) sec(θ) tan(θ) (ii) lim x 2 log 2 (x 5 ) ln(e ln(x) ) 16/30

17 b) (5 Punkte) Die Funktion f erfüllt die Gleichung Bestimme lim x 1 f(x). f(x) 8 lim x 1 x 1 = /30

18 Solution: 4. a) (i) We rewrite the function as follows cos(θ) sin(θ) ( sin(θ) cos(θ) ) = 1 and since the limit of a constant is the constant, the limit is one. (ii) We are being asked to take the limit of the product of two continuous functions. Therefore the limit is just the product of the two functions evaluated at x = 2. This gives b) We proceed as follows log 2 (2 5 ) ln(e ln(2) ) = 2 ln(2) lim f(x) = lim f(x) x 1 x 1 = lim(x 1) f(x) x 1 x 1 ( ) ( ) = lim (x 1) f(x) 8 lim x 1 x 1 x 1 = = 8 + lim x /30

19 5. Bestimme y. a) (3 Punkte) y = x cos 1 (x) b) (3 Punkte) y = ln(x ln(x)) 19/30

20 c) (4 Punkte) y = (x 2 +1) 4 (2x+1) 3 (3x 1) 5 20/30

21 Solution: 5. a) This just requires an application of the product rule, and the fact that d dx cos 1 (x) = 1 This yields y = cos 1 (x) x 1 x 2. 1 x 2. b) First applying the chain rule gives y = 1 d (x ln(x)), x ln(x) dx and then we can complete the differentiation by applying the product rule 1 d x ln(x) dx (x ln(x)) = 1 x ln(x) (1 + ln(x)) = 1 + ln(x) x ln(x). c) Theoretically, we could use the quotient rule here, but this will be quite messy. Rather, we use logarithmic differentiation, that is, we take the natural logarithm of both sides first to get ln(y) = 4 ln(x 2 + 1) 3 ln(2x + 1) 5 ln(3x 1). Now we differentiate both sides with respect to x, which gives y y = 8x x x x 1 so that y = ( (x 2 + 1) 4 8x (2x + 1) 3 (3x 1) 5 x x ). 3x 1 I would accept this answer as adequately simplified. 21/30

22 6. (10 Punkte) Eine Abenteurerin fährt mit dem Motorrad über eine Rampe mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s. Die Rampe entspricht dem Dreieck das in Figure 5 abgebildet ist. Wie schnell steigt die Abenteurerin als ihr Motorrad die Rampe verlässt? y = 4 x = 15 Figure 5: Dimensionen der Rampe 22/30

23 Solution: 6. We label the hypotenuse z and treat x and y as variables of time (t) which are equal to 15 and 4 respectively as the daredevil leaves the ramp. We observe that as long as the daredevil is on the dz dt = 30 y = 4 x = 15 Figure 6: Ramp ramp we have the relationship y z = y x2 + y = which follows from the Pyathagorean identity for triangles and an argument involving similar triangles. Multiplying through by z and differentiating with respect to t gives dy dt = 30 4 dz 241 dt = We conclude that the daredevil is rising at a speed of m/s as she leaves the ramp. 23/30

24 7. Integriere: a) (3 Punkte) 2 1 x5 ln(x)dx b) (3 Punkte) 1 0 x dx (2x+1) 3 24/30

25 c) (4 Punkte) 1+x 1 x dx Hinweis: Versuche erst Zähler und Nenner des Integranden mit 1 + x zu multiplizieren. 25/30

26 Solution: 7. a) We use integration by parts with u = ln(x), du = x 1 dx, dv = x 5 dx, and v = x 6 /6. Then 2 1 x 5 ln(x)dx = x6 6 ln(x) x=2 x=1 2 1 x 5 64 dx = 6 6 x6 36 b) We use the substitution u = 2x + 1, and du = 2dx. Then 1 0 x (2x + 1) dx = 1 3 u 1 du = u x=2 x=1 = 32 3 ln(2) 7 4 ( 1 u 1 ) du = 1 ( 1 2 u 3 4 u + 1 ) u=3 = 1 2u 2 u=1 18. c) Making use of the hint, we get 1 + x 1 x dx = 1 + x 1 + x dx = 1 x 1 + x 1 + x = 1 x 2 dx + 1 x 2 xdx 1 x 2 = sin 1 x 1 x 2 + c, where the evaluation of the last integral relies on the substitution u = x 2 1, and du = 2xdx. 26/30

27 8. (10 Punkte) Der folgende Integral beschreibt das Volumen eines dreidimensionalen Objektes. Beschreibe dieses Objekt. 1 1 π(1 x 2 )dx. 27/30

28 Solution: 8. We can write the integrand as ( 1 x 2 ) 2. We recognize the term inside the brackets as the formula for the upper half of the unit circle (recall this is described by the equality y 2 + x 2 = 1). Therefore we are integrating the area function A(x) = π( 1 x 2 ) 2, which describes the area of a circle with radius 1 x 2, over the interval [ 1, 1]. In other words, the integral describes the volume of a sphere of radius 1. 28/30

29 9. a) Ereignisse A und B sind unabhängig bezüglich dem Wahrscheinlichkeitsmaß P. Beweise, dass A c and B c auch unabhängig sind. b) Zwei unabhängige Ereignisse treten mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und 0.3 ein. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass: i) keines von den beiden Ereignissen eintritt; und ii) mindestens eins von den beiden Ereignissen eintritt? 29/30

30 Solution: 9. a) We start out with the definition of independence for A and B P(A B) = P(A)P(B) 1 P((A B) c ) = (1 P(A c ))(1 P(B c )) 1 P(A c B c ) = 1 P(A c ) P(B c ) + P(A c )P(B c ) P(A c ) + P(B c ) P(A c B c ) = P(A c )P(B c ) P(A c A c ) = P(A c )P(B c ) where the third equality follows from De Morgan s Laws and the last equality from the inclusionexclusion identity. b) b) We call the events A and B respectively. Then, i) P( neither event occurs ) = P((A B) c ) = P(A c B c ) = P(A c )(B c ) = (1 P(A))(1 P(B)) = (0.9)(0.7) = ii) P( at least one event occurs ) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) = = 0.37, where we have use part a) in the third equality of part i). 30/30

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