Der fundamentale Begriff der Zahl

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1 Der fundamentale Begriff der Zahl Literatur Ifrah, G.: Universalgeschichte der Zahlen, Campus-Verlag, 1989 Menninger, K.: Zahlwort und Ziffer, - Eine Kulturgeschichte der Zahl, Vandenhoeck & Ruprecht, 1979 Schwerpunkte Unser Zahlensystem ein dekadisches Positionssystem Zur Geschichte der Zahlen Stellenwertsysteme mit anderen Basiszahlen Das Römische Additionssystem Merkmale unseres dekadischen Stellenwertsystems 1

2 Zur Geschichte der Zahlen Die Babylonier Zweistromland Mesopotamien, zwischen Euphrat und Tigris Quellen: Tontafeln mit Keilschrift ( Täfelchen) Herausbilden eines Zahlensystems Forschritte in Algebra und Geometrie 150 Aufgabentexte und Lösungen 200 Zahlentafeln (jedes enthält Aufgaben) Zahlzeichen in Keilschrift Zur Basis 60 Sexagesimalsystem Zusammengesetzt aus Keilen und Winkelhaken Bem.: Keine eindeutige Schreibweise 2

3 Babylonischen Sexagesimalsystem 3 Quellen - nicht entwickeltes Dezimalsystem (bis 100) (10 Finger) - Metrologie (Wissenschaft vom Messen und Maßeinheiten) - Winkeleinteilung Unebenes Land Rad stabil durch Speichen 6 Speichenrad und jedes Teil in 10 Abschnitte: 60 Einteilung der Stunde in 60 Minuten, der Minute in 60 Sekunden Unterteilung des Vollwinkels in 360º Mathematik zur damaligen Zeit Lösen von Gleichungen 4. Grades Lösen von linearen Gleichungssystemen Arithmetische und geometrische Reihen Pythagoreischer Lehrsatz Thaleskreis Nebeneinanderschreiben bei Zahlen über 60 durch eine Erhöhung des Stellenwertes ausgedrückt wird: System zur Basis 60 Im Vergleich zur konsequenten Dezimalschreibweise fehlte die genaue Angabe der jeweiligen Position. Beim Dezimalsystem durch das Einfügen der Null. 3

4 Die Ägypter (ca v. Chr.) Rechnen mit Stammbrüchen Addieren geschieht durch Nebeneinanderschreiben und evt. Bündeln Multiplikation: Nur das Verdoppeln ist einfach durchführbar 12 * zu lesen: 1 mal 23 ergibt zu lesen: 2 mal 23 ergibt: Kombiniert man in der linken Spalte die Multiplikatoren zur Summe 12 (also = 12), dann ergibt sich entsprechend

5 Kann man aus der Geschichte lernen? Gewinn: Erfahren über historische und gesellschaftliche Bedingtheit mathematischer Verfahren Einsehen lernen, dass mathematische Verfahren erst nach einer Vielzahl von Versuchen, Irrwegen, Ansätzen zu der heute so standardisiert erscheinenden Form gefunden haben Den eigenen Standpunkt als nicht absolut begreifen lernen Fehlversuchen beim Lernen offener und aufgeschlossener gegenübertreten Kulturübergreifende mathematische Basisaktivität nach A. J. Bishop Fragen: Gibt es in allen Kulturen Mathematik? Führt die kulturelle Entwicklung notwendig zu derjenigen Mathematik, die sich im abendländischen Kulturkreis herausgebildet hat? Ist abendländische Mathematik "universal"? Untersuchungen zeigen: 5

6 Mathematisches Denken im abendländischen Sinne gibt es in anderen Kulturen gar nicht oder nur rudimentär. Suche Gemeinsamkeiten Arbeitshypothese: Es gibt in allen Kulturen mathematische Aktivitäten Sechs Schlüsselqualifikationen, die sich in den untersuchten Kulturen auffinden lassen: Zählen (counting) Räumliche Beziehungen herstellen (locating) Messen (measuring) Entwerfen (designing) Spielen (playing) Begründen (explaining) 6

7 Römische Zahlzeichen M = 1000, wie (lat.) mille D = 500, die Hälfte von Mille (= M) C = 100 (wie (lat.) centum L = 50, die Hälfte von C X = 10, das Doppelte von V V = 5, als Symbol einer Hand (mit abgespreiztem Daumen) I = 1 als Symbol eines Fingers Beispiele 9 = IX, 90 = XC, 400 = CD, 900 = CM MCMLXXIV = = 1974 Beobachtungen Gewinnung der Zahlwörter durch Reihung von Zahlzeichen mit festen Werten Nullen sind nicht erforderlich Grundrechenarten: Addition u. Subtraktion möglich, Multiplikation und Division mit großen Schwierigkeiten 7

8 Merkmale unseres dekadischen Stellenwertsystems Charakterisierung Repertoire von 10 Ziffern: 0, 1,.., 9 Wert der Ziffern abhängig von der Stellung im Zahlwort 8