Mengen und Abbildungen

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1 Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion

2 Mengen und Abbildungen Unter einer Menge M verstehen wir die Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten x zu einer Gesamtheit. Für jedes Objekt x soll daher feststehen, ob es zu M gehört in diesem Fall schreiben wir x M und sagen x ist Element von M oder nicht in diesem Fall schreiben wir x / M und sagen x ist kein Element von M. In diesem Sinn sprechen wir von der Menge N aller natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... und illustrieren dies durch die aufzählende Mengenschreibweise N = {0, 1, 2, 3,...} 1

3 Für M = {2, 3, 4} ist somit 3 M, aber 5 / M. Die aufzählende Schreibweise für Mengen ist suggestiv, aber nur für endliche Mengen unproblematisch: Aus Darstellung P = {2, 3, 5, 7, 11,...} nicht eindeutig erkennbar, dass Menge aller Primzahlen gemeint. Zu Klarheit verhilft die beschreibende Darstellung von Mengen P = {p p ist eine Primzahl}. Entsprechend ist etwas holprig {2, 3, 4} = {n n N mit 2 n und n < 5} 2

4 Gleichheit von Mengen, leere Menge Aus der Auffassung einer Menge als Gesamtheit ihrer Elemente ergibt sich automatisch der Begriff der Gleichheit zweier Mengen: Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Also M = N bedeutet (x M x N) Hier steht abkürzend für dann und nur dann oder kürzer genau dann. Aus systematischen Gründen ist es wichtig, auch die Menge ohne Elemente, die leere Menge zuzulassen: = {} 3

5 Teilmengen, Inklusion Besteht eine Menge N nur aus Elementen einer anderen Menge M, so nennen wir N eine Teilmenge von M und schreiben N M, in Worten N ist enthalten in M. Somit N M genau dann, wenn gilt (x N = x M). Hier steht = abkürzend für wenn dann oder impliziert. Wir bezeichnen die durch ausgedrückte Beziehung auch als Mengeninklusion, kurz Inklusion. Für dieselbe gilt 1. Aus N M und M P folgt N P (Transitivität) 2. Aus N M und M N folgt M = N (Antisymmetrie). Methode zum Nachweis der Gleichheit zweier Mengen. 4

6 Durchschnitt und Vereinigung Unter dem Durchschnitt zweier Mengen M und N verstehen wir die Menge derjenigen Elemente, die zugleich der Menge M und der Menge N angehören. In Zeichen: M N, in Worten: M geschnitten N. Somit M N = {x x M und x N}. Unter der Vereinigung zweier Mengen M und N verstehen wir die Zusammenfassung der Elemente beider Mengen. In Zeichen: M N, in Worten: M vereinigt N. Somit besteht M N aus allen Elementen die zu M oder zu N gehören. Also M N = {x x M oder x N}. 5

7 Mengendifferenz Die Differenz zweier Mengen M und N wird gebildet als M \ N = {x x M und x / N}. M \ N besteht daher aus denjenigen Elementen, die in M aber nicht in N gelegen sind. Betrachten wir Teilmengen A, B,... einer festgehaltenen Menge M, so nennen wir M \ A das Komplement von A in M, etc. 6

8 Rechenregeln (de Morgan) Komplement- und sonstige Mengenbildungen stehen für Teilmengen A, B einer festen Menge M in Wechselwirkung: M \ (M \ A) = A A B M \ A M \ B M \ (A B) = (M \ A) (M \ B) M \ (A B) = (M \ A) (M \ B) 7

9 Geordnete Paare, kartesisches Produkt Je zwei mathematischen Objekten x und y ordnen wir ein neues Objekt, das geordnete Paar (x, y) zu. Wir vereinbaren die folgende Gleichheit von Paaren (x, y) = (x, y ) x = x und y = y und nennen dann x die erste und y die zweite Komponente, oder auch Koordinate, von (x, y). Sind M und N Mengen, so heißt M N = {(m, n) m M und n N} das kartesische Produkt oder direkte Produkt von M und N. 8

10 Abbildungen (= Funktionen) M und N seien Mengen. Eine Abbildung (Funktion) von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem Element m M ein eindeutig bestimmtes Element n N zuordnet, welches wir mit f(m) bezeichnen. Wir nennen M den Definitionsbereich und N den Wertebereich von f. Schreibweise: f : M N, m f(m). Beispiel: f : N N, n 2n, ist eine Abbildung, aber g : R R, x x, nicht (2 Gründe!) 9

11 Gleichheit von Abbildungen Eine Abbildung f : M N besteht aus drei Bestimmungsstücken: dem Definitionsbereich M, dem Wertebereich N, sowie der Zuordnungsvorschrift x f(x). Zwei Abbildungen f : M N und f : M N sind demgemäß gleich, wenn sie in allen drei Daten übereinstimmen, andernfalls sind sie verschieden. Beispiel: Die Abbildungen f : N N, x 2x, und g : N N, x x + x, sind gleich. 10

12 Merke: Zwei Abbildungen f, g : M N sind genau dann verschieden, wenn für mindestens ein m M die Beziehung f(m) g(m) gilt. Redeweisen: Sei f : M N eine Abbildung und m M, n N. Wir nennen f(m) das Bild von m (unter f). Falls f(m) = n, nennen wir m ein Urbild von n unter f. Warum nicht das Urbild? Für A M und B N heißt entsprechend f(a) := {f(a) a A} das Bild von A (unter f) und f 1 (B) := {x M f(x) B} das Urbild von B (unter f). Warum hier das Urbild? 11

13 Bijektive Abbildungen Bijektive Abbildungen stellen eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Elementen zweier Mengen her. Fundamental für das Abzählen! Personen in diesem Hörsaal! Denken Sie an das Zählen der Eine Abbildung f : M N heißt bijektiv, falls jedes n N genau ein Urbild unter f besitzt. Beispiel: Die identische Abbildung 1 M : M M, m m, ist eine bijektive Abbildung. f : N N, n n + 1, ist dagegen nicht bijektiv (warum?). 12

14 Bijektiv = surjektiv + injektiv In der Praxis überprüft man f : M N auf Bijektivität, indem separat Injektivität und Surjektivität von f untersucht werden. Eine Abbildung f : M N heißt injektiv, wenn aus f(m 1 ) = f(m 2 ) mit m 1, m 2 M stets m 1 = m 2 folgt. Gleichbedeutend: Aus m 1 m 2 in M folgt stets f(m 1 ) f(m 2 ) in N. Eine Abbildung f : M N heißt surjektiv, wenn f(m) = N gilt, gleichbedeutend jedes n N Bild eines Elements aus M ist. 13

15 Beispiele Die Abbildung f : N N, x x 2, ist injektiv, jedoch nicht surjektiv. Die Abbildung f : R R 0, x x 2, ist nicht injektiv, jedoch surjektiv. Die Abbildung f : R R, x x 3, ist bijektiv. Hinweis: Abbildung besteht aus drei Bestimmungsstücken! R = {x x ist eine reelle Zahl}, R 0 = {x R x 0}. 14

16 Die natürlichen Zahlen Für uns reicht die Vorstellung, dass die natürlichen Zahlen diejenigen sind die man zum Zählen und daher zur Anzahlbestimmung endlicher Mengen verwendet. Es sind dies die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Wir setzen als bekannt voraus, wie man (Addition, Multiplikation) mit natürlichen Zahlen rechnet und wie man dieselben der Größe nach vergleichen kann (m n, m < n). 15

17 Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Die bei weitem wichtigste Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist das Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl: Gegeben sei irgendeine nichtleere Menge M von natürlichen Zahlen (M darf dabei endlich oder unendlich sein, muss aber wie verlangt mindestens ein Mitglied enthalten). Dann gibt es unter allen Zahlen von M eine kleinste. Formelmäßig ausgedrückt: Falls = M N, so existiert eine Element m 0 M mit m 0 m für jedes m M. 16

18 Kommentar Aus dem Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl folgt das Prinzip der vollständigen Induktion, welches erlaubt (tapferes Schneiderlein!) auf einen Streich unendlich viele Behauptungen (Aussagen) zu beweisen. Wir stellen uns daher vor, dass wir jeder natürlichen Zahl n 1 eine Aussage A(n) zugeordnet haben, etwa die Behauptung n(n + 1) A(n) : n = 2 Den Beweis von A(1), A(2),... wollen wir mit einem einzigen Beweis erledigen! 17

19 Prinzip der vollständigen Induktion = Unendlich viele auf einen Streich Für jede natürliche Zahl n 1 sei eine Behauptung A(n) vorgelegt. Es gelte (1) A(1) ist wahr; (2) Falls A(n) wahr ist, dann ist auch A(n + 1) wahr. Dann ist A(n) wahr für jede natürliche Zahl n 18

20 Beweis des Prinzips der vollständigen Induktion Nehmen an, dass es natürliche Zahl n 0 gibt, für die A(n 0 ) falsch ist. Zeigen, dass diese Annahme zu Widerspruch führt! Nach Annahme hat M = {n N A(n) ist falsch} mindestens ein Element, nämlich n 0. Nach dem Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl hat M folglich ein kleinstes Mitglied m 0. Wegen (1) ist m 0 1, somit m 0 > 1. Somit ist m = m 0 1 eine natürliche Zahl 1, die nicht in M liegt, für die daher A(m) wahr ist. Wegen (2) ist wegen der Richtigkeit von A(m) auch die Aussage A(m+1), somit die Aussage, A(m 0 ) wahr, Widerspruch! Ursprüngliche Annahme daher falsch, Prinzip somit bewiesen. 19

21 Anwendungsbeispiel Zeigen durch vollständige Induktion, dass für jedes n 1 die Behauptung richtig ist. A(n) : n = n(n + 1) 2 (1) Induktionsverankerung: Es gilt A(1), da 1 = 1 (1+1) 2. (2) Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass A(n) richtig ist, d.h. wir nehmen an, dass (für dieses n) die Formel n = n(n + 1) 2 gilt. 20

22 Wir müssen zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) gilt: ( n) + (n + 1) I.V. = = = = Dies ist gerade die Aussage A(n + 1). n(n + 1) + (n + 1) 2 n(n + 1) + 2(n + 1) 2 (n + 2)(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) 2 (Beweisende) 21

23 Alternativer Beweis Alternativer Beweis: Wir schreiben die (Summe der) Zahlen 1 bis n 2-mal in unterschiedlicher Reihenfolge untereinander und summieren intelligent! n 1 + n n + n 1 + n (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) Das Doppelte der gesuchten Summe ist daher n(n + 1). 22

24 Kommentar: Das obige Argument kannte schon der kleine Carl Friedrich Gauß ( ): In der Schule hatte der Lehrer die Aufgabe gestellt, alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen. Er hatte die Aufgabe kaum zu Ende gestellt, schon schreibt der kleine Gauß eine Zahl auf seine Tafel, bringt diese nach vorn und legt sie vor den Lehrer mit den Worten Ligget se (Da liegt sie). Die anderen Kinder rechnen die ganze Stunde hindurch und der Lehrer überlegt sich schon, die Strafe für eine solche Frechheit mit dem Rohrstock zu zahlen, doch der kleine Gauß sitzt mit einer ruhigen Sicherheit an seinem Platz und wartet auf das Ende der Stunde. Auf seiner Tafel steht die richtige Zahl

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