Filterung von Bildern (2D-Filter)

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1 Prof. Dr. Wolfgang Konen, Thomas Zielke Filterung von Bildern (2D-Filter) SS06 6. Konen, Zielke Aktivierung Was, denken Sie, ist ein Filter in der BV? Welche Filter kennen Sie? neuer Pixelwert bilden aus Verknüpfung mit Nachbarwerten Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass-Filter Glättungsfilter (Gauss, Box) SS Konen, Zielke

2 Inhalt Filter im Ortsraum: Die Faltung Tiefpass-Filter Filter im Frequenzraum: Fouriertransformation D-Fouriertransformation 2D-Fouriertransformation Anwendungen der Fouriertransformation (kurz) Bandstop Unsharp Masking SS Konen, Zielke Filterung eines Bildes Implementierungsalternativen (lineare Filter) Bei der Filterung eines Bildes werden die Bildpunkte (Pixel) in Abhängigkeit von ihrer Nachbarschaft manipuliert. Ortsraum Direkte Manipulation der Pixelwerte im Bildbereich Frequenzraum Bildtransformation (z.b. Diskrete Fourier Transformation / DFT) Manipulation der Transformierten Rücktransformation in den Bildbereich Eine Filteroperation ist im Frequenzraum weniger aufwendig als im Ortsraum. Jedoch ist bei Filteroperationen, die nur eine kleine Bildnachbarschaft einbeziehen, der fixe Aufwand für die Bildtransformationen i.d.r. größer als der Aufwand für die Berechnung der Filterung selbst. SS Konen, Zielke

3 Prinzip der diskreten Faltung (Konvolution) (Örtliche Faltung / Spatial Convolution) Filtermaske (3 3) Bei der Faltung berechnet sich jeder Pixel des Ausgangsbildes als gewichtete Summe der Pixel einer Bildnachbarschaft. Die Gewichte sind die Koeffizienten der Filtermaske (des Filterkerns). w -,- w -,0 w -, w 0,- w 0,0 w 0, Eingangsbild w,- w,0 w, Filterkoeffizienten (Gewichte) Ausgangsbild SS Konen, Zielke Berechnung der diskreten Faltung Eingangsbild I i,j Ausgangsbild O i,j I 0,0 I 0, I 0,2 I 0,M I,0 I, Filtermaske M p,q M -,- M -,0 M -, O 0,0 O 0, O 0,2 O 0,M O,0 O, I 2,0 M 0,- M 0,0 M 0, O 2,0 : M,- M,0 M, : I N,0 I N,M O[i, j] O I Maskengröße W = 3 W / 2 p W / 2 q W / 2 * M W / 2 I (Faltung) O N,0 O N,M [i p, j q]m[p,q] SS Konen, Zielke

4 Prinzip des Faltungsprozesses Maskenzentrum Die Faltung des Bildes mit dem Filterkern an einer Bildposition liefert den Bildwert an der jeweils gleichen Position im Ergebnisbild. Für die Filterung des kompletten Bildes wird die Maske sukzessiv über alle Bildpositionen plaziert. SS Konen, Zielke Konvolution mit Filtermasken Randbetrachtungen Je nach Größe der Filtermaske existiert ein Bildrand (min. Pixel breit), dessen Pixel nicht normal berechnet werden können, weil ein Teil der Maske außerhalb des Eingangsbildes liegt.? Gängige Methoden der Randbehandlung: am Rand kein Filter Zero- oder Grauwert-Padding Last-Value Periodische Fortsetzung Symmetrische Fortsetzung Interpolative Fortsetzung Konstruktion spezieller Filtermasken? SS Konen, Zielke

5 Randbehandlung Burger2005 Zero- o. Grauwert-Padding Last Value Periodische Fortsetzung (Zero-Padding ist ImageJ's Default, wenn man getpixel von "out-ofbounds"-positionen macht) (meist einfach und sinnvoll für Filter im Ortsraum) (sieht unsinnig aus, aber z.b. die Fouriertransformation arbeitet so) SS Konen, Zielke Inhalt Filter im Ortsraum: Die Faltung Tiefpass-Filter Filter im Frequenzraum: Fouriertransformation D-Fouriertransformation 2D-Fouriertransformation Anwendungen der Fouriertransformation (kurz) Bandstop Unsharp Masking SS Konen, Zielke

6 Diskrete Tiefpass-Filter (Filtermasken) Glättungseffekt (Smoothing, Blur) Koeffizienten sind ausnahmslos positiv Koeffizienten sind normalisiert (Summe aller Koeffizienten ergibt ) Beispiel: Mittelwertfilter SS06 6. Konen, Zielke Lineare und Separierbare Filter Ein Filter ist linear, wenn er Pixelwerte linear verknüpft. Die Faltung ist ein linearer Filter Ein Filter heißt separierbar, wenn er in mehrere Faltungen aufgespalten werden kann: O I * M O I * M * M 2 Der Mittelwerfilter ist x/y-separierbar, denn M 3 und M 2 3 liefert M M * M 2 9 SS Konen, Zielke

7 Mittelwertfilter (Beispiel) Original Filterungsergebnis mit 33 Maske Filterungsergebnis mit 55 Maske SS Konen, Zielke Gaußscher Glättungsfilter (Gaussian smoothing filter) Zweidimensionale diskrete Gaußfunktion mit Mittelwert : g[l, k] e (l 2 k 2 )/ (2 2 ) Filtermaske: M[p,q] g[p,q] g[ p, q] p q (sigma) = "Filterbreite" SS Konen, Zielke

8 Gaußscher Glättungsfilter Beispiel Original 5 5, = 9 9, = 2 SS Konen, Zielke Aktivierung Separierbarer Gauss-Filter Auch der Gauss-Filter ist x/y-separierbar. Überlegen Sie, wie die beiden Filter M und M 2 aussehen müssen, um zu erzeugen Wie sieht's für den 5x5-Gauss-Filter aus? SS Konen, Zielke

9 Inhalt Filter im Ortsraum: Die Faltung Tiefpass-Filter Filter im Frequenzraum: Fouriertransformation D-Fouriertransformation 2D-Fouriertransformation Anwendungen der Fouriertransformation (kurz) Bandstop Unsharp Masking SS Konen, Zielke Erzeugung einer Frequenzraumdarstellung () Diskrete D Fourier-Transformation Die eindimensionale diskrete Fourier-Transformation (FT) eines Signals G(x) ist definiert als: F( m) N x 0 G( x) e Die Fourier-Transformation ist invertierbar (umkehrbar). Das Originalbild kann durch Rücktransformation in den Ortsraum wieder hergestellt werden. N ist die Signallänge und m ist die Wellenzahl (Wieviel volle Wellen passen hinein?) 2m i x N e ist die Basis des natürlichen Logarithmus (ca. 2,7828) und i ist die imaginäre Einheit für eine komplexe Zahl. SS Konen, Zielke

10 Exkurs: Komplexe Zahlen Allgemeine Form einer komplexen Zahl:. Komponentendarstellung (Realteil und Imaginärteil) 2. Darstellung durch Betrag und Winkel in der komplexen Ebene Betrag: Euler-Identität: e i0 e 2m i x N 2m cos N x 2m i sin N x SS Konen, Zielke Abtastung und Aliasing für N=8 Burger2005 SS Konen, Zielke

11 Eigenschaften der diskreten D-FT () Nur Frequenzen bis m=-4,..,0,..,+4 erlaubt (bei N=8) Allgemein: m=-n/2,..,0,...,+n/2 Ausserhalb liegende Frequenzen werden in -4,...,+4 fälschlicherweise gemappt (Aliasing, Nyquist-Theorem): 5 auf 3, 6 auf 2 (genauer: -2) Anordnung Frequenzen physikalisch: = Anordnung Frequenzen in FFT (genau 8 Pixel, wie in Signal). Man muss also mit Wrap-Around verschieben. F(0)= Pixel-Summe des Signals G(x) F(-N/2)=F(N/2) Aktivierung: Nachrechnen! SS Konen, Zielke Erzeugung einer Frequenzraumdarstellung () Diskrete 2D Fourier-Transformation Die zweidimensionale diskrete Fourier-Transformation (FT) eines Bildes G(y,x) ist definiert als: F( u, v) N N x 0 y0 G( y, x) e Die Fourier-Transformation ist invertierbar (umkehrbar). Das Originalbild kann durch Rücktransformation in den Ortsraum wieder hergestellt werden. u ist die Wellenzahl in y-richtung und v die Wellenzahl in x-richtung (Wieviel volle Wellen passen hinein?) 2u i y N e 2v i N x SS Konen, Zielke

12 Eigenschaften der diskreten 2D-FT () Es gilt F( u, v) F(N u, N v) inverse FT G(y,x) N N u0 N v 0 Anordnung Frequenzen physikalische Frequenzen: N N v',, 2 2 u' F(u,v)e v' pos. v' u (nachrechnen) 2y i u N e 2x i v N v neg. v' FFT- Frequenzen: v {0,...,N-} SS Konen, Zielke Eigenschaften der diskreten 2D-FT (2) in F(0,0) steht Fourierkoeff. zu 0-Frequenz ("Gleichstromanteil", DC) in Spalte v=0 stehen Fourierkoeffizienten, deren Wellenlängen in x- Richtung genau 0x ins Bild passen (Wellenzahl) oberhalb von v=n/2 beginnen die negativen Frequenzen Übergang zu physikalischen Frequenzen durch "Wrap-around-Shift" um (u0,v0)=(n/2,n/2) (fftshift in MATLAB, "Origin at image center" in ImageJ's Plugin FFTJ) SS Konen, Zielke

13 Erzeugung einer Frequenzraumdarstellung (2) Fourierspektrum (Spektrum der Ortsfrequenzen) Den Betrag der komplexen Fourier-Transformierten bezeichnet man als Frequenzspektrum (kurz "Spektrum"): Leistungsspektrum (power spectrum): P(u,v) [R(u,v)] 2 [I(u,v)] 2 F(u,v) [R(u,v)] 2 [I(u,v)] 2 u v SS Konen, Zielke Verschiedene Sinusgitter und ihre Frequenzbilddarstellung Der Betrag der Fourier-Transformierten kann als ein "Frequenz-Bild" dargestellt werden. Das Frequenzbild ist radialsymmetrisch bzgl. seines Ursprungs, des Null- Frequenz-Punkts ("DC"-Komponente). Horizontale (vertikale) Frequenzen im Ortsraum werden im Frequenzbild entlang der horizontalen (vertikalen) Achse aufgetragen. SS Konen, Zielke

14 Frequenzbilddarstellung eines Bildes aus unterschiedlichen lokalen Sinusmustern Fourier- Transformation und anschließende Betragsbildung Originalbild Betrag der Fourier-Transformierten SS Konen, Zielke jetzt Übung FFT / Sinus Gratings SS Konen, Zielke

15 Inhalt Filter im Ortsraum: Die Faltung Tiefpass-Filter Filter im Frequenzraum: Fouriertransformation D-Fouriertransformation 2D-Fouriertransformation Anwendungen der Fouriertransformation (kurz) Bandstop Unsharp Masking SS Konen, Zielke Lineare Filter () Tiefpass Unterdrückung hoher Frequenzen (feiner Details) Ideale und nichtideale D- Filterfunktion im Frequenzbereich Hochpass Unterdrückung niedriger Frequenzen (grober Strukturen) SS Konen, Zielke

16 Lineare Filter (2): Ringing-Artefakte Warum ein "idealer" Tiefpass überhaupt keine idealen Ergebnisse liefert: Wellenzahl 75 Wellenzahl ImageJ\plugins\FFTJ \Ideal_LP_FFTJ.java "Ringing": eine scharfe Kante umgibt sich mit (mehreren) Ringen SS Konen, Zielke Lineare Filter (3) Bandpass Unterdrückung von hohen und niedrigen Frequenzen Idealer eindimensionaler Bandpass-Filter im Frequenzbereich Bandstop Unterdrückung von Mittenfrequenzen Idealer D- Bandstop-Filter im Frequenzbereich SS Konen, Zielke

17 Anwendung eines Bandstop-Filters Beispiel: Bildrestauration Unterdrückung der Störfrequenz SS Konen, Zielke Anwendung des Tiefpassfilters für das Schärfen (sharpening) eines Bildes "Unsharp Masking" - Verfahren Eingangsbild Tiefpass (lowpass) Filterung Sigma des Tiefpassfilters Verstärkungsfaktor Ergebnisbild SS Konen, Zielke

18 Unsharp-Masking Verfahren Bild I Gauss G(I) I G(I) = Maske I + (I G(I)) Betonung der Kanten:. Kanten werden steiler 2. durch Überschwinger stärkerer Kontrast SS Konen, Zielke Unscharfe Maske (Unsharp Masking) Bildbeispiele SS Konen, Zielke