( ) Ph ys ik al is ch e G ru nd la ge n. ψ ( r, t ) ρ : = ψ * ψ. ρ e : = e ψ * ψ. ρ e

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1 Ph ys al s ch e G ru nd la ge n De Kontnutätsgle chung De Schrödnger-Gle chung für en Eneletronensy ste lautet: h t ψ ( r, t ) = h 2 2 Δ + V ψ ( r, t ) Mt Hlfe der Wellenfunton ψ ( r, t ), d.h. ener Lösung der Schrödnger-Gle chung, defneren wr de Ausdrüce ρ : = ψ * ψ und j : = h ( 2 ψ * ψ ψ ψ * ) Unter Verwendung der Schrödnger-Gle chung erhält an: ρ. (3) t + dv j = 0 Glechung (3) hat de atheatsche For ener Kontnutätsgle chung. ρ ( r, t ) und j ( r, t ) zusaen beschreben das Syste vollständg und snd dat äquvalent zur Wellenfunton ψ ( r, t ). Multplaton der Glechungen, und (3) t der Eletronenladun g e : ρ e : = e ψ * ψ j e : = e h 2 ψ * ψ ψ ψ * ρ e t + dv j e = 0 ( ) ρ e st ene Ladungsdchte und j e ene eletrsche Strodchte. Glechung (4) lässt sch als Kontnutätsgle chung der eletrschen Ladung lesen. (4) Multplaton der Glechungen, und (3) t der Eletronenass e : ρ : = ψ * ψ j : = h ( 2 ψ * ψ ψ ψ * ) ρ t + dv j = 0 ρ st ene Massendchte und j ene Massenstrodc hte. Glechung (5) lässt sch als Kontnutätsgle chung der Masse lesen. (5) De Beschrebung der Zustände enes Eletrons thlfe der Funtonen ρ ( r, t ) und j ( r, t ) legt das folgende Bld nahe: Das Eletron besteht aus ene Rau vertelten, ströenden Stoff. Da wr uns Folgenden oft auf desen Stoff bezehen, geben wr h enen Naen: Eletronu. Das Eletron besteht n dese Bld aus Eletronu, so we en See aus Wasser oder ene Münze aus Metall besteht. ρ e = Ladungsdchte j e = eletrsche Strodchte des Eletronus ρ = Massendchte j = Massenstrod chte

2 Ph ys al s ch e G ru nd la ge n Statonäre und ncht statonäre Zustände Für de Schrödnger- Glechung h t ψ ( r, t ) = h 2 2 Δ + V ψ ( r, t ) achen wr den Lösungsansatz: ψ ( r, t ) = u In de Schrödnger-Gle chung engesetzt ergbt sch: E u = h 2 2 Δ + V u Dese Glechung st vo Typ ener Egenwertglech ung. Ihre Lösungen u blden en vollständges Funtonensyste. Zu jeder Funton u gehört en bestter Egenwert E der Energe. De Zustände, de durch de spezellen Lösungen der Schrödnger-Gle chung beschreben werden, heßen Egenzustände der Energe. Jede Lösung der Schrödnger-Gle chung lässt sch als Lnearobnat on der Egenfuntone n ψ ( r, t ) schreben: ψ ( r, t ) = a ψ ( r, t ) = a u e. (3) Manchal snd de Egenwerte ehrerer Lösungen der Egenwertglech ung unterenander glech. De entsprechenden Zustände heßen entartet. De spezellen Lösungen ψ ( r, t ) der Schrödnger-Gle chung haben de Besonderhet, dass für se de Dchte ρ des Eletronus zetunabhängg st: * * ρ = ψ ψ = u e + u = u * u Das Entsprechende glt für de Strodchte j. Auch se st für de ψ ( r, t ) zetunabängg. Man sagt deshalb, de Energeegenzus tände seen statonär. Ene Lnearobnat on (3) aus Egenfuntonen st Allgeenen ncht zetunabhängg. Der entsprechende Zustand st ncht statonär. Nur anchal st ene solche Lnearobnat on zetunabhängg: wenn de ψ ( r, t ) zu entarteten Zuständen gehören. In dese Fall glt: ψ ( r, t ) = a u h E t = a u h Et = e h Et a u Dat wrd de Dchte: ρ = ψ * ψ = e + h Et * a u e h Et * a n u n = a u a n u n n De Eletronudch te st also zetunabhängg. Dasselbe glt für de Strodchte. n

3 ψ ( r, t ) = u ψ ( r, t ) =, Su e übe r enta rtet e Zus tänd e a u > Egenzustand der Energe > Sue über entartete Zustände ρ und j zetunabhängg statonärer Zustand ψ ( r, t ) =, Su e übe r nch t enta rtet e Zus tänd e a u ρ und j zetabhängg > Sue über ncht entartete Zustände ncht statonärer Zustand

4 Ph ys al s ch e G ru nd la ge n Drehpuls und agnetsches Moent In Zuständen t 0 st de Strodchte j von null verscheden. Mt der Ströung des Eletronus u den Kern heru st en Massenstro und en Ladungsstro verbunden. Der Massenströun g entsprcht en Drehpuls. Er lässt sch aus der Massenstrodc hte berechnen. Das Ergebns st dasselbe we das, welches de quantenechan sche Egenwertglech ung lefert: l z = h. De Ladungsströun g stellt enen eletrschen Kresstro dar. Ih entsprcht en agnetsches Moent. Es lässt sch aus der eletrschen Strodchte berechnen. Das Ergebns st dasselbe we das der quantenechan schen Rechnung: µ z = e h 2 0 ( 0 = Masse des Eletrons)

5 Ph ys al s ch e G ru nd la ge n Übergänge De Wellenfunton nchtstatonärer Zustände lässt sch beschreben als Lnearobnat on der Wellenfuntone n der Egenzustände: ψ ( r, t ) = a ψ ( r, t ). Wr betrachten den enfachsten Fall, nälch ene Lnearobnat on aus nur zwe Suanden: ψ ( r, t ) = c A ψ A ( r, t ) + c B ψ B ( r, t ) t ψ A ( r, t ) = u A h E A t und ψ B ( r, t ) = u B h E B t Es se E A > E B. Für de Ladungsdchte fndet an enen Ausdruc der For: ρ ( r, t ) = C 0 + C 1 cos( ω t ) + C 2 sn( ω t ) Er setzt sch an jeder Stelle r aus ene zetunabhängge n und ene sch haronsch ändernden Betrag zusaen. Dasselbe glt für de eletrsche Strodchte. Ene schwngende Ladungs- und Strovertelung führt Allgeenen zur Esson ener eletroagnets chen Welle, und das Ato verlert Energe. Das bedeutet, dass es ncht n sene ursprünglchen Zustand bleben ann. Es geht nach und nach n enen Zustand nedrgerer Energe über: Der Gewchtsfator c A von ψ A ( r, t ) nt stetg ab, der Gewchtsfator c B von ψ B ( r, t ) nt zu, und zwar so lange, bs c A glech null, und c B glech ens geworden st. Für enen ncht statonären Zustand snd also de Gewchtsfatore n zetabhängg: ψ ( r, t ) = c A ( t ) ψ A ( r, t ) + c B ( t ) ψ B ( r, t ). Das bedeutet, dass auch de Größen C 0, C 1 und C 2 n Glechung zetabhängg snd. Dese Zetabhängge t st aber Allgeenen sehr vel langsaer als de der Kosnus- und der Snusfunton n Glechung. Ist a Anfang c A = 1 und c B = 0, so st das Ato n ene statonären Zustand. Der Übergang n den Zustand B ann ohne frede Hlfe ncht begnnen. Tatsächlch verharrt en Ato auch ene gewsse Zet n ene solchen angeregten Zustand. Das Glechgewcht st aber preär. Ene lene Störung genügt, u den Übergang enzuleten. Herfür sorgen Stöße t anderen Atoen, oder de Flutuatonen des eletroagnets chen Feldes n sene Grundzustand. We schnell sch de Gewchtsfatore n c A und c B ändern, hängt davon ab, we star de schwngende Ladung eletroagnets che Strahlung ettert, und das hängt von der räulchen Vertelung und der zetlchen Änderung von Ladungs- und Strodchte ab. Mt etwas Übung seht an ener Anaton der Funton ρ ( r, t ) an, ob der Übergang schnell, langsa oder gar ncht vonstatten geht. Wenn sch de Nebenquantenza hlen l der betelgten Zustände u 1 unterscheden, wenn also Δ l glech ±1 st, so hat de Ladungsschwng ung Dpolcharater, und das Ato ettert star we ene arosopsche Dpolantenne. Der Übergang st also schnell. Ist Δ l glech 0 oder ±2, so hat de Schwngung Quadrupolchara ter, und das Ato strahlt vel schwächer genau so we ene arosopsche Quadrupolanten ne (d.h. zwe nebenenander stehende, Gegentat schwngende Dpolantennen). Ist für bede betelgten Zustände l = 0, so hat de Schwngung Kugelsyetre, und das Ato ettert gar ncht genau so we ene arosopsche ugelsyetrs che Ladungsvertelu ng ene eletroagnets che Welle abstrahlen ann. Wenn sch de agnetschen Quantenzahlen der betelgten Zustände u ens unterscheden, wenn also Δ = ± 1 st, so st n der Anaton ene Kresbewegung zu erennen. Das Ato ettert ene zrular polarserte Welle. Für Δ = 0 st de Strahlung lnear polarsert.