Einführung in FEM-Programme

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1 . Einführung in FEM-Programme Gerald Kress 20. Februar 2012 Zentrum für Strukturtechnologien

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Ziele und Inhalte des Kurses Ziele Organisation Einteilung in Gruppen Testatbedingung Inhalt und Gebrauch dieses Skripts Quellenangaben und Danksagung Theoretische Grundlagen der FEM Verschiebungsmethode und Energieprinzip Diskretisierung der Verschiebungslösung Jacobitransformation mit isoparametrischen Elementen Integration über das Elementgebiet Integrationsfehler Krummlinige Elemente und Geometrieapproximation Zusammenbau der Systemgleichungen Randbedingungen und Freiheitsgradverknüpfung Lösung der Systemgleichungen Nachlaufrechnung und Sekundärlösung Elemente niedriger Komplexität und Biegung Sperreffekt des schubweichen Balkens Strukturanalyse mit FEM Wahl des Einheitensystems Erstellen des Geometriemodells Definition der Materialeigenschaften Vernetzung Spezifikation der Randbedingungen Lösungsprozess definieren und starten Ergebnisse betrachten Arbeiten mit ANSYS Classic Starten des Programms Graphische Benutzeroberfläche (GUI) Bearbeiten eines Problems mit GUI Auswahl eines ebenen Finiten Elements Materialdefinition Gebietsgeometrie

4 4.3.4 Vernetzung der Geometrie mit finiten Elementen Randbedingungen für erzwungene Verlängerung Starte Lösungsprozess Erzeuge Plots zur Ergebnisdarstellung Arbeiten mit APDL Grenzen des Arbeitens mit GUI DB Log File APDL Befehle für das Lochplattenproblem APDL Befehle und ANSYS Help Gestalten eines APDL Files Eigenschwingungen Steuerung mit GUI Zuweisung einer Massedichte Angaben zum Lösungsprozess Ergebnisbetrachtung Steuerung mit APDL Beullastanalyse Angaben zum Lösungsprozess mit GUI Angaben zur Berechnung der geometrischen Steifigkeitsmatrix Angaben zur Lösung des Eigenwertproblems Betrachtung der Beullasten und Beulformen mit GUI Simulation der Eulerknickung mit APDL Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen Angaben zum Lösungsprozess mit GUI Betrachtung des nichtlinearen Verhaltens mit GUI Steuerung mit APDL Kontaktproblem Modellierung, Kontaktbedingungen, und Lösung mit GUI Auswahl von Finiten Elementen mit GUI Definition von Materialgesetzen mit GUI Erzeugung der Geometrie mit GUI Zuordnung der Attribute der Geoemtrien mit GUI Vernetzung der kontaktierenden Flächen mit GUI Definition der Kontakte mit GUI Randbedingungen spezifizieren mit GUI Angaben zum Lösungsprozess mit GUI Betrachtung der Lösung des Kontaktproblems mit GUI Modellierung, Kontaktbedingungen, und Lösung mit APDL Übungen Testatübung Zugprobe: Netz und Rechenaufwand Lernziele der Testatübung Zugprobe Hinweise zur Durchführung Übung Kranausleger Umfeld

5 9.2.2 Ziel Aufgabenstellung Guide Testatübung Eulerknickung Testatübung Kontaktproblem

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7 Kapitel 1 Ziele und Inhalte des Kurses Die Methode der finiten Elemente (FEM) zählt zu den numerischen Verfahren zur Annäherung an die Lösungen kontinuumsmechanischer Probleme. Ihr Alleinstellungsmerkmal ist die geometrische Unterteilung des Problemgebiets in Teilgebiete, welche nicht regelmässig sein muss. Damit gelingt die geometrische Approximation auch sehr komplexer Bauteile und Strukturen sowie deren Belastung sowie die Ermittlung der strukturmechanischen Antworten. Deswegen, und wegen des hohen erreichbaren Automatisierungsgrades der Analysen mittels der modernen Software, ist die FEM aus der Ingenieurspraxis nicht mehr wegzudenken. Sowohl die Weiterentwicklung der FEM als auch die Erforschung des Verhaltens neuartiger Strukturen mit ihrer Hilfe sind Gegenstand kreativer Hochschularbeit. Auch werden viele Studenten die FEM im Rahmen ihrer Bachelor- Semester- oder Masterarbeiten verwenden. 1.1 Ziele Verständnis der FEM in Theorie und Anwendungspraxis zu erlangen ist ein grosses Unterfangen. Dies kann nicht in einem Blockkurs von insgesamt sechzehn Stunden geschehen. Der Kurs legt es darauf an, dass Sie gedankliche Grundlagen der FEM in groben Umrissen kennenlernen einen ersten Einstieg in Strukturanalysen mit einem FEM-Programm finden Es wird nicht von Ihnen verlangt, dass Sie aufgrund des Kurses die Methode der Finiten Elemente weitestgehend verstanden haben die hier verwendete Software beherrschen Wenn Sie, vielleicht erst in einem Jahr, mit einem FEM-Programm arbeiten wollen, werden Sie den Inhalt dieses Kurses nicht mehr vollständig präsent haben. Deswegen ist dieses Skript als Referenz angelegt, welche Ihnen den Wiedereinstieg und das Angehen konkreter Strukturanalyseprobleme ermöglichen wird. 1.2 Organisation Es handelt sich um einen in der ersten Woche des Sommermesters stattfindenden Blockkurs. Er erstreckt sich über die Werktage Dienstag bis Freitag jeweils von 13:00 bis 17:00

8 2 Ziele und Inhalte des Kurses Uhr. Weitere Einzelheiten und aktuelle Informationen sind dem Vorlesungsverzeichnis zu entnehmen. Aktuelle Informationen, wie die Einteilung in Gruppen und das zur Bearbeitung der Übungen benötigte Material, sind unter folgendem Link zu finden: Einteilung in Gruppen Für den Blockkurs ist in der ersten Semesterwoche ein Zeitrahmen von vier aufeinanderfolgenden Nachmittagen zu jeweils vier Stunden vorgesehen. Der Kurs ist auf Eigenstu- Zeit Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Ort HPH G3 HPH G3 HPH G3 HPH G1 Tabelle 1.1: Zeiten (jeweils Uhr) und Hörsäle des Blockkurses 2012 dium angelegt. Deswegen müssen Sie nur an jeweils einem der vier Nachmittage zu einer Einführung anwesend sein. Die Zuteilung erfolgt mit dem Anfangsbuchstaben Ihres Nachnamens. Die mit Semesterbeginn aktualisierte Gruppeneinteilung finden Sie auf der oben angegebenen Webseite. Die übrigen zwölf Stunden werden zur selbständigen Bearbeitung der Testatübungen eingesetzt Testatbedingung Das Testat erhält, wer die drei in den Abschnitten 9.1, 9.3 und 9.4 gestellten Übungsaufgaben bearbeitet und die Ergebnistabellen abgibt. Dafür steht das ganze Frühjahrssemester zur Verfügung. Die Ergebnisse können bei G. Kress per oder auf Papier (ETHZ LEO C2, Leonhardstr. 27, 8092 Zürich) abgegeben werden Inhalt und Gebrauch dieses Skripts Für eine erfolgreiche Bearbeitung der Testatbedingungen hilft Ihnen vor allem Kapitel 4 Arbeiten mit ANSYS Classic. Es vermittelt Ihnen die grundsätzliche Bedienung mittels der graphischen Benutzeroberfläche (GUI) und mittels der ANSYS Parametric Design Language (APDL). Das dort behandelte Beispiel der Lochplatte ist gleichzeitig Gegenstand der ersten Testatübung, siehe Abschnitt 9.1. Bei der zweiten Testatübung (Abschnitt 9.3) hilft Ihnen Kapitel 6 und die dritte Testatübung ist inhaltlich auf Kapitel 8 bezogen. Neben den für die Bearbeitung der Testatübungen notwendigen Informationen bietet Ihnen das Skript mit Kapitel 2 eine Auswahl an skizzenhaften Darstellungen zur Theorie sowie eine ebenso spartanische Darstellung der einzelnen Teile einer Strukturanalyse mit FEM in Kapitel 3. Diese Informationen werden wichtig, sobald Sie Ihre eigenen Strukturanalysen durchführen wollen und die richtige Verwendung der Software von einem gewissen Theorieverständnis getragen werden muss. Kapitel 5 Eigenschwingungen und 7 Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen sowie die in Abschnitt 9.2 beschriebene Übung Kranausleger sind Ergänzungen, mit denen Sie sich bei Interesse gerne beschäftigen dürfen und die Ihnen bei ähnlichen Aufgaben im Rahmen Ihres Studiums als Referenz dienen können. Vertiefte Kenntnisse der FEM erhalten Sie in den Vorlesungen L: Strukturanalyse mit FEM sowie L : Grundlagen der nichtlinearen Finite-Elemente

9 1.2 Organisation 3 Methoden. Von den vielen Textbüchern zur FEM-Methode wird eine kleine Auswahl gegeben: Zienkiewicz and Taylor [1], Schwarz [2], Reddy [3, 4], Bathe [5], Desai und Abel [6], Oden [7] und Bathe und Wilson [8] Quellenangaben und Danksagung Kapitel 2 enthält Material, welches im Jahre 2008 für einen Vortrag im Rahmen des Symposiums Simulation von Werkzeugmaschinen zusammengestellt wurde. Einige der dort verwendeten Bilder wurden zuvor für das Skript der von mir gehaltenen Vorlesung Strukturanalyse mit FEM angefertigt. Die ausführlich dargestellte Übung Kranausleger in Abschnitt 9.2 wurde von damaligen Doktoranden gestaltet und weiterentwickelt, nämlich O. König, M. Giger, R. Roos und D. Keller. Weitere Übungen und Anleitungen für die Arbeit mit ANSYS Classic wurden im Jahre 2011 ausgearbeitet von T. Ponurovska, M. Winkler, B. Schläpfer und T. Delpero. Zürich, 20. Februar 2012

10 4 Ziele und Inhalte des Kurses

11 ) F F H N E = J E A Kapitel 2 Theoretische Grundlagen der FEM Der Gedanke der Darstellung, mit der Bestimmung von Eigenschaften, eines gegebenen Gebiets mittels einer Ansammlung von diskreten Elementen ist nicht erst mit der modernen FEM entstanden. Bereits im Altertum berechneten Mathematiker den Wert der Kreiszahl π bis auf etwa 40 Stellen genau aufgrund der Erkenntnis, dass die Länge eines einem Kreis einbeschriebenen Polygons dessen Umfang annähert [9]. ) & I * A H A? D K C H A E I = D H I D >?! "!!!! ) C? ) D I >! ' & ) = D, H A E A? A Abbildung 2.1: Annäherung des Kreises durch Dreiecke und Kreiszahlberechnung Auch im Flugzeugbau werden heute noch Tragflächen und Rumpfstrukturen als Zusammensetzungen von Rippen, Spanten und Schubfeldern behandelt. Die sogenannte Fachwerkmethode, von Hrenikoff 1941 eingeführt [10], stellt ein ebenes elastisches Medium als Ansammlung von Stäben und Balken dar. Der Begriff Finites Element wurde vielleicht 1960 von R.W. Clough [11] geprägt. Die FEM ist eine numerische Näherungsmethode, welche auch dann genaue Lösungen liefern kann, wenn die Komplexität der Geometrie oder der Randbedingungen keine analytische Lösung zulässt - was in der Ingenieurspraxis fast immer zutrifft. Ihre praktisch unbegrenzte geometrische Flexibilität, in Verbindung mit den rasant gewachsenen Möglichkeiten der Computertechnik, erklären Ihre heutige Bedeutung als ebenso selbstverständlich wie unverzichtbar gewordenes Berechnungswerkzeug für das Ingenieurswesen, aber auch fast alle anderen kontinuumsmechanisch behandelbaren Bereiche der Naturwissenschaft.

12 6 Theoretische Grundlagen der FEM Die Methode umfasst die Schritte: 1. Diskretisierung des Gebiets mit finiten Elementen 2. Aufstellung von numerischen Elementgleichungen 3. Zusammensetzung der Elementgleichungen und Lösung 4. Konvergenz und Fehlerabschätzung Die Aufstellung der Elementgleichungen gelingt mit Extremalprinzipien wie dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie. Ähnliche Gliederung zeigt sich auch im Ablauf einer FEM-Berechnung: 1. Vorlaufrechnung (Modellierung, Randbedingungen, Aufbau der Gleichungen) 2. Hauptrechnung (Lösen des numerischen Gleichungssystems) 3. Nachlaufrechnung (Zum Beispiel Berechnung und Darstellung der Spannungen) 2.1 Verschiebungsmethode und Energieprinzip In der Festkörpermechanik sucht die FEM die Lösung meistens in einem zulässigen Verschiebungsfeld u. Von einem zulässigen Verschiebungsfeld ausgehende Näherungslösungen enthalten im Allgemeinen lokale Verletzungen des Gleichgewichts und man findet sie, indem man die totale potentielle Energie Π eines Kontinuums mit Gebiet Ω und Rand Γ Π = U W = 1 ɛ T σdω f T udω ˆσ T udγ σ T ûdγ, (2.1) 2 Ω Γ σ Γ σ Ω welche sich aus der Deformationsenergie U und der Arbeit der äusseren Krafte W zusammensetzt, hinsichtlich der Verschiebungen u minimiert. Wenn man die Lösung erst in den Verschiebungen sucht, und diese durch mit den diskreten Lösungsparametern ũ gewichteten Ansatzfunktionen Φ in den einzelnen finiten Elementen angenähert wird, muss man die Spannungen mit dem Werkstoffgesetz durch die Dehnungen und diese mit den kinematischen Beziehungen durch die Verschiebungen ausdrücken. Da Π für die beste Wahl der Lösungsparameter ũ den niedrigsten Wert annimmt, entsteht systematisch ein numerisches Gleichungssystem für ũ, indem im Minimalpunkt die Ableitungen der totalen potentiellen Energie nach den Verschiebungen verschwinden müssen: δπ(u, u ) = Π Π δu + δu = 0 (2.2) u u u u In der Verschiebungsformulierung wird die wahre Steifigkeit der Struktur zu hoch abgebildet. Jedoch verringert sich mit zunehmender Netzfeinheit der Abstand zwischen der zu steifen Näherung und der wahren Lösung. 2.2 Diskretisierung der Verschiebungslösung Ein einzelnes finites Element besitzt Gebiet, Rand und Knotenpunkte. Auf den Knoten sind diskrete Verschiebungswerte ũ definiert, welche vorgegebene einfache Formfunktionen Φ über das Elementgebiet wichten: u = Φ T ũ δu = Φ T δũ (2.3)

13 2.3 Jacobitransformation mit isoparametrischen Elementen 7 ". " D N! ".! D N!. " D " N.! N D " ". D N! ". D N! " N D.. N D " Abbildung 2.2: Formfunktionen eines bilienaren zweidimensionalen Elements Solche Formfunktionen sind nur innerhalb des Elementgebiets in lokalen Koordinaten, im Beispiel in Abb. 2.2 ξ und η genannt, definiert. Die Ansatzfunktionen der meisten Standardelemente bestehen aus Polynomtermen. Diese müssen in der Regel vollständig sein, nämlich konstante Terme erlauben die verzerrungsfreie Starrkörperverschiebung und lineare Terme bilden konstante Dehnungs- und Spannungszustände ab und sorgen mit zunehmender Netzfeinheit auch für Konvergenz gegen die wahre Lösung. Stellt man die Verschiebungs-Verzerrungsgleichungen mit einem Differentialoperator D und das Werkstoffgesetz mit einer Matrix C dar, ɛ = Du = Bũ σ = Cɛ (2.4) führt das Prinzip des Minimums der totalen potentiellen Energie auf die Arbeitsgleichung [ Ne ( ) ] [ Ne ( ) ] δũ T B T CBdΩ ũ = δũ T ΦfdΩ + ΦˆσdΓ (2.5) Ω e Ω e Γ e k=1 Dabei erkennt man, dass das Integral über das gesamte Gebiet Ω des zu analysierenden Bauteils in die Summe der Beiträge aus den einzelnen Elementgebieten Ω e zerfällt. Die sogenannten virtuellen Verschiebungen δũ sind allen Termen gemeinsam. Nach Ausklammern ergibt sich das Gleichungssystem: k=1 N e ( ) N e ( Kũ = r, K = B T CBdΩ, r = ΦfdΩ + Ω Ω k=1 k=1 Γ ) ΦˆσdΓ. (2.6) Steifigkeitsmatrix K e und Lastvektor r e eines einzelnen finiten Elements berechnet man mit: K e = B T CBdΩ r e = ΦfdΩ + ΦˆσdΓ. (2.7) Ω e Ω e Γ e 2.3 Jacobitransformation mit isoparametrischen Elementen In der Arbeitsgleichung werden Ableitungen der Verschiebungskomponenten nach den globalen Kordinaten x und y gefordert während die Elementansatzfunktionen in den lokalen Elementkoordinaten ξ und η definiert sind. Eine für ein automatisches Berechnungsprogramm geeignetes Schema stellt die Verschiebungsableitungen nach den Referenzkoordinaten mittels der normierten lokalen Elementkoordinaten dar. Dies gelingt bei isoparametrischen Elementen, deren Geometrie mit den gleichen Funktionen parametrisiert ist wie

14 8 Theoretische Grundlagen der FEM D D D N N N O O N D O D@ N N N D O O N D N N NN O D D N O N N D O O D Abbildung 2.3: Normiertes Referenzelement und im Netz vorliegendes Element die unbekannte Verschiebungslösung, x = Φ T x y = Φ T ỹ (2.8) elegant, indem man zunächst die inneren Ableitungen notiert: u, x = u, ξ ξ, x +u, η η, x (2.9) und dann wegen der Isoparametrie (2.8) erkennt, dass man mit der Inversen J 1 der Jacobi-Matrix J die benötigten Transformationsfaktoren erhält. [ ] [ ] x,ξ y, J = ξ, J 1 ξ,x η, = x (2.10) x, η y, η ξ, y η, y 2.4 Integration über das Elementgebiet Die Integration der Elementsteifigkeitsmatrix erfolgt in der Regel mit einem numerischen Schema wie, etwa bei zweidimensionalen Elementen, der Gaussquadratur. Diese findet den Wert des Integrals von Polynomen, indem sie an festgelegten Stützpunkten innerhalb des normierten Elementgebiets die Funktionswerte berechnet, wichtet und zusammenzählt: 1 1 F (ξ)dξ = N GP i=1 w i F (ξ i ) (2.11) Die Integration ist für beliebige Polynome exakt, wenn nur genügend viele Stützstellen, oder Gausspunkte, gewählt werden. Die Integration über zwei Richtungen wird zur Summation über alle Gausspunkte im zweidimensional Gebiet, wie es Abb 2.4 andeutet. 2.5 Integrationsfehler Integrationsfehler können dann entstehen, wenn die Anzahl der Gausspunkte kleiner ist als für den Polynomgrad erforderlich, oder wenn der Integrand andere Funktionen als Polynome enthält. Tatsächlich entstehen solche anderen Funktionen, nämlich gebrochen rationale Funktionen, bei Elementverzerrung. Die Ursache liegt darin, dass die Einträge der Jacobimatrix nur bei bestimmten Elementformen (Viereck: Parallelepiped) ortsunabhängige Konstanten sind. Oft haben die Elemente andere Gestalt und dann gelangen bei der Inversion Polynome in den Nenner, sodass insgesamt gebrochen rationale Funktionen entstehen. Bei kleinen Elementverzerrungen mögen die Integrationsfehler vernachlässigbar sein, grosse Elementverzerrungen sollten jedoch vermieden werden. Oft wird vor extremen Längen-Seitenverhältnissen (aspect ratio) gewarnt. Man überzeugt sich jedoch leicht, dass diese an sich keine Integrationsfehler erzeugen.

15 2.6 Krummlinige Elemente und Geometrieapproximation 9 - A A J 6 O2 F A O E = A N =? J J D # % % D E A = H! D # % % N D % % " D G K H = J E? " # D N D % % " D & $ D? K > E? $ % D!! ' D!! ' N D & $ Abbildung 2.4: Gausspunkte in zweidimensionalen Elementen,,,,,,,,, # Abbildung 2.5: Verzerrte bilineare finite Elemente 2.6 Krummlinige Elemente und Geometrieapproximation Die Ränder von Elementen mit Ansatzfunktionen höherer Ordnung können im globalen Koordinatensystem gekrümmt sein. Abb. 2.6 demonstriert wie gut sich solche krummli- 4 A B A H A? A - A A J > =? = = G K H = J > = E A = H Abbildung 2.6: Geometrieapproximation mit linearen (gelb) und quadratischen Elementen nigen Elemente zur Abbildung gekrümmter Gebietsränder eignen. Krummlinige Elemente eignen sich grundsätzlich auch gut zur Approximation der Spannungen, wenn diese sich stark örtlich ändern. Jedoch gilt es die Stärke der höherwertigen Elemente gegen den höheren numerischen Aufwand abzuwiegen. Abb. 2.7 weist insgesamt einen achtfach höheren Aufwand fr die Erstellung der Steifigkeitsmatrix für das Element mit 8 Knoten,

16 10 Theoretische Grundlagen der FEM 1 J A C H = J E I F K J A - E J H C A E 5 J A E B E C A E J I = J H E N ) = D ) I = J B K J E A ) = D 6 A H A E A H J) E I = J B K ) = D - E J H C A E * = J H E N * E E A = H A I 8 E A H A? I A A A J 3 K H = J E I? D A I 5 A H E F E J O - A A J ) = D F A H = J E A =? > E = J H E N ) = D F A H = J E A 1 J A C H / A I = JD = 4 A? D A F A H = J E A Abbildung 2.7: Berechnungsaufwand bei 2D Elementen mit 4 und 8 Knoten bezogen auf das Element mit 4 Knoten, aus. 2.7 Zusammenbau der Systemgleichungen Bei der Addition der Elementgleichungen gemäss Gleichung 2.6 auf Seite 7 muss der Zusammenhang des einzelnen Elementes mit den global numerierten Knoten des Systems beachtet werden. Zum Beispiel bestimmt die Koinzidenztafel, mit welchen globalen Systemknoten die lokalen Elementknoten zusammenfallen. Die Anordnung der Knotennummern des Netzes bestimmt die Besetzungsstruktur der Steifigkeitsmatrix. Diese ist bei linear elastischen Problemen symmetrisch und die von Null verschiedenen Einträge liegen innerhalb eines Bandes. Für die Lösungseffizienz wünscht man sich eine möglichst kleine Bandweite. Der Nutzer von Anwenderprogrammen profitiert in der Regel, ohne es zu bemerken, von einem automatisch arbeitenden Bandweitenoptimierer (oder Profiloptimierer), der die Knotennummerierung für eine möglichst günstige Besetzungsstruktur der Systemmatrix optimiert. In Verbindung mit dem geeigneten Speichermodus ergeben sich besonders bei grossen Systemen drastische Einsparungen an Speicherplatz und Rechenzeit. Abb. 2.8 zeigt eine Struktur mit Einteilung in finite Elemente und Numerierung der! " " - A A J - A A J - A A J! - A A J "! %! # # "! $ # % & $ '! & ' $ % - A A J # - A A J $ - A A J % - A A J & - A A J ' 5 O I J A K I / A > E A J E J = I J 4 > E C K C A A J ) K B > = A H / A I = J I J A E B E C A E J I = J H E N Abbildung 2.8: Illustration zu Koinzidenz und Matrixstruktur Knoten und deutet an, wie die Elementmatrizen in die Systemmatrix eingeordnet werden.

17 2.8 Randbedingungen und Freiheitsgradverknüpfung Randbedingungen und Freiheitsgradverknüpfung Das soeben erstellte Gleichungssystem ist zunächst wegen der Singularität der Steifigkeitsmatrix nicht lösbar. Die Singularität ist mathematisch in ihrer Entstehung aus dyadischen Produkten, siehe (2.6), begründet. In der mechanische Deutung kann der nicht gelagerte Körper energiefreie Starrkörperbewegungen ausführen. Deswegen müssen geometrische Randbedingungen, die mindestens einer statisch bestimmten Lagerung entsprechen, gesetzt werden. Darüber hinaus darf das elastische System durchaus statisch überbestimmt sein. Die geometrischen Randbedingungen legen die Werte der Primärlösung fest; in der Strukturanalyse sind dies in der Regel die Verschiebungen. In der Form mit Zwangsmatrizen (constraining matrizes) lassen sich sowohl die geometrischen Randbedingungen wie auch beliebige lineare Beziehungen zwischen den Freiheitsgraden (Freiheitsgradverknüpfungen, constraints) beschreiben: ũ = Cũ + û (2.12) Der Vektor aller Freiheitsgrade ũ wird mit Hilfe der Zwangsmatrix C durch die geringere Zahl der wirklich unabhängigen Freiheitsgrade ũ dargestellt und der mit dem Dach gekennzeichnete Vektor û enthält die Werte der vorgeschriebenen und von Null verschiedenen Verschiebungen. Wegen der Arbeitsgleichung (2.5) erhält man das verkleinerte Gleichungssystem C T KCũ = C T r C T Kû (2.13) 2.9 Lösung der Systemgleichungen Die Lösung der Systemgleichungen erfolgt mit direkten oder iterativen Methoden. Die 8 H M H J I A E I A J A 4? M H J I A E I A J A O B K B. I K 4 K B 4 K B O B K I 4 K O 4 K O Abbildung 2.9: Direkte Lösung und Methode der konjugierten Gradienten direkten Methoden beruhen auf dem Prinzip der Dreieckszerlegung und eignen sich bis zu einer gewissen Systemgrösse, wobei eine geringe Bandweite (oder ein geringes Profil) günstig ist, denn diese geht quadratisch in den Berechnungsaufwand ein. Bei sehr grossen Systemen, und um sehr mehr bei grosser Bandweite, wird das Verfahren der konjugierten Gradienten günstiger. Es minimiert, wie ein Optimierungsalgorithmus, die totale potentielle Energie. Die für garantierte exakte Lösung benötigte Anzahl der Iterationen gleicht der Zahl der Unbekannten. Gute Startwerte und vor allem eine günstige Konditionierung der Systemmatrix können begünstigen, dass in einer wesentlich kleineren Zahl von Iterationen sehr gute Näherung an die exakte Lösung vorliegt. So kann die Methode der

18 12 Theoretische Grundlagen der FEM konjugierten Gradienten bereits bei eher kleinen Systemen schneller sein, wenn es um sequentielle Prozesse wie zum Beispiel Simulation einer Schadensfortschrittsrechnung geht [12] Nachlaufrechnung und Sekundärlösung Grundsätzlich erhält man gemäss Gleichung 2.4 auf Seite 7 die Spannungen mit dem Werkstoffgesetz aus den Dehnungen und die letzteren mit den kinematischen Beziehungen aus den Verschiebungen, deren Freiheitsgrade mit der Lösung der Systemgleichungen vorliegen. Die Ansatzfunktionen eines finiten Elementes können in der Regel die wahre Lösung nur annähern. Barlow [13] identifiziert Punkte, an denen die Dehnungen nach FEM am besten mit einer angenommen wahren Lösung übereinstimmen. Diese ist ebenfalls eine Polynomfunktion, welche um eine Ordnung komplexer ist als der Ansatz des Elements. Nun fordert er, dass angenommene Lösung und Approximation an den Knotenpunkten übereinstimmen und stellt dann die Frage, an welchen Punkten die Ortsableitungen beider gleiche Ortsableitungen haben. Dies ist an Gausspunkten der Fall, weswegen die Sekundärlösung grundsätzlich dort ausgewertet wird. Es muss kritisch betrachtet werden, 6 H K A, E I F =? A A J. -, E I F =? A A J 6 H K A 5 J H = E. - 5 J H = E Abbildung 2.10: Illustration zu Barlow s Ansatz unter welchen Umständen eine Extrapolation auf Knotenpunkte, mit anschliessender Mittelung der Beiträge aller an den jewiligen Knoten anschliessender Elemente, sinnvoll oder auch nur richtig sein kann Elemente niedriger Komplexität und Biegung Betrachtet man ein Biegeproblem wie in Abb dargestellt, so liefern Drei- und ) = D - A A J A ) = D. H A E D A E J I C H A! = N E = A, K H? D I A K C " = N E = A * E A C A I F = K C! " # #! & "! & "! & $ % #! Abbildung 2.11: Ergebnisse unterschiedlicher FEM-Modelle zu einem Biegeproblem

19 2.12 Sperreffekt des schubweichen Balkens 13 Viereckselemente ganz unterschiedliche Ergebnisse. Offensichtlich liefert das Dreieckselement trotz hoher Netzfeinheit ein viel zu steifes Strukturmodell. Den Grund findet man in den unterschiedlichen Ansatzfunktionen beider Elementtypen, welche in Abb zusammengefasst sind: das Dreieckselement bildet nur konstante Spannungen ab, der bi- D N. " N D N D N D N D. N " D D D D. D " N N N N D N.. = = N = D = N D E E E! E " E N D N D. N. D Abbildung 2.12: Ergebnisse unterschiedlicher FEM-Modelle zu einem Biegeproblem lineare Term in den Ansatzfunktionen des Viereckelements enthält die Darstellung der linear veteilten Biegespannung durch die Dicke hindurch Sperreffekt des schubweichen Balkens Das Energiefunktional des schubweichen Balkens enthält Biege- und Schubverzerrungsdeformationsenergien: Π = 1 ( ) EI(β) 2 dx + GA S (w + β) 2 dx wqdx w 2 ˆQ + w ˆM (2.14) Ω Ω Ω Γ Γ Die Differenz zwischen der Querschnittsverdrehung β und der Ableitung der Biegelinie w ist der Schubwinkel γ: die Querschnitte bleiben nach Theorie erster Ordnung zwar eben, stehen jedoch nicht mehr senkrecht auf der Mittellinie. > M C M C M K > > M Abbildung 2.13: Biege- und Schubdeformationen des Balkens Die Diskretisierung liefert eine Steifigkeitsmatrix mit Anteilen für Biegung und Schub: K = K B + S = EIK B + GA S K S = EI (K B + αk S), α = GA S EI (2.15)

20 14 Theoretische Grundlagen der FEM Das Element eignet sich grundsätzlich dafür, den Einfluss von Schub bei gedrungenen Balken zu erfassen. Verwendet man es jedoch zur Abbildung von dünnen Balken, bei denen der Schubeinfluss vernachlssigbar ist, liefert das schubweiche Balkenelement vollkommen falsche Aussagen. Die Biegesteifigkeit EI nimmt mit kleiner werdender Balkendicke schneller ab als die Schubsteifigkeit GA S und im Limit erhält man α. Damit dominiert, im Gegensatz zur Realität, die Schubsteifigkeit und das Element sperrt: K Sũ = r α (2.16) Den Sperreffekt beseitigt man zum Beispiel durch unvollständige Integration der Schubsteifigkeitsmatrix, welche dadurch einen niedrigeren Rang erhält und selbst nach Einarbeitung der geometrischen Randbedingungen singulär verbleibt. Dann dominiert bei dünnen Balken die Biegesteifigkeit, was auch der Realität entspricht.

21 Kapitel 3 Strukturanalyse mit FEM Das in Abb. 3.1 dargestellte Ablaufschema einer typischen Strukturanalyse mit FEM ent- 8 H = K B H A? D K C 0 = K F J H A? D K C =? D = K B H A? D K C, = J A A E A I A / A A J H E A A H I J A A / A A J H E A L A H A J A - A A J C A E? D K C A 5 O I J A C A E? D K C A 4 > E C K C A / A E? D K C I I O I J A I A - A A J L A H A H H K C A 5 F = K C A. A I J E C A E J I H E J A H E A 8 E I K = E I E A H K C Abbildung 3.1: Ablaufschema einer Strukturanalyse mit FEM spricht in der Reihenfolge der eizelnen Schritte weitestgehend der in Kapitel 2 gegebenen Theoriedarstellung. Auch die in den Kapiteln 4 bis 8 vorgeführten Berechnungsbeispiele folgen dem Schema. Man erkennt es auch in der Gestaltung der Programmbenutzeroberfläche (graphical user interface GUI) von FEM-Software wieder; bei ANSYS Classic ist es die Grobstruktur des Main Menu. Dies erleichtert dem Anwender mit Theoriehintergrund den Einstieg in die Bedienung solcher Programme. 3.1 Wahl des Einheitensystems FEM-Programme sind neutral bezüglich der Wahl der Einheiten, denn sie verarbeiten nur Zahlenwerte. Diese müssen jedoch konsistent mit einem gewählten Einheitensystem sein. Tabelle 3.1 zeigt Einheiten im SI-System (m-k-s) und die Umrechnungen für cm und mm. Im SI-System ergibt sich die Einheit der Kraft aus Newton s Trägheitsgesetz, f = m a, wird deswegen Newton genannt und mit N abgekürzt. Für Strukturanalysen muss die Massendichte auf die Einheiten der Länge, der Kraft und der Zeit umgerechnet werden. Im SI-System ist der Umrechnungsfaktor gleich Eins. Bei Verwendung anderer