Blockpraktikum Optik

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1 Blockpraktikum Optik Universität Potsdam Bestimmung des Brechungsindex von Gasen, Flüssigkeiten und Feststoffen Jan-Etienne Pudell Sina Reiter Markus Kayser Nadin Haase Philipp Kummerow Antje Kautzleben

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Aufbau Durchführung Auswertung Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mittels Phasenmethode Der Brechungsindex von Gasen Michelson-Interferometer Grundlagen Aufbau und Durchführung Auswertung Der Brechungsindex von Flüssigkeiten Bestimmung des Brechungsindex mittels Phasenmethode Newton sche Ringe Grundlagen Aufbau Durchführung Mit Laser Auswertung Abbé-Refraktometer Grundlagen, Durchführung und Auswertung Michelson-Interferometer Aufbau und Durchführung Auswertung Plattenkondensator Aufbau und Durchführung Auswertung Erläuterung Der Brechungsindex von Festkörpern Spektralzerlegung am Prisma Aufbau Durchführung Auswertung Abbé-Refraktometer Aufbau Durchführung und Auswertung Ergebnis Brewster-Winkel und Reflexionsgrad Grundlagen Aufbau Durchführung Auswertung Ergebnis Plattenkondensator Durchführung und Auswertung

3 6 Vergleich der Methoden Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit Der Brechungsindex von Gasen Der Brechungsindex von Flüssigkeiten Der Brechungsindex von Festkörpern Fazit Schlusswort 38 8 Anhang Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Der Brechungsindex von Gasen Michelson-Interferometer Der Brechungsindex von Flüssigkeiten Refraktometer Newton Plattenkondensator Der Brechungsindex von Festkörpern Brewster-Winkel und Reflexionsgrad Plattenkondensator Literaturverzeichnis 44 Abbildungsverzeichnis 45 2

4 1 Einleitung Der vorliegende Bericht umfasst das Ergebnis des Projektpraktikums zum Thema Optik, welches in der Woche vom stattfand. In diesem Zeitraum führten wir verschiedene Experimente zur Bestimmung des Brechungsindex von Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern durch und verglichen diese kritisch miteinander. Des Weiteren haben wir zwei Methoden zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit miteinander verglichen. Über den stoffspezifischen Brechungsindex n ist es einerseits möglich Aussagen über die Phasengeschwindigkeit des Lichts in einem bestimmten Medium zu treffen. Andererseits lassen sich unter Zuhilfenahme der sogenannten Maxwell-Relation (1), Rückschlüsse auf den molekularen Aufbau verschiedener Stoffe und deren Zusammensetzung ziehen. c med = 1 µε = 1 µ0 ε 0 1 µr ε r = c 0 1 µr ε r c 0 c med = µ r ε r = n n ε r (Maxwell-Relation) (1) Die Maxwell-Relation berücksichtigt dabei den Zusammenhang zwischen der Brechzahl n und der elektrischen Permittivität ε r, welche eine charakteristische Größe des betreffenden Mediums ist. Da viele Materialien nichtmagnetisch sind, darf für diese die magnetische Permeabilitätszahl µ r 1 gesetzt werden. Die Kenntnis des Brechungsindex findet in vielen Bereichen ihre technische Anwendung zum Beispiel bei Fotoapparaten, bei der Erstellung vergüteter Linsen, bei Mikroskopen, bei Teleskopen, sowie zur Dimensionierung von Glasfasern zur Signalübertragung. 3

5 2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit 2.1 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Bei diesem Versuch haben wir die Lichtgeschwindigkeit in Luft mit Hilfe eines Aufbaus nach Foucault gemessen. Dieser verwendet lediglich einen Laser, einen rotierenden Spiegel, einen Hohlspiegel und einige geometrische Überlegungen, um die Lichtgeschwindigkeit zu bestimmen. Abbildung 1: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Aufbau Abbildung 2: Skizze zum Aufbau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Ausgehend von einem auf einer Optikbank befestigten Laser legt ein Lichtbündel einen Weg bekannter Länge zurück. Dabei wird es zunächst mit der Linse L 1 im Punkt s gebündelt. Von dort wird es mit der Linse L 2 über den rotierenden Spiegel M R auf den Hohlspiegel M F fokussiert. Dort wird das Licht wiederum reflektiert und trifft erneut auf den rotierenden Spiegel. Während der Laufzeit des Lichts vom rotierenden zum Hohlspiegel und zurück hat sich ersterer allerdings ein wenig weiter gedreht und somit seinen Winkel verändert. Folglich fällt das erneut am Rotationsspiegel reflektierte Licht unter verändertem Winkel in die Messapparatur (Mikroskop und Strahlteiler) ein. Bestimmt man zunächst bei einem ruhenden Spiegel den Auftreffpunkt des Lichtbündels, so kann man anschließend in Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit des Spiegels beobachten, wie sich der Punkt von der Ausgangslage entfernt. 4

6 Sind nun die Rotationsgeschwindigkeit des Spiegels sowie alle geometrischen Größen des Aufbaus, insbesondere die Längen, genau bekannt, kann man aus dem Abstand zwischen den beiden gemessenen Positionen die Lichtgeschwindigkeit berechnen. Bei einem Drehwinkel ϕ befindet sich der Laserstrahl auf dem Hohlspiegel auf einem Punkt S. Wenn der Rotationsspiegel sich um den Winkel ϕ weiter gedreht hat, ändert sich der Winkel zwischen ein- und ausfallenden Strahl um 2( ϕ). Somit verschiebt sich der Laserstrahl auf dem Hohlspiegel auf den Punkt S 1 und für den Abstand der beiden Punkte gilt: S = S 1 S = 2 M R M F ϕ (2) wobei M R M F der Abstand zwischen Rotations- und Hohlspiegel ist. Für das Bild im Mikroskop gilt: s = b S (3) g mit der Bildweite b, die dem Abstand zwischen Linse L 2 und Linse L 1 vermindert um die Brennweite f L1 von L 1 entspricht, und der Gegenstandsweite g, welche hier den Abstand zwischen Hohl- und Drehspiegel addiert zum Abstand zwischen Drehspiegel und Linse L 2 darstellt. Mit den Gleichungen (2) und (3) folgt: s = s = L 1 L 2 f L1 M R M F + M R L 2 S = 2 M RM F ( L 1 L 2 f L1 ) ϕ M R M F + M R L 2 (4) Die Größe der Winkeländerung ϕ ändert sich in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ω des Drehspiegels, hierbei gilt: und es folgt für Gleichung (4): ϕ = 2 M RM F ω c s = 4 M RM F 2 ( L 1 L 2 f L1 )ω c( M R M F + M R L 2 ) Somit lässt sich die Lichtgeschwindigkeit c über einige geometrische Größen des Aufbaus sowie die Rotationsgeschwindigkeit ω des Spiegels bestimmen Durchführung c = 4 M RM F 2 ( L 1 L 2 f L1 )ω s ( M R M F + M R L 2 ) Nachdem wir den Versuch aufgebaut hatten, mussten wir ihn justieren: Der Laserstrahl musste so ausgerichtet werden, dass er den Hohlspiegel trifft und wieder zurück auf die Messapparatur fällt. Dort wurde ein Fadenkreuz mittels einer Mikrometerschraube auf den Lichtpunkt eingestellt und der Wert an der Mikrometerschraube abgelesen. Anschließend haben wir einen Motor, der den Spiegel dreht, auf eine feste Drehzahl eingestellt. In diesem Zustand wurde das Fadenkreuz erneut ausgerichtet und der Wert notiert. So konnte die Differenz s bestimmt werden. Alle anderen Größen haben wir zuvor ausgemessen: M R M F = 13, 26 m L 1 L 2 f L1 = 0, 259 m M R L 2 = 0, 487 m 5

7 2.1.3 Auswertung Wir erwarten für die Lichtgeschwindigkeit in Luft einen Wert von: c Luft 2, m/s, dieser berechnet sich über c Luft = c 0 n Luft 2, m/s 1, [1][2]. Wir erhalten folgende Werte für die Lichtgeschwindigkeit: Drehrichtung Drehzahl f Abstand s Lichtgeschwindigkeit c Abweichung CW 1071 Hz 0, 288 mm 3, m/s 3, 3% 1500 Hz 0, 425 mm 2, m/s 2, 0% CCW 1065 Hz 0, 793 mm 1, m/s 63% 1478 Hz 0, 900 mm 1, m/s 54% Wir erhalten bei der Messung im Uhrzeigersinn (CW) sehr gute Werte, die nahe der Lichtgeschwindigkeit c Luft liegen. Aus diesen beiden Werten haben wir den Mittelwert gebildet: c Luft = 3, m/s, dies entspricht einer Abweichung von 0, 7%. Die große Abweichung der beiden anderen Messwerte vom Literaturwert können wir uns nur über einen Defekt im Aufbau erklären. Die unterschiedliche Auslenkung konnte man gut in dem Mikroskop sehen, somit ist ein Ablesefehler auszuschließen. Da der Fehler anscheinend mit der Drehzahl absinkt, vermuten wir einen Defekt bei dem Drehzahlmesser. Dieser misst die Drehzahl mittels einer Lichtschranke, welche über einen silbernen Streifen auf einer unter dem Spiegel befestigten schwarzen Scheibe ihr Signal bekommt. Jedoch ist genau diese Scheibe an einer weiteren Stelle angekratzt und somit auch dort silbern; eventuell könnte der Messfehler hiermit zusammenhängen. 2.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mittels Phasenmethode Der Brechungsindex eines Mediums ist definiert als der Quotient der Ausbreitungsgeschwindigkeiten von Licht in Vakuum und Materie: n = c 0 c med Die Lichtgeschwindigkeiten in verschiedenen Flüssigkeiten und in Luft kann man mit einem einfachen aber effektiven Experiment leicht bestimmen. Man verwendet dazu eine Lichtquelle periodisch modulierter Intensität und lenkt das Licht über einen verschiebbaren Umlenkspiegel so ab, dass es nach dem Zurücklegen einer bestimmten Wegstrecke auf einen Detektor fällt, und dort eine sinusförmige Wechselspannung mit gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Phasenlage erzeugt. Mit Hilfe eines Zweikanaloszilloskops kann nun über die Beobachtung der Lissajous- Figur die Phasendifferenz bei der Veränderung der Weglänge beobachtet werden. Zuerst werden die Umlenkspiegel im Strahlengang justiert, sodass sich zwischen Quelle und Detektor eine Phasenverschiebung von 0 gibt. Anschließend wird der Spiegel um die Strecke x verschoben (Abbildung 3), sodass sich die Phasenlage um 180 ändert. 6

8 Abbildung 3: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mittels Phasenmethode Eine Phasenverschiebung von 180 entspricht einer halben Periode ( T 2 ) zwischen Sender- und Empfängersignal. Das Licht legt also in der halben Periodenzeit des modulierten Signals die Strecke 2 x zurück. Damit folgt für die Lichtgeschwindigkeit c: c = 2 x 0, 5T = 4 xf Die Frequenz des modulierten Signals ist mit f = 50 MHz am Gerät angegeben. Die Notwendigkeit der Modulierung liegt darin, dass die derzeitigen Messgeräte nur bis zu bestimmten Frequenzen korrekt arbeiten können. Um die Messunsicherheiten beim Ablesen des Wegunterschiedes x zu minimieren, haben wir die Messung vier mal durchgeführt und dann das arithmetische Mittel gebildet. Für die Lichtgeschwindigkeit ergeben sich folgende Werte: Messung Wegunterschied x Lichtgeschwindigkeit c 1 150, 9 cm 3, m/s 2 152, 2 cm 3, m/s 3 151, 3 cm 3, m/s 4 151, 2 cm 3, m/s Mittelwert 151, 4 cm 3, m/s Die Abweichung zum Wert der Lichtgeschwindigkeit in Luft c Luft = 2, m/s (siehe Abschnitt 2.1.3) beträgt 1, 0%. Diese Methode der Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit ist also sehr präzise. 7

9 3 Der Brechungsindex von Gasen 3.1 Michelson-Interferometer Bei diesem Versuch haben wir die Möglichkeit der Messung des Brechungsindex von Gasen mittels Michelson-Interferometer untersucht. In Abschnitt 4.4 haben wir untersucht, wie man die Messmethode auf Flüssigkeiten erweitern kann. Abbildung 4: Michelson-Interferometer Grundlagen Das Michelson-Interferometer ist ein Interferometer, welches nach dem Physiker Albert Abraham Michelson benannt wurde. Benutzt wurde es, um beim Michelson-Morley-Experiment den Lichtäther zu untersuchen; mit dem Ergebnis, dass dieser nicht existiert. Beim Michelson-Interferometer wird ein kohärenter Lichtstrahl durch einen halbdurchlässigen Spiegel in zwei zueinander senkrechte Strahlen getrennt, welche durch Spiegel reflektiert und anschließend auf einen Schirm geworfen werden. Dort entsteht durch die Überlagerung beider Strahlen ein Interferenzmuster. Abbildung 5: Schematischer Aufbau eines Michelson-Interferometers 8

10 Da beide interferierende Lichtstrahlen aus dem gleichen Ausgangsstrahl kommen, ist der Unterschied der optischen Weglänge nur von den unterschiedlichen geometrischen Weglängen abhängig. Eine Verschiebung des Spiegels um d ändert die optische Weglänge um 2d, da die Strecke sich um den Hin- und Rückweg des Strahls vergrößert hat. Damit lässt sich die Wellenlänge über λ = 2d N N, (5) darstellen, wobei N die Anzahl der Wechsel des Interferenzmusters ist; zum Beispiel von Maximum zu Maximum während des Verschiebens. Um den Brechungsindex von Gasen zu bestimmen, wird eine Küvette mit dem zu untersuchenden Gas in den Strahlengang eingebaut. Da sich die Länge s der Küvette nicht ändern lässt, wird stattdessen der Druck in der Küvette variiert. Somit ändert sich die Dichte der Gasteilchen, was äquivalent zu einer Weglängenänderung ist. Der Brechungsindex ist also linear von Gasdruck abhängig: n = n 0 + dn dp p Wenn die Wechsel beobachtet werden, hat sich die optische Weglänge um N λ geändert. Daraus folgt: n(p + dp) n(p) = N(p) N(p + dp) λ 2s (6) Mit Gleichung (6) und der Definition des Differentialquotienten lässt sich die obere Gleichung zu n = 1 + dn dp umformen, wobei n 0 = 1 ist, da für p = 0 n = 1 gilt Aufbau und Durchführung λ p, (7) 2s Um sicherzustellen, dass die Mikrometerschraube der Apparatur kalibriert ist, haben wir zunächst Licht mit einer bekannten Wellenlänge durch Verschiebung des Spiegels vermessen. Abbildung 6: Michelson-Interferometer mit Detektor (Photozelle) von der Seite Abbildung 7: Michelson-Interferometer mit Detektor (Photozelle) von oben 9

11 Um unser Ergebnis weiter zu verbessern, haben wir statt eines Schirms, auf dem die Interferenzringe sichtbar sind, einen Detektor eingebaut. So war es uns möglich 1000 Wechsel der Interferenzringe zu messen. Der Detektor bestand aus einer Photozelle und einem Zähler. Bei jedem hellen Ring wird um den Wert 1 hochgezählt. Bei dem grünen Laser stellt sich heraus, dass wir über die Gleichung (5) die Wellenlänge des Lasers auf 0, 04% genau bestimmen können; bei dem roten Laser haben wir jedoch Abweichungen von 6%. Dies ist auf die verdreckten Linsen zurückzuführen. Da die roten Interferenzringe kleiner als die grünen sind, werden einige Übergänge nicht detektiert; deshalb haben wir für die folgenden Experimente den grünen Laser benutzt. Aufgrund der geringen Abweichung, die nach unten durch die Genauigkeit der Mikrometerschraube begrenzt ist, sehen wir das Interferometer als kalibriert an. Für die Messung des Brechungsindex von Gasen haben wir den Spiegel nicht mehr verschoben, sondern eine Küvette mit dem Gas gefüllt, langsam ausgepumpt, wieder die Interferenzmusterübergänge gezählt und den Gasdruck dazu notiert. Abbildung 8: Messung des Brechungsindex von Gasen mittels Michelson-Interferometer Wir messen dabei die Brechungsindizes von den Gasen Kohlenstoffdioxid (CO 2 ), Stickstoff (N 2 ), Argon (Ar) und der Gasmischung Luft Auswertung Um eine genaue Aussage über den Brechungsindex zu treffen, haben wir die Messung mehrmals wiederholt; bei Luft zehn mal und bei den anderen Gasen vier mal. Wir erhalten hierbei nach Gleichung (7) folgende Ergebnisse: Gas Brechungs- Messunge Literaturwert n Abweichung index n -nauigkeit Luft 1, % 1, [3] 0, 005% Kohlenstoffdioxid (CO 2 ) 1, % 1, [4] 0, 002% Stickstoff (N 2 ) 1, % 1, [5] 0, 002% Argon (Ar) 1, % 1, [6] 0, 002% Die Messungenauigkeit bezieht sich dabei auf den errechneten Wert abzüglich des Brechungsindex von Vakuum, also zum Beispiel bei Luft 0, 00022; während die Abweichung sich auf den Wert inklusive des Brechungsindex von Vakuum bezieht, also zum Beispiel bei Luft 1,

12 Diese Unterscheidung machen wir aufgrund der Addition in Gleichung (7). In dieser Tabelle lässt sich gut sehen, wie mit abnehmender Anzahl der Atome im Gasmolekül bzw. abnehmender atomarer Masse, der Brechungsindex kleiner wird und sich dem Brechungsindex von Vakuum (n = 1) annähert. Die Literaturwerte beziehen sich bei den Quellen oft auf Laser mit anderen Wellenlängen. Dies ist jedoch für unsere Messungen nicht relevant, da die Unterschiede zum Beispiel zwischen Grün (543, 5 nm) und Rot (633 nm) maximal eine Messungenauigkeit in der Größenordnung eines Rundungsfehlers in der letzten Stelle verursachen. Die größere Messungenauigkeit bei Luft können wir uns nicht erklären, da ein so niedriger Wert eine extrem hohe Temperatur und Luftfeuchtigkeit erfordern würde; außerdem sollte möglichst wenig Kohlenstoffdioxid in der Luft sein. Am Tag der Messung war es zwar warm, jedoch lagen die Temperaturen nicht über 50 C [7]. Die Abweichungen bei den Gasen sind leicht durch die geringe Anzahl von gezählten Interferenzringen erklärbar. Außerdem können wir nicht sicherstellen, dass die Gase rein in die Küvette eingefüllt werden; Verunreinigungen durch Luft sind durchaus denkbar. So erklärt sich auch, warum nur das schwerste Gas einen zu niedrigen Messwert hat und die leichten Gase einen zu hohen. Beim Benutzen der Handvakuumpumpen hatten wir den Eindruck, dass diese nicht ganz dicht sind; so stieg der Druck im System wieder, nachdem nicht gepumpt wurde. Mit diesem Experiment könnte man weit bessere Ergebnisse erhalten, wenn die Handvakuumpumpe durch einen Kompressor ersetzt werden würde, mit dem es möglich ist, einen größeren Druckbereich als 0, 7 bar abzudecken. Wenn außerdem die Linsen und Glasscheiben sauber wären, wäre es möglich mit dem Detektor zu arbeiten; so sollten bei der Bestimmung der Brechungsindizes ähnliche Genauigkeiten erreicht werden können, wie bei der Vermessung der Wellenlänge. 11

13 4 Der Brechungsindex von Flüssigkeiten 4.1 Bestimmung des Brechungsindex mittels Phasenmethode Im Weiteren haben wir die Apparatur zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mittels Phasenmethode aus Abschnitt 2.2 verwendet, um die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in Wasser, Ethanol und Glycerin zu bestimmen und über die Formel n = c 0 c med den Brechungsindex zu berechnen. Zuerst haben wir eine ein Meter lange, mit Wasser gefüllte, Küvette in den Strahlengang gebracht, sodass das Licht auf dem Hinweg durch die Küvette ging. Der Umlenkspiegel wurde wieder so eingestellt, dass die Phasenverschiebung 0 betrug. Danach haben wir die Küvette entfernt und den Spiegel erneut um die Strecke x verschoben bis sich wiederum eine Phasenverschiebung von 0 einstellte. Abbildung 9: Bestimmung des Brechungsindex mittels Phasenmethode Befindet sich die mit Flüssigkeit gefüllte Küvette im Strahlengang, so legt das Licht von der Quelle zum Detektor die Strecke l 1 zurück und benötigt dafür die Zeit t 1, wobei sich l 1 aus den Teilstrecken des Lichtes in Luft und Flüssigkeit zusammensetzt: l 1 = l L + l F Für die benötigte Zeit gilt dann mit der Geschwindigkeit c L in Luft und c F in der Flüssigkeit: t 1 = l 1 l F c L + l F c F 12

14 Nach dem Entfernen der Küvette und der Verschiebung des Spiegels durchläuft das Licht wieder die zusätzliche Strecke 2 x und es folgt: l 2 = l x und t 2 = l x c L Da der Umlenkspiegel jeweils so eingestellt ist, dass sich eine Phasenverschiebung von 0 ergibt, gilt für die Messungen: t 2 = t 1 + k T k = 1, 2... Fügt man diese Gleichungen zusammen, folgt für den Brechungsindex der Flüssigkeit: n = c L = x + c Lk c F l F fl F Aus den Messwerten ergeben sich für k = 0 und l F Messtabelle im Anhang 8.3.1): = 1 m die folgenden Werte (vollständige Medium x Brechungsindex n Literaturwert n Abweichung Wasser 17, 4 cm 1, 35 1, 33 [8] 1, 13% Ethanol 19, 6 cm 1, 39 1, 36 [8] 2, 22% Glycerin 23, 80 cm 1, 477 1, 474 [9] 0, 2% Trotz sehr geringer prozentualer Abweichungen ist die Genauigkeit nur bis zur ersten Stelle hinter dem Komma sichergestellt. In mehreren Nachschlagewerken findet man für Glycerin den Brechungsindex 1, 473 [9]. Dies liegt daran, dass sich Glycerin sehr gut in Wasser lösen lässt. Wirklich wasserfreies Glycerin hat einen Brechungsindex von n = 1, 474 [9]. Mit zunehmendem Wassergehalt sinkt der Wert deutlich. Das von uns untersuchte Glycerin ist also rein und somit wasserfrei. Mit dieser Methode ist es demnach sehr gut möglich, die Brechungsindizes verschiedener Flüssigkeiten zu bestimmen, auch wenn das Ablesen des Wegunterschiedes bei der von uns verwendeten Apparatur etwas ungenau war. 4.2 Newton sche Ringe 1704 veröffentlichte Newton seine Optik. Durch seine hier geschilderten Forschungsergebnisse war es ihm möglich, das erste Spiegelteleskop zu bauen. An anderer Stelle beschäftigte er sich mit regenbogenfarbenen Ringen, die auftreten, wenn zwei Linsen dicht zusammengepresst werden. Ihm diente dazu das nach ihm benannte Newtonglas. Er stellte die Farben mit der Dicke des Luftkeils zwischen den Glasschichten in Verbindung, weshalb wir diese Interferenzerscheinung heute als Newton sche Ringe bezeichnen. Unsere Aufgabe bestand darin die Interferenzfigur zu verwenden, um den Brechungsindex verschiedener Medien zu bestimmen. Am Ende sollte es möglich sein, eine Aussage über die Qualität des Verfahrens und über seine Eignung für verschiedene Medien zu treffen. 13

15 4.2.1 Grundlagen Abbildung 10: Erläuterungsskizze Die Anordnung besteht aus einer planparallelen Platte und einer darauf liegenden plankonvexen Linse. Nach dem Höhensatz gilt, übertragen auf die Skizze: r 2 k = (2R d k) d k (8) Da die Dicke der Luftschicht viel kleiner als der Krümmungsradius der Linse ist, lässt sich Gleichung (8) vereinfachen zu: r 2 k 2R d k für d k R, (9) wobei r k dem Radius des k-ten Interferenzringes, R dem Krümmungsradius der Linse und d k der Dicke der k-ten Luftschicht entsprechen. Bei der Reflexion am dichteren Medium (Luft-Glas) tritt ein Phasensprung von π bzw. λ 2 auf. Der Gangunterschied zwischen dem an der Konvexseite reflektierten Strahl 1 und dem an der Platte reflektierten Strahl 2 beträgt demnach: s = 2n(d + d 0 ) + λ 2, (10) wobei sich n bereits auf den Brechungsindex des Mediums zwischen Linse und Platte bezieht und d 0 mögliche Unebenheiten im Auflagepunkt der Linse berücksichtigt. Für destruktive Interferenz muss der Gangunterschied ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge betragen, also gilt zusätzlich: s = (2k + 1) λ 2 mit k = 0, 1, 2,... (11) Durch Gleichsetzen von (10) und (11) erhält man: (2k + 1) λ 2 = 2n(d + d 0) + λ 2 14

16 und aufgelöst nach der Schichtdicke ist d = k λ 2n d 0 mit k = 0, 1, 2,... (12) (12) eingesetzt in (9) ergibt: r 2 k k ( λr n ) 2d 0 R mit k = 0, 1, 2,... (13) Der in (13) erhaltene Zusammenhang ist linear. Die Darstellung in einem Koordinatensystem ermöglicht also, unter Kenntnis der Wellenlänge des Lichts und des Krümmungsradius, eine Bestimmung des Brechungsindex aus der Steigung der Geraden ( λr n ). Umgekehrt lässt sich z. B. für Luft (n 1) bei bekannter Wellenlänge der Krümmungsradius präzise bestimmen; dieser lässt sich auch mit Hilfe eines Sphärometers ermitteln. Allerdings ist uns bei der Vermessung der Linse mit dem Sphärometer aufgefallen, dass es nicht an die Genauigkeit der optischen Methode herankommt. Zudem lässt die obere Gleichung erkennen, dass Newton sche Ringe ein Indiz für die Güte einer Linse sind. Je schärfer und kreisförmiger die Ringe sind, desto weniger Unebenheiten sind beim Schleifen der Linse entstanden. Deshalb spielen Newton sche Ringe eine große Rolle in der optischen Industrie. Man benutzt die Interferenzerscheinung zum Prüfen von Linsen und ebenen Platten und ermöglicht so, Glasplatten und Kugelflächen mit einer Genauigkeit von ca. 50 nm herzustellen. Bemerkung: Wird weißes Licht verwendet, sind die dunklen Ringe von Farbsäumen umgeben, weil die Ringradien von der Wellenlänge abhängen. Langwelliges rotes Licht erzeugt größere Radien als kurzwelliges blaues. Außerdem lassen sich Newton sche Ringe auch im transmittierten Licht erkennen, wenn auch wesentlich schwächer. Dabei kehrt sich die Lage der dunklen und hellen Ringe um. So befindet sich im Zentrum der Transmission ein heller Fleck umgeben von einem dunklen Ring. Interessant ist allerdings auch der Vergleich der durch die Brechung erzeugten Farben. Im transmittierten Licht entstehen die Farben des Regenbogens und im reflektierten deren Komplementärfarben. Bei der von uns verwendeten Versuchsanordnung beschränkten wir uns auf die Untersuchung des reflektierten Lichts Aufbau Abbildung 11: Versuchsaufbau Auf der in Abbildung 11 dargestellten optischen Bank dient eine 100 W Bogenlampe als Licht- 15

17 quelle. Des Weiteren sind auf der Bank von links nach rechts eine plankonvexe Linse, ein Farbfilterstativ (hier: ohne Farbfilter), ein Kollimator, eine Blende und ein Mikroskop mit Strahlteiler montiert. Auf dem Objekttisch des Mikroskops liegt die Newton sche Anordnung, eine plankonvexe Linse auf einer planparallelen Glasplatte. Das Linsensystem dient zur Erzeugung parallelen Lichts. Das Okular des Mikroskops haben wir zur einfacheren Datenerfassung durch eine mit dem PC verbundene CCD-Kamera ersetzt Durchführung Zunächst machten wir uns mit der Methode vertraut und vermaßen die Newton schen Ringe mit Luft als Medium. Die Ringe waren sowohl unter dem Mikroskop, als auch am PC gut sichtbar, ohne dass ein Farbfilter verwendet wurde. Sogar mit bloßem Auge waren kleine Ringe an der glatten Seite der Linse zu erkennen. Wir machten am PC zwei Aufnahmen: Eine mit einem orangefarbenen Farbfilter (λ orange = 578 nm[10]) und eine mit einem grünen Farbfilter (λ grün = 546 nm[10]), die später ausgewertet werden. Abbildung 12: Luft (orange) Abbildung 13: Luft (grün) Im zweiten Schritt untersuchten wir destilliertes Wasser und Ethanol. Beim Auftragen der Flüssigkeit auf die planparallele Platte ist zu beachten, den Flüssigkeitstropfen so klein wie möglich zu halten. Wasser ist eine inkompressible Flüssigkeit und zu viel Wasser würde die Linse im Auflagepunkt anheben und es wäre keine Interferenz mehr sichtbar. Es fiel sofort auf, dass ohne Filter kaum Ringe zu erkennen waren. Auch mit Filter waren die Ringe noch sehr schwach, da das Wasser bereits viel von der Lichtintensität absorbiert. Abbildung 14: Wasser (orange) Abbildung 15: Wasser (grün) 16

18 Als nächstes machten wir Aufnahmen von Ethanol. Verglichen mit Wasser waren die Ringe hier noch schwächer zu sehen, was auf den Aufnahmen deutlich wird. Abbildung 16: Ethanol (orange) Abbildung 17: Ethanol (grün) Danach hatten wir die Aufgabe, weitere Flüssigkeiten zu untersuchen, darunter Monobromnaphthalin, 100%-iges Glycerin, Immersionsöl und ein Harz. Während des Praktikums ist es uns nicht gelungen, verwertbare Aufnahmen des Immersionsöls und des Harzes zu machen; zum einen, da die Flüssigkeiten die Lichtintensität zu stark reduzierte und zum anderen, da selbst kleinste Mengen die Linse angehoben haben. Desweiteren war der Brechungsindex sehr nahe an dem der Linse, was zur Folge hatte, dass die Sichtbarkeit der Ringe abnimmt. Um weiter zu experimentieren, änderten wir den Versuchsaufbau ab, da die 100 W Lampe zu schwach war, um geeignete Aufnahmen zu erhalten Mit Laser Abbildung 18: Luft mit Laser Im veränderten Aufbau haben wir anstelle von Lampe und Linsensystem einen grünen Laser (λ = 543, 5 nm) mit Aufweitungssystem montiert. Allerdings entstand dadurch ein neues Problem. Durch die hohe Intensität waren nun wesentlich mehr Ringe sichtbar; zwar alle scharf, aber durch die zusätzlichen Überlagerung war es schwierig, die zu einer bestimmten Interferenz gehörenden Ringe zu unterscheiden. 17

19 Auf der anderen Seite konnten wir so, wenn auch nicht in der späteren Auswertung, zumindest optisch den geringen Unterschied im Brechungsindex zwischen Glycerin und Glas zeigen. In den Abbildungen 19 und 20 sind Laseraufnahmen von Glycerin zu sehen, wobei man in Abbildung 20 den Übergang von Glycerin zu Luft erkennen kann. Abbildung 19: Glycerin ohne Rand Abbildung 20: Glycerin mit Rand In den Abbildungen 21 und 22 sind Aufnahmen von Monobromnaphthalin mit Laser zu sehen. Auch hier sieht man nun die Newton schen Ringe besser als mit der 100 W Lampe. Abbildung 21: Monobromnaphthalin Abbildung 22: Monobromnaphthalin mit Rand Auswertung Im Folgenden konzentrierten wir uns auf destilliertes Wasser, Ethanol und Monobromnaphthalin, da nur hier eine sinnvolle Auswertung möglich ist. Um die Brechungsindizes der einzelnen Flüssigkeiten zu bestimmen, betrachten wir bei diesem Versuch die Interferenzminima, für die folgende Beziehung gilt: r k 2 = (k 1) λ R n mit k = 1, 2,... Diese Gleichung ergibt eine Geradengleichung, wobei (k 1) die x-werte und r k 2 die y-werte sind. Es ergibt sich also ein Geradenanstieg m von: m = λr n (14) 18

20 Wie bereits erwähnt, wurde der Versuch zuerst mit Luft durchgeführt, um den Krümmungsradius der Linse zu berechnen (14). Hierbei wird für den Brechungsindex n = 1 angenommen, der Anstieg ergibt sich aus Abbildung 23. Man erhält unter der Verwendung des grünen Farbfilters einen Krümmungsradius von R = 17, 39 cm. Mit diesem Krümmungsradius wird im Folgenden gearbeitet. Abbildung 23: Die Quadrate der Interferenzradien in Abhängigkeit von der Interferenzordnung bei Luft Da die Interferenzradien mit Hilfe des Computers in Pixeln ausgemessen wurden, wurde zum umrechnen ein Eichplättchen (Abbildung 24) verwendet, welches eine eingravierte Skala besitzt (10 Striche 1 nm). Abbildung 24: Skala Um bei Wasser und Ethanol eine möglichst genaue Auswertung vornehmen zu können, wurden die Bilder am Computer zunächst bearbeitet (Sättigung, Schärfe, Kontrast, etc.). Aufgrund der Bildbearbeitung sind die Bilder der Newton schen Ringe also schwarz-grau und nicht schwarz-orange bzw. schwarz-grün. Mit Hilfe dieser Bearbeitung erhielten wir gute Bilder, die für die Auswertung besser als die Laseraufnahmen geeignet waren. 19

21 Abbildung 25: Die Quadrate der Interferenzradien in Abhängigkeit von der Interferenzordnung bei Wasser Nach (14) können nun durch Umstellen nach n die Brechungsindizes ausgerechnet werden. Wie man den Abbildungen 25, 26 und 27 entnehmen kann, liegen die Messwerte ohne größere Abweichungen auf der Ausgleichsgeraden. Abbildung 26: Die Quadrate der Interferenzradien in Abhängigkeit von der Interferenzordnung bei Ethanol 20

22 Für die Auswertung von Monobromnaphthalin greifen wir allerdings auf die Laseraufnahmen zurück. Abbildung 27: Die Quadrate der Interferenzradien in Abhängigkeit von der Interferenzordnung bei Monobromnaphthalin In der folgenden Tabelle werden alle Ergebnisse zusammengestellt: Brechungsindex grüner orangener Laser Literaturwert [11] Abweichung Filter Filter Wasser 1, 358 1, 348 1, 333 1, 88% / 1, 13% Ethanol 1, 377 1, 317 1, 361 1, 18% / 3, 23% Monobromnaphthalin 1, 525 1, 656 7, 91% Zum Schluss wurde der Versuch mit dem Laserlicht noch einmal für Wasser und Ethanol durchgeführt. Auf eine erneute Auswertung wurde hierbei verzichtet, da sich herausstellte, dass diese Bilder nicht besser geeignet waren. Außerdem wurde die Lasermethode noch für ein Harz ausprobiert, jedoch ohne verwendbare Ergebnisse. Wie man der obigen Tabelle entnehmen kann, liegen die prozentualen Abweichungen vom Literaturwert bei Wasser und Ethanol unter 5% und bei Monobromnaphthalin unter 10%. Insgesamt stimmen also die Messergebnisse relativ genau mit den Literaturwerten überein. Die im Vergleich zu Wasser und Ethanol größere Abweichung beim Monobromnaphthalin, ist auf die schlechtere Bildqualität zurückzuführen. Bei Wasser und Ethanol haben wir relativ scharfe Konturen, bei Monobromnaphthalin dagegen waren sie verschwommener. 21

23 4.3 Abbé-Refraktometer Refraktometer sind optische Geräte, mit denen man die Brechungsindizes von Festkörpern und Flüssigkeiten bestimmen kann Grundlagen, Durchführung und Auswertung Das Abbé-Refraktometer basiert auf dem Snellius schen Brechungsgesetz und nutzt den Spezialfall der Totalreflexion: n b sin α T = n x, wobei n b ein bekannter Brechungsindex ist und n x gesucht wird. Abbildung 28: Abbé-Refraktometer Abbildung 29: Abbé-Refraktometer Beim Abbé-Refraktometer werden zur Messung des Brechungsindex zwei rechtwinklige Prismen aus schwerem Flintglas mit hoher Brechzahl verwendet, ein sogenanntes Doppelprisma. Die zu untersuchende Flüssigkeit wird durch eine kleine Öffnung zwischen die zwei Prismen gebracht. Wichtig ist dabei, dass der Brechungsindex der Flüssigkeiten geringer ist, als der der Prismen. Die Oberfläche des unteren Prismas ist aufgeraut, was dazu führt, dass diffuses Licht die zu untersuchende Flüssigkeit in alle Raumrichtungen durchdringt. Beim Übergang des Lichts aus der Flüssigkeit zum oberen Glasprisma findet Brechung am optisch dichteren Medium statt und somit gibt es einen Grenzwinkel α T der Totalreflexion. Dieser tritt genau dann auf, wenn das Licht parallel zur Glasfläche des zweiten Prismas auffällt. Die durch die Totalreflexion entstehende Hell-Dunkel-Grenze wird mit einem Okular beobachtet. Da das einfallende Licht jedoch nicht monochromatisch ist, treten beim Durchlaufen des Doppelprismas auch Dispersionserscheinungen auf. Die beiden Umlenkprismen lassen sich jedoch mit einer Drehschraube so verdrehen, dass der entstehende farbige Saum verschwindet und die Hell-Dunkel-Grenze als scharfe Linie wahrnehmbar ist. Diese Linie wird nun mit dem sich im Okular befindlichem Fadenkreuz zur Deckung gebracht. Am Abbé-Refraktometer befindet sich zusätzlich ein Fernrohr mit einer in 22

24 Brechzahlen geeichten Skala, über welche man nun den Brechungsindex einfach ablesen kann. Für die verschiedenen Flüssigkeiten erhalten wir folgende Werte: Medium Brechungsindex n Literaturwert n Abweichung Wasser 1,31 1,333 [8] 1,73% Ethanol 1,36 0,362 [8] 0,15% Glycerin 1,49 1,474 [9] 1,1% Zedernöl 1,51 1,505 [12] 0,33% Immersionsöl 1,52 1,518 [12] 0,13% Monobromnaphthalin 1,67 1,658 [12] 0,72% Das Abbé-Refraktometer bietet also eine sehr schnelle, einfache und zugleich genaue Methode zur Bestimmung des Brechungsindex. Die hohe Abweichung beim Glycerin lässt sich wieder mit der Reinheit der verwendeten Mischung erklären (siehe Abschnitt 2.2). 4.4 Michelson-Interferometer In Abschnitt 3.1 haben wir untersucht, wie man mit Hilfe des Michelson-Interferometer den Brechungsindex von Gasen und Gasgemischen ermittelt. Wir haben außerdem versucht, das System auf Flüssigkeiten auszuweiten Aufbau und Durchführung Unsere Idee ist, den Aufbau senkrecht zu befestigen und anstatt der Küvette ein Gefäß zu benutzen, welches langsam mit Ethanol gefüllt oder geleert wird. Durch die Höhenänderung erfolgt wieder eine Änderung des Interferenzmusters. Abbildung 30: Aufbau zur Messung von Flüssigkeiten Abbildung 31: Aufbau zur Messung von Flüssigkeiten mit Kamera Problematisch ist hierbei, dass bereits eine Änderung von d = kλ 2n Ethanol = 534,5 nm 2 1, nm nach Gleichung (5) eine Änderung des Interferenzmusters bewirkt. Wir haben eine Küvette mit Ethanol gefüllt und diese mit einem Pipettenstopfen verschlossen. Anschließend haben wir in den Pipettenstopfen ein Loch gestochen und einen Bindfaden hinein gelegt. 23

25 Es war sehr gut zu erkennen, wie sich die Interferenzringe langsam geändert haben. Leider hatten wir keine geeignete Kamera, die auf diese Entfernung scharfe Videos machen konnte. Jedoch gelang es uns, mit einer Kamera eine Abfolge von Bildern zu fotografieren. Hier lässt sich gut erkennen, wie sich das Interferenzmuster zeitlich ändert (Abbildungen 32 bis 37). Abbildung 32: Abbildung 33: Abbildung 34: Abbildung 35: Abbildung 36: Abbildung 37: Leider war es nicht möglich die Menge des Ethanols zu bestimmen, da der Großteil sofort verdunstet ist Auswertung Das Michelson-Interferometer ist also grundsätzlich für die Messung des Brechungsindex von Flüssigkeiten geeignet, jedoch muss hierfür ein sehr großer Aufwand betrieben werden. Es müsste möglich sein, einen Behälter mit Flüssigkeit langsam zu leeren, ohne dabei Wellen zu verursachen, die in der Größenordnung von 200 nm sind. Außerdem muss es möglich sein, die Menge der abgelassenen und verdunsteten Flüssigkeit zu bestimmen. Des Weiteren muss der Raum aufgrund der oben genannten Wellen erschütterungsfrei sein, damit eine Messung möglich ist. Diese Methode ist jedoch sehr gut geeignet um Höhenänderungen zu messen. Wenn der Brechungsindex einer Flüssigkeit und die Wellenlänge des Lasers bekannt sind, ist es möglich, Höhenänderungen mit einer größeren Genauigkeit als der halben Wellenlänge zu messen. Das Michelson-Interferometer lässt es auch zu, Feststoffe zu vermessen. Diese müssen hierfür schräg angeschliffen werden; so kann man durch seitliches Verschieben des Körpers seine im Laserstrahl befindliche Länge ändern. Wenn die unterschiedliche Dicke des Körpers an zwei Punkten bekannt ist und man den Körper von dem einen zum anderen Punkt schiebt, lässt sich über die Anzahl der Interferenzmusteränderungen der Brechungsindex bestimmen. 24

26 4.5 Plattenkondensator Mittels eines Plattenkondensators lässt sich der Brechungsindex von vielen Stoffen messen. Hierbei nutzt man die Tatsache aus, dass der Brechungsindex mit der elektrischen Permittivitätszahl ε r und der magnetischen Permeabilitätszahl µ r verknüpft ist: n = ε r µ r Optisch durchlässige Materialien sind in ihren Eigenschaften nichtmagnetische Materialien, somit gilt für die magnetische Permeabilitätszahl µ r 1. Deswegen lässt sich die obige Gleichung zu vereinfachen. Für die Kapazität des Plattenkondensator gilt: n ε r (15) C = ε 0 ε r A d, und für einen mit Luft gefüllten Kondensator gilt ε r 1. Daraus folgt: C L = ε 0 A d Es lässt sich ε r über zwei Messungen bestimmen: zum einen über die Kapazität C L des mit Luft gefüllten Kondensators und zum anderen über die Kapazität C des mit dem zu messenden Stoff gefüllten Kondensator. Mit Gleichung (15) folgt: n = C ε r = (16) C L Aufbau und Durchführung Um die Kapazität zu bestimmen, haben wir einen klassischen Plattenkondensator genutzt, an den wir ein modernes Multimeter angeschlossen haben. Abbildung 38: verwendeter Plattenkondensator 25

27 Zuerst haben wir den Brechungsindex von destilliertem Wasser gemessen. Dazu haben wir die Kondensatorplatten fixiert und eine Messung mit Luft durchgeführt. Dafür haben wir zwei unterschiedliche Frequenzen, zum einen f = 120 Hz, also eine Wellenlänge von λ 2500 km, und zum anderen f = 1 khz, also eine Wellenlänge von λ 300 km verwendet; mehr Frequenzen ließ das Messgerät nicht zu. Anschließend haben wir eine Plastiktüte zwischen die Platten gelegt, welche den Messwert nicht beeinflusst hat, und diese mit destilliertem Wasser gefüllt Auswertung Wir erhielten folgende Messwerte für destilliertes Wasser: Frequenz f Brechungsindex n Literaturwert n 120 Hz 10, [13] [14] 1 khz 10, [13] [14] Hier ist gut zu erkennen, dass diese Werte nicht identisch mit den Werten für sichtbares Licht sind, welche bei ca. 1, 3 liegen. Dies liegt daran, dass wir mit dem Kondensator in einem anderen Wellenlängenbereich messen; in diesem werden elektromagnetische Wellen mit einem Brechungsindex von 10 gebrochen. Diese Werte können als Fortsetzung der Grafik im Abschnitt 5.1 betrachtet werden, wo wir untersucht haben, inwieweit der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängig ist Erläuterung Der hohe Brechungsindex von ca. 10 ist damit zu erklären, dass sich im Wasser permanente Dipole befinden. Diese richten sich beim Anlegen eines elektrischen Feldes aus, was zur statischen Polarisierbarkeit führt. Bei niedrigen Frequenzen nimmt die Drehbewegung der Moleküle großen Einfluss auf ε r und man erhält hohe Brechungsindizes. Je größer die Frequenz ist, desto kleiner ist der Einfluss der Moleküle, da ihre Drehung dem schnellen Wechsel nicht mehr folgen kann. In Anlehnung an die in Fließbach [14] stehenden Erläuterung passt ein Brechungsindex von 10 gut in das dort vorgestellte Modell. 26

28 5 Der Brechungsindex von Festkörpern 5.1 Spektralzerlegung am Prisma Mit Hilfe eines Spektrometers kann der Brechungsindex von lichtdurchlässigen Festkörpern, insbesondere von Gläsern und Kristallen, bestimmt werden. Dazu muss der Festkörper in die Form eines Prismas gebracht werden. Das Licht einer Lichtquelle wird durch die Prismenform in die Spektralfarben aufgeteilt. Dabei wird der Lichtstrahl zweimal an der brechenden Kante des Prismas gebrochen; je nach Stellung des Prismas treten nun verschiedene Ablenkwinkel auf. Um den minimalen Ablenkwinkel zu bestimmen, muss die Symmetrieachse des Prismas parallel zum Lichtstrahl sein. Welche Spektrallinien zu erkennen sind, ist von der Lichtquelle abhängig. Anhand des brechenden Winkels des Prismas und des Ablenkwinkels kann nun der Brechungsindex des Materials bestimmt werden. Abbildung 39: Prisma Aufbau In Abbildung 40 ist das verwendete Spektrometer zu sehen. In Abbildung 41 ist zusätzlich eine Lampe installiert, um im Dunkeln die Skala abzulesen. Abbildung 40: Spektrometer mit Prisma Abbildung 41: Spektrometer bei der Messung 27

29 Als Lichtquelle dient bei diesem Experiment eine Cadmium-Quecksilber-Lampe. Des Weiteren verwenden wir ein Spektrometer, das aus einem drehbaren Prismentisch mit dem gewählten Prisma, einem Spaltrohr (Kollimator) und einem Fernrohr mit einem Fadenkreuz besteht. Der Prismentisch ist mit einem Goniometer versehen, der es ermöglicht, den Winkel der Minimalablenkung zu messen. Der Lichtstrahl tritt zunächst durch einen in der Breite verstellbaren Spalt in den Kollimator, wo dieser parallelisiert wird. Der parallele Lichtstrahl wird am Prisma gebrochen, wobei die nun auftretenden Spektrallinien mit dem Fernrohr beobachtet werden können. Der Ablenkwinkel, der Winkel der Verschiebung des Fernrohrs, der nötig ist, um die Spektrallinien zu erkennen, kann nun mit dem Goniometer bestimmt werden Durchführung Zunächst haben wir den brechenden Winkel unseres Prismas bestimmt. Da der Hauptschnitt unseres Prismas ein gleichseitiges Dreieck darstellt, entspricht der Winkel 60. Dann haben wir das Spektrometer, ohne Prisma, so kalibriert, dass der Spalt vor der Lichtquelle deutlich zu erkennen war. Anschließend haben wir das Prisma in den Strahlenverlauf gebracht und die entstehenden Spektrallinien mit dem Fernrohr betrachtet. Die sichtbaren Spektrallinien waren nun den jeweiligen Wellenlängen zuzuordnen, indem die sichtbaren Farben mit tabellierten Wellenlängen verglichen wurden. Dies stellte sich zunächst als schwierig heraus, da die Lichtquelle aus zwei Elementen besteht und nicht immer klar war, welche Spektrallinie welchem Element zuzuordnen war. Dieses Problem konnten wir lösen, indem wir mit einem Spektrografen die Wellenlängen erfassen, die besonders stark auftraten. Mithilfe der Versuchsanleitung und anhand dieser Werte konnten wir die Farben den jeweiligen Wellenlängen zuordnen. Als nächstes haben wir noch die Minimalverschiebung bestimmt, indem wir den Prismentisch in eine Richtung gedreht haben, bis eine gegenläufige Bewegung der Spektrallinien zu erkennen war. An diesem Punkt ist die Symmetrieachse des Prismas parallel zum Lichtstrahl und Eintritts- und Ausfallswinkel sind gleich groß. Diesen Vorgang wiederholten wir für jede Spektrallinie. Um die Spektrallinien exakt zuordnen zu können, haben wir mit einem USB-Spektrometer das Spektrum geplottet. So konnten wir gut die Spektrallinien einer Wellenlänge zuordnen. Abbildung 42: Spektrum der Cadmium-Quecksilber-Lampe 28

30 5.1.3 Auswertung Mit der folgenden Formel kann man den Brechungsindex für die verschiedenen Wellenlängen mit der Minimalverschiebung und dem Wert des brechenden Winkels bestimmen: Dabei kommen wir auf folgende Ergebnisse: n = sin α sin β = sin 1 2 (δ + ε) sin 1 2 ε Farbe Wellenlänge Ablenkwinkel Brechungsindex Rot 643, 85 nm 47, , 6163 Gelb 579, 07 nm 48, , 6212 Gelb 576, 96 nm 48, , 6216 Grün 546, 07 nm 48, , 6248 Dunkelgrün 508, 58 nm 49, 0 0 1, 6282 Blau 479, 99 nm 49, 5 2 1, 6336 Dunkelblau 467, 82 nm 49, , 6358 Violett hell 435, 84 nm 50, , 6430 Violett 407, 78 nm 51, 0 8 1, 6496 Violett 404, 66 nm 51, 5 0 1, 6532 Stellt man nun die Messwerte graphisch dar (siehe Abbildung 43), erkennt man eine charakteristische Dispersionskurve, in der man deutlich die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge sieht. Die so ermittelten Brechungsindizes der einzelnen Wellenlängen lassen darauf schließen, dass das Prisma aus Flintglas F2 [15] bzw. F3 [16] besteht. Beide Literaturwerte liegen dicht beieinander, sodass eine klare Unterscheidung nicht möglich ist. Im Vergleich mit den jeweiligen Werten der gelben Natrium-Linie (589,3 nm), zu unserer nahe liegenden gelben Spektrallinie (579, 07 nm) weichen unsere Werte um 0, 08% zu F2 und 0, 52% zu F3 ab. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass das Prisma aus Flintglas F2 besteht, wobei diese sehr geringe Abweichung auf eine hohe Genauigkeit der Messmethode hinweist. Der Nachteil ist jedoch, dass man nur die Brechungsindizes von Festkörpern in Prismenform bestimmen kann. Desweiteren muss man die Wellenlängen der sichtbaren Spektrallinien noch extra bestimmen bzw. Literaturwerten zuordnen. Abbildung 43: Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindex 29

31 5.2 Abbé-Refraktometer In diesem Abschnitt wird das Abbé-Refraktometer benutzt, um die Brechungsindizes von Feststoffen zu untersuchen Aufbau Das von Ernst Abbé entworfene Refraktometer wurde von uns bereits zur Ermittlung der Brechzahlen von Flüssigkeiten verwendet. Möchte man damit Feststoffe untersuchen, geht man wie folgt vor. Abbildung 44: Aufbauskizze des Abbé-Refraktometer Die obige Skizze zeigt den Aufbau zur Messung von Brechungsindizes von Flüssigkeiten. Nun entfernt man das Prisma P 1 und klebt mittels einer stark brechenden Flüssigkeit, z. B. Monobromnaphthalin (n 1, 658 [17]), den Probekörper am Prisma P 2 fest. Wichtig ist dabei, dass die am Prisma haftende Seite des Probekörpers nicht aufgeraut ist, da sonst die Lichtintensität zu stark abgeschwächt werden würde. Außerdem spielt die richtige Menge an Kontaktflüssigkeit eine Rolle; es reicht bereits ein Tropfen um den Raum zwischen Prisma und Probe vollständig auszufüllen. Da die Prismen in der Regel aus schwerem Flintglas (n 1, 74 [18]) bestehen, lassen sich Flüssigkeiten mit einem Brechungsindex bis zu dem des Flintglases verwenden Durchführung und Auswertung Gegebenenfalls muss vor Aufbringen des Probekörpers das Refraktometer mit einem Eichplättchen eingestellt werden, wenn keine deutliche Trennlinie im Okular zu erkennen ist. Nachdem wir die Funktionsweise des Refraktometers mit Hilfe eines Eichplättchens untersucht hatten, nahmen wir als Probekörper die Linse und die Platte des Newton sche Ringe-Versuchs und ein Prisma, das auch im Spektralzerlegungsversuch verwendet wurde. 30

32 Es folgen Bilder des Abbé-Refraktometers mit Eichplättchen betrieben zur Feststoffanalyse. Abbildung 45: Abbé-Refraktometer Abbildung 46: Eichplättchen Für die plankonvexe Linse und die planparallele Platte ergaben sich jeweils n 1, 52, was laut Tabelle auf Kronglas K13 (n 1, 5235 [17]) bzw. Borkronglas BK7 (n 1, 511 [17]) schließen lässt. Für das Prisma erhielten wir n 1, 623, was mit der Herstellerangabe von n = 1, 62 [19] (Flintglas F2 [17]) vollkommen übereinstimmt Ergebnis Mit Hilfe des Abbé-Refraktometers lassen sich die Brechungsindizes von Feststoffen schnell und genau ermitteln. Im Gegensatz zu anderen Methoden hat das Gerät den Vorteil, dass es platzsparend ist und lediglich einer Lichtquelle und einer Kontaktflüssigkeit bedarf. Dies ist der Grund dafür, dass das Abbé-Refraktometer in der Chemie und Pharmazie oft verwendet wird. 5.3 Brewster-Winkel und Reflexionsgrad Mithilfe des Brewster-Winkels und des Reflexionsgrades von parallel und senkrecht polarisiertem Licht kann man den Brechungsindex eines optisch durchlässigen Festkörpers bestimmen. Auf diese Weise haben wir den Brechungsindex von Glas untersucht Grundlagen Abbildung 47: Reflexion und Brechung des Laserstrahls 31

33 Trifft Licht (im Folgenden idealisiert zu einem Lichtstrahl) auf die Grenzfläche zwischen Luft und Glasplatte, so wird ein Teil des Lichts reflektiert und der andere gebrochen. Eine zweite Reflexion und Brechung wird durch die geschwärzte Rückseite der Glasplatte verhindert. Die Gesamtintensität des einfallenden Lichtstrahls I 0 ist gleich der Summe der Intensität des reflektierten Strahls I R und der Intensität des gebrochenen Strahls I D : I 0 = I R + I D. Als Reflexionsgrad bezeichnet man den Quotienten: R = I R I 0 Die Intensitäten I R und I D, und damit auch der Reflexionsgrad, sind vom Einfallswinkel und von der Polarisation des einfallenden Lichts abhängig. Für linear polarisiertes Licht gelten die Fresnel schen Gleichungen: R = R = (n cos α cos β)2 (n cos α + cos β) 2 (cos α n cos β)2 (cos α + n cos β) 2 Der Reflexionsgrad lässt sich in Abhängigkeit vom Einfallswinkel experimentell bestimmen. Um den Brechungsindex n mithilfe der Fresnel schen Gleichungen ermitteln zu können, benötigen wir den Brechungswinkel β. Diesen kennen wir für drei Fälle: 1. Bei senkrechtem Lichteinfall wird der Lichtstrahl nicht gebrochen: α = β = 0. Mit den Fresnel schen Gleichungen folgt: R = R = (n 1)2 (n + 1) 2 (17) 2. Bei streifendem Einfall (α = 90 ) könnte der Lichtstrahl nach Snellius theoretisch gebrochen werden. Aus den Stetigkeitsbedingungen für elektrische und magnetische Felder folgt jedoch, dass der gebrochene Strahl eine Intensität von 0 besitzt. Es folgt aus den Fresnel schen Gleichungen: R = R = 1 (18) 3. Entspricht der Einfallswinkel dem sogenannten Brewster-Winkel α B, d.h. stehen reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander, sodass α B + β = 90 gilt, so ist der reflektierte Stahl vollständig senkrecht polarisiert. Mit den Fresnel schen Gleichungen folgt: R = 0 (19) R = ( ) (n 1) 2 2 (n + 1) 2 (20) Zudem kann man den Brechungsindex auch aus dem Brewster-Gesetz ermitteln. Dieses erhält man, indem man das Snellius sche Brechungsgesetz n 1 sin α = n 2 sin β umstellt. Luft hat ungefähr den Brechungsindex n 1 = 1, also setzen wir n 2 = n und im Falle des Brewster-Winkels gilt β = 90 α B. Es folgt: sin α B = n sin(90 α B ) sin α B = n cos α B n = tan α B (21) 32