Harmonische Schwingungen und deren Überlagerungen - Lissajous'sche Figuren

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1 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie von 7 Peer Fischer pe.fischer@an.nu Harmonische Schwingungen und deren Überlagerungen - Lissajous'sche Figuren Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Trigonomerische Funkionen, Zusammensezung von Funkionen; Inerferenz, Lissajous'sche Figuren, Fourierreihen Kurzzusammenfassung Unersuchung von harmonischen Schwingungen und deren Überlagerung. Dabei wird zuers die harmonische Schwingung auf ihre Parameer - Ampliude, Frequenz und Phasenverschiebung - unersuch. Sodann wird die Überlagerung von zwei bzw. mehreren harmonischen Schwingungen längs einer Geraden (der x-achse) präsenier, wobei das Ineresse auch auf die im 4-en Jahrgang zu unersuchenden Fourierreihen gelenk wird. Schließlich werden noch Schwingungen, welche in zueinander senkrech liegenden Achsen (jeweils die x- und y-achse) ablaufen und die bekannen Lissajous'schen Figuren ergeben, unersuch. Lehrplanbezug (bzw. Gegensand / Abeilung / Jahrgang): Angewande Mahemaik und Angewande Physik, alle Abeilungen,. Jahrgang Mahcad-Version: Mahcad Inhalsübersich (Gewünschen Bereich anklicken) Harmonische Schwingungen - Grundlagen Überlagerung von jeweils zwei harmonischen Schwingungen längs einer Geraden Überlagerung von mehr als zwei harmonischen Schwingungen längs einer Geraden Überlagerung harmonischer Schwingungen mi senkrech zueinander sehender Schwingungsrichung - Lissajous sche Figuren Peer Fischer

2 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie von 7 Harmonische Schwingungen - Grundlagen zurück zur Inhalsübersich In der Technik spielen periodische (vor allem zeilich aber auch räumlich periodische) Vorgänge eine bedeuende Rolle. Am Beispiel der harmonischen Schwingung können die wichigen Begriffe Ampliude, Frequenz bzw. Periodendauer und Phasenwinkel (bzw. Phasenverschiebung) anschaulich erklär und graphisch dargesell werden. Bezeichnungen y() momenane Auslenkung oder Elongaion r maximale Auslenkung oder Ampliude ω Winkelgeschwindigkei bzw. Kreisfrequenz f Frequenz, also die Anzahl der vollen Schwingungen pro Sekunde T Periodendauer, also die Zei für eine volle Schwingung (bei einem Fadenpendel eine Hin- und Herbewegung; bei einer roierenden Scheibe eine Umdrehung um 36 ) φ (Null-)Phasenwinkel, also der Phasenwinkel zur Zei = r:= f := ω := φ := f Die Ampliude wird auf gesez; Diese Frequenz ensprich einer vollen Umdrehung pro Zeieinhei. Die Schwingung ha dami zur Zei = keine Momenanauslenkung, falls eine sinusförmige Schwingung berache wird; für eine Cosinusschwingung wäre die momenane Auslenkung für = dami gleich der Ampliude. Folgender Zusammenhang gil weiers: f := T Da es für das (mahemaische) Versändnis nich von Bedeuung is, wird auf Einheien verziche. Die allgemeine harmonische (sinusförmige) Schwingungsgleichung laue: y ( ) := r sin ω + φ :=,... Die 3 folgenden Schwingungen unerscheiden sich nur in ihrer Ampliude, wie der nachfolgende Graph zeig. y () := sin ( ) ( ) Durch diese Feslegung werden für die obige Frequenz jeweils volle Schwingungen gezeig. y ( ) := sin( ) y 3 ( ) := sin( ) y () y () y 3 () Da die Sinusfunkion sin() zwischen - und + beschränk is, ergib sich für die harmonische Schwingung folglich eine Beschränkung zwischen -r und r. Wie oben bereis geschrieben, werden hier je volle Schwingungen gezeig. Für die Physik sei der Begriff der (räumlichen) Wellenlänge erwähn. Für jede Schwingung sind also Wellenlängen abgebilde..5.5 Peer Fischer

3 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 3 von 7 Nun wird die Ampliude konsan gelassen und die Frequenz variier. y ( ) := sin( 3 ) ) y ( ) := sin( 3 ) y 3 ( ) := sin( 4 ) y () y () y 3 () Die drie Schwingung is doppel so schnell wie die erse; vollführ also in der gleichen Zei doppel so viele Schwingungen wie die erse. Man erkenn, dass die erse Schwingung für die gewähle Zeidauer wiederum volle Schwingungen, die zweie, da ihre Frequenz das,5-fache der ersen Schwingung is, 3 und die drie, welche die doppele Frequenz der ersen besiz, doppel so viele Schwingungen also genau 4 volle Schwingungen ausführ..5.5 Der folgende Graph zeig den Einfluss des Nullphasenwinkels auf den zeilichen Verlauf der Schwingungen bei gleicher Ampliude r und gleicher Frequenz f. y 3 ( ) := sin ( 3 4 ) ) y ( ) := sin + y 3 ( ) := sin( + ) y () y () y 3 ().5.5 Man erkenn, dass die zweie Schwingung gerade die Cosinusfunkion cos() is, da die Sinus- und Cosinusfunkion um 9 phasenverschoben sind. Der Cosinus eil dem Sinus um 9 bzw. / voraus. Es sei hier bereis darauf hingewiesen, dass die Sinusfunkion sin() eine ungerade - also zum Koordinaenursprung (bzw. sogar zu jedem Nullpunk) punksymmerische Funkion is, die Cosinusfunkion cos() hingegen eine gerade - also eine achsialsymmerische Funkion zur y-achse (bzw. sogar zu jeder Parallelen zur y-achse durch einen Exremwer) darsell. Die 3 Schwingungen sind jeweils um 9 bzw. / gegeneinander verschoben; üblich is (insbesondere in der Elekroechnik) ebenfalls die Bezeichnung der Nach- bzw. Vorauseilung; die Schwingungen eilen der vorangehenden jeweils um 9 voraus. Die erse eil daher der drien um 8 voraus bzw. is um 8 phasenverschoben bzw. is zur drien gegenphasig. Es wird bereis an dieser Selle auf die Bedeuung der Gegenphasigkei bei der Überlagerung von Schwingungen hingewiesen. Der nachfolgende Graph wird das sogleich belegen! Peer Fischer

4 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 4 von 7 Überlagerung von jeweils zwei harmonischen Schwingungen längs einer Geraden zurück zur Inhalsübersich. Überlagerung mi gleichen Frequenzen y () + y () y () + y 3 () y () + y 3 () Während also die Überlagerung der ersen und zweien und die der zweien und drien jeweils wiederum eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz ergib, löschen sich die beiden gegenphasigen Schwingungen und 3 aus. Die Physiker sprechen von vollsändiger desrukiver Inerferenz. Ineressan is nun jeweils die Funkionsgleichung dieser Überlagerungen: Berachen wir speziell die Überlagerung der ersen und der zweien harmonischen Schwingung. r := r :=.5.5 φ := Wie die obigen Graphen zeigen, vermue man also, dass die Überlagerung zweier Sinusschwingungen gleicher Frequenz aber beliebiger Phasenverschiebung wiederum eine Sinusschwingung der gleichen Frequenz ergeben. Diese Vermuung läss sich mi Hilfe der rigonomerischen Summensäze elegan beweisen (was unensehend kurz angedeue wird), also für allgemeine Schwingungen der Ampliude r und Frequenz f bzw. der Ampliude r und der gleichen Frequenz f aber der Phasenverschiebung φ berechnen. Der Fall, dass beide Schwingungen einen Nullphasenwinkel besizen, kann durch Koordinaenransformaion auf den eben beschriebenen zurückgeführ werden. g ():= r sin( f ) h ():= r sin( f + φ) g () + h () = r sin( f ) + r sin[ ( f ) + φ] r sin( f ) + r sin[ ( f ) + φ] = r sin( f )... + r ( sin( f ) cos( φ) + cos( f ) sin( φ) Heb man die Sinusfunkion heraus und form noch weier um, so erhäl man schließlich für die Ampliude r der Überlagerung und deren Phasenverschiebung ε: r:= r ( ) ( r ) + + r r cos( φ) folg auch - wie man am Ergebnis sieh - durch Anwendung des Kosinussazes aus dem Zeigerdiagramm an( ε) := r sin( φ) r + r cos( φ) Peer Fischer

5 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 5 von 7 Für die beracheen zwei ersen Sinunsschwingungen folg dami: r =.44 Also die Quadrawurzel aus was sich auch durch Kopfrechnen an Hand obiger Formel einfach überprüfen läß. Für den Winkel ε erhäl man den Arcusangens von also 45 Grad, was ebenfalls mi der obigen graphischen Darsellung übereinsimm.. Überlagerung mi unerschiedlichen Frequenzen y ( ) := sin ( 3 ) ) y ( ) := sin( 3 ) y 3 ( ) := sin( 4 ) :=,... 4 Die Zeiachse wird über einen größeren Bereich dargesell, um die Periodiziä klar zu erkennen. y () + y () y () y () Man erkenn, dass die Überlagerung zweier sinusförmiger Schwingungen unerschiedlicher Frequenz eine zwar periodische aber nich mehr sinusförmige - also eine anharmonische - Schwingung ergib. Die Periodendauer der nebensehenden anharmonischen Schwingung beräg Zeieinheien. 3 4 Diese fundamenale Erkennnis, dass die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen unerschiedlicher Frequenz eine anharmonische Schwingung liefer kann in der Umkehrung als der geniale Gedanke von J. B. Fourier gesehen werden, der in seiner Arbei "Theorie analyique de la chaleur" 8 zeige, dass sich ein beliebiger periodischer Vorgang aus harmonischen Schwingungen zusammensezen läss. Man nenn das Zerlegen einer periodischen Funkion in ihre harmonischen Besandeile die harmonische Analyse oder die Fourieranalyse. y () + y 3 () y () y 3 () Man erkenn, dass die Überlagerung zweier sinusförmiger Schwingungen unerschiedlicher Frequenz eine zwar periodische aber nich mehr sinusförmige - also eine anharmonische - Schwingung ergib. Die Periodendauer dieser anharmonischen Schwingung beräg eine Zeieinhei. 3 4 Peer Fischer

6 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 6 von 7 Zum Vergleich werden mehrere anharmonische Überlagerungen dargesell. y () + y () y () + y 3 () y () + y 3 ().5.5 Unerscheiden sich die Frequenzen nur sehr wenig, so erhäl man eine sogenanne Schwebung. y 4 ( ) := sin(. ) y 5 ( ) := sin(.5 ) y 6 ( ) := sin(. ) :=, y 4 () + y 5 () y 5 () + y 6 () Peer Fischer

7 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 7 von 7 4 y 4 () + y 6 () Wie die obigen Graphen zeigen, vermue man also, dass die Überlagerung zweier Sinusschwingungen nur wenig unerschiedlicher Frequenz eine muliiplikaive Verknüpfung einer Cosinus- und Sinusschwingung ergeben. Diese Vermuung läss sich mi Hilfe der rigonomerischen Summensäze elegan beweisen, was unensehend für den Spezialfall gleicher Ampliuden, also für allgemeine Schwingungen der Ampliude r und Frequenz f bzw. der Frequenz f kurz angedeue wird. ( ) r sin f r sin f ( ) + r sin f = r sin f ( ( ) + sin( ) ) = r f ( ( ) + sin( ) ) ( ) f cos f f sin f f ( ) Schwebungen sind vor allem den Physikern und den Musikern bekann. Beispielsweise ergib sich beim Simmen von Sreichinsrumenen das charakerisische An- und Abschwellen der Lausärke, wenn die beiden Töne sich nur wenig in der Tonhöhe (der Frequenz) unerscheiden. zurück zur Inhalsübersich Peer Fischer

8 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 8 von 7 Überlagerung von mehr als zwei harmonischen Schwingungen längs einer Geraden zurück zur Inhalsübersich Im folgenden soll den SchülerInnen ein Einblick in die faszinierende Wel der Fourierreihen gewähr werden, wobei das punkweise Zusammensezen von Funkionen sehr gu veranschaulich werden kann. Im Hinblick auf diese Allgemeinhei wird im folgenden die Bezeichnung f(), g() und h() als eigensändige Funkionen verwende und das Argumen ohne dem Fakor angegeben. Zusäzlich werden im Folgenden jeweils 3 volle Schwingungen der sogenannen Grundschwingung - also derjenigen mi der geringsen Frequenz - gezeig. In der Akusik sell diese Schwingung den Grundon dar, welcher die Tonhöhe fesleg. Die vorhandenen Oberöne sorgen schließlich für den Klang bzw. die sogenanne Klangfarbe. Drei harmonische Schwingungen f, g und h mi unerschiedlicher Ampliude und unerschiedlicher Frequenz werden überlager. Im folgenden Graphen werden die Überlagerung und ihre einzelnen Komponenen dargesell, um die punkweise Addiion der Funkionswere demonsrieren zu können. Die (gemeinsamen) Nullsellen eignen sich dafür besonders. sin( ) f ( ) := sin() g ():= h ():= sin( 3) 3 f () + g () + h () f () g () h () Man erkenn eindeuig, dass die anharmonische Überlagerung die Periode der Schwingung mi der geringsen Frequenz besiz. Einige werden bereis hier eine sückweise lineare Funkion als Überlagerung beliebig vieler Sinusfunkionen gemäß dem obigen Bildungsgesez erkennen. 5 5 Wie schnell man an die ideale fallende Sägezahnfunkion - welche mi S() bezeichne wird - gerä, sollen die folgenden Beispiele zeigen, wobei jeweils nur mehr die Grund- und die erse Oberschwingung angegeben werden. S () := k = sin( k ) k S () f () g () sin( ) Im nebensehenden Graphen is auch noch die leze harmonische Teilfunkion sin()/ dargesell, um ihren Einfluss auf die Gesamfunkion s aufzuzeigen. 5 5 Peer Fischer

9 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 9 von 7 S () := k = sin( k ) k S () f () g () 5 5 Die Annäherung an die fallende Sägezahnfunkion is bereis - abgesehen von den Spizen bei den Nullsellen - sehr gu. Will man diese Spizen auch noch beseiigen, so empfiehl sich ein oberer Summenindex von rund, was hier aber auf Grund der zu langen Rechenzei nich angeführ wird. Es sei noch darauf hingewiesen, dass diese Sägezahnfunkion - so wie ihre Baueile - ebenfalls ungerade is. Ein schönes Beispiel für die Überlagerung von harmonischen Funkionen sell auch die Rechecksfunkion R() dar, welche auch in der Elekroechnik und Elekronik eine bedeusame Rolle spiel. R () := 5 k = sin[ ( k + ) ] k + R () f () h ().5.5 Bei der nebensehenden Rechecksfunkion ragen nur mehr Sinusfunkionen mi ungeraden ganzzahligen Frequenzen bei, während bei der obigen Sägezahnfunkion alle ganzzahligen Frequenzen verreen sind. Dies könne im sogenannen Frequenzspekrum dargesell werden, worauf aber hier nich weiereingegangen wird. 5 5 Peer Fischer

10 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie von 7 Es folgen noch Beispiele für gerade Funkionen als harmonische Besandeile bzw. als Gesamfunkion. :=. := 3, Drei harmonische (cosinusförmige) Schwingungen f, g und h mi unerschiedlicher Ampliude und unerschiedlicher Frequenz werden überlager. Im folgenden Graphen werden die Überlagerung und ihre einzelnen Komponenen dargesell, um die punkweise Addiion der Funkionswere demonsrieren zu können. Die (gemeinsamen) Nullsellen eignen sich dafür besonders. f ( ) := 4 cos() 4 cos( ) g ():= h ():= 4 cos( 3) 3 f () + g () + h () 5 Man erkenn eindeuig, dass die anharmonische Überlagerung die Periode der Schwingung mi der geringsen Frequenz besiz. f () g () h () Einige werden bereis hier eine ineressane Funkion als Überlagerung beliebig vieler Cosinusfunkionen gemäß dem obigen Bildungsgesez erkennen. Dass es sich um eine gerade Funkion handel is ebenfalls klar erkennbar. Wie schnell man an die ideale Funkion - welche mi Par() bezeichne wird - gerä, soll das folgende Beispiel zeigen, wobei nur mehr die Grund- und die erse Oberschwingung angegeben werden. Par() := 5 k = 4 cos( k ) k ( ) k+ Par() f () g () 5 Zum Vergleich wird hier die um nach oben verschobene und nach unen geöffnee Einheisparabel gezeichne, um zu zeigen, dass die Fourierreihendarsellung einer parabolischen Funkion Par() angegeben is. Späesens jez dürfe sich die Namensgebung rechferigen Peer Fischer

11 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie von 7 Wieder werden drei harmonische cosinusförmige Schwingungen f, g und h mi unerschiedlicher Ampliude und unerschiedlicher Frequenz überlager. Wobei nur mehr gerade ganzzahlige Frequenzen aufreen. f () 4 cos( ) 4 cos( 4) := g ():= h ():= cos( 6) 5 7 f () + g () + h () Man erkenn eindeuig, dass die anharmonische Überlagerung die Periode der Schwingung mi der geringsen Frequenz besiz. f () g () h () Einige werden bereis hier eine ineressane Funkion aus der Elekroechnik als Überlagerung beliebig vieler Cosinusfunkionen gemäß dem obigen Bildungsgesez erkennen. Dass es sich um eine gerade Funkion handel is ebenfalls klar erkennbar. Wie schnell man an die ideale Funkion - welche mi Puls() bezeichne wird - gerä, soll das folgende Beispiel zeigen, wobei nur mehr die Grund- und die erse Oberschwingung angegeben werden. Puls() := k = 4 cos( k ) [ ( k ) ( k + ) ] Puls() f () g () sin().5.5 Zum Vergleich wird hier die Sinusfunkion gezeichne, um zu zeigen, welche Fourierreihendarsellung die Funkion Puls() angib. Späesens jez dürfe sich die Namensgebung rechferigen, da diese Sromform als pulsierender Gleichsrom (z.b. in einem Vollweggleichricher) bezeichne wird. Man beache, dass nur bis n = summier wird. Somi sind lediglich fünf Cosinusfunkionen überlager. 5 5 Peer Fischer

12 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie von 7 Zum Abschluss dieser Überlagerungen wird noch ein weieres Beispiel aus der Elekroechnik angeführ - die Einweggleichrichung, da diese weder durch einen geraden (cos(nx)) noch durch einen ungeraden (sin(nx)) Funkionsyp alleine dargesell werden kann. Diese ergib sich, wenn eine sinusförmige Wechselspannung an eine Diode, welche den Srom nur in eine Richung durchläss, geleg wird. Man sprich dann von einem unerbrochenen Gleichsrom, der z.b. in einem Einweggleichricher aufri. Folgende Funkionen werden überlager. f () := + sin() g () := cos( ) h ():= cos( 4 ) f () + g () + h () f () g () h ().5 Man erkenn eindeuig, dass die anharmonische Überlagerung die Periode der Schwingung mi der geringsen Frequenz besiz. Der angekündige unerbrochene Gleichsrom is bereis erkennbar. Auch die punkweise Zusammensezung der Gesamfunkion is wieder eindrucksvoll zu erkennen. 5 5 Wie schnell man an die ideale Funkion - welche mi Un() bezeichne wird - gerä, soll das folgende Beispiel zeigen, wobei nur mehr die Grund- und die erse Oberschwingung angegeben werden. Un() := + sin() k = cos( k ) [ ( k ) ( k + ) ] Un() f () g () sin() Zum Vergleich wird auch hier die Sinusfunkion gezeichne. Man beache, dass auch hier nur bis n = summier wird. Somi sind lediglich 5 Cosinusfunkionen und eine Sinusfunkion überlager. 5 5 Zum Abschluss dieses Ausflugs zu den Fourierreihen sei angemerk, dass die Aufgabe im 4. Jahrgang in der Berechnung der Fourierkoeffizienen miels Inegralrechnung beseh, wobei die rigonomerischen Summensäze zur Anwendung gelangen. Meine Erfahrung zeig aber, dass die Schüler sich an die Gedanken und Überlegungen, welche sie im en Jahrgang zu diesem Kapiel angesell haben, erinnern können und dami auf bereis bekannes und dami nich abschreckendes Gebie geführ werden. Miels Symmerieüberlegungen (gerade; ungerade Funkionen) wird naürlich auch die Berechnung der Fourierkoeffizienen wesenlich vereinfach bzw. beschleunig. Peer Fischer

13 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 3 von 7 Überlagerung harmonischer Schwingungen mi senkrech zueinander sehender Schwingungsrichung - Lissajous-Figuren zurück zur Inhalsübersich Im folgenden soll die erse Schwingung ses längs der x-achse und die zweie dazu senkrech, also längs der y-achse safinden, sodass die Bezeichnungen x() und y() gerechferig scheinen.. Gleiche Frequenz x ( ) := sin() y ( ) := sin() y () Wenn die beiden Schwingungen synchron im Nullpunk saren, ergib sich eine durch den Ursprung verlaufende Gerade deren Seigung gerade das Verhälnis der beiden Ampliuden angib. Für nebensehenden Fall also die Seigung und dami ein Seigungswinkel von 45. x () Es empfiehl sich, die SchülerInnen zur "händischen" Überprüfung all dieser Überlagerungen zu animieren. Das bedeue, dass die reche Hand die Schwingung in x-richung und die linke Hand diejenige in y-richung ausführen soll. So erhäl man für jeden Zeipunk die x- bzw. y-koordinae der Gesamschwingung und kann daraus die resulierende Bewegung zusammensezen. Beim nächsen Beispiel ergeben sich bei diesem händischen Nachfahren bereis olle Lösungsversuche beim Treffpunk im Nullpunk. x ( ) := sin() y ( ) := sin + y () Wenn die beiden Schwingungen nich mehr gleichzeiig im Nullpunk saren, ergib sich ein Kreis bzw. allgemeiner eine Ellipse deren Haup- bzw. Nebenachse den beiden Ampliuden ensprich. Dass zeig das folgende Beispiel. x ( ) := 3 sin() y ( ) := sin + x () y () 3 3 x () Peer Fischer

14 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 4 von 7. Unerschiedliche Frequenz x ( ) := sin( ) y ( ) := sin() y () x () Wenn sich die Frequenzen der beiden Schwingungen unerscheiden, so ergib sich für den Fall eines raionalen Frequenzverhälnissens jeweils eine geschlossene Figur. Diese Figuren werden nach dem französischen Physiker J. Lissajous (8-88) als Lissajousfiguren bezeichne und dienen bespielsweise in der Elekroechnik zum Besimmen von Frequenzverhälnissen, welche dem Verhälnis der Anzahl der Berührungspunke der Figur mi dem umschriebenen Recheck mi den Ampliuden als Seienlängen ensprechen. Auch der Kreis und die Ellipse zählen zu den Lissajousfiguren, welche aber durch das Frequenzverhälnis : ausgezeichne sind. Im folgenden Beispiel wird der Einfluss einer Phasenverschiebung gezeig. x ( ) := sin( ) y ( ) := sin + 8 y () Die obere und unere Recheckseie werden jeweils einmal berühr, wohingegen die linke und reche Seie je mal von der Figur berühr werden, sodass sich das Frequenzverhälnis von : besäig. x () Im folgenden Beispiel wird sowohl der Einfluss des Frequenzverhälnisses als auch eine Phasenverschiebung dargesell. x ( ) := sin( 6) y ( ) := sin + 3 y () Durch die Berührungspunke wird das Frequenzverhälnis wiederum besäig. x () Peer Fischer

15 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 5 von 7 Im folgenden Beispiel wird sowohl der Einfluss des Frequenzverhälnisses als auch eine Phasenverschiebung und eine Verschiebung aus dem Koordinaenursprung als Symmeriezenrum dargesell. x ( ) := + sin( 5) y ( ) := + sin y () Durch die Berührungspunke wird das Frequenzverhälnis wiederum besäig. x () Im folgenden Beispiel wird obige Aussage überprüf, dass die Figur nur für raionale Frequenzverhälnisse geschlossen wird. x ( ) := + sin() ( ) y ( ) := + sin y () Da das Frequenzverhälnis nich raional is, ergib sich keine geschlossene Figur. Das wird auch durch das unensehende Beispiel besäig. x () x ( ) := 3 + sin() ( ) y ( ) := + sin 5 3 y () 3 4 x () zurück zur Inhalsübersich Peer Fischer

16 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 6 von 7 Peer Fischer

17 HTBLA Neufelden Harmonische Schwingungen Seie 7 von 7 Peer Fischer