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1 Werkstatt: Arbeit = Kraft Weg Viel Kraft für nichts? In der Physik definiert man Arbeit durch das Produkt aus Kraft und Weg: W = * = F * s FII bezeichnet dabei die Kraftkomponente in Wegrichtung s. Die Einheit der Arbeit ist das Joule (J). In Worten versteht man unter der Arbeit folgendes: II Es wird physikalische Arbeit verrichtet, wenn eine Kraft längs eines Weges bzw. in entgegengesetzter Richtung zu einem Kraftfeld wirkt. Mit Was ist mit längs des Weges gemeint? Heisst das, dass keine Arbeit im physikalischen Sinne verrichtet wird, wenn eine Kraft zum Beispiel senkrecht zu einer Wegstrecke wirkt? Ja, genau! Trägt man zum Beispiel einen Koffer während man vorwärts geht, wird keine Arbeit verrichtet, da Kraft und Weg senkrecht zueinander stehen (siehe Fig.). Für die physikalische Arbeit ist also nur die Kraft relevant, die entlang, d.h. in Richtung des Weges wirkt! Fig.: G ist die Gewichtskraft des Koffers. Sie zeigt senkrecht zum Weg nach unten. Wie kann man das verstehen? Nun, einerseits ist es eine Definition, die sich in der Physik bewährt hat. Andererseits können wir die Definition auch mathematisch interpretieren: Das Produkt aus Kraft und Weg ist ja kein gewöhnliches mathematisches Produkt. Da sowohl die Kraft als auch der Weg ein Vektor ist, werden also zwei Vektoren miteinander multipliziert! Wie soll das gehen? In der Mathematik spricht man hier vom sogenannten Skalarprodukt. Dabei werden zwei Vektoren so multipliziert, dass am Schluss eine Zahl (Skalar) herauskommt. Für die Arbeit sieht das so aus: W = * = F* s *cos( α ) F s F II Für die Arbeit ist nur die Kraft relevant, die in Wegrichtung zeigt. Sie beträgt FII = F cos(α). Die Arbeit ist somit eigentlich das Produkt aus der Kraftkomponente in Wegrichtung und dem Weg. Der Winkel α ist dabei der Winkel, der zwischen dem Kraftvektor und dem Wegvektor liegt. Ist α = 90 o, d.h. stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander, so ist cos(α) = 0 und somit ist auch W = F*s*cos(α) = 0. Es wird also keine Arbeit verrichtet. Merken Sie sich also Wirkt die Kraft senkrecht zur Wegrichtung, so wird keine Arbeit verrichtet. Aufgabe 1 Geben Sie die SI-Einheit der Arbeit an. Aufgabe 2 Ein Kind zieht einen Schlitten auf dem Eis. Dafür braucht es eine Kraft von 100 N. Die Leine des Schlittens schliesst mit dem Eisboden einen Winkel von 40o ein. Welche Arbeit verrichtet das Kind, wenn es einen Weg von 20 m zurücklegt? (1530 Nm ) Aufgabe 3 Nennen Sie Situationen, in denen ein Körper bewegt ist und dabei keine Arbeit verrichtet wird.

2 Hubarbeit W = m g h Werkstatt: Arbeit = Kraft Weg Die Abbildung zeigt einen Mann, der ein schweres Fass auf einen Wagen verladen will. Er hebt die Last senkrecht hoch, übt also eine Kraft längs eines bestimmten Weges aus. Die Kraft, die er aufwenden muss, entspricht der Gewichtskraft F des Fasses. Der zurückgelegte Weg ist die Höhe h vom Boden bis hinauf zur Ladefläche des Wagens. Da hier ein Gegenstand auf eine gewisse Höhe gehoben wird, spricht man auch von Hubarbeit. Sie berechnet sich folgendermassen: W = F s = m g h, wobei m die Masse des Gegenstandes, g die Fallbeschleunigung (9.81 m/s ) und h die Höhe bezeichnet. Die Hubarbeit ist also das Produkt aus der Gewichtskraft F = m g und dem Weg, bzw. der Höhe h. Aufgabe 4: Berechnen Sie die Hubarbeit die der Mann in der Abbildung verrichtet, wenn er das 20 kg schwere Fass auf die 1.2 m hohe Ladefläche hebt. (240 Nm) Aufgabe 5: Das Verladen der Fässer liesse sich auch anders durchführen: das Fass bräuchte nicht gehoben, es könnte viel leichter über ein schräg gestelltes Brett hinaufgerollt werden. Der Winkel zwischen dem Brett o und dem Boden beträgt 45. Die Reibung kann vernachlässigt werden. Berechnen Sie a) die Kraftkomponente FII parallel zum Weg s (Brett), (141 ) b) den zurückgelegten Weg s, ( 1, 7 m ) c) die verrichtete Arbeit W. (240 ) d) Was fällt Ihnen auf? Was kann so gespart werden, was nicht? e)* Setzen Sie nun als Beweis für Ihre Vermutung die Formeln aus a) bis c) (ohne Zahlen) für die verrichtete Arbeit zusammen. Alles klar?! Aufgabe 6 Studieren Sie zur sogenannten goldenen Regel der Mechanik folgende Internetseite: (Google Leifi Goldene Regel Mechanik ) Beantworten Sie dann folgende Fragen: a) Was besagt die goldene Regel der Mechanik? b) Nennen Sie drei Kraftwandler! Aufgabe 7 Überprüfen Sie die goldene Regel der Mechanik am Flaschenzug, der bei der Lehrperson steht. Zusatzaufgaben: Aufgaben 217 und 218 S. 72 im Aufgabenbuch L i n k z u d e n L ö s u n g e n, s. a u c h a u f p h y s i c - s u p p l e m e n t s : h t t p : / / w w w. o f v. c h / i n d e x. p h p? I D = b k D e t & n r = # l o e s u n g e n II 2

3 Reibungsarbeit W = FR s Werkstatt: Arbeit = Kraft Weg Jeder hat schon einmal versucht, ein schweres Möbelstück von seinem Platz zu verrücken. Die Kraft, die man dabei aufwendet, muss die Reibung der Berührungszonen von Möbelstücken überwinden. Die Arbeit, die man gegen die Reibung verrichtet, berechnet sich aus dem Produkt von Reibungskraft FR und dem Weg s: W = F s = F s Aufgabe 8 Ein Kind der Masse 20 kg sitzt auf einem 2 kg schweren Schlitten. Berechnen Sie die notwendige Arbeit, um den Schlitten mit dem Kind 50 m zu schieben, wenn der Reibungskoeffizient zwischen den Kufen und dem Neuschnee 0.4 beträgt. (4.400 ) Zusatzaufgabe Aufg. 220 S. 73 im Aufgabenbuch II R Seite 3 von 6

4 Verformungsarbeit W = ½Ds 2 Werkstatt: Arbeit = Kraft Weg Unter Verformungsarbeit kann man sich vereinfacht die Arbeit vorstellen, die nötig ist, um eine Feder zu komprimieren oder zu dehnen. Beispiel: Eine Schraubenfeder mit der Federkonstante D wird um die Strecke s gedehnt. Für diese Dehnung müssen wir eine Kraft aufwenden. Die Kraft ist aber nicht konstant, sondern proportional zur Strecke s (Hooke sches Gesetz). Das heisst die Kraft wächst mit zunehmender Dehnung. Die Formel für Spann- bzw. Verformungsarbeit lässt sich folgendermassen begründen: Aufgabe 9 Skizzieren Sie ein Diagramm mit der Spannkraft F auf der y- Achse und der Dehnung s auf der s-achse. Zeichnen Sie nun qualitativ die Spannkraft in Abhängigkeit der Dehnung s ein (Hooke sches Gesetzt F = D s). Die Arbeit ist als Produkt von Kraft und Weg definiert. * (i) Berechnen Sie nun anhand dieses Diagramms die an einer Feder verrichtete Arbeit. (ii) Zeichnen Sie nun im Diagramm die der Arbeit entsprechende geometrische Größe ein. Hinweis: Versuchen Sie die Aufgabe zu lösen. Wenn Sie die Lösung nach einiger Zeit nicht finden, lesen Sie den folgenden Abschnitt. Probieren Sie es dann noch einmal mit dieser Aufgabe. Formel für die Berechnung der an einer Feder verrichteten Arbeit: D Geometrische Größe, die im Diagramm den Betrag der Arbeit zeigt: Wir müssen daher zur Berechnung der Arbeit nicht etwa die Kraft F = D s nach vollendeter Dehnung einsetzen, sondern die mittlere Kraft F = ½ D s Die Arbeit wächst also nicht linear sondern mit der Dehnung s! Aufgabe 10

5 Beschleunigungsarbeit W = ½mv Werkstatt: 2 Arbeit = Kraft * Weg Gemäss Newtons zweitem Gesetz (Grundgesetz der Mechanik) ist eine Kraft notwendig, um einen Körper zu beschleunigen. Da die Kraft längs der beschleunigten Strecke wirkt, wird Arbeit verrichtet. Beispiel: Ein Auto soll auf einer glatten, ebenen Fahrbahn in gleichmässig beschleunigte Bewegung versetzt werden. Zur Beschleunigung wird die konstante Kraft F = m a benötigt. Das Auto erhält dadurch die Geschwindigkeit v = a t Für den zurückgelegten Weg erhält man s = ½ a t² Wenden wir nun den Arbeitsbegriff sinngemäss an, so ergibt sich: W = F {{ *s = m a ½ a t² = ½ m ( a t ) ² = ½ m v² Die Arbeit nimmt also quadratisch zu mit der Geschwindigkeit v! Das heisst, dass sie das vierfache an Arbeit (Treibstoff) benötigen um die doppelte Geschwindigkeit zu erreichen. Aufgabe 11 Welche Arbeit müssen Sie aufwenden, wenn sie Ihr Fahrrad (Gesamtmasse 85 kg) von 0 km/h auf 36 km/h beschleunigen möchten? (4,25 kn) Aufgabe 12 a) Berechnen Sie die Arbeit die nötig ist, um ein Auto der Masse 1500 kg von 0 km/h auf 36 km/h zu beschleunigen b) Berechnen Sie die Arbeit die nötig ist, um ein Auto der Masse 1500 kg von 0 km/h auf 80 km/h zu beschleunigen (370 kj) c) Berechnen Sie die Arbeit die nötig ist, um das Auto von 0 km/h auf 120 km/h zu beschleunigen. (833 kj) d) Berechnen Sie die Arbeit die nötig ist, um das Auto von 80 km/h auf 120 km/h zu beschleunigen. (463 kj) *e) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus b) bis d). Formulieren Sie eine Abhängig des Betrags der Arbeit zu den absoluten Geschwindigkeiten. Zusatzaufgabe Aufgabe 221 S. 73 im Aufgabenbuch

6 Werkstatt: Arbeit = Kraft Weg Zusatz: Mehrere Kräfte wirken Für gewöhnlich sind mehrere Kräfte zur Bewältigung einer Arbeit nötig. Betrachten Sie das folgende Beispiel und lösen Sie anschliessend die Aufgabe: Ein Skifahrer der Masse m = 75 kg wird mit einem Schlepplift hochgezogen. Das Starthaus des Skilifts befindet sich auf 1800 m.ü.m. Das Ende des Skilifts ist auf 1950 m.ü.m, wo der Skifahrer nach einer 2 km langen Fahrt eine konstante Geschwindigkeit von 9 km/h hat. Die Skier sind frisch gewachst und haben deshalb einen kleinen Reibungskoeffizienten von 0.1. Aufgabe 13 a) Nennen Sie alle Arbeitsformen die für die gesamte Arbeit des Lifts berücksichtigt werden müssen. Schreiben Sie auch gleich die nötigen Formeln auf. b) Berechnen Sie nun die gesamte vom Lift verrichtete Arbeit. c) Was haben Sie vernachlässigt, bzw. was müsste man auch noch berücksichtigen, wenn man wissen möchte, wie viel Arbeit der Lift an einem gut besuchten Tag verrichten soll?

7 Lösungen Aufgaben 1-5 (ohne 3) Aufgabe 8 W = F_r * s = m g µ_r s = 22 kg * 10 m/s² * 0,4 * 50 m = 4400 Nm Abschnitt Verformungsarbeit Lösungen S. auch Buch Impulse S. 117; Geometrische Grösse, die im Diagramm den Betrag der Arbeit zeigt: FLÄCHE unter dem Kraft-Weg Graphen ( F-s Diagramm) W = ½ D s² - Die Arbeit wächst quadratisch mit der Dehnung s!

8 Aufgabe 13 a) E_pot= mgh ; E_ kin= ½ mv² ; E_Reibung = µ F_N = µ m g cosα b) E_pot = 75kg * 9,81 m/s² * 150 m = 110 kj; E_kin = ½ * 75kg * (2,5 m/s)² = 234 J E_Reibung : Berechnung α: sin α = h/s = 150m / 2000m α= 4,3 ; E_Reib= 75 J c) Z. B. der Wirkungsgrad des Motors der Anlage wird vernachlässigt. Hier wird elektrische Arbeit ausser in mechanische auch in Wärme/Reibungsenergie umgewandelt.

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