Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

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1 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem Grd vorkommen: x x n x n r Die Vriblen sind hier x, x,, x n Die Koeffizienten,,, n und r sind gegebene Elemente eines Körpers, der bei uns immer der Körper R der reellen Zhlen sein wird Ws ist eine Lösung? Eine Lösung ist ein Tupel reeller Zhlen, ds beim einsetzen bei x, x,, x n die Gleichung erfüllt Beispiel: x y 3z 4 ht (, 0, ) ls Lösung d ist Achtung: Dies ist nicht die einzige Lösung! Ds Tupel (,, ) ist dgegen keine Lösung Ws ist ein lineres Gleichungssystem? Ein lineres Gleichungssystem besteht us mehreren lineren Gleichungen, von denen mn gemeinsme Lösungen sucht Eine linere Gleichung in einer Vriblen Der einfchste Fll ist selbstverständlich, wenn ein Gleichungssystem us einer einzigen Gleichung in nur einer Vriblen besteht: x r Wie knn mn ds lösen? Wenn 0 ist, dnn dividiert mn einfch beide Seiten der Gleichung durch und mn erhält x r Unsere Gleichung ht dnn genu eine Lösung Ws pssiert, wenn 0 ist? Dnn wäre unsere Gleichung 0 x r D gibt es zwei Möglichkeiten Wenn uch r 0 ist, dnn ist die Gleichung für lle x R erfüllt Wenn r 0 ist, dnn gibt es keine Lösungen Wir sehen lso, dss eine linere Gleichung in einer Vriblen eine, keine oder unendlich viele Lösungen hben knn Im Normlfll sollten wir ber genu eine Lösung erwrten

2 Eine linere Gleichung in zwei Vriblen Ws pssiert, wenn wir eine Gleichung und zwei Vriblen hben? Betrchten wir folgendes Beispiel: x y Wenn wir diese Gleichung umformen, können wir y x erhlten Wir sehen: Egl welchen Wert wir bei x einsetzen, finden wir genu ein y, ds die Gleichung erfüllt ZB: x 0 ergibt y, x π ergibt y π Die Menge ller Lösungen unserer Gleichung knn mn grphisch in einem krtesischen Koordintensystem drstellen: Es ist eine Gerde Bei einer Gleichung der Form x by r ist dies immer der Fll, sobld nicht b 0 ist 3 Zwei linere Gleichungen in zwei Vriblen Betrchten wir ds Beispiel { x y y 4 Ds ist besonders einfch, d in der zweiten Gleichung die Vrible x gr nicht vorkommt Mn knn lso y eindeutig us der zweiten Gleichung bestimmen: y Dnn reicht es y in die erste Gleichung einzusetzen, sodss mn x, lso x berechnet Ds linere Gleichungssystem ht lso genu eine Lösung, nämlich ds Pr (, ) Ws pssiert, wenn in beiden Gleichungen lle zwei Vriblen vorkommen? Betrchten wir folgendes Beispiel { x y 3x y 7 Die beiden Gleichungen definieren zwei Gerden Die erste ht Steigung, die zweite ht Steigung 3 Eine Lösung des Gleichungssystems ist per Definition eine gemeinsme Lösung der beiden Gleichungen; geometrisch gesehen, suchen wir lso nch Schnittpunkten der beiden Gerden D diese nicht prllel sind, wissen wir, dss es genu einen solchen Schnittpunkt geben muss Wie knn mn den berechnen? Ein übliches Vorgehen in der Mthemtik besteht drin, schwierige Probleme uf einfchere und bereits beknnte zurückzuführen Die Idee ist lso, zur zweiten Gleichung ein geeignetes Vielfches der ersten zu ddieren, sodss der Koeffizient von x in der zweiten Gleichung Null wird: { x y 3x y 3 (x y) 7 3 Durch diese Umformung ändert sich die Lösungsmenge des Systems nicht Mn erhält: { x y 4y 4

3 Wie im obigen Beispiel berechnet mn nun problemlos y und x Die Lösung des Gleichungssystems ist lso (, ) Noch ein Beispiel: { x y x 4y 4 Die oben erklärte Umformung führt hier zu { x y 0 Diesml können wir keine Lösung y der zweiten Gleichung bestimmen, d diese gr nicht von y bhängt und niemls erfüllt sein knn Wir finden lso keine Lösung Wie knn ds sein? Ds Problem hier ist, dss die beiden Gerden prllel sind und somit keinen Schnittpunkt hben Als letztes erwähnen wir, dss die beiden Gerden uch identisch sein könnten, ws dnn zu unendlich vielen Lösungen führen würde Wir hlten fest: Im Normlfll ht ein System von zwei lineren Gleichungen in zwei Vriblen genu eine Lösung; es ist ber uch möglich, dss es keine oder unendlich viele Lösungen gibt 4 Mtrizen und Determinnten Mn knn ein lineres Gleichungssystem mit einer Mtrix (einer Tbelle von Zhlen) und einem Vektor (eine Zhlensplte) beschreiben Im ersten Beispiel und 0 4 Dieses Beispiel wr besonders einfch, weil in der zweiten Gleichung kein x vorkommt Diese Eigenschft knn mn gut von der Mtrix blesen: Sie ht eine Null unten links Beispiele und 3 unterscheiden sich drin, dss wir bei dem einem im Normlfll sind (die gerden sind nicht prllel und es gibt genu eine Lösung) und bei dem nderen nicht Die zugehörigen Mtrizen sind: 3 und 4 Knn mn von den Mtrizen direkt erkennen, ob wir im Normlfll sind oder nicht? J, zb mit der Determinnte Die Determinnte einer Mtrix ist definiert wie folgt: b det d bc c d Die Determinnten in den beiden Beispielen oben sind 3 ( ) 4 und 4 0 Dies ist kein Zufll: Die beiden Gerden sind dnn und genu dnn prllel, wenn die Determinnte der zugehörigen Mtrix Null ist 3

4 5 Drei linere Gleichungen in drei Vriblen Die Vorgehensweise bei mehr Gleichungen und mehr Vriblen unterscheidet sich nicht wesentlich von den obigen Spezilfällen Wir betrchten nur ein Beispiel mit drei Vriblen und drei Gleichungen: x y z x y 3z 4 x y z 3 Wir ddieren geeignete Vielfche der ersten Gleichung zu den beiden nderen, sodss die Vrible x von ihnen verschwindet: x y z y z 3 y z 4 Nun subtrhieren wir zwei ml die zweite Gleichung von der dritten: x y z y z 3 z Die dritte Gleichung ergibt nun z Durch einsetzen in die zweite erhält mn y, und us der ersten berechnen wir x Unsere (eindeutig bestimmte) Lösung ist lso (,, ) Vektoren Ws ist ein Vektor? Wir verzichten uf eine llgemeine Definition und beschränken uns uf den Spezilfll der Vektoren in R Ws ist R? Es ist eine Ebene, in der wir uns ein krtesisches Koordintensystem vorstellen Jeder Punkt der Ebene ist durch zwei reelle Zhlen bestimmt, den x und den y Wert Ein Vektor in R ist ein Pfeil zwischen zwei Punkten, der eine Bewegung uf der Ebene beschreibt Die relevnten Informtionen hierzu sind die Richtung und die Länge des Vektors Mn identifiziert deshlb lle Vektoren untereinnder, die dieselbe Richtung und Länge hben, egl welchen Anfngspunkt sie hben D der Anfngspunkt nicht relevnt ist, knn mn problemlos nnehmen, dss lle Vektoren den Punkt (0, 0) ls Anfngspunkt hben Unter dieser Vorussetzung reicht es den Endpunkt eines Vektors zu bestimmen, um den Vektor zu beschreiben Wir hlten fest: Ein Vektor ist ein Pfeil, der in (0, 0) strtet und durch seinen Endpunkt beschrieben wird, lso letztendlich durch ein Pr (, reeller Zhlen ( Den durch ds Pr (, definierten Vektor werden wir immer ls Splte notieren Addition von Vektoren Vektoren beschreiben eine Bewegung: Wenn mn sich erst um eine gewisse Distnz in eine Richtung bewegt und dnn um eine ndere Distnz in eine ndere 4

5 Richtung, dnn ht mn sich insgesmt uch irgendwo hinbewegt ( Es ( ist lso c sinnvoll, Vektoren zu ddieren Nur, wie geht ds? Seien und zwei ( ( ( c c Vektoren, ws ist dnn? Der Vektor ist der Pfeil vom Punkt (0, 0) zum Punkt (c, Er ht dieselbe Länge und dieselbe Richtung wie der ( Pfeil vom ( Punkt (, zum Punkt ( c, b Wenn wir uns für die Summe c interessieren, gehen wir lso zuerst vom Punkt (0, 0) bis zum Punkt (, und dnn von dort us zum Punkt ( c, b Insgesmt sind wir lso vom Punkt (0, 0) bis zum Punkt ( c, b gegngen (der entsprechende Pfeil ist eine Digonle vom Prllelogrmm, ds mn us den zwei gegebenen Vektoren konstruieren knn) Algebrisch gesehen, hben wir die Regel ( ( c ( c b d erhlten Ds heißt, die Addition erfolgt komponentenweise Bei einer Addition erwünscht mn sich gewisse Eigenschften, die hier lle gelten Kommuttivität ( ( c Assozitivität (( ( c ) ( ( e f) ) ( c e d f ) ( ( c c b d c b d ( ( e f) (( c c e b d f ( e f)) Mn brucht lso bei mehreren hintereinnder uszuführenden Additionen keine Klmmern zu setzten: ( ( ( c e c e f) b d f 3 Es gibt ein Neutrlelement, den Vektor 4 Jeder Vektor 0 0 ( ( ( 0 0) ht einen inversen Vektor b ( ( 0 b 0), für den gilt: b 5

6 Sklrmultipliktion Wenn mn bei einem Vektor die Richtung beibehält, ber die Länge um ein Vielfches ändert, dnn mcht mn eine sogennnte Sklrmultipliktion ( (ein Sklr ist hier einfch eine reelle Zhl) Wenn λ R und R ist, dnn definiert mn ( λ λ λb ( ( ( Zum Beispiel, wenn λ ist, dnn ist, ws b die Definition plusibel( mcht Wenn λ > ist, dnn hndelt es sich um eine Streckung vom Vektor : Die Richtung bleibt gleich, ber die Länge ändert sich um ein λ-fches Wenn 0 < λ < ist, hndelt es sich us ähnlichen Gründen um eine Stuchung des Vektors Wenn λ ist, dnn wird der Vektor um den Punkt (0, 0) gespiegelt Hier ist ein Beispiel, ds eine Streckung mit einer Spiegelung kombiniert: ( ) 4 3 Vektoren und linere Gleichungssysteme Hben Vektoren etws mit lineren Gleichungssystemen zu tun? Betrchten wir erneut ein Beispiel us dem ersten Teil: { x y 3x y 7 Wir können dieses Gleichungssystem ls eine Gleichung von Vektoren umschreiben, nämlich: x y 3 7 Diese Gleichung ist offensichtlich genu für diejenigen Pre (x, y) erfüllt, die Lösungen ( des) obigen( lineren ) Gleichungssystems sind Mn beobchtet, dss die Vektoren und in unterschiedliche Richtungen zeigen Wnn immer 3 dies der Fll ist, dnn ht ds entsprechende ( System genu eine Lösung, egl welchen Vektor mn n Stelle von uf die rechte Seite schreibt Mn sgt 7) ( in diesem Fll, dss die Vektoren und liner unbhängig sind Als 3) ( ( Beispiel für liner bhängige Vektoren können wir und nehmen Die- ) 4) se ( beiden ( Vektoren zeigen in dieselbe Richtung und mn knn uch schreiben, ws eben eine linere Abhängigkeit der beiden Vektoren zeigt 4) ) 6

7 4 Sklrprodukt ( Drehen wir einen Vektor um 90 gegen den Uhrzeigersinn; wir erhlten ( b den Vektor Ein beliebiger Vektor, der zu senkrecht steht, muss lso b λb ein Vielfches von sein, lso ein Vektor der Form λ x Seien nun und zwei Vektoren Mn definiert wie folgt ein Sklr- b y produkt ( x, x by b y) Mn bechte, dss die Summe von zwei Vektoren ein Vektor ist, ber ds Sklrprodukt von zwei Vektoren ein Sklr (eine reelle Zhl) ist ( Wir möchten ( nun ds Sklrprodukt in dem Spezilfll berechnen, wenn x zu senkrecht ist Wegen der obigen Bemerkung ist dies genu dnn y) ( x λb der Fll, wenn von der Form ist Dnn ist ds Sklprodukt y) λ ( λb, ( λ bλ 0 λ Ds Sklrprodukt zwei zueinnder senkrechter Vektoren ist lso immer Null Nehmen wir nun umgekehrt n, dss x, x by 0 b y 0 ist, wobei wir nnehmen Wenn b 0 ist, dnn erhlten wir, dss b 0 x x y x b ist, dh y x Dieser Vektor ist offensichtlich von der Form b λb, für λ λ x b, und ist somit senkrecht zu Wenn b 0 ist, dnn ist b 0 und der Beweis geht ähnlich Wir hlten fest: Ds Sklrprodukt zweier Vektoren ist genu dnn Null, wenn die Vektoren zueinnder senkrecht liegen Ds Sklrprodukt ht uch noch ndere interessnte Eigenschften Es ist symmetrisch: Für lle v, w R gilt v, w w, v Es ist biliner: Für lle v, w, z R und lle λ, µ R gilt λv µw, z λ v, z µ w, z ( 0 3 Es ist positiv definit: Für lle v gilt 0) v, v > 0 7

8 ( Mn definiert die Länge eines Vektors v ls v v, v b Diese Definition ergibt immer Sinn wegen der positiven Definitheit und ( ist offensichtlich durch den Stz des Pythgors motiviert: der Vektor v ent- spricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Ktheten der Länge und b Allgemeiner knn dnn der Stz des Pythgors wie folgt formuliert werden ( ( x Stz (Pythgors) Wenn v und w zwei zueinnder Senk- y) rechte Vektoren sind, dnn ist Beweis Es gilt: v w v vw vw, vw v, v v, w w, v w, w v v, w und wegen unserer Annhme v, w 0 5 Der Winkel zwischen zwei Vektoren ( ( x Seien v und w Vektoren Sei r die Gerde, die zum Vektor w y) senkrecht ist und durch den Punkt (, geht Sei (c, der( Schnittpunkt von r c mit der Gerden, die den Vektor w enthält Der Vektor z wird Projektion von v uf w gennnt und der Vektor v z ist senkrecht zu w Es folgt: z, w z, w v z, w v, w Die Vektoren w und z zeigen in dieselbe Richtung Dnn gilt offensichtlich z w und drus folgt, dss z Wir hben somit bewiesen, dss z, w z w, w z z z, w v, w Die Länge der Projektion von v uf w ist lso z v, w Wir können uch die Projektion selbst explizit ufschreiben: z z v, w v, w w w w, w w 8

9 ( Beispiel: Berechnen wir die Projektion von v uf w 3 ): 3 z v, w w, w w Die Definition des Kosinus des Winkels θ zwischen v und w ergibt nun: cos θ z v, w v v, wenn v, w 0 ist Wir können lso den Winkel θ berechnen: v, w θ rccos v Beispiel: Seien v und w wie im soeben berechneten Beispiel Dnn ist 3 θ rccos rccos 60 Aus den obigen Rechnungen folgt uch folgende llgemeine Formel: v, w cos θ v Mn erkennt erneut, dss genu dnn v, w 0 ist, wenn v und w zueinnder senkrecht sind, ws wir schon uf nderem Weg bewiesen htten 6 Fläche von Dreiecken ( ( x Seien v und w zwei Vektoren; dnn gibt es genu ein Dreieck, ds y) die beiden Vektoren ls Seiten besitzt Dies ist gnz llgemein: Ein beliebiges Dreieck knn so verschoben werden, dss eine der Ecken im Punkt (0, 0) liegt, und somit wie oben durch zwei Vektoren us R beschrieben werden knn Wie können wir die Fläche eines solchen Dreiecks berechnen? Wir bruchen dzu die Länge einer Seite und der druf senkrecht stehenden Höhe Die Länge von w können wir berechnen: Sie ist w, w Wir bruchen lso noch die entsprechende Höhe Diese erhält mn vom Vektor v, in dem mn die Projektion von v uf w subtrhiert, lso v berechnet Die Länge dvon ist v, w v, w h v w, v w, w v, w w, w w w, w w v, w v, v w, w v, v w, w v, w ( b )(x y ) (x by) w, w x y b x b y x bxy b y y b x bxy (y bx) y bx 9 v, w w, w w, w

10 Die Fläche des Dreiecks ist dnn y bx y bx Eine interessnte Bemerkung n dieser Stelle ist, dss y bx die Determinnte der Mtrix ( ) x b y ist Beispiel: Seien wieder v v Die Länge dvon ist ( und w 3 ) Dnn ist 3 v, w w, w w 3 3 3/ 3/ h Die Fläche des Dreiecks ist dnn in diesem konkreten Beispiel Ds Einsetzen in die llgemeine Formel hätte dsselbe Ergebnis geliefert: y bx