Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler Fred Böker Institut für Statistik und Ökonometrie Georg-August-Universität Göttingen Platz der Göttinger Sieben 5 D Göttingen Tel FredBoeker@Wi-WissUni-Goettingende

2 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen und Vektoralgebra 1 11 Systeme linearer Gleichungen 1 12 Matrizen und Matrizenoperationen 1 13 Matrizenmultiplikation 2 14 Regeln für die Matrizenmultiplikation 3 15 Die transponierte Matrix 4 16 Gauß sche Elimination 4 17 Vektoren 5 18 Geometrische Interpretation von Vektoren 6 19 Geraden und Ebenen 8 2 Determinanten und Matrizen 9 21 Determinanten der Ordnung Determinanten der Ordnung Determinanten der Ordnung n Regeln für Determinanten Entwicklung nach Co-Faktoren Die Inverse einer Matrix Eine allgemeine Formel für die Inverse Cramer sche Regel Das Leontief-Modell 15 3 Weitere Resultate aus der linearen Algebra Partitionierte Matrizen Lineare Unabhängigkeit Der Rang einer Matrix Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Spur einer Matrix 21 I

3 II Inhaltsverzeichnis 36 Eigenwerte Diagonalisierung Quadratische Formen Quadratische Formen unter linearen Nebenbedingungen 26

4 Kapitel 1 Matrizen und Vektoralgebra 11 Systeme linearer Gleichungen Allgemeines lineares Gleichungssystem mit n Variablen x 1,, x n und m Gleichungen: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11, a 12,, a mn Koeffizienten des Systems und b 1,, b m die rechten Seiten a ij ist der Koeffizient der j-ten Variablen x j in der i-ten Gleichung Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein n-tupel (s 1, s 2,, s n ), so dass x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n das Gleichungssystem erfüllen Wenn das System mindestens eine Lösung hat, heißt es konsistent, andernfalls inkonsistent 12 Matrizen und Matrizenoperationen Anordnung der Koeffizienten als Matrix: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A = (a ij ) m n = (a ij )ist eine m n Matrix (eine Matrix der Ordnung m n mit m Zeilen und n Spalten und mn Elementen Matrix mit einer Zeile ist Zeilenvektor, mit einer Spalte Spaltenvektor, beides zusammen sind Vektoren Falls m = n, heißt A quadratisch von der Ordnung n; die Elemente a 11, a 22,, a nn bilden dann die Hauptdiagonale Es seien A = (a ij ) und B = (b ij ) zwei m n Matrizen A und B heißen gleich, wenn a ij = b ij für alle i = 1,, m und alle j = 1,, n, dh zwei Matrizen sind gleich, wenn sie dieselbe Ordnung haben und wenn alle entsprechenden Elemente gleich sind, andernfalls sind sie nicht gleich und man schreibt A B Die Summe der Matrizen A und B ist definiert durch A + B = (a ij ) m n + (b ij ) m n = (a ij + b ij ) m n 1

5 2 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Zwei Matrizen derselben Ordnung werden addiert, indem man die entsprechenden Elemente addiert Wenn α R, so ist αa definiert durch αa = α (a ij ) m n = (αa ij ) m n Um eine Matrix mit einem Skalar zu multiplizieren, muss man jedes Element mit diesem Skalar multiplizieren Rechenregeln für Matrizenaddition und Multiplikation mit Skalaren: A, B und C seien m n Matrizen, α, β Rset und 0 sei die Nullmatrix der Ordnung m n, die nur aus Nullen besteht (a) (A + B) + C = A + (B + C) (b) A + B = B + A (c) A + 0 = A (d) A + ( A) = 0 (e) (α + β)a = αa + βa (f) α(a + B = αa + βb 13 Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation: A = (a ij ) m n und B = (b ij ) n p Dann ist das Matrizenprodukt C = AB die m p Matrix C = (c ij ) m p, deren Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte das innere Produkt c ij = n a ir b rj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj r=1 der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B ist, dh jede Komponente a ir in der i-ten Zeile wird mit der entsprechenden Komponente b rj in der j-ten Spalte multipliziert und alle Produkte werden addiert a 11 a 1h a 1n a i1 a ih a in a m1 a mh a mn b 11 b 1j b 1p b k1 b kj b kp b n1 b nj b np = c 11 c 1j c 1p c i1 c ij c ip c m1 c mj c mp Das Matrizenprodukt AB ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten in A gleich der Anzahl der Zeilen in B ist Beachten Sie: Wenn AB definiert ist, ist nicht notwendig auch BA definiert Selbst wenn beide definiert sind, ist im Allgemeinen AB BA

6 14 REGELN FÜR DIE MATRIZENMULTIPLIKATION 3 Gleichungssysteme in Matrizenform Das allgemeine lineare Gleichungssystem kann mit A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn geschrieben werden als Ax = b, x = x 1 x 2 x n, b = b 1 b 2 b n 14 Regeln für die Matrizenmultiplikation Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation: Alle folgenden Operationen seien definiert (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC Assoziativgesetz linksseitiges Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC rechtsseitiges Distributivgesetz Potenzen von quadratischen Matrizen: A n = AA A multipliziert) Für eine m m Diagonalmatrix d d D = d m Dn = (A wird n-mal mit sich selbst d n d n d n m Einheitsmatrix der Ordnung n ist: I = I n = n n Es gilt AI n = A für jede m n Matrix A und I n B = B für jede n m Matrix B und AI n = I n A = A für jede n n Matrix A Beachten Sie: AB BA, dh Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ AB = 0 impliziert nicht, dass entweder A oder B gleich 0 ist AB = AC und A 0 implizieren nicht, dass B = C Siehe S 1

7 4 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 15 Die transponierte Matrix Die zu der m n Matrix A transponierte n m Matrix A oder A t entsteht aus A, indem man Zeilen und Spalten vertauscht: A = A = ( a ij), wobei a ij = a ji a 11 a 12 a 1n a 12 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A = a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Rechenregeln für das Transponieren: (a) (A ) = A (b) (A + B) = A + B (c) (αa) = αa (d) (AB) = B A Symmetrische Matrizen Quadratsiche Matrizen, die symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen sind, werden symmetrsich genannt A ist genau dann symmetrisch, wenn A = A a ij = a ji für alle i, j = 1, 2,, n 16 Gauß sche Elimination Elementare Umformungen eines linearen Gleichungssystems, bei denen sich die Lösungsmenge nicht verändert: Z1: Multiplikation (Division) einer Zeile mit (durch) eine Zahl c 0 Z2: Addition (Subtraktion) einer Zeile zu (von) einer anderen Zeile Z3: Vertauschen zweier Zeilen Mit Z1 und Z2 zusammmen erhält man Z4: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile S1: Vertauschen zweier Spalten (Dabei muss man sich merken, welche Variablen vertauscht wurden!) Z1 - Z4 zusammmen nennt man elementare Zeilenumformungen

8 17 VEKTOREN 5 Ein Gleichungssystem hat eine Treppenstufenform oder Zeilenstufenform, wenn alle Koeffizienten von x i unterhalb der i-ten Zeile Null sind a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a A = 33 a 3n a 4n a mn Ein führender Eintrag ist die erste Variable in einer Zeile, deren Koeffizient von Null verschieden ist Gauß sches Eliminationsverfahren oder Gauß-Jordan-Methode: (1) Erzeugen Sie eine Treppenstufenform mit 1 als Koeffizienten für jeden führenden Eintrag (2) Erzeugen Sie Nullen über jedem führenden Eintrag (3) Man erhält die allgemeine Lösung, indem man die Unbekannten, die als führende Einträge auftreten durch diejenigen Unbekannten ausdrückt, die nicht als führende Einträge auftreten Die letzteren Unbekannten (wenn es welche gibt) können frei gewählt werden Die Anzahl der Unbekannten, die frei gewählt werden können (möglicherweise 0) ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems Auf Schritt (2) kann manchmal verzichtet werden, insbesondere dann, wenn die Anzahl der Freiheitsgrade 0 ist Man löst dann zunächst die unterste Gleichung, setzt dann die Lösung in die darüber stehende Gleichung ein usw In der Praxis wende man das Verfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an Ergibt sich dabei eine Zeile mit Nullen als Koeffizienten der Variablen, während die zugehörige rechte Seite nicht Null ist, so ist das Gleichungssystem nicht lösbar (inkonsistent) 17 Vektoren Matrix mit einer Zeile ist Zeilenvektor, mit einer Spalte Spaltenvektor, beides sind Vektoren 1 n Zeilenvektor: a = (a 1, a 2,, a n ) mit Komponenten oder Koordinaten a i, i = 1, 2,, n als i-ter Komponente oder i-ter Koordinate a ist ein n-vektor oder ein Vektor der Dimension n, verkörpert durch einen Punkt im R n

9 6 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Operationen auf Vektoren: a und b seien n-vektoren, t, s R: (A) a und b sind gleich, dh a = b, wenn a i = b i, i = 1,, n (B) Summe: a + b = (a 1 + b 1,, a n + b n ) (c) Multiplikation mit einem Skalar: ta = (ta 1,, ta n ) (D) Differenz: a b = a + ( 1)b = (a 1 b 1,, a n b n ) (E) Linearkombination: ta + sb = (ta 1 + sb 1,, ta n + sb n ) (F) Inneres Produkt: a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = n a i b i R i=1 Inneres Produkt (auch Skalarprodukt oder Punktprodukt nur dann definiert, wenn beide Vektoren gleiche Dimension, ist Skalar (Zahl) und kein Vektor! Rechenregeln für das innere Produkt: a, b und c jeweils n-vektoren und α R ein Skalar, so gilt: (a) a b = b a (b) a (b + c) = a b + a c (c) (αa) b = a (αb) = α(a b) (d) a a > 0 a 0 18 Geometrische Interpretation von Vektoren P = (p 1, p 2 ) und Q = (q 1, q 2 ) Punkte in der xy-ebene, Vektor von P nach Q mit Startpunkt P und Endpunkt Q ist P Q, ein geometrischer Vektor oder eine gerichtete Strecke Zwei geometrische Vektoren, die dieselbe Richtung und dieselbe Länge haben, sind gleich a = (a 1, a 2 ) = P Q = (q 1 p 1, q 2 p 2 ), dh Vektor geordnetes Paar (a 1, a 2 ) oder gerichtete Strecke P Q Vektoroperationen Die Vektoren a = (a 1, a 2 ) und b = (b 1, b 2 ) beginnen beide im Urspung (0, 0) des Koordinatensystems a + b ist die Diagonale, in dem durch die Seiten a und b bestimmten Parallelogramm a b verläuft von der Pfeilspitze dea Vektors b zur Pfeilspitze des Vektors a Es ist b + (a b) = a = (a b) + b ta ist für t > 0 der Vektor mit derselben Richtung wie a und der t-fachen Länge von a, für t < 0 ist die Richtung entgegengesetzt und die Länge wird mit t multipliziert

10 18 GEOMETRISCHE INTERPRETATION VON VEKTOREN 7 Bilder??? 3 und n-dimensionaler Raum Ebene auch 2-dimensinaler Raum R 2, Punkt oder Vektor gleich Paar (a 1, a 2 ) von reellen Zahlen, analog Punkt oder Vektor im 3-dimensionalen Raum R 3 Tripel von reellen Zahlen (a 1, a 2, a 3 ), interpretierbar als geometischer Vektor im R 3, Parallelogrammgesetz für Summe zweier Vektoren wie im R 2, auch die Interpretation für Multiplikation mit einem Skalar Länge von Vektoren und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung Länge oder Norm von a = (a 1, a 2,, a n ) ist a = a a = a a a 2 n a ist die Entfernung des Punktes (a 1, a 2,, a n ) vom Ursprung (0, 0,, a n ) (a b) 2 a b a b a b (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) a + b a + b (Dreiecksungleichung für Normen) Orthogonalität Bild wie 1587 Im R 2 oder R 3 ist der Winkel ϑ zwischen den Vektoren a und b ist genau dann ein rechter Winkel (= 90 ), dh die Vektoren sind ortogonal, in Zeichen a b, wenn a 2 + b 2 = a b 2 a b = 0 Im R n wird Orthogonalität der Vektoren a und b definiert durch a b = 0, der Winkel ϑ wird definiert durch: cos ϑ = a b (ϑ [0, π]) a b 1 ϑ 1 und cos ϑ = 0 a b = 0 ϑ = π/2 In Statistik ist für x = (x 1,, x n ) und y = y 1,, y n ) mit a = (x 1 x,, x n x) und a = (y 1 ȳ,, y n ȳ), wobei n n x = 1 x n i und ȳ = 1 y n i die Mittelwerte sind, cos ϑ der Korrelationskoeffizient ρ, Maß i=1 i=1 für die Korrelation der Daten Wenn ρ = 1 (ρ = 1), existiert eine Konstante α > 0 (α < 0), so dass x i x = α(y i ȳ) In beiden Fällen sind die Variablen vollständig korreliert Für ρ > 0 sind die Variablen positiv korreliert, für ρ < 0 sind sie negativ korreliert

11 8 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 19 Geraden und Ebenen Gerade im n-dimensionalen Raum: Die Gerade L in R n durch die Punkte a = (a 1,, a n ) und b = (b 1,, b n ) ist die Menge aller Punkte x = (x 1,, x n ) mit x = (1 t)a + tb t R x i = (1 t)a i + tb i Bild wie 1593 Gerade durch p = (p 1,, p n ) in derselben Richtung wie a = (a 1,, a n ) ist: x = p + ta Hyperebenen Im R 3 ist der Vektor p = (p 1, p 2, p 3 ) Normale zu einer Ebene P, wenn p normal (orthogonal oder senkrecht) zu jeder Geraden in der Ebene ist, dh wenn x = (x 1, x 2, x 3 ) P, so ist p (x a) = 0 oder (p 1, p 2, p 3 )(x 1 a 1, x 2 a 2, x 3 a 3 ) = p 1 x 1 + p 2x 2 + p 3 x 3 (p 1 a 1 + p 2a 2 + p 3 a 3 ) = 0 Dies die allgemeine Gleichung einer Ebene durch (a 1, a 2, a 3 ) Die Koeffizienten (p 1, p 2, p 3 ) von x 1, x 2, x 3 bilden einen von Null verschiedenen Vektor, der normal zu der Ebene ist Hyperebene im n-dimensionalen Raum: Die Hyperebene H im R n durch a = (a 1,, a n ) ist die Menge aller Punkte x = (x 1,, x n ) mit p (x a) = 0 Ersetzt man p durch sp mit s 0, so ergibt sich die gleiche Hyperebene Koordinatendarstellung der Hyperebene: p 1 (x 1 a 1 ) + p 2 (x 2 a 2 ) + + p n (x n a n ) = 0 oder p 1 x 1 + p 2 x p n x n = A mit A = p 1 a 1 + p 2 a p n a n

12 Kapitel 2 Determinanten und Matrizen 21 Determinanten der Ordnung 2 Lösung: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2, A = ( ) a11 a 12 a 21 a 22 x 1 = b 1a 22 b 2 a 12, x 2 = b 2a 11 b 1 a 21 a 11 a 22 a 21 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 Nenner a 11 a 22 a 21 a 12 muss 0 sein, bestimmt, ob es eine eindeutige Lösung gibt Determinante: A = det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12, Determinante der Ordnung 2 Geometrisch ist jede der beiden Gleichungen eine Gerade Wenn A = 0, schneiden sich die beiden Geraden in (x 1, x 2 ) Wenn A = 0 hat das Gleichungssystem entweder keine Lösung (die Geraden verlaufen parallel) oder unendlich viele Lösungen (die beiden Geraden fallen zusammen) b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = A A (Cramer sche Regel) Geometrische Interpretation Bild 1611 Determinante ist Fläche des schraffierten Parallelogramms 22 Determinanten der Ordnung 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 +a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 +a 13 a 21 a 31 a 13 a 22 a 31 Entwicklung nach Co-Faktoren A = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 31 a 22 a 31 ) 9

13 10 KAPITEL 2 DETERMINANTEN UND MATRIZEN a A = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (Cramer sche Regel) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 x 1 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33, x 2 = A a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33, x 3 = A a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 A Beachten Sie, dass der Vektor der rechten Seiten von der ersten Spalte der Determinante zur dritten Spalte der Determinante verschoben wird Die entsprechende Spalte von A wird jeweils gestrichen Die Determinate kann als Volumen der von den drei Vektoren (a i1, a i2, a i3 ), i = 1, 2, 3 aufgespannten,,box interpretiert werden Regel von Sarrus (nur für 3 3-Matrizen): a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Multiplizieren Sie entlang der drei nach rechts abfallenden Linien und geben Sie diesen Produkten ein Pluszeichen: a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 Multiplizieren Sie entlang der drei nach rechts aufsteigenden Linien und geben Sie diesen Produkten ein Minuszeichen: a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Die Summe aller sechs Terme ist A 23 Determinanten der Ordnung n a 11 a 12 a 1n a A = (a ij ) n n A = 21 a 22 a 2n = (±)a 1r1 a 2r2 a nrn a n1 a n2 a nn Die zweiten Indices r 1, r 2,, r n sind eine Vertauschung oder Permutation der Zahlen 1, 2,, n Es gibt n! Permutationen der Zahlen 1, 2,, n Die Summe ist über alle diese Permutationen zu bilden

14 24 REGELN FÜR DETERMINANTEN 11 Definition einer Determinante der Ordnung n: A ist eine Summe von n! Termen, wobei gilt: 1 Jeder Term ist das Produkt von n Elementen der Matrix, mit einem Element aus jeder Zeile und einem Element aus jeder Spalte Ferner muss jedes Produkt aus genau n Faktoren, in dem jede Zeile und jede Spalte genau einmal repräsentiert ist, in dieser Summe erscheinen 2 Das Vorzeichen jedes Terms erhält man durch die folgende Vorzeichenregel: Markieren Sie in der Matrix alle Elemente, die in diesem Term auftauchen Verbinden Sie alle möglichen Paare dieser Elemente durch Linien Diese Linien werden dann entweder nach rechts fallen oder steigen Wenn die Anzahl der steigenden Linien gerade ist, erhält der entsprechende Term ein Pluszeichen, wenn sie ungerade ist, ein Minuszeichen Obere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind, entsprechend untere Dreicksmatrix, wenn alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind: a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n = a 11 a 22 a nn 0 0 a nn a a 21 a 22 0 = a 11 a 22 a nn a n1 a n2 a nn 24 Regeln für Determinanten Für eine n n Matrix A gilt: A Wenn alle Elemente in einer Zeile oder Spalte von A gleich 0 sind, dann ist A = 0 B A = A, wobei A die Transponierte von A ist C Wenn alle Elemente in einer einzelnen Zeile oder Spalte von A mit einer Zahl α multipliziert werden, wird die Determinante mit α multipliziert D Wenn zwei Zeilen oder zwei spalten einer Matrix vertauscht werden, wechselt die Determinante das Vorzeichen, der Absolutwert bleibt unverändert E Wenn zwei der Zeilen oder Spalten von A proportional sind, dann ist A = 0 F Der Wert der Determinante von A bleibt unverändert, wenn das Vielfache einer Zeile (oder einer Spalte) zu einer anderen Zeile (oder einer anderen Spalte) von A addiert wird G Wenn B ebenfalls eine n n Matrix ist, so gilt: AB = A B H Für α R gilt: αa = α n A

15 12 KAPITEL 2 DETERMINANTEN UND MATRIZEN ACHTUNG: A + B = A + B (im Allgemeinen) 25 Entwicklung nach Co-Faktoren Entwicklung von A nach den Elementen der i-ten Zeile: A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a ij C ij + + a in C in C i1,, C in sind die Co-Faktoren der Elemente a i1,, a in Entwicklung von A nach den Elementen der j-ten Spalte: Co-Faktor C ij erhält man, indem man A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a ij C ij + + a nj C nj 1) Streichungsmatrix bildet, dh die Matrix, in der die i-te Zeile und j-te Spalte von A gestrichen ist 2) die Determinante der Streichungsmatrix, dh den sogenannten Minor bildet 3) den Minor mit ( 1) i+j multipliziert a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 a 2j a 2,j+1 a 2n C ij = ( 1) i+j a i1 a i,j 1 a ij a i,j+1 a in a n1 a n,j 1 a nj a n,j+1 a nn Entwicklung einer Determinante nach Co-Faktoren: a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in = A a i1 C k1 + a i2 C k2 + + a in C kn = 0 (k i) a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj = A a 1j C 1k + a 2j C 2k + + a nj C nk = 0 (k j) 26 Die Inverse einer Matrix Eine n n Matrix A ist invertierbar, wenn es eine n n Matrix A 1 gibt, so dass AA 1 = A 1 A = I

16 26 DIE INVERSE EINER MATRIX 13 A 1 heißt die Inverse von A und A ist die Inverse von A 1, dh zwei Matrizen sind immer gegenseitig invers Die Inverse ist eindeutig bestimmt Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben Existenz einer Inversen: A hat eine Inverse A = 0 Eine quadratische Matrix wird singulär genannt, wenn A = 0 ist und nichtsingulär, wenn A 0 ist A hat genau dann eine Inverse, wenn sie nichtsingulär ist ( a b A = c d ), A = ad bc 0 A 1 = 1 ad bc ( d ) b c a = 1 A ( d ) b c a AX = I X = A 1 und Y A = I Y = A 1 Eigenschaften der Inversen: A und B seien invertierbare n n Matrizen Dann gilt: (a) A 1 ist invertierbar und (A 1 ) 1 = A (b) AB ist invertierbar und (AB) 1 = B 1 A 1 (c) Die Transponierte A ist invertierbar und (A ) 1 = ( A 1) (d) (ca) 1 = c 1 A 1 für jede Zahl c 0 Die Inverse einer symmetrischen Matrix ist symmetrisch Eigenschaft (b) lässt sich auf mehrere Faktoren erweitern: (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1 Lösung von Gleichungen durch Matrizeninversion Gegeben n n Matrix A und B beliebige Matrix Falls A = 0, gilt: AX = B X = A 1 B und Y A = B Y = BA 1

17 14 KAPITEL 2 DETERMINANTEN UND MATRIZEN 27 Eine allgemeine Formel für die Inverse C + = (C ij ) Matrix der Co-Faktoren Die Transponierte davon ist die Adjungierte von A: C 11 C k1 C n1 adj(a) = ( C +) C = 12 C k2 C n2 C 1n C kn C nn Falls A = 0, gilt A 1 = 1 A adj(a) Bestimmung der Inversen durch elementare Zeilenumformungen Man bilde mit der n n Matrix A und der Einheitsmatrix I die n 2n-Matrix a 11 a 12 a 1n (A : I) = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Durch elementare Zeilenumformungen transfomiere man diese Matrix in die n 2n Matrix (I : B, in der links die n n Matrix I steht Dann ist die Inverse A 1 = B, dh die rechts stehende Matrix Wenn diese Transformation nicht möglich ist, ist A nicht invertierbar Inverse einer Diagonalmatrix: A = a a 22 0 A 1 = 1/a /a a nn 0 0 1/a nn 28 Cramer sche Regel Allgemeines lineares Gleichungssystem mit n linearen Gleichungen und n Unbekannten: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Siehe S 4

18 29 DAS LEONTIEF-MODELL 15 a 11 a 1j 1 b 1 a 1j+1 a 1n a D j = 21 a 2j 1 b 2 a 2j+1 a 2n, j = 1,, n a n1 a nj 1 b n a nj+1 a nn Die j-te Spalte aus A wird durch den Vektor der rechten Seiten ersetzt Cramer sche Regel: Das allgemeine Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn A nichtsingulär ( A = 0) ist Die Lösung ist dann x j = D j A j = 1,, n Homogene Gleichungssysteme Wenn b = (b 1,, b n ) = 0, heißt das allgemeine lineare Gleichungssystem homogen Es hat immer die triviale Lösung x 1 = x 2 = = x n = 0 Nichttriviale Lösungen homogener Gleichunssysteme: Das homogene lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0 hat genau dann nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientenmatrix A = (a ij ) n n singulär ist, dh wenn A = 0 ist 29 Das Leontief-Modell x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + b 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + b 2 x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + b n (1 a 11 )x 1 a 12 x 2 a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + (1 a 22 )x 2 a 2n x n = b 2 a n1 x 1 a n2 x (1 a nn )x n = b n a 11, a 12,, a nn Input-Koeffizienten, b = (b 1, b 2,, b n ) Endnachfragegrößen, x = (x 1, x 2,, x n ) Outputgrößen In Matrixschreibweise: x = Ax + b (I n A)x = b

19 16 KAPITEL 2 DETERMINANTEN UND MATRIZEN p i Stückpreis des Gutes i a 1j p 1 + a 2j p a nj p n Stückkosten für Gut j p j a 1j p 1 a 2j p 2 a nj p n Stückgewinn v j für Gut j p 1 a 11 p 1 a 21 p 2 a n1 p n = v 1 p 2 a 12 p 1 a 22 p 2 a n2 p n = v 2 p n a 1n p 1 a 2n p 2 a nn p n = v n Mit p = (p 1, p 2,, p n ) und v = (v 1, v 2,, v n ) ist p A p = v (I n A )p = v p (I n A) = v

20 Kapitel 3 Weitere Resultate aus der linearen Algebra 31 Partitionierte Matrizen Sei A eine m n Matrix, zerlegt in a 11 a 1s a 1,s+1 a 1n a r1 a rs a r,s+1 a rn ( ) A = A11 A = 12, A 21 A 22 a r+1,1 a r+1,s a r+1,s+1 a r+1,n a m1 a ms a m,s+1 a mn wobei A 11 eine r s-, A 12 eine r (n s)-, A 21 eine (m r) s- und A 22 eine (m r) (n s)- Matrix ist Weitere Zerlegung möglich: A 11 A 12 A 1q A A = 21 A 22 A 2q A p1 A p2 A pq Sind A, A 11, A 22,, A qq quadratisch (p = q) und A ij = 0 für alle i j, ergibt sich eine Blockdiagonalmatrix A A A A = A A 1 = , 0 0 A qq 0 0 A 1 qq falls alle A ii invertierbar sind ( ) ( ) ( ) A11 A 12 B11 B + 12 A11 + B = 11 A 12 + B 12, A 21 A 22 B 21 B 22 A 21 + B 21 A 22 + B 22 falls die Ordnungen der entsprechenden Summanden übereinstimmen ( ) ( ) A11 A α 12 αa11 αa = 12 A 21 A 22 αa 21 αa (α R)

21 18 KAPITEL 3 WEITERE RESULTATE AUS DER LINEAREN ALGEBRA ( ) ( ) ( ) A11 A 12 B11 B 12 A11 B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22, A 21 A 22 B 21 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 falls die Untermatrizen so gewählt sind, dass alle nötigen Produkte definiert sind ( A11 A 12 A 21 A 22 ) ( ) A 11 A = 21 A 12 A 22 (Transponierte einer partitionierten Matrix) Inverse und Determinante einer partitionierten Matrix: Sei A eine n n Matrix mit einer Inversen ( ) A11 A A = 12, wobei A A 21 A 11 eine r r Matrix mit einer Inversen 22 ( ) 1 ( ) A11 A 12 A A 1 11 A = 12 1 A 21 A 1 11 A 1 11 A 12 1 A 21 A 22 1 A 21 A , wobei = A 22 A 21 A 1 11 A 12 Falls A und A 22 invertierbar sind, gilt: ( ) 1 ( A11 A 12 1 = A 21 A 22 A 1 22 A 1 21 wobei = A 11 A 12 A 1 22 A 21 ( A11 A 12 0 A 22 ( A11 0 A 21 A 22 Falls A 1 11 existiert, gilt Falls A 1 22 existiert, gilt ) 1 ( A 1 11 A 1 11 A = 12 A A 1 22 ) 1 = ( 32 Lineare Unabhängigkeit 1 ) A 12 A 1 22, A A 1 22 A 1 21 A12 A 1 22 A 11 A 12 A 21 A 22 = A 11 A 22 A 21 A 1 11 A 12 A 11 A 12 A 21 A 22 = A 22 A 11 A 12 A 1 22 A 21 A A 1 22 A 21 A 1 11 A 1 22 ) A 11 A 12 0 A 22 = A 11 A 22 ) A 11 0 A 21 A 22 = A 11 A 22 Die n Vektoren a 1, a 2,, a n im R m heißen linear abhängig, wenn es Zahlen c 1, c 2,, c n gibt, die nicht alle 0 sind, so dass c 1 a 1 + c 2 a c n a n = 0 Falls diese Gleichung nur gilt, wenn c 1 = c 2 = = c n = 0, so heißen die Vektoren linear unabhängig

22 32 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT 19 Der Vektor b = c 1 a 1 + c 2 a c n a n heißt eine Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,, a n Eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren kann nur dann der Nullvektor sein, wenn alle Koeefizienten in der Linearkombination Null sind Die n Vektoren a 1, a 2,, a n sind linear abhängig, wenn wenigstens einer von ihnen als Linearkombination der anderen Vektoren geschrieben werden kann Die n Vektoren a 1, a 2,, a n sind genau dann linear unabhängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann R 2 : Zwei Vektoren a 1 und a 2 sind genau dann linear abhängig, wenn a 1 = ca 2 für ein c R, dh wenn a 1 ein Skalares Vielfaches von a 2 ist, dh wenn die Punkte a 1 und a 2 auf derselben Geraden durch den Urspung liegen (Bild??) Je drei Vektoren sind linear abhängig R 3 : Seien a 1 und a 2 zwei Vektoren mit a 2 ca 1, dh sie sind linear unabhängig Alle Linearkombinationen c 1 a 1 + c 2 a 2 bilden die von a 1 und a 2 aufgespannte Ebene Jeder Vektor in dieser Ebene ist linear abhängig von a 1 und a 2 Falls a 3 nicht in der von a 1 und a 2 aufgespannten Ebene liegt, sind a 1, a 2 und a 3 linear unabhängig Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie alle in derselben Ebene liegen, sie sind linear unabhängig, wenn es keine Ebene gibt, die alle drei Vektoren enthält Vier Vektoren sind stets linear abhängig R m : Zwei Vektoren a 1 und a 2 sind genau dann linear abhängig, wenn sie proportional zueinander sind, dh wenn a 1 = ca 2 Wenn c 0, sind die beiden Vektoren parallel Lineare Abhängigkeit und lineare Gleichungssysteme a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 x 1 a x n a n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 1,, a n sind die Spaltenvektoren der Koeffizienten und b ist der Vektor der rechten Seiten Wenn das Gleichungssystem mehr als eine Lösung hat, sind die Vektoren a 1,, a n linear abhängig Äquivalent: Wenn die Vektoren a 1,, a n linear unabhängig sind, hat das Gleichungssystem höchtens eine Lösung Die n Spaltenvektoren der n n Matrix a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n, wobei a j = a n1 a n2 a nn sind genau dann linear unabhängig, wenn A = 0 a 1j a 2j a nj

23 20 KAPITEL 3 WEITERE RESULTATE AUS DER LINEAREN ALGEBRA n Vektoren a 1,, a n sind genau dann linear abhängig, wenn die Determinante a 1 a 2 a n der Matrix mit den Spaltenvektoren a 1,, a n Null ist Falls die n Vektoren a 1,, a n im R m, wobei n m paarweise orthogonal sind, dh a i a j ( a i a j = 0) für alle i j, so sind sie linear unabhängig 33 Der Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix A, bezeichnet mit r(a) ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in A Falls A die Nullmatrix 0 ist, so setzen wir r(a) = 0 Der Rang einer Matrix A ist gleich der Ordnung des größten Minors von A, der verschieden von 0 ist Einen Minor der Ordnung k von A erhält man, indem man alle bis auf k Zeilen und k Spalten der Matrix streicht und von der sich ergebenden k k-matrix die Determinante bildet Wenn A eine quadratische Matrix der Ordnung n ist, so ist der größte Minor von A gleich A, so dass gilt r(a) = n A = 0 r(a) = r(a ), so dass der Rang von A auch gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren ist Der Rang einer Matrix wird durch die folgenden elementaren Umformungen nicht verändert: (a) Vertauschung zweier Zeilen (Spalten) (b) Multipliaktion jedes Elements einer Zeile (Spalte) mit einem Skalar α 0 (c) Addition des α-fachen der i-ten Zeile (Spalte) zur j-ten Zeile (Spalte), wobei i j Jede Matrix lässt sich mit elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen Schreibweise A B, wenn B durch elementare Zeilenumformungen aus A hervorgeht Die Anzahl r von Zeilen 0 ist eindeutig bestimmt und ist gleich dem Rang r(a) Wenn A eine m n-matrix ist, so ist r(a) min(m, n) Ist r(a) = m bzw r(a) = n, so heißt A zeilen- bzw spaltenregulär Ist r(a) = n für eine quadratische Matrix der Ordnung n, so heißt A regulär, andernfalls singulär (a) r(a + B) r(a) + r(b) (c) r(a) = r(a ) (e) r(a) = r(ab) = r(ca), falls B und C regulär sind (b) r(ab) min(r(a), r(b)) (d) r(a A) = r(aa ) = r(a) 34 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ax = b Siehe auch S 4

24 35 SPUR EINER MATRIX 21 Koeffizientenmatrix A und erweiterte Koeffizientenmatrix A b : A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A b = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m r(a) r(a b ) r(a) + 1 Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konsistenz eines linearen Gleichungssystems (dh für die Existenz mindestens einer Lösung) ist, ist r(a) = r(a b ) Das System habe Lösungen und r(a) = r(a b ) = k < m Wählen Sie k Gleichungen des Systems, die zu k linear unabhängigen Zeilen gehören Jede Lösung dieser Gleichungen erfüllt auch die restlichen m k (überflüssigen) Gleichungen Das System habe Lösungen und r(a) = r(a b ) = k < n Dann gibt es n k Variablen, die frei gewählt werden können, während die restlichen k Variablen eindeutig bestimmt sind durch die Wahl der n k freien Variablen Das System hat n k Freiheitsgrade 35 Spur einer Matrix Für eine n n-matrix A = (a ij ) ist die Spur (englisch: trace) von A definiert durch tr (A) = n a ii i=1 Rechenregeln für die Spur einer Matrix: Wenn A, B und C seien geeignet gewählt, so gilt: (a) tr (A ) = tr (A) (b) tr (A + B) = tr (A) + tr (B) (c) tr (αa) = αtr (A) α R (d) tr (AB) = tr (BA) (e) tr ( (B 1 AB) = ) tr (A) (f) tr (ABC) = tr (BCA) = tr (CAB) A11 A (g) tr 12 = tr (A A 21 A 11 ) + tr (A 22 ) (h) tr (AB) tr (A)tr (B) (i Allg) 22

25 22 KAPITEL 3 WEITERE RESULTATE AUS DER LINEAREN ALGEBRA 36 Eigenwerte Eigenwerte und Eigenvektoren: Falls A eine n n-matrix, so heißt λ ein Eigenwert von A, wenn es einen Vektor x 0 in R n gibt, so dass Ax = λx Dann heißt x ein Eigenvektor von A (assoziiert zu λ) Wenn x ein zu λ gehöriger Eigenvektor ist, dann auch αx für jeden Skalar α 0 Eigenwerte und Eigenvektoren heißen auch charakteristische Wurzeln (Werte) bzw charakteristische Vektoren Ax = λx (A λi)x = 0, wobei I die Einheitsmatrix der Ordnung n Es gibt Lösung x 0 A λi = 0, wobei A = (a ij ) n n Charakteristische Gleichung oder Eigenwertgleichung von A: a 11 λ a 12 a 1n a p(λ) = A λi = 21 a 22 λ a 2n = 0 a n1 a n2 a nn λ p(λ) ist Polynom vom Grad n, das nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n Wurzeln oder Nullstellen (reelle oder komplexe) hat Mehrfache Nullstellen sind entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen (A λi)x = 0 (a 11 λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + (a 22 λ)x a 2n x n = 0 a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = 0 Ein zu λ assoziierter Eigenvektor ist eine nichttriviale Lösung (x 1,, x n ) dieses Gleichungssystems ( ) a11 a Eigenwerte für Matrizen der Ordnung 2: A = 12 Eignwerte λ a 21 a 1 und λ 2 22 λ 1 + λ 2 = a 11 + a 22 = tr (A) λ 1 λ 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = A Die Eigenwerte sind reell, wenn A symmetrisch ist Für 2 2-Matrizen mit reellen Eigenwerten gilt: (A) Beide Eigenwerte sind positiv A > 0 und tr (A) = a 11 + a 22 > 0 (B) Beide Eigenwerte sind negativ A > 0 und tr (A) = a 11 + a 22 < 0 (C) Die zwei Eigenwerte haben entgegengesetztes Vorzeichen A < 0

26 37 DIAGONALISIERUNG 23 (D) 0 ist ein Eigenwert A = 0 Der andere Eigenwert ist dann a 11 + a 22 Eigenwerte für Matrizen der Ordnung n: p(λ) = A λi = ( λ) n +b n 1 ( λ) n 1 + +b 1 ( λ)+b 0 (charakteristisches Polynom) Nullstellen sind die Eigenwerte λ 1, λ 2,, λ n und: p(λ) = ( 1) n (λ λ 1 )[λ λ 2 ) (λ λ n ) b 0 = A = λ 1 λ 2 λ n b n 1 = tr (A) = a 11 + a a nn = λ 1 + λ λ n b k ist die Summe aller Hauptabschnittsdeterminanten oder Hauptminoren (??) von A der Ordnung n k ( A) n + b n 1 ( A) n b 1 ( A) + b 0 I = 0 Carley-Hamilton, dh eine quadratische Matrix erfüllt ihre eigene charakteristische Gleichung λ ist Eigenwert von A λ ist Eigenwert von A A = 0 λ 0 und 1/λ ist Eigenwert von A 1 A symmetrisch λ i R Wenn D = Diag (a 1,, a n ) eine Diagonalmatrix, so gilt λ i = d i A positiv definit λ i > 0 i = 1,, n A positiv semidefinit mit r(a) = p < n λ 1,, λ p > 0 und λ p+1 = = λ n = 0 Wenn A und B beides invertierbare n n-matrizen sind, so haben AB und BA dieselben Eigenwerte 37 Diagonalisierung A und P seien n n-matrizen und P sei invertierbar Dann haben A und P 1 AP dieselben Eigenwerte A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n n Matrix P und eine Diagonalmatrix D gibt, so dass P 1 AP = D Wenn A diagonalisierbar ist, so ist P 1 AP = diag (λ 1,, λ n ) siehe S 25 siehe S 25

27 24 KAPITEL 3 WEITERE RESULTATE AUS DER LINEAREN ALGEBRA Eine n n-matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren x 1,, x n hat P 1 AP = diag (λ 1,, λ n ) Dabei ist P die Matrix mit x 1,, x n als Spalten und λ 1,, λ n sind die zugehörigen Eigenwerte Eine Matrix P = (x 1,, x n ) heißt orthogonal, wenn P = P 1, dh P P = I, dh genau dann wenn die Spaltenvektoren x i orthonormiert sind, dh x ix i = 1 x i = 1 und x ix j = 0(i j), dh die Spaltenvektoren haben die Länge 1 und sind paarweise orthogonal Für orthogonale Matrizen A und B gleicher Ordnung gilt: A 1, A, AB und BA sind orthogonal, A = ±1 Spektraltheorem für symmetrische Matrizen: Wenn A = (a ij ) n n symmetrisch ist, gilt: (a) Alle n Eigenwerte λ 1,, λ n sind reell (b) Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind ortogonal (c) Es existiert eine ortogonale Matrix P (dh P = P 1 ), so dass λ P 1 0 λ AP = λ n Die Spalten v 1,, v n der Matrix P sind Eigenvektoren der Länge 1 zu den Eigenwerten λ 1, λ 2,, λ n Folgerung: A = P diag (λ 1,, λ n )P 1 und für m N: A m = P diag (λ m 1,, λ m n )P 1 (Allgemein gilt: Wenn P und D n n-matrizen sind, so ist (P DP 1 ) m = P D m P 1 ) 38 Quadratische Formen Eine quadratische Form in n Variablen ist eine Funktion Q der Gestalt Q(x 1, x 2,, x n ) = n n a ij x i x j = a 11 x a 12 x 1 x a ij x i x j + + a nn x 2 n i=1 j=1 Dabei sind a ij Konstante

28 38 QUADRATISCHE FORMEN 25 Mit x = (x 1, x 2,, x n ) und A = (a ij ) ist Q(x 1,, x n ) = Q(x) = x Ax Die quadratische Form ändert sich nicht, wenn man a ij und a ji ersetzt durch 1 2 (a ij + a ji für alle i und j Dadurch wird A symmetrisch und A heißt die zu Q assoziierte symmetrische Matrix und Q heißt eine symmetrische quadratische Form Definitheit quadratischer Formen: Eine quadratische Form Q(x) = x Ax sowie die assoziierte symmetrische Matrix A heißen positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit je nachdem, ob Q(x) > 0, Q(x) 0, Q(x) < 0, Q(x) 0 für alle x 0 Die quadratische Form ist indefinit, falls es Vektoren x und y gibt, so dass Q(x ) < 0 und Q(y ) > 0, dh wenn sie sowohl positive als auch negative Werte annimmt Q(x 1, x 2 ) = a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 ist positiv semidefinit a 11 0, a 22 0 und a 11 a 12 a 21 a 22 0 und positiv definit a 11 > 0 und a 11 a 12 a 21 a 22 > 0 (Hier ist die Bedingung a 22 überflüssig, sie folgt aus den beiden anderen) Sei A = (a ij ) eine n n-matrix Ein Hauptminor oder eine Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k ist dann die Determinante der Matrix, die man erhält, wenn man alle bis auf k Zeilen und k Spalten mit der gleichen Nummer streicht Eine Hauptabschnittsdeterminante enthält immer genau k Elemente der Hauptdiagonalen Auch A ist eine Hauptabschnittsdeterminante Eine Hauptabschnittsdeterminante ist eine führende Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k (1 k n), wenn sie aus den k ersten (,,führenden ) Zeilen und Spalten von A besteht Die führenden Hauptabschnittsdeterminanten sind a 11 a 12 a 1k a D k = 21 a 22 a 2k, k = 1, 2,, n a k1 a k2 a kk ( ACHTUNG: In vielen deutschen Büchern wird nicht zwischen Hauptabschnittsdeterminanten und führenden Hauptabschnittsdeterminanten unterschieden Gemeint sind dann fast immer führende Hauptabschnittsdeterminanten!) Mit k bezeichnen wir eine beliebige Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k

29 26 KAPITEL 3 WEITERE RESULTATE AUS DER LINEAREN ALGEBRA Die symmetrische quadratische Form Q(x) = n n a ij x i x j (a ij = a ji ) i=1 j=1 mit der assoziierten Matrix A = (a ij ) n n ist (a) positiv definit D k > 0 für k = 1, n (b) positiv semidefinit alle k 0 für k = 1, n (c) negativ definit ( 1) k D k > 0 für k = 1, n (d) negativ semidefinit alle ( 1) k k 0 für k = 1, n Q ist negativ (semi)definit Q ist positiv (semi)definit Sei Q = x Ax eine quadratische Form mit der symmetrischen Matrix A Die Eigenwerte λ 1,, λ n sind dann reell und es gilt Q ist (a) positiv definit λ 1 > 0,, λ n > 0 (b) positiv semidefinit λ 1 0,, λ n 0 (c) negativ definit λ 1 < 0,, λ n < 0 (d) negativ semidefinit λ 1 0,, λ n 0 (e) indefinit A hat Eigenwerte mit unterschiedlichem Vorzeichen 39 Quadratische Formen unter linearen Nebenbedingungen Q(x) = n n a ij x i x j (a ij = a ji ) i=1 j=1 unter den m linearen homogenen Nebenbedingungen b 11 x 1 + b 12 x b 1n x n = 0 b 21 x 1 + b 22 x b 2n x n = 0 b m1 x 1 + b m2 x b mn x n = 0 Bx = 0, wobei B = (b ij ) m n Q ist positiv (negativ) definit unter den linearen Nebenbedingungen, falls Q(x) > 0(< 0) für alle x 0, die die Nebenbedingungen Bx = 0 erfüllen

30 39 QUADRATISCHE FORMEN UNTER LINEAREN NEBENBEDINGUNGEN b 11 b 1k 0 0 b B k = m1 b mk, k = 1,, n b 11 b m1 a 11 a 1k b 1k b mk a k1 a kk ( ) 0m m B B k ist die (m+k)-te Hauptabschnittsdeterminante der (m+n) (m+n)-matrix B A Die quadratische Form Q(x) ist genau dann positiv definit unter den linearen Nebenbedignungen Bx = 0, wobei angenommen wird, dass die m ersten Spalten in B linear unabhängig sind, wenn ( 1) m B r > 0, r = m + 1,, n Die entsprechende notwendige Bedingung für negative Definitheit ist ( 1) r B r > 0, r = m + 1,, n

31 Index Blockdiagonalmatrix, 17 Carley-Hamilton, 23 Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 7 Charakteristische Gleichung, 22 Charakteristische Wurzel, 22 Charakteristischer Vektor, 22 Charakteristisches Polynom, 23 Co-Faktor, 9, 12 Cramer sche Regel, 9, 15 Definitheit, 25 Determinante, 9 der Ordnung n, 11 einer Dreiecksmatrix, 11 Entwicklung nach Co-Faktoren, 12 Vorzeichenregel, 11 Dimension eines Vektors, 5 Dreiecksmatrix, 11 Dreiecksungleichung, 7 Eigenvektor, 22 Eigenwert, 22 Eigenwertgleichung, 22 einheitsmatrix, 3 Elementare Zeilenumformungen, 4, 20 Freiheitsgrade, 21 Gauß-Jordan-Methode, 5 Gauß sche Elimination, 4 Geometrischer Vektor, 6 Gerade R n, 8 Gleichung einer Ebene, 8 Gleichungssystem allgemeines lineares, 1 Hauptabschnittsdeterminante, 25 führende, 25 Hauptdiagonale einer Matrix, 1 Hauptminor, 25 Homogenes Gleichungssystem, 15 Hyperebene R n, 8 Indefinit, 25 Inkonsistentes lineares Gleichungssystem, 1 Inneres Produkt, 6 Inverse einer Matrix, 12 Invertierbare Matrix, 12 Koeffizientenmatrix erweiterte, 21 Konsistentes lineares Gleichungssystem, 1 Korrelationskoeffizient, 7 Korreliert negativ, 7 positiv, 7 vollständig, 7 Länge eines Vektors, 7 Leotief-Modell, 15 Lineare Abhängigkeit, 18 Lineare Unabhängigkeit, 18 Lineares Gleichungssystem allgemeines, 1 elementare Umformungen, 4 in Matrixform, 3 Lösbarkeit, 19, 20 Linearkombination von Vektoren, 6, 19 Matrix, 1 diagonalisierbare, 23 Multiplikation mit Skalar, 2 nichtsinguläre, 13 orthogonale, 24 28

32 Index 29 partitionierte, 17 reguläre, 20 singuläre, 13, 20 symmetrische, 4 transponierte, 4 Matrizenmultiplikation, 2 Minor, 12, 20 Negativ definit, 25 Negativ semidefinit, 25 Nichtsinguläre Matrix, 13 Norm eines Vektors, 7 Normal, 8 Normale, 8 Ordnung einer Determinante, 9 einer Matrix, 1 Orthogonal, 7, 8 Orthogonale Matrix, 24 Orthonormierter Vektor, 24 Partitionierte Matrix, 17 Positiv definit, 25 Positiv semidefinit, 25 Potenz einer Matrix, 3 Punktprodukt, 6 Quadratische Form, 24 unter linearen Nebenbedingungen, 26 Quadratische Matrix, 1 Skalarprodukt, 6 Spalte einer Matrix, 1 Spaltenvektor, 5 spaltenvektor, 1 Spektraltheorem für symmetrische Matrizen, 24 Spur einer Matrix, 21 Streichungsmatrix, 12 Summe von Vektoren, 6 zweier Matrizen, 1 Symmetrische Matrix, 4 Transponierte Matrix, 4 Treppenstufenform, 5 Vektor, 1, 5 n-vektor, 5 geometrsiche Interpretation, 6 Multiplikation mit Skalar, 6 Vektoroperationen, 6 Winkel zwischen Vektoren, 7 Zeile einer Matrix, 1 Zeilenstufenform, 5, 20 Zeilenvektor, 1, 5 Rang einer Matrix, 20 Rechenregeln für Determinanten, 11 für inneres Produkt, 6 für inverse Matrizen, 13 für Matrizenaddition, 2 für Matrizenmultiplikation, 3 für Spur, 21 für transponierte Matrizen, 4 Regel von Sarrus, 10 Reguläre Matrix, 20 Sarrus Regel von, 10 Singuläre Matrix, 13, 20