Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die Matrizen A =, B = 0, C =, D = 0 a) Berechnen Sie die Produkte AB und BA und vergleichen Sie diese b) Berechnen Sie die Produkte (AB)C und A(BC) und vergleichen Sie diese c) Berechnen Sie die Determinanten von A, C und AC und vergleichen Sie diese d) Welche der Produkte AD, AD T, DA, D T A sind definiert? Berechnen Sie diese Berechnen Sie die Determinanten der folgenden 4-reihigen Matrizen A = und B = a) mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes und b) mit Hilfe des Gaussschen Verfahrens Eine reelle n n-matrix A, n N, heisst orthogonal, wenn die zu A inverse Matrix A gleich der Transponierten A T ist, dh wenn AA T = A T A = E n a) Welche der Matrizen cos π sin π A =, B = 6 6 sin π cos π, C = 0 0, D = 0 0, sind orthogonal?

2 b) Zeigen Sie, dass eine quadratische reelle Matrix genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spalten paarweise orthogonale Vektoren der Länge sind c) Zeigen Sie, dass für eine orthogonale Matrix A stets det A = ± gilt Hinweis: det(aa T ) = det(e n ) 4 a) Berechnen Sie die Inversen der Matrizen 4 5 B = und C = b) Berechnen Sie die Inverse A der Matrix A = 4 c) Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis, indem Sie A A und AA berechnen d) Bestimmen Sie die Lösung x des Systems A x = b mit b = ( 4 ) T 5 Die Inverse A der -Matrix A ist 0 A = 0 Bestimmen Sie a) die Lösung des Gleichungssystems A x = b) die Determinante der Matrix A a b 6 a) Finden Sie alle Matrizen mit ad bc = und A c d = A b) Für welche Werte der Konstanten a, b und c ist die folgende Matrix invertierbar? 0 a b a 0 c b c 0 c) Betrachten Sie die obere Dreiecksmatrix ( ) a b c A = 0 d e 0 0 f und beantworten Sie folgende Fragen

3 (i) Für welche Werte von a, b, c, d, e und f ist A invertierbar? (ii) Allgemeiner, wann ist eine obere Dreiecksmatrix von beliebiger Dimension invertierbar? (iii) Wenn eine obere Dreiecksmatrix invertierbar ist, ist dann ihr Inverses auch eine obere Dreiecksmatrix? Experimentieren Sie mit ( )- und ( )-Matrizen (iv) Wann ist eine untere Dreiecksmatrix invertierbar? 7 Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) zweier Vektoren im R, v w v = v und w = w v w ist der Vektor definiert durch v w v w v w = v w v w v w v w Die folgende Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt für drei Vektoren u, v, w in R heisst Spatprodukt (oder gemischtes Produkt): [ u, v, w] = u ( v w) a) Zeigen Sie, dass das Spatprodukt der Vektoren u, v, w gleich der Determinante der Matrix mit Zeilen u, v, w ist: u u u [ u, v, w] = det v v v w w w b) Das Spatprodukt ist nicht kommutativ (auch das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ) Was ist der Unterschied zwischen Hinweis: Aufgabe a) c) Seien Berechnen Sie [ u, v, w] und [ v, u, w]? 4 u =, v =, w = 5 6 u v, v w, [ u, v, w]

4 d) Seien r cos θ v = 0, w = r sin θ 0 0 Berechnen Sie v w und bestätigen Sie, dass v w = v w sin θ Die obige Formel gilt auch für beliebige Vektoren v und w in R, wobei θ der Winkel zwischen v und w ist Fazit: Man kann aus d) und der Definition des Spatproduktes folgern, dass [ u, v, w] genau dem Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds enspricht Dieses berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe, wobei v w die Grundfläche ist Aus der bekannten Gleichung u z = u z cos ϑ, wobei ϑ den Winkel zwischen u und z bezeichnet, folgt u ( v w) = u v w cos ϑ wobei u cos ϑ genau der Höhe des Parallelepipeds enspricht Die Gleichung aus a) liefert ausserdem: u u u Der Betrag der Determinante det v v v entspricht dem Volumen w w w des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds 4

5 Die Lösungen sind: a) AB = BA = 0 7 b) (AB)C = = A(BC) c) det A =, det C = 4, det(ac) = 4 = det A det C d) Definiert sind nur AD T = und DA = 4 0 det A = 7 und det B = 6 a) Berechnung liefert, dass B T B, C T C, D T D orthogonale Matrizen sind b) Man überprüft, dass eine Matrix A = { s s n mit Spaltenvektoren falls i = j, s,, s n orthogonal ist, wenn s i s j = 0 falls i j c) Aus = det E n = det A T A = det A T det A = (det A) folgt det A = ± ( ) 4 a) B = 0 5, ( 0 5 ) 5 C = 0 b) A = 0 c) direkte Rechnung d) x = a) x = (, 4, 6) b) det = 54 6 a) A = ±E b) Diese Matrix ist nie invertierbar c) (i) Falls a, d, f 0 (ii) Wie in (i) falls alle Diagonaleinträge 0 5

6 (iii) Ja, das folgt aus der Betrachtung des Algorithmus zur Ermittlung der Inversen (iv) Wie in (ii) falls alle Diagonaleinträge 0 7 a) dies folgt aus direkter Berechnung b) [ u, v, w] = [ v, u, w] c) u v = 0, v w = (, 5, 7), [ u, v, w] = 0 d) dies folgt aus direkter Berechnung 6

7 MC-Serie 0 0 Die Determinante der Matrix ist 0 (a) (b) (c) 4 (d) 6 Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen für reelle n n -Matrizen A und B sowie alle Zahlen λ R falsch? (a) det(λa) = λ n det A (b) det(a + B) = det A + det B (c) det(a T ) = det A (d) det(ab) = det B det A 7

8 Es seien 0 5 A = und B = A 0 0 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) det A = 4 (b) det B = 4 (c) det(ab) = 4 (d) det(ba) = 4 4 Sei A eine quadratische Matrix mit det A = 0 Dann ist A x = b (a) stets unlösbar (b) nur lösbar für b = 0 (c) lösbar für alle b, aber nicht unbedingt eindeutig lösbar (d) lösbar nur für manche b, aber für kein b eindeutig lösbar 8

9 5 Welche ist die Inverse der Matrix cos θ sin θ A =? sin θ cos θ (a) A = cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ (b) A = sin θ cos θ (c) A = sin θ cos θ ( sin θ cos θ cos θ sin θ ) sin θ cos θ (d) A = cos θ sin θ 9

10 6 Sei A die zu A = inverse Matrix Die Summe der Spalten von A 5 7 ist (a) 7 (b) 7 (c) 4 0 (d) 0 4 0

11 7 Welche Menge ist ein Unterraum von R? (a) {(x, y, z) x + y + z = } (b) { (x, y, z) x = y } (c) {(x, y, z) x = y = z} (d) {(x, y, z) x = y oder x = z}

12 8 Welcher Vektor ist eine Linearkombination von und 4 5? 6 (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d)

13 9 Welche der folgenden Aussagen bedeutet die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v, v,, v n eines Unterraumes V? (a) Wenn c = c = = c n = 0, dann c v + c v + + c n v n = 0 (b) Es gibt c, c,, c n nicht alle Null mit c v + c v + + c n v n = 0 (c) c v + c v + + c n v n = 0 für alle c, c,, c n R (d) c v + c v + + c n v n = 0, nur wenn c = c = = c n = 0 0 Welche ist eine Liste von linear unabhängigen Vektoren? (a), (b) 4, 5 6 (c) 4 0, 5, (d) 4, 5, 6

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