Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme"

Transkript

1 Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn mit reellen oder komplexen Einträgen (oder Komponenten) a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Abkürzend schreibt man für A auch (a ij ) m i=1 n j=1 oder (a ij) m n. Zwei Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) sind gleich, wenn beide den gleichen Typ m n haben und a ij = b ij für i = 1,..., m, j = 1,..., n gilt. Spezielle Matrizen: quadratische Matrix Eine Matrix A = (a ij ) vom Typ n n (d.h. mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl) nennt man quadratisch. Die Elemente a ii, i = 1,..., n bilden die Hauptdiagonale. Nullmatrix O (bzw. O n für die Nullmatrix mit n Zeilen und Spalten) Einheitsmatrix E (bzw. E n für die Einheitsmatrix mit n Zeilen und Spalten) 1

2 Diagonalmatrix obere/untere Dreiecksmatrix Operationen mit Matrizen: Die folgenden zwei Operationen sind für Matrizen komponentenweise definiert: Die Summe zweier Matrizen A = (a ij ) m n und B = (b ij ) m n ist die Matrix C = (c ij ) m n mit den Einträgen c ij = a ij + b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Wir schreiben dafür C = A + B. Zwei Matrizen können nur dann addiert werden, wenn beide den gleichen Typ haben. Beispiel: Das Produkt einer Zahl λ R mit einer Matrix A = (a ij ) m n ist die Matrix B = (b ij ) m n mit den Einträgen Wir schreiben dafür B = λa. Beispiel: b ij = λa ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. 2

3 Rechenregeln: Für beliebige Matrizen A, B, C des gleichen Typs m n und beliebige Zahlen α, β gilt: 1. A + B = B + A (Kommutativität) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativität) 3. A + O = A (Nullelement) 4. A + ( A) = O (inverses Element der Addition) 5. (αβ)a = α(βa) 6. 1A = A 7. (α + β)a = αa + βa 8. α(a + B) = αa + αb Neben diesen beiden Operationen gibt es noch folgende Operationen, speziell für Matrizen: Die Transponierte A T einer m n Matrix A = (a ij ) ergibt sich aus: a 11 a 21 a m1 A T a 12 a 22 a m2 =.... a 1n a 2n a mn Somit ist A T eine n m Matrix. Bei ihr sind gegenüber A Zeilen und Spalten vertauscht. Bei der Transponierten einer quadratischen Matrix werden alle Elemente an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Beispiel: Das Produkt einer Matrix A = (a ij ) m n und einer Matrix B = (b ij ) n p ist die Matrix C = (c ij ) m p mit den Einträgen n c ij = a ik b kj, i = 1,..., m, j = 1,..., p. k=1 Wir schreiben dafür C = AB. Zwei Matrizen A und B können nur dann in dieser Reihenfolge multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl von A der Zeilenanzahl von B entspricht. 3

4 Der i j-te Eintrag der Produktmatrix wird also aus den Einträgen der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B berechnet: Zum Berechnen der Produktmatrix verwendet man oft das Falksche Schema. Beispiele: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen ist AB BA! ( ) ( ) Beispiel: A =, B = : AB = BA = 4

5 Rechenregeln: Für beliebige m n Matrizen A, A 1, A 2, n p Matrizen B, B 1, B 2, p q Matrix C und eine Zahl α R gilt: 1. (A 1 + A 2 )B = A 1 B + A 2 B (1. Distributivgesetz) 2. A(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2 (2. Distributivgesetz) 3. α(ab) = (αa)b = A(αB) 4. A(BC) = (AB)C (Assoziativität der Matrizenmultiplikation) 5. E m A = AE n = A Invertierbare Matrizen Wir betrachten jetzt nur quadratische n n Matrizen. Definition 2. Eine Matrix B ist die Inverse einer Matrix A, wenn gilt AB = BA = E. Wir schreiben dafür B = A 1. Nicht jede Matrix hat eine ( Inverse! ) ( ) 1 0 a b Hätte zum Beispiel A = eine Inverse B =, so wäre 0 0 c d ( ) ( ) 1 0 a b = AB = E = 0 0 c d ( ) und damit ( ) a b = 0 0 Vergleich der Einträge rechts unten zeigt, dass dies nicht erfüllbar ist. ( ) Satz 1. Wenn die Inverse einer Matrix A existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Bew.: Definition 3. Eine quadratische Matrix A heißt regulär bzw. invertierbar, wenn sie eine Inverse A 1 besitzt, andernfalls heißt sie singulär bzw. nicht invertierbar. Beispiel: 5

6 2 Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten hat die Form a 11 x a 1n x n = b 1. a m1 x a mn x n = b m Mit den Bezeichnungen a 11 a 1n b 1 x 1 A =.., b =., x =. a m1 a mn b m x n. lässt sich das System schreiben als A x = b. Gauß-Algorithmus Die Lösung eines Gleichungssystems A x = b erfolgt mit Hilfe des Gauß-Algorithmus oder des Gauß-Jordan-Algorithmus. Um uns das Schreiben der Variablen x 1,..., x n zu ersparen, schreiben wir die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite b in ein Schema der Gestalt x 1... x n a a 1n b 1... a m1... a mn b m Nun kann man folgende Umformungen vornehmen, die offenbar die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht ändern: Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ 0, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, Vertauschen von zwei Zeilen, Vertauschen von zwei Variablen (dies muss man sich allerdings merken bzw. im Schema markieren) Weglassen von Nullzeilen Weglassen einer von zwei identischen Zeilen 6

7 Das Ziel dieser Operationen ist die Herstellung der sogenannten Zeilenstufenform bzw. Gaußschen Normalform: x 1 x 2 x 3... x r x r+1... x n 1 c 1,2 c 1,3... c 1,r c 1,(r+1)... c 1,n c c 2,3... c 2,r c 2,(r+1)... c 2,n c c 3,r c 3,(r+1)... c 3,n c c r,(r+1)... c r,n c r c r c m Dabei erzeuge man zuerst die Nulleinträge in der ersten Spalte, danach in der zweiten Spalte, usw. Wir bezeichnen die neu entstandene obere Dreiecksmatrix mit C und die neue rechte Seite mit c. Definition 4. Sei C eine Matrix in Zeilenstufenform. Die Anzahl r der Zeilen, die keine Nullzeilen sind, wird als Rang der Matrix C bezeichnet, und wird geschrieben als rg C. Entsteht eine Matrix C in Zeilenstufenform aus einer Matrix A durch oben beschriebene Umformungen, so besitzt A denselben Rang wie C. Satz 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem A x = b, wobei A eine m n Matrix, b ein Spaltenvektor der Länge m und x ein Spaltenvektor der Länge n ist. Dann gilt: 1. Lösbarkeitsentscheidung: Ist eine der Zahlen c r+1,..., c m von Null verschieden, so ist C x = c nicht lösbar, und damit ist auch das Ausgangsgleichungssystem A x = b nicht lösbar. 2. Anzahl der freien Variablen: Ist A x = b lösbar, dann enthält die allgemeine Lösung n r freie Variable, dabei ist n die Anzahl der Unbekannten. 3. Lösungsstruktur: Ist das System A x = b lösbar, dann lässt sich die allgemeine Lösung in der Form v = v 0 + u, darstellen. Dabei ist v 0 eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems A x = b und u die allgemeine Lösung des zugeordneten homogenen Gleichungssystems A x = 0. 7

8 Beispiel: Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 = 6 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 2x x 2 + x x 4 = 18 3x 1 + 4x 2 4x 3 + 7x 4 = 16 Hier gilt m = n = 4. Wir wenden den Gauß-Algorithmus an: 8

9 Definition 5. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem A x = b. Hängt man den Vektor b als neue Spalte an die Matrix A an, so erhält man die erweiterte Koeffizientenmatrix A b. Satz 3. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem A x = b, wobei A eine m n Matrix, b ein Spaltenvektor der Länge m und x ein Spaltenvektor der Länge n ist. Dann gilt: 1. Das Gleichungssystem ist nicht lösbar, wenn rg A < rg(a b) ist. 2. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn rg A = rg(a b) = n ist. 3. Das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, wenn rg A = rg(a b) < n ist. Beispiel: Betrachten wir das lineare Gleichungssystem: Dabei ist A = Der Gauß-Algorithmus verläuft so: 2x 1 3x 2 + 4x 3 = 19 4x 1 4x 2 + 3x 3 = 22 6x 1 7x 2 + 7x 3 = und A b =

10 Gauß-Jordan-Algorithmus Der Gauß-Jordan-Algorithmus funktioniert genauso wie der Gauß-Algorithmus, jedoch werden auch oberhalb der Diagonalen der Matrix Nullen erzeugt. Als Ergebnis erhält man die Gauß-Jordan-Normalform: x 1 x 2... x r x r+1... x n c c c r c r c m Der Gauß-Jordan-Algorithmus wird zur Berechnung der Inversen einer Matrix verwendet. Algorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix: Es sei A eine n n-matrix. 1. Man füge die n n Einheitsmatrix an die Matrix A an, d.h. man bilde die Matrix (A E). 2. Man erzeuge durch äquivalente Zeilenumformungen gemäß dem Gauß-Jordan- Algorithmus die Gauß-Jordan-Normalform der Matrix (A E). Ist die erzeugte Gauß-Jordan-Normalform von der Gestalt (E B), so ist B die zu A inverse Matrix. Ist die erzeugte Gauß-Jordan-Normalform nicht von der Gestalt (E B), d.h ist die Matrix der ersten n Zeilen und Spalten nicht die Einheitsmatrix, dann ist A nicht invertierbar Beispiel: Wir überprüfen, ob die Matrix A = eine Inverse besitzt

11 2 1 1 Beispiel: Berechnung der Inversen zur Matrix A = Determinanten Die Determinante det A bzw. A ordnet einer quadratischen Matrix A eine Zahl zu. Sie hat vielfältige Anwendungen, z.b. kann man mit ihr entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist oder ob ein lineares Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix eindeutig lösbar ist: Satz 4. Sei A eine n n Matrix. Dann sind äquivalent: 1. det A A ist regulär, d.h. A ist invertierbar. 3. rg A = n 4. Das Gleichungssystem A x = b besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung. 11

12 Berechnung von Determinanten Für die quadratische Matrix A = (a ij ) vom Typ n n lässt sich die Determinante von A wie folgt berechnen: Für n = 1 ist det A = a 11. Für n = 2 gilt ( ) a11 a det A = det 12 = a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Man multipliziert also überkreuz: Für n = 3 gilt a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Diese Determinante kann mit der Regel von Sarrus berechnet werden: Beispiele: 12

13 Für n 4 gibt es solche Merkregeln nicht mehr. Hier muss die Determinante anders berechnet werden. Definition 6. Sei A eine quadratische n n Matrix. Ferner sei A ij mit i, j {1,..., n} die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgeht. Dann nennen wir die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten die Adjunkten von A. U ij = ( 1) i+j det (A ij ) Ihre Vorzeichen ( 1) i+j sind schachbrettartig angeordnet: Beispiel: Für A = erhalten wir U 23 = Wir können nun die Determinante der n n Matrix A aus den Determinanten der (n 1) (n 1) Matrizen U ij berechnen:. Satz 5. (Laplacescher Entwicklungssatz) Sei A eine n n Matrix. Für jedes i {1,..., n} gilt die Entwicklung nach der i-ten Zeile: det A = n a ij U ij. j=1 Für jedes j {1,..., n} gilt die Entwicklung nach der j-ten Spalte: det A = n a ij U ij. i=1 Mit diesem Satz kann man die Berechnung einer 4 4 Determinante auf die Berechnung von 3 3 Determinanten zurückführen, die dann mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnet werden. Bei noch größeren Determinanten muss man den Entwicklungssatz mehrfach anwenden. 13

14 Beispiele: = = Eigenschaften von Determinanten: Sei A eine n n Matrix und a 1,..., a n seien die Zeilenvektoren von A (vom Typ 1 n). b sei ein weiterer Zeilenvektor (vom Typ 1 n). Dann gilt: 1. Man kann einen Faktor aus einer Zeile vor die Determinante ziehen: λ a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 det. = det λ a 2. =... = det a 2. = λdet a 2., a n a n λ a n a n 2. Hat A zwei gleiche Zeilen, so gilt det A = Vertauscht man in einer Determinante zwei Zeilen, so ändert sich ihr Vorzeichen. 4. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert. 5. det A = det A T Die Eigenschaften 1. bis 5. gelten sinngemäß auch für die Spalten. 14

15 Aus diesen Eigenschaften ergibt sich nun auch eine alternative Strategie zur Determinanten- Berechnung. Dazu formen wir die Determinante durch Anwendung der Operationen Addieren von Vielfachen von Zeilen (Spalten) zu anderen Zeilen (Spalten), Vertauschen von Zeilen (Spalten) (Achtung: Vorzeichenwechsel!) so lange um, bis sich eine obere Dreiecksmatrix ergibt. An dieser kann man den Wert der Determinante sofort ablesen, denn es gilt: Satz 6. Es gilt für die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix a 11 a 12 a 1,n 1 a 1,n 0 a 22 a 2,n 1 a 2,n = a 11 a 22 a nn. 0 a n 1,n 1 a n 1,n 0 0 a nn Ebenso ist die Determinante einer unteren Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonalelemente. Beispiel: =

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

8.2 Invertierbare Matrizen

8.2 Invertierbare Matrizen 38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A 133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man

Mehr

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

36 2 Lineare Algebra

36 2 Lineare Algebra 6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A

Mehr

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden: Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.

Mehr

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra 22 3.1 Einführung.......................... 22 3.2 Matrizen und Vektoren.................... 23 3.3 Spezielle Matrizen...................... 24

Mehr

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +

Mehr

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =

MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T = MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente

Mehr

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Dienstag WS 2011/12 2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme 2.1 Matrizenrechnung 2.1.1 Einführung Vor der

Mehr

Erneut: Matrizen und lineare Abbildungen

Erneut: Matrizen und lineare Abbildungen Erneut: Matrizen und lineare Abbildungen Mit Hilfe der Matrixmultiplikation lässt sich die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen elegant ausdrücken: Satz. e 1, e 2,..., e n sei die Standardbasis

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme Lernziele dieses Abschnitts sind: Begrie: Matrix, Vektor spezielle Matrix, transponierte Matrix, inverse Matrix nur fur quadratische Matrizen erklart, Determinante,

Mehr

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme.2 Determinanten 3 iii 2 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN KAPITEL

Mehr

7 Lineare Gleichungssysteme

7 Lineare Gleichungssysteme 118 7 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen, aber auch naturwissenschaftlichen Problemen auf; zum Beispiel beim Lösen von Differentialgleichungen, bei Optimierungsaufgaben,

Mehr

6 Lineare Gleichungssysteme

6 Lineare Gleichungssysteme 6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α

Mehr

Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri

Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 1.1 Einleitung............................. 1 1.2 Der Begriff Matrix........................ 1 1.2.1

Mehr

Matrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).

Matrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K). Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen

Mehr

Matrizen und Determinanten, Aufgaben

Matrizen und Determinanten, Aufgaben Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen

Mehr

Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) =

Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) = Matrizen Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten der Form a 11 a 12 a 1n A = a ij = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dabei sind m und n natürliche und die Koezienten a

Mehr

Kapitel 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m); Matrixmultiplikation;

Kapitel 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m); Matrixmultiplikation; Kapitel 1 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 11 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m; Matrixmultiplikation; Transposition; Spalten- und Zeilenvektoren Matrizen sind im Prinzip schon bei der schematischen

Mehr

Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra

Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra { Oren Halvani, Jonathan Weinberger } TU Darmstadt 25. Juni 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Determinanten................................................

Mehr

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten

Mehr

Das Lösen linearer Gleichungssysteme

Das Lösen linearer Gleichungssysteme Das Lösen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungen Die Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b ist eine lineare Gleichung in den n Variablen x 1, x 2,..., x n. Die Zahlen a 1, a 2,..., a n

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Das inhomogene System. A x = b

Das inhomogene System. A x = b Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbestimmten hat immer mindestens die Lösung 0. Ist r der Rang von A, so hat das System n r Freiheitsgrade. Insbesondere gilt: Ist

Mehr

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

1 Matrizenrechnung zweiter Teil MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Mehr

Der Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

8 Lineare Abbildungen und Matrizen

8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume

Mehr

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21 5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11

Mehr

Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen

Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Sei F : V W eine lineare Abbildung. Dann ist der Rang von F erklärt durch: rang F =dim ImF. Stets gilt rang F dimv, und ist dimv

Mehr

Kapitel 16. Invertierbare Matrizen

Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar,

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

Matrizen Definition: Typ einer Matrix

Matrizen Definition: Typ einer Matrix Matrizen Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und senkrecht verlaufenden Spalten. Verdeutlichung am Beispiel:

Mehr

3 Matrizen und Determinanten

3 Matrizen und Determinanten 31 Matrizen 311 Matrizen und Gleichungssysteme Grundlegende Begriffe der linearen Algebra und linearen Optimierung sind die Begriffe Matrix, Vektor, Determinante und lineares Gleichungssystem Beispiel

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2 1. Formatbedingungen der Matrixoperationen Die Addition (Subtraktion) A ± B verlangt gleiches Format der Operanden A und B. Das Ergebnis hat das Format der Operanden. Skalarmultiplikation λa: Es gibt keine

Mehr

Quadratische Matrizen

Quadratische Matrizen Quadratische Matrizen (n n)-matrizen heißen quadratische Die entsprechenden linearen Abbildungen sind laut Definition Endomorphismen des R n (weil f A : R n R n ) Das Produkt von (n n)- Matrizen ist auch

Mehr

5 Die Allgemeine Lineare Gruppe

5 Die Allgemeine Lineare Gruppe 5 Die Allgemeine Lineare Gruppe Gegeben sei eine nicht leere Menge G und eine Abbildung (Verknüpfung) : G G G, (a, b) a b( a mal b ) Das Bild a b von (a, b) heißt Produkt von a und b. Andere gebräuchliche

Mehr

MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...

MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2... MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Serie 8: Fakultativer Online-Test

Serie 8: Fakultativer Online-Test Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente

Mehr

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle 2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische

Mehr

8 Lineare Gleichungssysteme

8 Lineare Gleichungssysteme $Id: lgs.tex,v 1.6 2010/12/20 12:57:04 hk Exp $ $Id: matrix.tex,v 1.3 2010/12/20 13:12:44 hk Exp hk $ 8 Lineare Gleichungssysteme In der letzten Sitzung hatten wir mit der Besprechung linearer Gleichungssysteme

Mehr

4. Vektorräume und Gleichungssysteme

4. Vektorräume und Gleichungssysteme technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume

Mehr

Mathematik 2 für ET. Vektoren in R n und C n. Addition von Vektoren Multiplikation von Vektor und Skalar. Der Nullvektor 0 =

Mathematik 2 für ET. Vektoren in R n und C n. Addition von Vektoren Multiplikation von Vektor und Skalar. Der Nullvektor 0 = Mathematik 2 für ET # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit Das Lernen mit Lernkarten funktioniert

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

Kapitel 17. Determinanten

Kapitel 17. Determinanten Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n

Mehr

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte. Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische

Mehr

Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen

Mehr

Kapitel III. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. Inhalt: 10. Matrizen 11. Lineare Gleichungssysteme 12. Der Gauß-Algorithmus

Kapitel III. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. Inhalt: 10. Matrizen 11. Lineare Gleichungssysteme 12. Der Gauß-Algorithmus Kapitel III Matrizen und lineare Gleichungssysteme Inhalt: 10 Matrizen 11 Lineare Gleichungssysteme 12 Der Gauß-Algorithmus Wichtige Methoden beim Umgang mit Vektorräumen basieren auf der Matrizenrechnung

Mehr

Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)

Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen

Mehr

(A T ) T = A. Eigenschaft:

(A T ) T = A. Eigenschaft: Elementare Matrizenrechnung m n-matrix von Zahlen A m n a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n rechteckige Tabelle m n Dimension der Matrix Sprechweise: m Kreuz n wobei m Anzahl Zeilen, n Anzahl Spalten a i,j Element

Mehr

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α Mathematik 1 - Übungsblatt 7 Lösungshinweise Tipp: Verwenden Sie zur Kontrolle Scilab, wo immer es möglich ist. Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind

Mehr

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation . Inhaltsverzeichnis.............. Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1 Matrizen Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen 1.1 Was sind Matrizen 1.2 Arten von Matrizen Kapitel 2 Matrizenoperation

Mehr

Bonusmaterial Matrizen und Determinanten. Reihen und Spalten Elementarmatrizen

Bonusmaterial Matrizen und Determinanten. Reihen und Spalten Elementarmatrizen Bonusmaterial Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten 6 6 Elementarmatrizen 3 3 3 Wir betrachten die Matrix A = 3 3 3 R 3 3 3 3 3 Die folgende Multiplikation reeller Matrizen 0 0 3 3 3

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein

Mehr

Gilt jedoch. det A = 0, so besagt dies:

Gilt jedoch. det A = 0, so besagt dies: 3 eterminanten 3 efinition - Bedeutung - Anwendung urch eine spezielle Rechenvorschrift lassen sich jeder quadratischen Matrix A reelle Zahlenwerte zuordnen Man bezeichnet den Zahlenwert, der einer quadratischen

Mehr

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

2.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.3 Lineare Abbildungen und Matrizen 2.3. LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 89 Bemerkung Wir sehen, dass die Matrix à eindeutig ist, wenn x 1,...,x r eine Basis ist. Allgemeiner kann man zeigen, dass sich jede Matrix mittels elementarer Zeilenumformungen

Mehr

Lineare Algebra. Teilgebiet der Mathematik zur Darstellung ökonomischer Probleme

Lineare Algebra. Teilgebiet der Mathematik zur Darstellung ökonomischer Probleme Lineare Algebra Teilgebiet der Mathematik zur Darstellung ökonomischer Probleme Mittels der zur Verfügung stehenden Methoden der Linearen Algebra lassen sich ökonomische Zusammenhänge beschreiben Teilgebiete

Mehr

4 Der Gauß Algorithmus

4 Der Gauß Algorithmus 4 Der Gauß Algorithmus Rechenverfahren zur Lösung homogener linearer Gleichungssysteme Wir betrachten ein GLS (1) a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = a 1 x 1 + a x + + a n x n = a m1 x 1 + a m x + + a mn x

Mehr

Mathematik IT 2 (Lineare Algebra)

Mathematik IT 2 (Lineare Algebra) Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof Dr L Cromme Mathematik IT (Lineare Algebra für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Sommersemester 3 Lineare Gleichungssysteme

Mehr

Einführung in die Matrixalgebra

Einführung in die Matrixalgebra Einführung in die Matrixalgebra Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Bachelor S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor

Mehr

Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen.

Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen. 1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen

Mehr

2 Die Algebra der Matrizen

2 Die Algebra der Matrizen Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y

Mehr

täglich einmal Scilab!

täglich einmal Scilab! Mathematik 1 - Übungsblatt 7 täglich einmal Scilab! Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind skalare Größen (=einfache Zahlen im Gegensatz zu vektoriellen

Mehr

3.9 Elementarmatrizen

3.9 Elementarmatrizen 90 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen 3.9 Elementarmatrizen Definition 9.1 Unter einer Elementarmatrix verstehen wir eine Matrix die aus einer n n-einheitsmatrix E n durch eine einzige elementare

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr