1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema"

Transkript

1 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und j=1...m a 11 a a 1m a 21 a a 2m A = A = a n1 a n2... a nm die a ij sind reelle oder komplexe Zahlen eine n 1-Matrix (Spaltenmatrix) heißt (Spalten)Vektor v 11 v 1 v = v = v = v 2... v n1 v n Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn die Zahl der Zeilen in A und B gleich sind, die Zahl der Spalten in A und B gleich sind, und wenn gilt a ij = b ij i, j. Slide 4 Matrixoperationen Wenn A und B beides n m-matrizen sind, dann ist die Summe der Matrizen C = A + B definiert als c ij = a ij + b ij mit 1 i n und 1 j m 3

2 Wenn A eine m l-matrix und B eine l n-matrix ist, dann ist das Matrixprodukt C = A B definiert als l c ij = a ik b kj mit 1 i m und 1 j n k=1 Die Zahl der Spalten von A muss gleich der Zahl der Zeilen von B sein!! skalare Multiplikation: B = ka bedeutet b ij = k a ij i, j k R Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ aber ia. nicht kommutativ. Für Addition und Multiplikation gilt das Distributivgesetz. A B B A A (B C) = (A B) C A (B + C) = (A B) + (A C) 1.2 Spezielle Matrizen Slide 5 Spezielle Matrizen Eine quadratische Matrix hat genauso viele Zeilen wie Spalten (n n- Matrix). n heißt die Ordnung der Matrix. Eine diagonale Matrix D besitzt lediglich auf der Hauptdiagonalen (i = j) von Null verschiedene Elemente. d d d ij = d ij δ ij = 0 0 d d nn mit dem Kronecker-δ-Symbol δ ij = 1, wenn i = j und δ ij = 0 wenn i j. 4

3 Die spezielle diagonale Matrix E mit e ij = δ ij heißt Einheitsmatrix. Eine Obere Dreiecksmatrix hat die Form u 11 u 12 u u 1n 0 u 22 u u 2n u ij = 0 0 u u 3n u nn also u ij = 0 wenn i > j. Analog heißt L eine Untere Dreiecksmatrix, wenn Sie die folgende Form (l ij = 0 wenn i < j) besitzt: l l 21 l l ij = l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3... l nn Die Matrix N mit n ij = 0 i, j heißt Nullmatrix. Die Matrix T = S T heißt die Transponierte von S, wenn gilt t ij = s ji i, j Eine 1 n-matrix S heißt Zeilenvektor. S ist die Transponierte eines Spaltenvektors A, also. s 1n = a n1 oder S = A T Das Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor S V = n s i v i i=1 heißt Skalarprodukt 5

4 Das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor V S = A mit a ij = v i s j heißt äußeres Produkt oder Tensorprodukt und ist eine quadratische Matrix. Die Matrix S heißt symmetrisch, wenn gilt s ij = s ji i, j Die Matrix A heißt antisymmetrisch, wenn gilt a ij = a ji i, j. Insbesondere gilt hier a ii = 0 Die Matrix B = A ist die Adjungierte von A, wenn gilt b ij = (a ji ) Die Matrix H heißt hermitesch, wenn sie gleich Ihrer Adjungierten ist (wenn sie also selbstadjungiert ist). Dann gilt h ij = (h ji ) i, j Insbesondere gilt, dass die Diagonalelemente reell sind, also h ii = (h ii ). Wenn alle Matrixelemente reell sind, ist die Matrix sowohl hermitesch als auch symmetrisch. 1.3 Die Spur einer Matrix Slide 6 Die Spur einer Matrix Die Summe der Diagonalelemente a ii einer Matrix A heißt die Spur der Matrix A. T r(a) = N i=1 a ii die Spur der n-dimensionalen Einheitsmatrix ist gleich n: T r(e n ) = n 6

5 1.4 Matrixdeterminanten Slide 7 Determinanten I Es gibt N! verschiedene Permutationen der Zahlen 1, 2,... N Die Determinante einer N N-Matrix A ist eine Zahl, berechnet nach a a 1N det(a) = A =.. a N1... a NN = N! i=1 ( 1) p i P i a 11 a a NN P i ist ein Permutationsoperator, der die Spaltenindizes vertauscht. Die Summe läuft über alle N! Permutationen. Slide 8 Determinanten II N! deta = ( 1) p i P i a 11 a a NN i=1 p i ist die Zahl der Transpositionen (Vertauschungen), die zur Wiederherstellung der Diagonalform notwendig sind. Es ist nur wichtig, ob die Zahl der Transpositionen gerade oder ungerade ist. Slide 9 7

6 Determinanten von 1 1 und 2 2-Matrizen ( ) a11 a Sei A = 12 a 21 a 22 Es gibt 2 Permutationen der Zeilenindizes 1 2 (p 1 = 0) 2 1 (p 1 = 1) Nach der Definition ist also a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1) 0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 Die Determinante einer 1 1-Matrix ist das Matrixelement a 11 det(a 11 ) = a 11 Slide Determinanten Entwicklungssatz a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 +a 12 a 31 a 23 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 31 a 22 Die 2 2-Determinante, die sich durch Streichen der i. Reihe und j. Spalte einer Determinante ergibt, heißt Minore oder Unterdeterminante M ij Der Cofaktor C ij (oft auch ã ij ) ist definiert als C ij = ( 1) i+j M ij Slide 11 8

7 Determinanten gößerer Matrizen Verallgemeinerung: (n 1) (n 1)-Unterdeterminanten M ij entstehen durch Streichen der i. Reihe und j. Spalte einer n n-determinante Verallgemeinerung des Entwicklungssatzes a a 1N N det(a) =.. = a kl C kl = a N1... a NN l=1 N a lk C lk l=1 Entwicklung nach beliebigen Zeilen oder Spalten möglich jede der n verschiedenen (n 1) (n 1)-Determinanten kann dann (rekursiv) wieder nach dem Entwicklungssatz berechnet werden, bis zur Ordnung 2 (oder 1). Slide 12 Eigenschaften von Determinanten det(a T ) = det(a) det(a ) = det(a) det(a B) = det(a) detb det A = 0, wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich 0 sind Vertauschen von zwei Reihen (Spalten) ändert das Vorzeichen der Determinante det A = 0, wenn zwei Reihen (Spalten) identisch sind Der Wert der Determinante bleibt unverändert, wenn man ein beliebiges Vielfaches einer Reihe (Spalte) zu einer anderen Reihe (Spalte) addiert. die Determinanten einer Diagonalmatrix oder einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix sind gleich dem Produkt der Diagonalelemente! 1.5 Inverse Matrizen Slide 13 9

8 Inverse Matrix I Die Matrix B = A 1 heißt die Linksinverse von A, wenn gilt. A 1 A = E Analog heißt die Matrix C = A 1 die Rechtsinverse von A, wenn gilt. A A 1 = E Für quadratische Matrizen sind die Rechts- und die Linksinverse gleich und heißt die Inverse Matrix von A A A 1 = A 1 A = E Hermitesche Matrizen haben (i.d.r.) eine Inverse. Slide 14 Inverse Matrix II Für nichtquadratische Matrizen sind Rechtsinverse A R 1 und Linksinverse A L 1 nicht gleich. Wenn A eine n m-matrix ist, dann ist 1 A L A = E m Einheitsmatrix der Ordnung m 1 A A R = E n Einheitsmatrix der Ordnung n Beispiel Slide 15 10

9 Inverse einer 2 2-Matrix ( a11 a Gegeben sei eine 2 2-Matrix A mit A = 12 a 21 a 22 Dann ist die Inverse A 1 gegeben durch ( A 1 1 a22 a = 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 ) ) Die Inverse existiert also genau dann, wenn det(a) 0 ist. Dies kann auf beliebig große quadratische Matrizen verallgemeinert werden. Slide 16 Orthogonale und Unitäre Matrizen Eine Matrix O heißt orthogonal, wenn ihre Transponierte gleich ihrer Inversen O T = O 1 ist, also O O T = E Eine Matrix U heißt unitär, wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Inversen U = U 1 ist, also U U = E Beachte: Aufgrund der Definition sind symmetrische, antisymmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen notwendigerweise quadratisch!. 1.6 Eigenwerte und Eigenvektoren Slide 17 11

10 Matrixeigenwertgleichungen I Multipliziert man einen Spaltenvektor von links mit einer quadratischen Matrix, so erhält man wieder einen Spaltenvektor. Multipliziert man einen Zeilenvektor von rechts mit einer quadratischen Matrix, so erhält man wieder einen Zeilenvektor. a 11 a a 1n c 1 a 21 a a 2n c 2 A =.... und c = seien eine quadratische n n-matrix bzw. ein n-dimensionaler Spaltenvektor. λ sei ein... a n1 a n2... a nn c n Skalar (=Zahl). Slide 18 Matrixeigenwertgleichungen II Wenn c die Gleichung A c = λ c oder (A λe) c = 0 erfüllt, dann heißt c Eigenvektor von A, und λ heißt der dazugehörige Eigenwert von A. Eine solche Matrixeigenwertgleichung ist äquivalent zu einem gekoppelten homogenen linearen Gleichungssystem aus n Gleichungen (a 11 λ)c 1 +a 12 c a 1n c n = 0 a 21 c 1 +(a 22 λ)c a 2n c n = = 0 a n1 c 1 +a n2 c (a nn λ)c n = 0 Slide 19 12

11 Matrixeigenwertgleichungen III nichttriviale Lösungen der Matrixeigenwertgleichung existieren nur, wenn A c = λ c = λe c det(a λe) = 0 ( ) ( ) heißt die charakteristische Gleichung (oder das charakteristische Polynom) der Matrix A. Das charakteristische Polynom hat n Wurzeln für λ i. Einige der Wurzeln können gleich sein. Die Eigenwerte heißen dann entartet. Slide 20 Eigenwerte und Eigenvektoren Ist A diagonal, so sind die Wurzeln λ i = a ii, da det(a λe) = (a 11 λ) (a 22 λ)... (a nn λ) Eigenvektoren können durch Multiplikation mit einer Konstante normiert werden. Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind reell. Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten λ 1 und λ 2 sind orthogonal, d.h. c 1 c 2 = 0 Für Eigenvektoren, die zu zwei entarteten Eigenwerten (also λ 1 = λ 2 ) gehören, lassen sich immer 2 zueinander orthogonale Linearkombinationen der Eigenvektoren konstruieren! Slide 21 13

12 Der n-dimensionale Vektorrraum eine n n-matrix hat also n Eigenvektoren, die alle zueinander orthogonal sind. Man sagt, dass die n Eigenvektoren einen n-dimensionalen (Vektor)Raum aufspannen. Jeder Vektor in diesem Raum kann durch eine Linearkombination der Eigenvektoren ausgedrückt werden. Die Eigenvektoren sind ein vollständiger Satz von Basisvektoren Beispiel 1.7 Beispiele Inverse einer Rechtecksmatrix Slide 22 Inverse einer Rechtecksmatrix I Betrachte die 1 2 Matrix A = ( 1 2 ) Eine Rechtsinverse ist offensichtlich A R 1 = ( 1 0 denn A A R 1 = = 1 = E 1. Eine andere Rechtsinverse ist offensichtlich ( ) A R 1 0 = 0.5 denn A A R 1 = = 1 = E 1 ) Slide 23 14

13 Inverse einer Rechtecksmatrix II die Matrix A hat offensichtlich keine Linksinverse, denn es müsste gelten: (a 1 L ) 11 a 11 = (a 1 L ) 11 1 (a 1 L ) 21 a 11 = (a 1 L ) 21 1 (a 1 L ) 11 a 12 = (a 1 L ) 11 2 (a 1 L ) 21 a 12 = (a 1 L ) 21 2! = 1 = e 11! = 0 = e 21! = 0 = e 12! = 1 = e 22 Zurück Eigenwerte einer 3 3-Matrix Slide 24 Eigenwerte einer 3 3-Matrix Beispielmatrix: A = Die Matrix ist diagonal. Die Eigenwertgleichung lautet: A c (i) = λ i c (i) für i = 1, 2, 3 Es gibt also 3 verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren. 1 λ 0 0 Die charakteristische Gleichung lautet 0 2 λ λ = 0 Die Wurzeln lauten: λ 1 = 1, λ 2 = 2 und λ 3 = 3. Wie erhält man nun aus den Eigenwerten die Eigenvektoren? Slide 25 15

14 Eigenvektoren einer 3 3-Matrix Man setzt für jeden Eigenvektor separat den entsprechenden Eigenwert in die Eigenwertgleichung ein. also, für i = c (1) = Das dazugehörige Gleichungssystem lautet: c (1) 1 c (1) 2 c (1) 3 1c (1) 1 +0c (1) 2 +0c (1) 3 = 1c (1) 1 0c (1) 1 +2c (1) 2 +0c (1) 3 = 1c (1) 2 0c (1) 1 +0c (1) 2 +3c (1) 3 = 1c (1) 3 = 1 c (1) 1 c (1) 2 c (1) 3 Die offensichtliche Lösung lautet: c (1) 1 ist beliebig, c (1) 2 = c (1) 3 = 0. Slide 26 Eigenvektoren Wählen wir c (1) 1 = 1, erhält man den normierten Eigenvektor c (1) = Analog erhält man für λ 2 = 2 den Eigenvektor c (2) = und für λ 3 = 3 erhält man c (3) = 0 1 Die drei Vektoren sind orthogonal und spannen den gesamten dreidimensionalen Raum auf! Zurück 16

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra 22 3.1 Einführung.......................... 22 3.2 Matrizen und Vektoren.................... 23 3.3 Spezielle Matrizen...................... 24

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER

Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL THEORETISCHE CHEMIE Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen............................. 5 1.1 Einführung............................

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21 5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11

Mehr

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle 2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische

Mehr

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

mit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"

mit Skalarprodukt aus i-tem Zeilenvektor und j-tem Spaltenvektor Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante"

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =

MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T = MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr

Mehr

Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra

Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra { Oren Halvani, Jonathan Weinberger } TU Darmstadt 25. Juni 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Determinanten................................................

Mehr

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation . Inhaltsverzeichnis.............. Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1 Matrizen Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen 1.1 Was sind Matrizen 1.2 Arten von Matrizen Kapitel 2 Matrizenoperation

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben: Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise

Mehr

8.2 Invertierbare Matrizen

8.2 Invertierbare Matrizen 38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

36 2 Lineare Algebra

36 2 Lineare Algebra 6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so

Mehr

[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.

[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V. Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das

Mehr

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2 1. Formatbedingungen der Matrixoperationen Die Addition (Subtraktion) A ± B verlangt gleiches Format der Operanden A und B. Das Ergebnis hat das Format der Operanden. Skalarmultiplikation λa: Es gibt keine

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man

Mehr

3 Matrizen und Determinanten

3 Matrizen und Determinanten 31 Matrizen 311 Matrizen und Gleichungssysteme Grundlegende Begriffe der linearen Algebra und linearen Optimierung sind die Begriffe Matrix, Vektor, Determinante und lineares Gleichungssystem Beispiel

Mehr

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein

Mehr

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt 5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale

Mehr

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A 133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

Matrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).

Matrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K). Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen

Mehr

Serie 8: Fakultativer Online-Test

Serie 8: Fakultativer Online-Test Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung

Mehr

Lineare Algebra 1. . a n1 a n2 a n3 a nm

Lineare Algebra 1. . a n1 a n2 a n3 a nm Lineare Algebra 1 Lineare Algebra Hilfreiche Konzepte zur Vereinfachung der Darstellung und Berechnung stellt die lineare Algebra bereit. Auch wenn sie nur an wenigen Stellen des Buches verwendet wurden,

Mehr

Matrizen Definition: Typ einer Matrix

Matrizen Definition: Typ einer Matrix Matrizen Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und senkrecht verlaufenden Spalten. Verdeutlichung am Beispiel:

Mehr

Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler Fred Böker Institut für Statistik und Ökonometrie Georg-August-Universität Göttingen Platz der Göttinger Sieben 5 D-37073 Göttingen Tel 0551-394604

Mehr

6.3.2 Vektorprodukt. Bemerkung: Die Axiome des Skalarprodukts lauten mit drei Vektoren x, y und z und dem Skalarα: x x 0, insbesondere x x R

6.3.2 Vektorprodukt. Bemerkung: Die Axiome des Skalarprodukts lauten mit drei Vektoren x, y und z und dem Skalarα: x x 0, insbesondere x x R 63 Vektoroperationen Bemerkung: Die Axiome des Skalarprodukts lauten mit drei Vektoren x, y und z und dem Skalarα: x x 0, insbesondere x x R x x =0 x=0 komplex konjugiert αx y = {}}{ α x y x αy = α x y

Mehr

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

1 Matrizenrechnung zweiter Teil MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter

Mehr

(A T ) T = A. Eigenschaft:

(A T ) T = A. Eigenschaft: Elementare Matrizenrechnung m n-matrix von Zahlen A m n a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n rechteckige Tabelle m n Dimension der Matrix Sprechweise: m Kreuz n wobei m Anzahl Zeilen, n Anzahl Spalten a i,j Element

Mehr

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen KAPITEL III Lineare Algebra 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus I Matrizen Definition 121 Matrizen und der R n Es seien m,n 1 zwei positive ganze Zahlen a Eine m n-matrix über R ist ein rechteckiges Schema

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

8 Lineare Abbildungen und Matrizen

8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume

Mehr

Lineare Algebra Zusammenfassung

Lineare Algebra Zusammenfassung Lineare Algebra Zusammenfassung Gruppen, Körper, Vektorräume Gruppen Def.: Eine Gruppe (G, )besteht aus einer nicht-leeren Menge G und einer Verknüpfung zwischen Elementen dieser Gruppe. Folgende Eigenschaften

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α Mathematik 1 - Übungsblatt 7 Lösungshinweise Tipp: Verwenden Sie zur Kontrolle Scilab, wo immer es möglich ist. Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind

Mehr

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird, Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten

Mehr

Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri

Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 1.1 Einleitung............................. 1 1.2 Der Begriff Matrix........................ 1 1.2.1

Mehr

Mathematik 2 für ET. Vektoren in R n und C n. Addition von Vektoren Multiplikation von Vektor und Skalar. Der Nullvektor 0 =

Mathematik 2 für ET. Vektoren in R n und C n. Addition von Vektoren Multiplikation von Vektor und Skalar. Der Nullvektor 0 = Mathematik 2 für ET # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit Das Lernen mit Lernkarten funktioniert

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.

Mehr

Einführung in die Matrixalgebra

Einführung in die Matrixalgebra Einführung in die Matrixalgebra Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Bachelor S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor

Mehr

Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

Lineare Algebra. Teilgebiet der Mathematik zur Darstellung ökonomischer Probleme

Lineare Algebra. Teilgebiet der Mathematik zur Darstellung ökonomischer Probleme Lineare Algebra Teilgebiet der Mathematik zur Darstellung ökonomischer Probleme Mittels der zur Verfügung stehenden Methoden der Linearen Algebra lassen sich ökonomische Zusammenhänge beschreiben Teilgebiete

Mehr

LINEARE ALGEBRA FÜR ANALYSIS

LINEARE ALGEBRA FÜR ANALYSIS LINEARE ALGEBRA FÜR ANALYSIS ALBERTO S. CATTANEO Zusammenfassung. Eine Zusammenfassung der wichtigsten in der Analysis gebrauchten Grundbegriffe aus der linearen Algebra (speziell für diejenigen, die lineare

Mehr

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch. Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):

Mehr

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? 1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

Lineare Algebra - Zusammenfassung

Lineare Algebra - Zusammenfassung Lineare Algebra - Zusammenfassung Xiaojing George Zhang 15. Februar 2008 Zusammenfassung Eine Zusammenfassung basierend auf dem Skript Lineare Algebra für Ingenieure von Prof. H. Knörer und Lineare Algebra

Mehr

Ergänzung zum HM Tutorium

Ergänzung zum HM Tutorium Ergänzung zum HM Tutorium Patrik Hlobil Niko Kainaris Dieses Dokument erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Es stellt keine Vorlesungszusammenfassung dar, sondern soll euch lediglich

Mehr

Lineare Algebra Vordiplom Kurs

Lineare Algebra Vordiplom Kurs Lineare Algebra Vordiplom Kurs Gabriel Puebla-Hellmann 19. Juli 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 3 1.1 Lineare Gleichungssysteme...................... 3 1.2 Vektorräume.............................

Mehr

Quadratische Matrizen Inverse und Determinante

Quadratische Matrizen Inverse und Determinante Kapitel 2 Quadratische Matrizen Inverse und Determinante In diesem Abschnitt sei A M(n, n) stets eine quadratische n n Matrix. Für nicht-quadratische Matrizen ergeben die folgenden Betrachtungen keinen

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

Invertierbarkeit von Matrizen

Invertierbarkeit von Matrizen Invertierbarkeit von Matrizen Lineare Algebra I Kapitel 4 24. April 2013 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de

Mehr

Kapitel 17. Determinanten

Kapitel 17. Determinanten Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme.2 Determinanten 3 iii 2 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN KAPITEL

Mehr