Mathematik II für Bauwesen. Ivan Izmestiev

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1 Mathematik II für Bauwesen Ivan Izmestiev TU Darmstadt, SS 01

2 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 1 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Matrizen Lineare Gleichungssysteme Elementare Zeilenumformungen Gauß-Algorithmus Die Matrizenmultiplikation Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Zahl. 8. Die Matrizenmultiplikation Invertierbare Matrizen Die Transponierte einer Matrix Diagonal- und Dreiecksmatrizen Berechnung der inversen Matrix mit dem Gauß-Jordan- Verfahren Begründung des Gauß-Jordan-Verfahrens Vektorräume Linearkombinationen Der Rang einer Matrix Lineare Teilräume von R n Vektorraum: Definition Basis eines Vektorraums Dimension eines Vektorraums Basis und Dimension des Zeilenraums und des Kerns einer Matrix Der Basisauswahlsatz und der Basisergänzungssatz Zeilenrang = Spaltenrang Kriterien der Invertierbarkeit einer Matrix Lineare Algebra und Statik der Fachwerke Gleichgewichtsbelastungen Auflösen der Belastung durch Stabkräfte Statische Bestimmtheit, Dimension und Rang Beispiele von Ausnahmefachwerken Determinanten Die Determinante einer -Matrix Die Determinante einer 3 3-Matrix Die Determinante einer n n-matrix Rechenregeln für Determinanten Lineare Abbildungen und Eigenwerte i

3 6.1 Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Längentreue Abbildungen und orthogonale Matrizen Beispiele von linearen Abbildungen und Abbildungsmatrizen Abbildungsmatrix bezüglich einer beliebigen Basis Basiswechsel Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Transformation Diagonalisierbare Matrizen Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen Quadratische Formen Die Hauptachsentransformation Quadriken Positiv definite Matrizen Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation 79 1 Grundlagen Reellwertige und vektorwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher Der Graph, Niveaumengen und partielle Funktionen Teilmengen von R n Grenzwerte und Stetigkeit Differentiation Partielle Ableitungen und der Gradient Differenzierbarkeit und lineare Approximation Die Richtungsableitung Die Kettenregel für reellwertige Funktionen Anwendungen der Differentiation Die Bedeutung des Gradienten Approximation höherer Ordnung: die Taylor-Formel Lokale Minima und Maxima Globale Minima und Maxima Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Vektorwertige Funktionen Die Differentiation und die Jacobi-Matrix Die Kettenregel Skalaren- und Vektorfelder Divergenz, Rotation, Laplace-Operator Funktionen in mehreren Variablen: Integration Parameterintegrale Integration über ebene Bereiche Der Flächeninhalt Definition und Berechnung des Doppelintegrals Anwendungen des Doppelintegrals Die Transformationsformel für Gebietsintegrale Kurvenintegrale Definition ii

4 3. Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve Das Potential eines Gradientenfeldes Der Satz von Green und der ebene Satz von Gauß Integration über Flächen im Raum Reguläre Flächen Berechnung des Flächeninhaltes Das Oberflächenintegral Der Divergenzsatz von Gauss iii

5 iv

6 Kapitel 1 Lineare Algebra 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1.1 Matrizen Eine Matrix vom Typ m n ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten: a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a m1 a m a mn Man beachte: die Zahl a ij steht auf der Kreuzung der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte. Abkürzende Schreibweise für eine m n Matrix mit den Einträgen a ij : A = (a ij ) m n Ein Vektor v = (v 1, v,..., v n ) kann als eine 1 n Matrix gesehen werden (Zeilenvektor) oder, in der Spaltenschreibweise für Vektoren als eine n 1 Matrix. v 1 v v =. v n 1. Lineare Gleichungssysteme Betrachten wir ein lineares Gleichungssystem (LGS) aus m Gleichungen für n Unbekannte: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b (1.1) a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m 1

7 Die komplette Information über das Gleichungssystem ist in ihrer erweiterten Koeffizientenmatrix enthalten: a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b a m1 a m a mn b m Daher können die Matrizen als bequeme Schreibweise bei der Lösung der LGS benutzt werden. Zuerst aber noch Einiges über die linearen Gleichungssysteme. Ein LGS heißt homogen, wenn alle Zahlen b i auf der rechten Seite gleich Null sind, und andernfalls inhomogen. 3x 1 + x = 0 3x 1 + x = 1 3x 1 + x = 0 3x 1 + x = 5 homogen inhomogen Ein homogenes LGS hat immer mindestens eine Lösung, nämlich die Nulllösung x 1 = x = = x n = 0. Es gibt inhomogene Systeme, die keine Lösungen besitzen, z. B. 3x 1 + x = 1 3x 1 + x = Ein LGS kann auch unendlich viele Lösungen besitzen, z. B. 3x 1 + x = 1 (1.) Eine allgemeine Lösung von (1.) kann wie folgt beschrieben werden. Die Variable x darf einen beliebigen Wert λ R annehmen, und x 1 kann daraus berechnet werden: x = λ, x 1 = 1 (1 λ) (1.3) 3 Dementsprechend heißt x unabhängige (oder freie) Variable, und x 1 heißt abhängige Variable. 1 Im Folgenden wollen wir einen Algorithmus beschreiben, der die Lösungen jedes LGS analog zu (1.3) darstellt. 1.3 Elementare Zeilenumformungen Betrachten wir die folgenden Umformungen eines LGS: 1) Vertauschung zweier Gleichungen. ) Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl α 0. 1 Welche Variable unabhängig ist, und welche nicht, hängt von unserem Lösungsweg ab. Im obigen Beispiel könnte man x 1 als unabhängige Variable wählen und x durch x 1 = λ ausdrücken.

8 3) Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Gleichung zu (bzw. von) einer anderen. Bei diesen Umformungen geht ein LGS in ein äquivalentes über, d. h. die Lösungsmenge ändert sich nicht. Beispiel 1.1. Auf das LGS 3x 1 + x = 1 3x 1 + x = 5 wird die dritte Elementarumformung angewendet: von der zweiten Zeile wird die erste subtrahiert: 3x 1 + x = 1 3x 1 + x = 1 3x 1 + x = 5 x = 4 In der Matrizensprache ausgedrückt, entsprechen die obigen Operationen den elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix. Wir bezeichnen mit Z i die i-te Zeile der Matrix und benutzen die folgenden Abkürzungen für diese Operationen: 1) Vertauschung zweier Zeilen Z i Z j ) Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl α 0 Z i αz i 3) Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Zeile zu (bzw. von) einer anderen Z i Z i + αz j 1.4 Gauß-Algorithmus (zu Z i wird αz j addiert) Mit dem Gauß-Algorithmus (auch als Gaußsches Eliminationsverfahren bekannt) wird ein LGS in eine einfache Form gebracht, aus welcher die Lösungen leicht ermittelt werden können. Gauß-Algorithmus für ein homogenes LGS Da alle b i = 0 sind, reicht es, die einfache Koeffizientenmatrix zu behandeln: a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a m1 a m a mn Der Gauß-Algorithmus besteht aus zwei Teilen: a) die Vorwärtselimination; b) die Rückwärtssubstitution. 3

9 Die Vorwärtselimination Wenn a 11 0 ist, dann multiplizieren wir die erste Zeile: Z 1 1 a 11 Z 1, sodass die Matrix die folgende Form annimmt: (1.4) (Das -Zeichen steht für eine beliebige Zahl.) Wenn a 11 = 0 ist, dann suchen wir eine Zeile, wo die erste Zahl 0 ist und tauschen sie mit der ersten Zeile um: Z 1 Z i. Nach der Division der (neuen) ersten Zeile durch ihren ersten Eintrag nimmt die Matrix die Form (1.4) an. Nun eliminieren wir alle übrigen Koeffizienten in der ersten Spalte dadurch, dass wir von allen Zeilen ein Vielfaches der ersten Zeile subtrahieren (bzw. dazu addieren): Z i Z i + α i Z 1 mit geeigneten α i. Die Matrix sieht danach aus wie (1.5) Damit ist der erste Eliminationsschritt vollendet. Die erste Zeile können wir jetzt außer Acht lassen, sie wird nicht mehr angerührt. Beim zweiten Eliminationsschritt ist Folgendes möglich. Die Zahl an der Stelle (, ) (-te Zeile, -te Spalte) ist 0. Dann machen wir daraus 1: Z 1 a Z und eliminieren alle darunter stehenden Zahlen: Z i Z i + α i Z. Die Matrix wird zu (1.6) Die Zahl an der Stelle (, ) ist gleich Null, in der Spalte darunter gibt es eine Zahl 0. Wir tauschen die Zeilen: Z Z i, multiplizieren die zweite: Z 1 a Z, eliminieren: Z i Z i + α i Z, und die Matrix nimmt die Form (1.6) an. Die Zahl an der Stelle (, ) ist gleich Null, sowie alle Zahlen darunter. In diesem Fall verlassen wir die zweite Spalte und bearbeiten die dritte nach demselben Muster. Wenn es in der dritten Spalte eine Zahl 0 gibt, dann nimmt die Matrix nach der Elimination die folgende Form an

10 Nach höchstens m 1 Eliminationsschritten gelangen wir zu einer Matrix in der Zeilenstufenform, wie zum Beispiel (1.7) Bemerkung 1.. Ein Eliminationsschritt kann in drei Teile unterteilt werden: Eliminator suchen (eine Zahl 0 in der aktuellen Spalte) und nach oben bringen; normieren (die Zeile multiplizieren, so dass Eliminator = 1 wird); eliminieren. Bei einer Variante des Algorithmus wird der zweite Schritt ausgelassen. Die Matrix wird dann in die folgende Form gebracht: wobei für eine Zahl 0 steht. Diese Form darf ebenfalls Zeilenstufenform genannt werden. Die Rückwärtssubstitution Das wird auf einem Beispiel erläutert. Es sei durch die Vorwärtselimination die folgende Matrix entstanden: Das entsprechende Gleichungssystem ist x 1 x + 3x 3 + 4x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 4 4x 5 = 0 x 4 + 3x 5 = 0 Die Variablen x 1, x 3, x 4 erklären wir zu den abhängigen. Den unabhängigen Variablen x und x 5 schreiben wir beliebige Werte zu: x = λ 1, x 5 = λ und bringen sie auf die rechten Seiten der Gleichungen: x 1 + 3x 3 + 4x 4 = λ 1 λ x 3 + x 4 = 4λ x 4 = 3λ Jetzt erfolgt die Rückwärtssubstitution. Die letzte Gleichung drückt x 4 durch λ aus, das Einsetzen in die zweite Gleichung drückt x 3 durch λ, und schließlich das Einsetzen in die erste Gleichung drückt x 1 durch λ 1 und λ aus: x 4 = 3λ, x 3 = 0.5λ, x 1 = λ λ 5

11 Die allgemeine Lösung kann wie folgt aufgeschrieben werden: x 1 λ λ x x 3 x 4 = λ 1 0.5λ 3λ x 5 λ Das Prinzip der Rückwärtssubstitution: Die Spalten mit -Zeichen entsprechen den abhängigen Variablen. Die unabhängigen Variablen (also die aus den Spalten ohne -Zeichen) werden auf die rechten Seiten der Gleichungen gebracht, und werden gleich λ 1, λ,... gesetzt. Das entstandene Gleichungssystem wird durch Einsetzen von unten nach oben gelöst. Beispiel 1.3. Lösen wir das LGS x 1 4x + x 3 = 0 x 1 3x x 3 5x 4 = 0 3x 1 7x + x 3 5x 4 = 0 x x 3 x 4 = 0 Mit der Elimination bringen wir die Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform: Die Unbekannten x 3 und x 4 sind frei: x 3 = λ 1, x 4 = λ. Wir bringen sie auf die rechte Seite und erhalten das Gleichungssystem x 1 4x = λ 1 x = λ 1 + λ Daraus errechnen wir x 1 und schreiben die allgemeine Lösung auf: x 1 x x 3 = x 4 λ 1 + 4λ λ 1 + λ λ 1 λ 6

12 Gauß-Algorithmus für ein inhomogenes LGS In diesem Fall besteht der Gauß-Algorithmus aus drei Teilen: a) die Vorwärtselimination; b) die Lösbarkeitsentscheidung; c) die Rückwärtssubstitution. Die Vorwärtselimination Die erweiterte Koeffizientenmatrix wird in Zeilenstufenform gebracht, bis auf die letzte Spalte: c c c c c c 6 Die Lösbarkeitsentscheidung Ist eine der Zahlen c 5, c 6 im obigen Beispiel von Null verschieden, so entspricht diese Zeile einer Gleichung 0 = c i, die keine Lösung besitzt. Gilt c 5 = c 6 = 0, so berechnen wir die Lösungen mittels Rückwärtssubstitution Das funktioniert genau so wie im homogenen Fall: die freien Variablen werden auf die rechte Seite gebracht, zu den c i ; die Ausdrücke für die abhängigen Variablen werden von unten nach oben durch Einsetzen ermittelt. Beispiel 1.4. Bei welchem Wert von c schneiden sich die drei Ebenen in R 3 : x y z = 3, x 5y + z =, 4x 9y = c? Wie sieht bei diesem c die Schnittmenge aus? Lösung. Der Schnitt dieser Ebenen ist die Lösungsmenge des LGS x y z = 3 x 5y + z = 4x 9y Mit der Elimination bringen wir die erweiterte Matrix des Systems in Zeilenstufenform: c c c 8 Bei c 8 besitzt das System keine Lösungen, d. h. die Ebenen schneiden sich nicht. Bei c = 8 setzen wir z = λ (die freie Variable) und erhalten das System = c x y = λ + 3 y = 4λ 4 7

13 Die Substitution ergibt y = 4λ + 4, x = 9λ + 11 Die allgemeine Lösung: x 9λ y = 4λ + 4 = 4 + λ 4 z λ 0 1 Das heißt, bei c = 8 ist die Schnittmenge der Ebenen die Gerade mit Aufpunkt (11, 4, 0) und Richtungsvektor (9, 4, 1). Die Matrizenmultiplikation.1 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Zahl Seien A = (a ij ) m n und B = (b ij ) m n zwei m n Matrizen. Ihre Summe A+B ist definiert als a 11 a 1 a 1n b 11 b 1 b 1n a 1 a a n + b 1 b b n = a m1 a m a mn b m1 b m b mn a 11 + b 11 a 1 + b 1 a 1n + b 1n = a 1 + b 1 a + b a n + b n a m1 + b m1 a m + b m a mn + b mn Für jede reelle Zahl λ R ist das Produkt λa definiert als a 11 a 1 a 1n λa 11 λa 1 λa 1n λ a 1 a a n = λa 1 λa λa n a m1 a m a mn λa m1 λa m λa mn Für die n 1 Matrizen und die 1 n Matrizen sind es die üblichen Operationen mit den Spaltenvektoren, beziehungsweise Zeilenvektoren: a 1 b 1 a 1 + b 1 a 1 λa 1 a. + b. = a + b a λ = λa a n b n. a n + b n. a n. λa n (a 1, a,..., a n ) + (b 1, b,..., b n ) = (a 1 + b 1, a + b,..., a n + b n ) λ(a 1, a,..., a n ) = (λa 1, λa,..., λa n ) Das Produkt einer Matrix A mit 1 wird mit A bezeichnet: a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a m1 a m a mn 8

14 Die Differenz zweier Matrizen wird definiert als: Die Nullmatrix A B := A + ( B) = (a ij b ij ) m n 0 := spielt dieselbe Rolle, wie 0 bei den reellen Zahlen: es gilt A + 0 = A, wobei A eine beliebige m n Matrix ist, und 0 die m n Nullmatrix.. Die Matrizenmultiplikation Zeile mal Spalte Es seien b 1 b a = (a 1, a,..., a n ), b =. ein Zeilenvektor und ein Spaltenvektor der gleichen Länge (Höhe). Ihr Produkt wird definiert als b 1 b (a 1, a,..., a n ). := a 1b 1 + a b + a n b n b n Bemerkung.1. Bei n = und n = 3 erkennt man hier das Skalarprodukt in R, bzw. in R 3. Beispiel (, 3, 0, 5, 1) 4 1 = = 8 0 Jetzt können wir das Produkt zweier Matrizen definieren. Definition.3. Es seien b n A = (a ij ) m n und B = (b ij ) n p eine m n und eine n p Matrix. Das Produkt C = AB ist eine m p Matrix definiert durch C = (c ij ) m p, c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj 9

15 In Worten: Um die Zahl in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von AB zu berechnen, multipliziert man die i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von B. Beispiel.4. ( ) 1 0 ( ) = Insbesondere, die zweite Zeile von A mal die erste Spalte von B ergibt = 14, die Zahl in der zweiten Zeile, ersten Spalte von AB: ( ) 1 0 ( ) = Beachte: AB ist nur erklärt wenn die Zeilen von A dieselbe Länge haben, wie die Spalten von B. Das Produkt ( ) ( ) ist nicht definiert! Beispiel.5. Für die Matrizen A = ( 1 ) B = kann man die Produkte AB und BA bilden: ( ) 1 0 AB = 0 ( ) = ( ) BA = = Beispiel.6. Wenn man eine n 1 Matrix (Spaltenvektor) mit einer 1 n Matrix (Zeilenvektor) multipliziert, dann erhält man eine n n Matrix: 1 ( 1 3 ) = Matrizenmultiplikation und lineare Gleichungssysteme Sei A eine m n-matrix, und sei x R n ein Spaltenvektor der Höhe n. Das Produkt Ax ist dann ein Spaltenvektor der Höhe m, und zwar: a 11 a 1 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n a 1 a a n x. = a 1 x 1 + a x + + a n x n. a m1 a m a mn x n a m1 x 1 + a m x + + a mn x n 10

16 Darin erkennen wir die linken Seiten des linearen Gleichungssystems aus dem Abschnitt 1.. Und zwar, ein LGS mit Koeffizientenmatrix A kann als Ax = b aufgeschrieben werden, wobei b R m ein Spaltenvektor ist. Rechenregeln Definition.7. Die Matrix E n := heißt n n-einheitsmatrix. Satz 1. Für alle m n-matrizen A, A 1, A, n p-matrizen B, B 1, B und jede p q Matrix C gilt: a) (A 1 + A )B = A 1 B + A B, A(B 1 + B ) = AB 1 + AB b) (AB)C = A(BC) c) E m A = A = AE n d) Im Allgemeinen, AB BA. Man sagt dafür, die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Beweis. a) ist klar und kann einfach nachgerechnet werden. b), mit etwas mehr Mühe, auch. Zum c): um das (i, j)-element im Produkt E m A zu berechnen, multiplizieren wir die i-te Zeile von E m mit der j-ten Spalte von A. In der i-ten Zeile von E m steht 1 auf der i-ten Stelle, alle anderen Elemente sind 0. Das Auflegen der i-ten Zeile von E m auf die j-te Spalte von A wählt also das i-te Element aus dieser Spalte, und das ist a ij. Das zeigt E m A = A. Analog wird AE n = A bewiesen Für d) genügt es, ein Gegenbeispiel zu geben. Es sei Dann gilt A = AB = ( ) ( ) B = BA = ( ) ( ) (1.8) Beachte außerdem, dass für eine m n-matrix A und eine n p-matrix B das Produkt BA nur dann definiert ist, wenn m = p gilt. Bemerkung.8. Auf den Matrizen (1.8) kann man weitere Unterschiede zwischen der Matrizenmultiplikation und der Multiplikation reeller Zahlen demonstrieren: Es gilt AB = 0, während A 0 und B 0. Es gilt A = 0, während A 0. Es gilt BA = A, während B E und A 0. 11

17 .3 Invertierbare Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische n n-matrizen und bezeichnen E := E n. Definition.9. Eine n n-matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n n- Matrix B gibt, so dass AB = E = BA In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, wird mit A 1 bezeichnet, und heißt inverse Matrix von A. Beweisen wir die Eindeutigkeit der Inversen: Lemma 1. Gilt AB = E = BA und AC = E = CA, so gilt B = C. Beweis. Einerseits gilt BAC = (BA)C = EC = C Andererseits, BAC = B(AC) = BE = B Folglich, B = C. ( ) a b Lemma. Sei A = mit ad bc 0. Dann ist A invertierbar, und c d zwar ( ) A 1 1 d b = ad bc c a Beweis. Setze B := 1 ad bc ( d b c a ( ) ( ) 1 a b d b AB = = ad bc c d c a ( ) ( ) 1 d b a b BA = = ad bc c a c d ). Dann gilt 1 ( ad bc 0 ad bc 0 ad bc 1 ad bc ( ad bc 0 0 ad bc ) = E ) = E Bemerkung.10. Wie wir später feststellen werden, sind -Matrizen mit ad bc = 0 nicht invertierbar. Dies ist noch ein Unterschied zu reellen Zahlen, wo nur die Null keine Inverse besitzt. Bald werden wir auch sehen, dass aus BA = E auch AB = E folgt (allerdings unter der Voraussetzung, dass A und B quadratische Matrizen sind!). Das heißt, um festzustellen, dass B die Inverse zu A ist, genügt es nur eine der Gleichungen AB = E, BA = E zu überprüfen. 1

18 Rechenregeln Satz. a) Die Inverse einer invertierbarer Matrix ist invertierbar, und zwar (A 1 ) 1 = A. b) Das Produkt zweier invertierbaren Matrizen ist ebenfalls invertierbar, und zwar: (AB) 1 = B 1 A 1 (1.9) Beweis. Zum a): sei A invertierbar, bezeichne A 1 mit B. Per Definition AB = E = BA. Diese zwei Gleichungen können nach derselben Definition auch als A = B 1 interpretiert werden. Also gilt A = (A 1 ) 1. b) wird durch Umformen bewiesen: (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AEA 1 = AA 1 = E (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 EB = B 1 B = E Bemerkung.11. Der Grund, warum (AB) 1 = A 1 B 1 nicht immer gilt, liegt darin, dass die Matrizenmultiplikation nichtkommutativ ist. Die folgende Erklärung von AB BA und von (1.9) sieht als Witz aus, hat aber einen wahren Kern: Sei A = Socke anziehen, B = Schuh anziehen. Dann Außerdem gilt AB = erst die Socke anziehen, dann den Schuh BA = erst den Schuh anziehen, dann die Socke AB (AB) 1 = AB rückgängig machen = erst den Schuh ausziehen, dann die Socke = B 1 A 1.4 Die Transponierte einer Matrix Jeder m n-matrix A ist die n m-matrix A zugeordnet, die durch Spiegelung von A in der Geraden durch die Elemente (a ii ) entsteht. Definition.1. Die Transponierte von A = (a ij ) m n ist die Matrix B = (b ij ) n m mit b ij = a ji. Nochmal anders augedrückt, aus den Zeilen von A werden Spalten von A. Beispiel.13. ( ) = (x 4 5 1, x,..., x n ) = 6 5 Aus dem Buch von Coxeter Introduction to Geometry. Was die Socken..., nein, was die Matrizen mit Geometrie zu tun haben, wird in einem der folgenden Abschnitte erklärt. x 1 x. x n 13

19 Man benutzt (x 1, x,..., x n ) häufig als platzsparende Schreibweise für Spaltenvektoren. Zum Beispiel, das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren x = (x 1, x,..., x n ) und y = (y 1, y,..., y n ) kann wie folgt geschrieben werden: x, y = i x i y i = x y Rechenregeln Satz 3. Für alle λ R, alle m n-matrizen A, A 1, A und n p Matrizen B gilt a) (A 1 + A ) = A 1 + A, (λa) = λa b) (A ) = A c) (AB) = B A Beweis. Punkte a) und b) sind klar. Zum c): Man bemerke, dass (AB) = A B kann schon deswegen nicht wahr sein, weil A eine n m-, und B eine p n-matrix ist, und sie können in dieser Reihenfolge nicht multipliziert werden, wenn m p ist. Um (AB) = B A zu beweisen, bezeichnen wir mit Z i = (a i1, a i,..., a in ) die i-te Zeile von A, und mit S j die j-te Spalte von B: Z 1 Z A =., B = ( ) S 1, S,..., S p Z m Nach dem Multiplikationsgesetz, Z 1 S 1 Z 1 S... Z 1 S p AB = Z S 1 Z S... Z S p Z m S 1 Z m S... Z m S p Andererseits, S 1 A = ( Z1, Z,..., Zm), B S =. (aus Zeilen von A werden Spalten von A, und aus Spalten von B Zeilen von B ), und folglich S1 Z1 S1 Z... S1 Zm B A = S Z1 S Z... S Zm Sp Z1 Sp Z... Sp Zm Wegen Z i S j = S j Z i folgt (AB) = B A. S p 14

20 Satz 4. Ist A eine invertierbare n n-matrix, so ist A ebenfalls invertierbar, und es gilt (A ) 1 = (A 1 ) Beweis. Aus A (A 1 ) = (A 1 A) = E = E und (A 1 ) A = (AA 1 ) = E = E folgt, dass (A 1 ) die zu A Inverse ist. Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen Definition.14. Eine n n-matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A gilt, und schiefsymmetrisch falls A = A. Mit anderen Worten, A symmetrisch a ij = a ji für alle i, j A schiefsymmetrisch a ij = a ij für alle i, j Insbesondere, bei i = j gilt a ii = a ii, und folglich a ii = 0: alle Diagonalelemente einer schiefsymmetrischen Matrix sind gleich Null Beispiel symmetrisch schiefsymmetrisch.5 Diagonal- und Dreiecksmatrizen Hier betrachten wir nur quadratische Matrizen. Definition.16. Eine n n-matrix wird Diagonalmatrix genannt, wenn alle ihre Elemente außerhalb der Diagonale gleich Null sind: A ist eine Diagonalmatrix a ij = 0 bei i j Für Diagonalmatrizen wird die folgende Bezeichnung benutzt: α Diag(α 1, α,..., α n ) := 0 α α n Diagonalmatrizen sind besonders leicht miteinander zu multiplizieren: Diag(α 1, α,..., α n ) Diag(β 1, β,..., β n ) = Diag(α 1 β 1, α β,..., α n β n ) Sind alle α i 0, dann ist die zugehörige Diagonalmatrix invertierbar, und es gilt ( ) 1 Diag(α 1, α,..., α n ) = Diag,,..., α 1 α α n 15

21 Definition.17. Eine n n-matrix wird obere, bzw. untere Dreiecksmatrix genannt, wenn alle ihre Elemente unterhalb, bzw. oberhalb der Diagonale gleich Null sind: A ist eine obere Dreiecksmatrix a ij = 0 bei i j A ist eine untere Dreiecksmatrix a ij = 0 bei i j Beispiel obere Dreiecksmatrix untere Dreiecksmatrix Lemma 3. Das Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen ist eine obere Dreiecksmatrix; das Produkt zweier unterer Dreiecksmatrizen ist eine untere Dreiecksmatrix. Beweis. Seien A und B obere Dreiecksmatrizen, sei C = AB. Es soll gezeigt werden, dass c ij = 0 bei i > j gilt. Per Definition, c ij = a i1 b 1j + a i b j a in b nj Es gilt aber a i1 = a i =... = a i,i 1 = 0 und b j+1,j =... = b nj = 0. Deswegen ist in jedem Produkt a ik b kj mindestens ein Faktor gleich Null. Also gilt c ij = 0. Anschaulich: beim Auflegen der i-ten Zeile von A auf die j-te Spalte von B überlappen sich die Abschnitte aus den Nullen (oder zumindest bedecken die ganze Spalte)..6 Berechnung der inversen Matrix mit dem Gauß-Jordan- Verfahren Durch elementare Zeilenumformungen kann man feststellen, ob eine gegebene n n-matrix A invertierbar ist, und gegebenenfalls die Inverse finden. Wir illustrieren das Verfahren auf zwei Beispielen: A 1 = A = Das Gauß-Jordan-Verfahren Als erstes bildet man die n n-matrix (A E): Vorwärtselimination In diesem Schritt wendet man auf die Matrix (A E) elementare Zeilenumformungen an, bis ihre linke Hälfte Zeilenstufenform annimmt: ( A E ) elementare ( S P ) (1.10) Zeilenumformungen 16

22 In unseren Beispielen sieht es wie folgt aus: Z Z + Z 1 Z Z + Z 1 ; Z 3 Z 3 + Z Z 3 Z 3 + Z Z Z Z 1 Z ; Z 3 1 Z Invertierbarkeitsentscheidung Enthält die Matrix S in (1.10) eine Null- Zeile, so ist die ursprüngliche Matrix A nicht invertierbar. Das ist der Fall mit der Matrix A 1 in unserem Beispiel. Enthält die Matrix S keine Null-Zeile, so ist sie eine obere Dreiecksmatrix mit allen Diagonalelementen gleich 1: 1. S = In diesem Fall ist die ursprüngliche Matrix A invertierbar, und wir gehen zum nächsten Schritt über. In diesem Schritt wird die linke Hälfte zur Einheits- Rückwärtssubstitution matrix umgeformt: ( S P ) elementare ( E B ) Zeilenumformungen Um dies zu erreichen, subtrahieren wir die Vielfachen der letzten Zeile aus den vorherigen Zeilen, so dass in der n-ten Spalte sich Nullen über 1 bilden; danach subtrahieren wir die Vielfachen der vorletzten Zeile aus allen vorherigen, 17

23 usw. Auf unserem Beispiel: Z 1 Z 1 + Z Z 1 Z 1 + Z Satz 5. Die beim Gauß-Jordan-Verfahren in der rechten Hälfte entstehende Matrix B: (A E) (S P ) (E B) ist die inverse Matrix von A: B = A 1 Diesen Satz beweisen wir im nächsten Abschnitt. Jetzt überzeugen wir uns, dass die Matrix in unserem Beispiel invers zu A ist: = = = Begründung des Gauß-Jordan-Verfahrens Um den Satz 5 zu beweisen, stellen wir eine Verbindung zwischen elementaren Zeilenumformungen und Matrizenmultiplikation her. Elementare Zeilenumformungen und Elementarmatrizen Definition.19. Eine n n-matrix Ẽ heißt Elementarmatrix, wenn sie aus der n n-matrix durch eine elementare Zeilenumformung hervorgeht. Wir sagen, Ẽ gehört zu dieser Umformung. Zum Beispiel: 18

24 gehört zur Vertauschung der ersten und der zweiten Zeilen; gehört zur Division der zweiten Zeile durch ; gehört zur Subtraktion des Zweifachen der dritten Zeile aus der ersten Lemma 4. Sei A eine n p-matrix. Entsteht à aus A durch eine elementare Zeilenumformung, so gilt à = ẼA mit der zugehörigen Elementarmatrix Ẽ. Beweis. Wir illustrieren es auf einem Beispiel: 1 0 a b a e c d = c e f e b f d f (Das Auflegen der ersten Zeile der Matrix Ẽ auf die Spalten von A subtrahiert aus der ersten Zeile die zweifache dritte; die zweite und die dritte Zeilen von Ẽ sind gleich denen der Einheitsmatrix, deswegen bleiben die zweite und die dritte Zeile von A erhalten.) Beweis des Satzes 5 Lemma 5. Für die beim Gauß-Jordan-Verfahren entstehende Matrix B: gilt BA = E. (A E) (E B) Beweis. Werden auf A elementare Zeilenumformungen angewendet, so transformiert sie sich gemäß A Ẽ1A ẼẼ1A Ẽ3ẼẼ1A... Dementsprechend sieht das Gauß-Jordan-Verfahren wie folgt aus: (A E) (Ẽ1A Ẽ 1 ) (ẼẼ1A Ẽ Ẽ 1 )... (E B) Es gilt also (s bezeichne die benötigte Anzahl der elementaren Zeilenumformungen): (Ẽs Ẽ1)A = E Ẽ s Ẽ1 = B (1.11) woraus folgt BA = E. Lemma 6. Sei B = Ẽs... Ẽ1 Produkt einer Anzahl der Elementarmatrizen. Dann ist B invertierbar. 19

25 Beweis. Jede Elementarmatrix ist invertierbar, weil jede elementare Zeilenumformung eine inverse hat. Zum Beispiel, die zu Z 1 Z 1 Z 3 inverse Umformung ist Z 1 + Z 3, und dementsprechend = E 3 = Ein Produkt invertierbarer Matrizen ist aber auch invertierbar, und zwar B 1 = (Ẽs... Ẽ1) 1 = Ẽ Ẽ 1 s Beweis des Satzes 5. Wir müssen zeigen, dass A invertierbar ist und A 1 = B gilt. Nach Lemma 5 gilt BA = E und nach Lemma 6 gibt es eine Matrix C, sodass CB = E = BC. Daraus folgt CBA = (CB)A = EA = A CBA = C(BA) = CE = C Folglich ist A die Inverse zu B, und das heißt, B ist die Inverse zu A (siehe Satz ). Begründung der Invertierbarkeitsentscheidung Wir haben gezeigt, dass beim Gauß-Jordan-Verfahren wirklich die inverse Matrix entsteht. Was noch unbegründet bleibt ist warum quadratische Matrizen, die in Zeilenstufenform eine Nullzeile enthalten, nicht invertierbar sind. Lemma 7. Sei S eine n n-matrix, die Nullzeile enthält. Dann ist S nicht invertierbar. Beweis. Wenn die i-te Zeile von S nur aus Nullen besteht, dann besteht auch die i-te Zeile von ST nur aus Nullen, für jede Matrix T. Deswegen kann ST nicht gleich der Einheitsmatrix sein, d. h. S ist nicht invertierbar. Lemma 8. Wenn nach der Vorwärtselimination (A E) (S P ) die Matrix S eine Nullzeile enthält, dann ist die Matrix A nicht invertierbar. Beweis. Bei der Vorwärtselimination wird die Matrix A von links mit Elementarmatrizen multipliziert: S = Ẽt ẼẼ1A = P A Die Matrix P, als Produkt von Elementarmatrizen, ist invertierbar. Wenn die Matrix A invertierbar wäre, dann wäre auch S = P A invertierbar. Nach dem vorherigen Lemma ist das nicht der Fall, also ist A nicht invertierbar. Korollar 1. Jede invertierbare Matrix kann als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt werden. Beweis. Wenn A invertierbar ist, dann kann ihre Inverse mit dem Gauß-Jordan- Verfahren berechnet werden. Bei diesem Verfahren entsteht die Inverse als Produkt von Elementarmatrizen, siehe (1.11). 0

26 Das Lösen der LGS mit dem Gauß-Jordan-Verfahren Der letzte Schritt des Gauß-Jordan-Verfahrens heißt Rückwärtssubstitution, genau wie beim Gauß-Verfahren zum Lösen eines LGS. In der Tat kann dieser Schritt auch beim Lösen eines LGS über Matrizen und nicht über lineare Gleichungen ausgeführt werden. Beim Lösen eines LGS mit dem Gauß-Jordan-Verfahren wird die erweiterte m (n + 1)-Matrix (A b) in die folgende Form gebracht: Im entsprechenden LGS kommt jede abhängige Variable nur einmal vor, und zwar an der -Stelle. Um die allgemeine Lösung zu erhalten, reicht es jetzt die unabhängigen Variablen in λ 1, λ,... umzubenennen und auf die rechte Seite zu bringen. Das Lösen der LGS mit Hilfe der inversen Matrix Besonders einfach sieht das Gauß-Jordan-Verfahren bei einem LGS aus n Gleichungen für n Unbekannten, dessen Matrix invertierbar ist. In diesem Fall entsteht am Ende die Matrix c c c n Das heißt, das System hat eine eindeutige Lösung x 1 = c 1, x = c,..., x n = c n. Diese Lösung kann wie folgt beschrieben werden. Satz 6. Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem aus n Gleichungen für n Unbekannten und einer invertierbaren Matrix A. Dann hat es eine eindeutige Lösung x = A 1 b Beweis. Multipliziere beide Seiten der Gleichung Ax = b mit der Matrix A 1 von links. 3 Vektorräume 3.1 Linearkombinationen Definition 3.1. Seien v 1, v,..., v k R n beliebige Vektoren, und seien α 1, α,..., α k R beliebige reelle Zahlen. Dann heißt α 1 v 1 + α v α k v k = 1 k α i v i i=1

27 Linearkombination der v i (mit Koeffizienten α i ). Beispiel 3.. v 1 + v 3v 3 ist eine Linearkombination von Vektoren v 1, v, v 3. Es seien v 1 = (1, 1, 1), v = (, 1, ), v 3 = (1, 1, 0). Dann gilt v 1 + v 3v 3 = = Man sagt, dass der Vektor (1, 0, 0) als Linearkombination von v 1, v, v 3 dargestellt werden kann. Beispiel 3.3. Jeder Vektor in R n kann als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden: bezeichne e 1 = (1, 0,..., 0) e = (0, 1,..., 0) e n = (0, 0,..., 1) Sei v = (x 1, x,..., x n ) beliebig. Dann gilt v = x 1 e 1 + x e + + x n e n Koeffizienten dieser Linearkombination sind also nichts anderes als die Komponenten des Vektors. Bei den elementaren Zeilenumformungen bilden man Linearkombinationen von Zeilen, wie z. B. Z i + αz j. Wir haben gesehen (Lemma 4), dass dies der Multiplikation von links mit einer Elementarmatrix entspricht. Allgemeiner gilt Lemma 9. Sei A eine m n-matrix, und sei P eine m m-matrix. Betrachten wir das Produkt A := P A Dann ist jede Zeile von A eine Linearkombination der Zeilen von A. Wenn die Matrix P invertierbar ist, dann ist auch jede Zeile von A eine Linearkombination der Zeilen von A. Beweis. Bezeichne mit Z i die i-te Zeile der Matrix A, mit Z i die i-te Zeile der Matrix A : Z 1 Z A =. Z m Dann gilt p 11 p 1 p 1m Z 1 P A = p 1 p p m Z. = p m1 p m p mm Z m Z 1 Z A =. Z m p 11 Z 1 + p 1 Z p 1m Z m p 1 Z 1 + p Z p m Z m p m1 Z 1 + p m Z p mm Z m

28 Also gilt Wenn P invertierbar ist, dann Z i = p i1 Z 1 + p i Z p im Z m A = P A A = P 1 A, woraus folgt, dass auch die Zeilen von A als Linearkombinationen von Zeilen von A dargestellt werden können. 3. Der Rang einer Matrix Definition 3.4. Sei A eine m n-matrix, und sei S eine Zeilenstufenmatrix, die aus A mittels Vorwärtselimination entsteht. Dann heißt die Anzahl der Nichtnullzeilen in S der Rang von A. Bezeichnung: Rang A. Die Definition gibt auch eine Anleitung zur Berechnung des Rangs von A: die Matrix soll in die Zeilenstufenform gebracht werden, die Anzahl der Nichtnullzeilen ist gleich dem Rang. Beispiel 3.5. Rang = (Zeilenumformung Z 3 Z 3 Z 1 bringt die Matrix in Zeilenstufenform) Rang = Rang = Eine Matrix hat Rang 0 genau dann, wenn alle ihre Einträge gleich Null sind. (Die Zeilenstufenmatrix S darf nur aus Nullzeilen bestehen, daraus folgt, dass in A alle Zeilen auch Nullzeilen sind.) Es gibt ein Problem mit der Definition 3.4. Bei der Vorwärtselimination muss man manchmal eine Wahl treffen, und zwar bei der Zeilenvertauschung, wo eine Zahl ungleich Null in einer Spalte gesucht wird. Und bei unterschiedlichen Wahlen kann man unterschiedliche Zeilenstufenmatrizen am Ende erhalten. Wir müssen zeigen, dass die Anzahl der Nichtnullzeilen in der Zeilenstufenmatrix S unabhängig davon ist, durch welche elementare Zeilenumformungen S aus A entstanden ist. Lemma 10. Der Rang ist wohldefiniert. Das heißt, wenn S und S zwei unterschiedliche Zeilenstufenmatrizen sind, die aus A durch elementare Zeilenumformungen entstehen, dann ist die Anzahl der Nichtnullzeilen in S gleich der Anzahl der Nichtnullzeilen in S. Beweis. Da S und S aus A durch elementare Zeilenumformungen entstehen, gilt S = P A, S = P A, wobei P und P Produkte von Elementarmatrizen sind. Das bedeutet insbesondere, dass P und P invertierbar sind (Lemma 6), sodass S = P A A = P 1 S S = P P 1 S 3

29 Nach dem Lemma 9, die Zeilen von S sind Linearkombinationen der Zeilen von S. Da P P 1 invertierbar ist: (P P 1 ) 1 = P (P ) 1, sind auch die Zeilen von S Linearkombinationen der Zeilen von S. Jetzt wollen wir die Tatsache ausnutzen, dass S und S Zeilenstufenform haben. Sagen wir, dass eine Zeile Leitindex j hat, wenn ihr erstes Nichtnullelement an der j-ten Stelle vorkommt (für Nullzeilen wird der Leitindex nicht definiert). In Zeilenstufenmatrizen haben wir diese Elemente mit -bezeichnet. Es seien die Leitindizes der Nichtnullzeilen von S. j 1 < j <... < j r (1.1) Behauptung Eine Linearkombination von Zeilen mit Leitindizes (1.1) ist entweder eine Nullzeile oder hat den Leitindex aus derselben Menge (1.1). Sei Z = α 1 Z 1 +α Z +...+α r Z r eine beliebige Linearkombination. Wenn α 1 0 ist, dann hat Z den Leitindex j 1, denn die Summanden ab α Z sind Zeilen, die auf den ersten j 1 Stellen (und eventuell noch weiter) nur Nullen haben. Wenn α 1 = 0, aber α 0, dann hat Z den Leitindex j, usw. Eine Nullzeile kann nur dann entstehen, wenn α 1 = α =... = α r = 0 gilt. Hiermit ist die Behauptung bewiesen. Aus der bewiesenen Behauptung folgt, dass die Leitindizes der Zeilen von S sind unter den Leitindizes der Zeilen von S enthalten, und umgekehrt. Daraus folgt, dass die Treppe von S dieselben Stufentiefen hat, wie die Treppe von S. Insbesondere, sind die Anzahlen der Stufen in beiden Treppen gleich, d. h. die Anzahlen der Nichtnullzeilen. Mit Hilfe des Rangs können wir einige Punkte im Gauß-Verfahren zum Lösen eines LGS neu formulieren. Lemma 11. Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen für n Unbekannte. a) Das System ist genau dann lösbar, wenn gilt Rang A = Rang(A b) (1.13) b) Wird die Bedingung (1.13) erfüllt, und gilt Rang A = r, so hat die allgemeine Lösung des Systems n r freie und r abhängige Variablen. Beweis. Zum a): Bei der Lösbarkeitsentscheidung wird die Matrix (A b) in Zeilenstufenform (S c) gebracht. Hat die Matrix (S c) eine Stufe mehr als die Matrix S, so enthält das umgeformte LGS eine Gleichung 0 = c i mit c i 0 und ist deswegen nicht lösbar. Hat (S c) genauso viele Stufen wie S, dann gilt Rang A = Rang(A b), und auch das LGS ist lösbar. Zum b): Rang A ist die Anzahl der Nichtnullzeilen in S. Jede Nichtnullzeile entspricht einer abhängigen Variable. Daher ist die Anzahl der abhängigen Variablen gleich r. Die übrigen n r Variablen sind frei. 4

30 3.3 Lineare Teilräume von R n Definition 3.6. Eine nichtleere Teilmenge U R n heißt linearer Teilraum (oder linearer Unterraum) von R n, wenn gilt: a) u, v U u + v U b) u U, λ R λu U Das heißt, mit je zwei Vektoren u, v U soll U auch ihre Summe enthalten, und mit jedem Vektor u alle seine Vielfachen. Beispiel 3.7. Wähle ein v R n und betrachte die Menge Das ist ein linearer Teilraum, denn Rv := {αv α R} für alle α, β R gilt αv + βv = (α + β)v Rv (Summe zweier Vielfachen von v ist wieder ein Vielfaches von v; für alle α R, λ R gilt λ(αv) = (λα)v (Vielfaches eines Vielfachen ist wieder ein Vielfaches) Den Teilraum Rv kann man sich als eine Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor v vorstellen. Beispiel 3.8. Insbesondere ist R ein linearer Teilraum von R = 1 λ λ, λ R λ Beispiel 3.9. Hingegen ist eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung geht, kein linearer Teilraum von R n. Betrachte z. B. die Gerade L = {x + y = 1} in R. Die Punkte v = (1, 0) und w = (0, 1) liegen auf L, ihre Summe v + w = (1, 1) allerdings nicht. Die Bedingung a) aus der Definition 3.6 wird also nicht erfüllt. Beachte, dass wir Punkte mit ihren Ortsvektoren identifizieren. Es ist in diesem Sinne, dass wir über die Summe zweier Punkte reden. Beispiel Eine Ebene in R 3, die durch den Koordinatenursprung geht, ist ein linearer Teilraum von R 3, denn sowohl die Summe zweier Ortsvektoren, als auch das Vielfache eines Ortsvektors bleiben in derselben Ebene liegen. Speziell ist die xy-koordinatenebene {(α, β, 0) α, β R} ein linearer Teilraum von R 3. Eine Ebene, die nicht durch den Koordinatenursprung geht, ist kein linearer Teilraum. Allgemein kann man sich einen linearen Teilraum von R n als eine mehrdimensionale Ebene durch den Koordinatenursprung im noch mehrdimensionalen Raum denken. Während es bei der Dimension des Raums R n um die Zahl n geht, soll der Begriff der Dimension eines Teilraums noch definiert werden. Zuerst aber betrachten wir zwei Möglichkeiten, einen linearen Teilraum von R n zu beschreiben. Sie sind analog zu der Parameterdarstellung, bzw. impliziter Darstellung von Geraden und Ebenen. 5

31 Lineare Hülle oder Parameterdarstellung eines linearen Teilraums Definition Seien v 1, v,..., v k Vektoren aus R n. Die Menge aller ihrer Linearkombinationen heißt lineare Hülle der v i und wird mit Lin(v 1, v,..., v k ) bezeichnet: Lin(v 1, v,..., v k ) := {α 1 v 1 + α v α k v k α i R} Beispiel 3.1. Die lineare Hülle der Vektoren (1, 1, 1) und (1,, 3) ist 1 1 λ 1 + µ λ, µ R 1 3 d. h. die Ebene durch den Koordinatenursprung und mit Richtungsvektoren (1, 1, 1) und (1,, 3). Beispiel Die lineare Hülle eines Vektors v ist die Menge Rv, siehe Beispiel 3.7. Lemma 1. Die lineare Hülle Lin(v 1, v,..., v k ) ist ein linearer Teilraum von R n. Beweis. Wir sollen zeigen, dass für die Menge Lin(v 1, v,..., v k ) R n die beiden Bedingungen aus der Definition 3.6 erfüllt sind. a): u, v Lin(v 1, v,..., v k ) bedeutet, dass u und v Linearkombinationen der Vektoren v 1, v,..., v k sind: u = α 1 v 1 + α v α k v k, v = β 1 v 1 + β v β k v k Die Summe zweier Linearkombinationen ist wieder eine Linearkombination: u + v = (α 1 + β 1 )v 1 + (α + β )v (α k + β k )v k Also für alle u, v Lin(v 1, v,..., v k ) gilt auch u + v Lin(v 1, v,..., v k ). b): Wenn u Lin(v 1, v,..., v k ) und λ R, dann gilt λu = λ(α 1 v 1 + α v α k v k ) = λα 1 v 1 + λα v λα k v k (ein Vielfaches einer Linearkombination ist wieder eine Linearkombination). Also aus u Lin(v 1, v,..., v k ) und λ R folgt λu Lin(v 1, v,..., v k ). Definition Der Zeilenraum einer Matrix wird definiert als die lineare Hülle ihrer Zeilen. Der Zeilenraum einer m n-matrix ist hiermit ein linearer Teilraum von R n. Bemerkung Die lineare Hülle der Vektoren v 1, v,..., v k ist der kleinste lineare Teilraum von R n, der v 1, v,..., v k enthält. In der Tat, wiederholte Anwendung der Eigenschaften a) und b) aus der Definition 3.6 zeigt, dass jeder linearer Unterraum, der v 1, v,..., v k enthält, auch jede ihre Linearkombination enthalten soll. 6

32 Nullraum oder implizite Darstellung eines linearen Teilraums Definition Sei A eine m n-matrix. Die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 wird der Kern von A oder der rechte Nullraum von A genannt. Bezeichnung: Kern A := {x R n Ax = 0} Lemma 13. Der Kern einer m n-matrix A ist ein linearer Teilraum von R n. Beweis. Sind u, v Kern A, so bedeutet das Au = Av = 0. Dann gilt auch A(u + v) = Au + Av = = 0, und das bedeutet u + v Kern A. Analog, wenn u Kern A und λ R, dann folgt aus Au = 0 A(λu) = λ(au) = λ 0 = 0, also λu Kern A. Hiermit sind beide Bedingungen aus Definition 3.6 erfüllt, und Kern A R n ist ein linearer Teilraum. Beispiel Die 1 3-Matrix A = (1,, 3) entspricht der linearen Gleichung x + y + 3z = 0, deren Lösungsmenge eine Ebene durch den Nullpunkt in R 3 ist. Die 3-Matrix A = ( ) entspricht dem LGS 1 3 x + y + z = 0 x + y + 3z = 0 Das Lösen mit dem Gauß-Verfahren ergibt z = λ, y = λ, x = λ, d. h. Kern ( ) = 1 3 λ λ λ R λ Dieser lineare Teilraum ist eine Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor (1,, 1). Fundamentallösungen eines homogenen LGS Das Lösen eines homogenen LGS Ax = 0 ist nichts anderes als Übergang von einer impliziten Darstellung eines linearen Teilraums zu einer Parameterdarstellung. In der Tat, wenn die freien Variablen gleich λ 1, λ,..., λ s gesetzt werden, dann wird die allgemeine Lösung als eine Linearkombination mit Koeffizienten λ i dargestellt. Die dabei kombinierte Vektoren heißen Fundamentallösungen. 7

33 Beispiel Die allgemeine Lösung des LGS x 1 x + 3x 3 + 4x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 4 4x 5 = 0 x 4 + 3x 5 = 0 haben wir in der ersten Vorlesung wie folgt aufgeschrieben: x 1 λ λ x x 3 x 4 = λ 1 0.5λ 3λ x 5 λ Dasgleiche kann auch anders geschrieben werden: x x x 3 x 4 1 λ λ λ 1, λ R x Die zwei Lösungen (, 1, 0, 0, 0) und ( 15.5, 0, 0.5, 3, 1) heißen Fundamentallösungen des LGS. Angenommen, beim Lösen eines homogenen LGS mit dem Gauß-Verfahren erhalten wir s freie Variablen, die gleich λ 1, λ,..., λ s gesetzt werden. Die Fundamentallösungen des LGS werden wie folgt ermittelt: für die erste Fundamentallösung setzt man λ 1 = 1, λ = 0,..., λ s = 0 ein; für die zweite λ 1 = 0, λ = 1,..., λ s = 0 usw. Insgesamt erhält man s Fundamentallösungen, und die Lösungsmenge des Systems kann als ihre lineare Hülle beschrieben werden. 3.4 Vektorraum: Definition Definition Ein Vektorraum ist eine Menge V, auf welcher zwei Operationen definiert sind: Addition: je zwei Elementen u, v V wird ihre Summe u + v V zugeordnet; Multiplikation mit einer Zahl: jedem u V und jeder Zahl λ R wird ein Element λv V zugeordnet. Für diese Operationen sollen die folgenden Regeln (Vektorraumaxiome) gelten: (A1) u, v V gilt u + v = v + u (A) u, v, w V gilt (u + v) + w = u + (v + w) 8

34 (A3) Es gibt ein Element 0 U, Nullvektor genannt, sodass u + 0 = u für alle u U gilt. 3 (A4) Zu jedem u V gibt es genau ein mit u bezeichnetes Element in V, sodass u + ( u) = 0 gilt. (M1) u V gilt 1u = u (M) λ, µ R und u V gilt λ(µu) = (λµ)u (D1) λ R und u, v V gilt λ(u + v) = λu + λv (D) λ, µ R und u V gilt (λ + µ)u = λu + µu Beispiel 3.0. Das Urbeispiel eines Vektorraums ist natürlich R n : die Menge aller n-tupel reeller Zahlen. Die Menge aller m n-matrizen bildet auch einen Vektorraum. Ein linearer Teilraum von R n ist ein Vektorraum: die Elemente können addiert und mit Zahlen multipliziert werden, die Vektorraumaxiome gelten offensichtlich. Beispiel 3.1. Die Menge aller Funktionen f : R R bildet einen Vektorraum. Für zwei Funktionen f, g und eine reelle Zahl λ definieren wir neue Funktionen f + g und λf als (f + g)(x) := f(x) + g(x) (λf)(x) := λ(f(x)) (Die Summe f + g kann auch als die Summe der Formeln oder die Summe der Graphen beschreiben.) Analog zu Definition 3.6 kann man einen linearen Teilraum eines Vektorraums definieren. Definition 3.. Sei V ein Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U V heißt linearer Teilraum (oder Untervektorraum) von V, wenn gilt: a) u, v U u + v U b) u U, λ R λu U Das heißt, mit je zwei Elementen u, v U soll U auch ihre Summe enthalten, und mit jedem Element u alle seine Vielfachen. Ein linearer Teilraum ist damit selbst ein Vektorraum (man vergisst den umgebenden Raum V und betrachtet U allein). Beispiel 3.3. Die Menge aller oberen n n-dreiecksmatrizen ist ein linearer Teilraum des Raums aller n n-matrizen. 3 Im Folgenden werde wir den Nullvektor in jedem Vektorraum auch einfach mit 0 bezeichnen. Die Menge aller Polynome ist ein linearer Teilraum des Raums aller Funktionen. In der Tat, die Summe zweier Polynome ist wieder ein Polynom; ein Vielfaches eines Polynoms ist ein Polynom. 9

35 3.5 Basis eines Vektorraums Sei V ein Vektorraum. Genau wie für Vektoren in R n, kann man Linearkombinationen von Elementen aus V definieren: das sind Ausdrücke der Form λ 1 v 1 + λ v λ k v k Mit Linearkombinationen kann man wie gewohnt operieren, dank der Vektorraumaxiomen. Die Menge aller Linearkombinationen von v 1, v,..., v k wird die lineare Hülle von v 1, v,..., v k genannt. Beispiel 3.4. Betrachten wir im Vektorraum aller Funktionen die Funktionen sin x und cos x. Dann gilt Lin(sin x, cos x) = {a sin x + b cos x a, b R} (Wir wissen, dass jede solche Funktion auch als A sin(x + ω 0 ) geschrieben werden kann.) Die lineare Hülle der Funktionen 1, x, x,..., x n ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n. Erzeugendensysteme und lineare Abhängigkeit Definition 3.5. Man sagt, dass (v 1, v,..., v k ) ein Erzeugendensystem von V ist, wenn V = Lin(v 1, v,..., v k ) Mit anderen Worten, jedes Element von V soll als eine Linearkombination von Elementen v 1, v,..., v k darstellbar sein. Beispiel 3.6. R wird erzeugt von (1, 0) und (0, 1), aber auch z. B. von (1, 1) und (1, 1). Der Zeilenraum einer Matrix wird erzeugt von ihren Zeilen. Die Lösungsmenge eines homogenen LGS wird erzeugt durch seine Fundamentallösungen. Die Menge aller Funktionen hat kein endliches Erzeugendensystem. Definition 3.7. Die Vektoren v 1, v,..., v k V heißen linear abhängig, wenn es Zahlen α 1, α,..., α k gibt, die nicht alle gleich Null sind, sodass gilt α 1 v 1 + α v α k v k = 0 (0 auf der rechten Seite bedeutet den Nullvektor) Die Vektoren v 1, v,..., v k heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind, d. h. wenn α 1 v 1 + α v α k v k = 0 α 1 = α =... = α k = 0 30

36 Beispiel 3.8. Die Vektoren in R n sind linear unabhängig, denn e 1 = (1, 0,..., 0) e = (0, 1,..., 0)... e n = (0, 0,..., 1) α 1 e 1 + α e α n e n = (α 1, α,..., α n ), und dies ist ein Nullvektor genau dann wenn alle Koeffizienten α i gleich Null sind. Die Vektoren v 1 = (1, 1, 0), v = (1, 1, 0), v 3 = (0, 1, 0) sind linear abhängig, denn es gilt v 1 v v 3 = 0 Auch die Vektoren v 1 = (1, 1, 1), v = (,, ), v 3 = (3, 3, 3) sind linear abhängig. Hier kann man mehrere verschwindende Linearkombinationen angeben, sowie v 1 v = 0 oder v 1 + v v 3 = 0. Die Funktionen sin x, cos x, sin ( x + π 3 ) sind linear abhängig. Definition einer Basis Definition 3.9. Ein System (v 1, v,..., v k ) von Vektoren aus V heißt eine Basis von V, wenn gilt: a) Die Vektoren v 1, v,..., v k erzeugen V, d. h. V = Lin(v 1, v,..., v k ). b) Die Vektoren v 1, v,..., v k sind linear unabhängig. Beispiel Die Vektoren in R n e 1 = (1, 0,..., 0) e = (0, 1,..., 0)... e n = (0, 0,..., 1) bilden eine Basis von R n. Diese Basis heißt die natürliche Basis oder die Standardbasis von R n. Der Vektorraum R n hat viele andere Basen. Zum Beispiel, ist eine Basis von R. v 1 = (1, 1), v = (1, 1) Die Funktionen sin x und cos x sind linear unabhängig (die Funktion a sin x+ b cos x kann nur bei a = b = 0 identisch Null sein). Deswegen bilden sie eine Basis im Vektorraum aller Funktionen der Form A sin(x + ω 0 ). 31