Berechnung der inversen Matrix.
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- Gerhardt Fleischer
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1 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X. Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5
2 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
3 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
4 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
5 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
6 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
7 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
8 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
9 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
10 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X
11 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = (
12 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? (
13 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax =
14 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax = A 1 A x = A 1
15 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax = E x = A
16 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax = x = A
17 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax = x = A 1 Ax = wird durch Mtrix-Vektor-Multipliktion gelöst
18 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax = x = A 1 Ax = wird durch Mtrix-Vektor-Multipliktion gelöst Wichtig ei vielen LGS Ax = mit unterschiedlichen
19 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 5 Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es sei A = ( Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X Dmit ist X = A 1 = Wozu rucht mn ds? ( Ax = x = A 1 Ax = wird durch Mtrix-Vektor-Multipliktion gelöst Wichtig ei vielen LGS Ax = mit unterschiedlichen Beispiel: Dreieck-Stern-Umwndlungen
20 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme
21 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme A heißt regulär, wenn die inverse Mtrix A 1 existiert
22 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme A heißt regulär, wenn die inverse Mtrix A 1 existiert Wenn A regulär ist, dnn ist Ax = eindeutig lösr: x = A 1
23 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme A heißt regulär, wenn die inverse Mtrix A 1 existiert Wenn A regulär ist, dnn ist Ax = eindeutig lösr: x = A 1 A ist genu dnn regulär, wenn Ax = eindeutig lösr ist.
24 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme A heißt regulär, wenn die inverse Mtrix A 1 existiert Wenn A regulär ist, dnn ist Ax = eindeutig lösr: x = A 1 A ist genu dnn regulär, wenn Ax = eindeutig lösr ist. Wie knn mn entscheiden, o A regulär ist? Es git eine Zhl A, die entschei (erminiert, o A regulär ist.
25 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme A heißt regulär, wenn die inverse Mtrix A 1 existiert Wenn A regulär ist, dnn ist Ax = eindeutig lösr: x = A 1 A ist genu dnn regulär, wenn Ax = eindeutig lösr ist. Wie knn mn entscheiden, o A regulär ist? Stz Es git eine Zhl A, die entschei (erminiert, o A regulär ist. Determinnte Es sei n N. Dnn git es genu eine Aildung : M(n, n R mit den Eigenschften 1 Normierung: E = 1 2 Antisymmetrie: A = Â ei Vertuschung zweier Zeilen Multilinerität: ist liner in jeder einzelnen Zeile
26 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 / 5 Definition der Determinnte Reguläre Mtrizen und linere Gleichungssysteme A heißt regulär, wenn die inverse Mtrix A 1 existiert Wenn A regulär ist, dnn ist Ax = eindeutig lösr: x = A 1 A ist genu dnn regulär, wenn Ax = eindeutig lösr ist. Wie knn mn entscheiden, o A regulär ist? Stz Es git eine Zhl A, die entschei (erminiert, o A regulär ist. Determinnte Es sei n N. Dnn git es genu eine Aildung : M(n, n R mit den Eigenschften 1 Normierung: E = 1 2 Antisymmetrie: A = Â ei Vertuschung zweier Zeilen Multilinerität: ist liner in jeder einzelnen Zeile Es gilt: A ist genu dnn regulär, wenn A.
27 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin / 5 Eigenschften der Determinnte Wie wird A erechnet?
28 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin / 5 Eigenschften der Determinnte Wie wird A erechnet? Es sei A = ( eine Mtrix mit mrkierter i-ter und j-ter Zeile: = ( i1 i2 in = ( j1 j2 jn
29 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin / 5 Eigenschften der Determinnte Wie wird A erechnet? Es sei A = ( 1 Gemeinsme Fktoren us einzelnen Zeilen herusziehen: eine Mtrix mit mrkierter i-ter und j-ter Zeile: ( λ = λ (, ( λ µ = ( i1 i2 in = ( j1 j2 jn = λ µ (
30 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin / 5 Eigenschften der Determinnte Wie wird A erechnet? Es sei A = ( 1 Gemeinsme Fktoren us einzelnen Zeilen herusziehen: 2 A =, wenn eine Nullzeile uftritt. Bsp.: =, dnn eine Mtrix mit mrkierter i-ter und j-ter Zeile: ( λ ( = λ = = ( (, = 1 ( λ µ = ( i1 i2 in = ( j1 j2 jn ( = λ µ = (
31 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin / 5 Eigenschften der Determinnte Wie wird A erechnet? Es sei A = ( 1 Gemeinsme Fktoren us einzelnen Zeilen herusziehen: 2 A =, wenn eine Nullzeile uftritt. Bsp.: =, dnn A =, ei zwei identischen Zeilen. Bsp.: =, dnn eine Mtrix mit mrkierter i-ter und j-ter Zeile: ( λ ( ( = λ = = = = ( ( (, = 1 = Antisymmetrie ( λ µ = ( i1 i2 in = ( j1 j2 jn ( ( = λ µ = = = ( (
32 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin / 5 Eigenschften der Determinnte Wie wird A erechnet? Es sei A = ( 1 Gemeinsme Fktoren us einzelnen Zeilen herusziehen: 2 A =, wenn eine Nullzeile uftritt. Bsp.: =, dnn A =, ei zwei identischen Zeilen. Bsp.: =, dnn 4 Elementre Zeilenumformungen eine Mtrix mit mrkierter i-ter und j-ter Zeile: ( λ ( ( = λ = = ( = = λ µ ( ( ( = λ Multilinerität, = 1 = Antisymmetrie ( ( λ µ = ( i1 i2 in = ( j1 j2 jn ( ( µ = λ µ = = = ( ( ( = λ A 2
33 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = (
34 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ
35 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = 1
36 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = 1 =
37 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = ( = 1 ( 1 λ =. Bechte A = 1 λ ( λ µ = 1 1 = 1 7 5
38 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = = λ = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = =
39 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = = λ = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = = =
40 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = = λ = = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = = =
41 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = = λ = = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = 1 = 1 1 multiliner ( = =
42 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = = λ = = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = 1 = 1 1 multiliner = =
43 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = = λ = = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = 1 = 1 1 multiliner = = = 1 1 Normierung
44 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = Merke = λ = = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = 1 = 1 1 multiliner = = = 1 1 Normierung 1 1 Determinnten können mit dem Guß-Algorithmus erechnet werden 7 5 1
45 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 4 / 5 Determinnte und Guß-Algorithmus Berechnung der Determinnte Wieder sei A = Guß-Algorithmus A = Merke = λ = = ( Bechte A = 1 λ ( λ µ = = 1 = 1 1 multiliner = = = 1 1 Normierung 1 1 Determinnten können mit dem Guß-Algorithmus erechnet werden Buchhltung üer Sklierungsfktoren nötig 7 5 1
46 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( 2 5 4
47 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung Schchrettmuster für A = (
48 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte 2 5 4
49 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( 5 4
50 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( 5 4 4
51 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( (
52 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 5 4
53 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1
54 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1... oder Entwicklung nch der 2. Zeile 2 5 4
55 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1... oder Entwicklung nch der 2. Zeile = ( 4
56 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1... oder Entwicklung nch der 2. Zeile = ( (
57 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1... oder Entwicklung nch der 2. Zeile = ( ( (
58 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1... oder Entwicklung nch der 2. Zeile = ( ( ( = (+1 +5 ( 5 4 ( 7 1
59 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1... oder Entwicklung nch der 2. Zeile = ( ( ( = (+1 +5 ( 5 4 ( 7 = 1
60 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte Merke = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1
61 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte Merke = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1 Schchrettmuster für A vergeen (Vorzeichen
62 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte Merke = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1 Schchrettmuster für A vergeen (Vorzeichen Entwicklung nch elieiger Splte/Zeile A = Vorzeichen Fktor Untererminnte
63 Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik Berlin 5 / 5 Determinnte und Lplce-Entwicklung Eine lterntive Berechnung der Determinnte Wieder sei A =. ( Lplce-Entwicklung ( + + Schchrettmuster für A = Entwicklung z. B. nch der 1. Splte Merke = +1 ( ( ( = +1 (+2 (+1 +1 (+1 = 1 Schchrettmuster für A vergeen (Vorzeichen Entwicklung nch elieiger Splte/Zeile A = Vorzeichen Fktor Untererminnte Günstig: Wähle Splte/Zeile mit vielen Nullen.
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