Proportionalität. Robert Piasek Mathias Ünzelmann

Transkript

1 Proportionalität Robert Piasek Mathias Ünzelmann

2 Gliederung 1. Rahmenplananalyse Proportionalität 2. Kompetenzerwerbsschema mit Beispielaufgaben 3. Modellierungsaufgaben

3 Rahmenlehrplananalyse In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung der Proportionalität aufgebaut. (Berliner Rahmenlehrplan Grundschule)

4 Zuordnungen und Proportionalität in der Primarstufe 3/4 Themenfeld Zahl und Operation: - Zuordnungen in Sachsituationen erkennen und diese sprachlich sowie in Tabellen darstellen - einfache Sachsituationen zu proportionalen Zuordnungen untersuchen 5/6 Themenfeld Zahl und Operation - Zuordnungen in Tabellen erkennen und beschreiben - Zuordnungen grafisch darstellen - aus Darstellungen Eigenschaften der Zuordnung ablesen und Rückschlüsse auf die Sachsituation ziehen - Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich lösen Abschlussstandards Klasse 6: - erkennen Zuordnungen, beschreiben sie sprachlich und in Tabellen - lösen Sachaufgaben zur Proportionalität

5 Fazit zur Primarstufe keine Herausarbeitung der Eigenschaften (Quotientengleichheit, Additivität, etc.) keine Betrachtung von antiproportionalen Zuordnungen (sinnvoll?!) Aber Zuordnung von Größen als wichtige Voraussetzung integriert

6 Sekundarstufe I Themenfeld P2 Klasse 7/8: Verhältnisse mit Proportionalität erfassen - Vertiefung durch graphische und tabellarische Darstellung - Nutzen Verhältnisgleichungen und Tabellen zur Berechnung von Proportionen und prozentualen Anteile Inhalte: Maßstab, realitätsnahe Probleme, Prozent- und Zinsrechnung, Dreisatz; Quotientengleichheit;

7 Das Vergleichen von Anteilen als zentrale Idee der Prozentrechnung wird über die proportionale Zuordnung eingeführt. Für die Berechnung des Prozentwertes, des Grundwertes und auch des Prozentsatzes wird sowohl anschaulich mit Diagrammen gearbeitet als auch in der Tabelle. Dabei wird der Dreisatz als eine Möglichkeit zur Berechnung proportionaler Verhältnisse erarbeitet. Die Schülerinnen und Schüler wählen ihren Lösungsweg bewusst aus und begründen ihn. Antiproportionale Zusammenhänge werden nicht erwähnt!!!

8 Sekundarstufe I Themenfeld P7 Klasse 7/8: proportionale und antiproportionale Modelle - Besonderheiten gegenüber anderen Zuordnungsmöglichkeiten herausstellen - Vertiefung durch Vergleich mit antiproportionalen Zuordnungen - Interpretieren und Validieren von Ergebnissen bei Modellierung Inhalte: Quotienten- und Produktgleichheit; Zuordnungsvorschriften mit Termen darstellen; Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Wissen, indem sie eigene Beispielaufgaben zu den unterschiedlichen Zuordnungen finden oder entwickeln, an denen sie sich die wichtigen Eigenschaften (diskrete und kontinuierliche Beispiele) verdeutlichen.

9 Fazit Sekundarstufe I kaum inhaltliche Unterschiede in den beiden Themenfeldern zentrale Kompetenzen: funktionaler Zusammenhang, Zahl und Modellieren Verwendung unterschiedlicher Darstellungsformen wichtig für Prozentrechnung und andere Verhältnisgleichungen Aber wo bleibt der Bezug zum Funktionsbegriff???

10 1. THESE Die zeitliche Trennung von proportionalen Zusammenhängen (Modul P2) zum Funktionsbegriff (Modul P4) und vor allem zur Antiproportionalität (Modul P7) in der Doppeljahrgangsstufe 7/8 ist nicht sinnvoll.

11 Kompetenzerwerbsschema Die SuS beschreiben, interpretieren und berechnen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Alltagssituationen und verwenden für sie unterschiedliche Darstellungsformen Wissen Proportionales und antiproportionales Modellieren Lösen von Problem mit Verhältnisgleichungen Mehrfaches Anwenden von proportionalen Zuordnungen in Sachsituationen Lernerfolgskontrolle Die SuS können mit den Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Probleme aus Sachsituationen modellieren. Proportionale und antiproportionale Eigenschaften Proportionalitätsfaktor Verhältnisgleichheit, Quotientengleichheit, Produktgleichheit Additivität Die SuS leiten die Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen her und können mit ihnen Proportionalität begründen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Erkennen und Beschreiben von (anti)proportionalen Zuordnungen Rechnen mit (anti)proportionalen Zusammenhängen Darstellen von (anti)proportinalen Zuordnungen in Tabellen und Diagrammen Die SuS können proportionale und antiproportionale Zusammenhänge beschreiben mit ihnen Lösungsschemata anwenden und sie in geeigneten Formen darstellen. Können

12 Mathematik 7. Gesamtschule. Westermann

13 Mathematik 7. Gesamtschule. Westermann

14 Kompetenzerwerbsschema Die SuS beschreiben, interpretieren und berechnen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Alltagssituationen und verwenden für sie unterschiedliche Darstellungsformen Wissen Proportionales und antiproportionales Modellieren Lösen von Problem mit Verhältnisgleichungen Mehrfaches Anwenden von proportionalen Zuordnungen in Sachsituationen Lernerfolgskontrolle Die SuS können mit den Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Probleme aus Sachsituationen modellieren. Proportionale und antiproportionale Eigenschaften Proportionalitätsfaktor Verhältnisgleichheit, Quotientengleichheit, Produktgleichheit Additivität Die SuS leiten die Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen her und können mit ihnen Proportionalität begründen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Erkennen und Beschreiben von (anti)proportionalen Zuordnungen Rechnen mit (anti)proportionalen Zusammenhängen Darstellen von (anti)proportinalen Zuordnungen in Tabellen und Diagrammen Die SuS können proportionale und antiproportionale Zusammenhänge beschreiben mit ihnen Lösungsschemata anwenden und sie in geeigneten Formen darstellen. Können

15 Arbeitsauftrag I Begutachtet mit Eurem Partner die Einstiegsseiten eines Schulbuches. Skizziert das Vorgehen und bewertet es.

16 Faktor 8 Mathematik. Schroedel

17 Mathematik 7. Mecklenburg-Vorpommern

18 Einführung in die Mathematik. 7. Schuljahr

19 Lambacher Schweizer. Klasse

20 Kompetenzerwerbsschema Die SuS beschreiben, interpretieren und berechnen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Alltagssituationen und verwenden für sie unterschiedliche Darstellungsformen Wissen Proportionales und antiproportionales Modellieren Lösen von Problem mit Verhältnisgleichungen Mehrfaches Anwenden von proportionalen Zuordnungen in Sachsituationen Lernerfolgskontrolle Die SuS können mit den Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Probleme aus Sachsituationen modellieren. Proportionale und antiproportionale Eigenschaften Proportionalitätsfaktor Verhältnisgleichheit, Quotientengleichheit, Produktgleichheit Additivität Die SuS leiten die Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen her und können mit ihnen Proportionalität begründen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Erkennen und Beschreiben von (anti)proportionalen Zuordnungen Rechnen mit (anti)proportionalen Zusammenhängen Darstellen von (anti)proportinalen Zuordnungen in Tabellen und Diagrammen Die SuS können proportionale und antiproportionale Zusammenhänge beschreiben mit ihnen Lösungsschemata anwenden und sie in geeigneten Formen darstellen. Können

21 VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167.

22 Kompetenzerwerbsschema Die SuS beschreiben, interpretieren und berechnen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Alltagssituationen und verwenden für sie unterschiedliche Darstellungsformen Wissen Proportionales und antiproportionales Modellieren Lösen von Problem mit Verhältnisgleichungen Mehrfaches Anwenden von proportionalen Zuordnungen in Sachsituationen Lernerfolgskontrolle Die SuS können mit den Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Probleme aus Sachsituationen modellieren. Proportionale und antiproportionale Eigenschaften Proportionalitätsfaktor Verhältnisgleichheit, Quotientengleichheit, Produktgleichheit Additivität Die SuS leiten die Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen her und können mit ihnen Proportionalität begründen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Erkennen und Beschreiben von (anti)proportionalen Zuordnungen Rechnen mit (anti)proportionalen Zusammenhängen Darstellen von (anti)proportinalen Zuordnungen in Tabellen und Diagrammen Die SuS können proportionale und antiproportionale Zusammenhänge beschreiben mit ihnen Lösungsschemata anwenden und sie in geeigneten Formen darstellen. Können

23 VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.

24 VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.

25 Zusammenhang zwischen Proportionalität und Monotonie VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.

26 2. THESE Der Monotoniebegriff wird zu Recht erst in der Sekundarstufe II thematisiert, da sonst falsche Rückschlüsse zu (anti)proportionalen Zusammenhängen entstehen können.

27 1. Möglichkeit 2. Möglichkeit Elemente der Mathematik

28 Elemente der Mathematik

29 Kompetenzerwerbsschema Die SuS beschreiben, interpretieren und berechnen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Alltagssituationen und verwenden für sie unterschiedliche Darstellungsformen Wissen Proportionales und antiproportionales Modellieren Lösen von Problem mit Verhältnisgleichungen Mehrfaches Anwenden von proportionalen Zuordnungen in Sachsituationen Lernerfolgskontrolle Die SuS können mit den Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Probleme aus Sachsituationen modellieren. Proportionale und antiproportionale Eigenschaften Proportionalitätsfaktor Verhältnisgleichheit, Quotientengleichheit, Produktgleichheit Additivität Die SuS leiten die Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen her und können mit ihnen Proportionalität begründen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Erkennen und Beschreiben von (anti)proportionalen Zuordnungen Rechnen mit (anti)proportionalen Zusammenhängen Darstellen von (anti)proportinalen Zuordnungen in Tabellen und Diagrammen Die SuS können proportionale und antiproportionale Zusammenhänge beschreiben mit ihnen Lösungsschemata anwenden und sie in geeigneten Formen darstellen. Können

30 Das Adenauer-Denkmal (Bonn) vom Künstler Hubertus von Pilgrim Wie groß müsste wohl ein entsprechendes Denkmal sein, wenn es Adenauer von Kopf bis Fuß in demselben Maßstab darstellen soll?

31 12 cm Größe des Mädchens ca. 1,30m. Proportionalitätsfaktor: 130cm : 10cm = cm Größe des Kopfes: 12cm * 13 = 156cm Wie ist das Verhältnis zwischen Kopf-Größe und Körper-Größe? Robert: 169cm : 24cm = 7,04 Mathias: 186cm : 26cm = 7,15 156cm * 7 = 1092cm = 10,92m

32 1,2 cm 10 cm Verhältnis Kinderkopf zu Erwachsenenkopf: Erwachsenenkopf um 1,1 größer Proportionalitätsfaktor: 10cm : (1,1 * 1,2cm) = 7,6 Körpergröße eines männlichen Erwachsenen: 185cm * 7,6 = 14,06m

33 Wie schwer ist dieses Bison-Baby? Noch etwas schwach auf den Beinen ist das kleine Bisonkalb Astor, das im Stralsunder Tierpark Mitte August zur Welt kam. Der Zoo der Hansestadt ist der einzige im Land, in dem die bis zu einer Tonne schweren Wildrinder aus Nordamerika heimisch sind. Foto: dpa

34 8,8cm Muttertier ca. 900kg schwer 3,8cm 4,6cm 6,6cm Höhenverhältnis: Längenverhältnis: 6,6cm : 3,8cm = 1,74 8,8cm : 4,6 cm = 1,91 Breitenverhältnis zwischen 1,74 und 1,9, also ca. 1,8 Volumenverhältnis der Mutter zum Kalb: 1,74 * 1,91 * 1,8 = 5,98 Gewicht des Kalbes: 900kg : 5,98 = 150,5kg

35 3. THESE Die Thematik der (Anti)-Proportionalität ist nicht ausreichend für Modellierungsaufgaben geeignet, da hiermit nur einfache Probleme gelöst werden können und komplexere Betrachtungen nicht möglich sind.