Das Zahlenbuch 2. Begleitband. Ernst Klett Verlag Stuttgart Leipzig. von Erich Ch. Wittmann und Gerhard N. Müller. mathe 2000

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1 mathe 000 Das Zahlenbuch Begleitband von rich Ch. Wittmann und Gerhard N. Müller rnst Klett Verlag Stuttgart Leipzig

2 Inhalt Vorwort... Inhaltsverzeichnis des Schülerbuchs... rste Orientierung... 6 Differenzierung... 6 Übung der Basiskompetenzen... 6 Förderung leistungsschwächerer Kinder... 7 Förderung leistungsstarker Kinder... 7 Diagnose... 7 Allgemeine Praxishinweise... 8 Lernumgebungen und didaktische Situationen... 8 inrichtung von Kleingruppen... 9 Unterricht in altersgemischten Klassen... 9 Stoffverteilung... 9 Arbeits- und Demonstrationsmittel im Band... 0 Arbeitsmittel... 0 Demonstrationsmittel... 0 Interaktive Tafelbilder... 0 Praxishinweise zu den Seiten/Doppelseiten im Schülerbuch... Themenblock Wiederholung und Ausblick... Themenblock Orientierung im Hunderterraum... 0 Themenblock Addition im Hunderter... 0 Themenblock Subtraktion im Hunderter... 6 Themenblock Integrierende Übungen... 7 Themenblock inführung von Multiplikation und Division... 8 Themenblock Vertiefung der Addition und der Subtraktion Themenblock Vertiefung des inmaleins... Themenblock rgänzende Übungen... 6 Übersicht über die Blitzrechenübungen... 60

3 Vorwort Der Begleitband weist in seinem Hauptteil die gleiche Struktur auf wie der Begleitband. Im Interesse der Benutzerfreundlichkeit wurden die Abschnitte rste Orientierung und Allgemeine Praxishinweise beibehalten. Der Abschnitt Grundkonzeption des ZAHLNBUCHs wurde aber auf die beiligende CD-ROM ausgelagert. Dies erschien uns sinnvoll, da die meisten Lehrerinnen und Lehrer, die mit dem Band des ZAHLNBUCHs arbeiten, vorher mit dem neuen ZAH- LNBUCH gearbeitet bzw. bereits rfahrung mir dem Konzept des ZAHLNBUCHs haben. Kolleginnen und Kollegen, die in die Arbeit mit dem Zahlenbuch neu einsteigen, empfehlen wir dringend, sich zusätzlich zu den Abschnitten rste Orientierung und Allgemeine Praxishinweise mit der Grundkonzeption des Werkes vertraut zu machen. Wie beim Begleitband gibt es zusätzlich zum Begleitband einen Materialband mit Kopiervorlagen, Kompetenztests, Denkschule, ergänzenden Texten und, wie oben erwähnt, mit der Darstellung der Grundkonzeption. Hinweise zur Stoffverteilung finden sich am nde des Abschnitts Allgemeine Praxishinweise und auf der Umschlagseite. Diese Hinweise sind bewusst grob gehalten, weil eine Stoffverteilung auf einzelne Wochen weder nötig noch sinnvoll ist. Wir verstehen den Wunsch vieler Kolleginnen und Kollegen, sicher zu gehen, dass die vorgeschriebenen Kompetenzen zur rechten Zeit erworben werden und dass man mit dem Stoff hinkommt. Für dieses Ziel ist aber die gründliche und regelmäßige Durchführung der Blitzrechenübungen und der anderen Basiskurse von entscheidender Bedeutung, nicht die Stoffverteilung. Der Grund dafür liegt darin, dass sich die Basiskompetenzen gar keinen bestimmten Wochen zuordnen lassen. Sie werden in der Regel im ersten Halbjahr eingeführt und stellen im Weiteren eine Daueraufgabe jenseits jeder Stoffverteilung dar. Kinder, die in den Basiskompetenzen fit sind, haben gute Voraussetzungen für das weitere Lernen. Diese Tatsache muss man sich klar machen. Wir hoffen, dass auch der Begleitband den effektiven und ökonomischen insatz des ZAHLNBUCHs unterstützt, und wünschen allen, die damit arbeiten, viel Freude und rfolg. Für Fragen zum Konzept und für einen rfahrungsaustausch stehen wir unter gerne zur Verfügung. Die Autoren

4 Inhaltsverzeichnis des Schülerbuchs Wiederholung und Ausblick inspluseins-tafel, insminuseins-tafel itb Rechnen in ngland, Rechnen in Italien 6 7 Legen und Überlegen 8 itb Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit: Größere kleinere gleiche Chancen 9 itb Orientierung im Hunderterraum Zahlen in der Umwelt: Zehnerbündel 0 itb Schätzen und Zählen, Bündeln Symmetrie: Spiegeln, Viel und wenig Mit Zehnern rechnen (Anwendung des inspluseins) 6 itb Hunderterfeld, Zahlen zeigen und aufschreiben Wie viele? 7 9 itb Hundertertafel, Welche Zahl? 0 itb Hunderterreihe, Zählen rgänzen zum Zehner Rechenstrich, Zählen in Schritten itb Zahlen in der Umwelt 6 Längen: Meter und Zentimeter, Zeichnen und Messen 7 8 Formen legen: Legen und Zeichnen, Tangram 9 rgänzen bis 00, rgänzen bis 00 itb 00 teilen, 00 teilen Geld: Alle Münzen und Scheine, Legen und Überlegen, Geldbeträge unterschiedlich legen 6 Addition im Hunderter 8 + Rechnen mit inern - Rechnen mit Zehnern 7 Verdoppeln, Verdoppeln, Halbieren, Halbieren 8 9 Rechenwege bei Plusaufgaben 0 itb infache Plusaufgaben, infache Plusaufgaben itb Von einfachen zu schwierigen Plusaufgaben Tauschaufgaben itb Übungen Zahlenmuster 6 7 itb Formen herstellen: Würfel und Quader 8 9 Subtraktion im Hunderter 7 Rechenwege bei Minusaufgaben 0 itb infache Minusaufgaben, infache Minusaufgaben Von einfachen zu schwierigen Minusaufgaben Minusaufgaben auch durch rgänzen lösen Zahlenmuster 6 itb Integrierende Übungen Start Ziel Rechenketten 7 Tausch- und Umkehraufgaben 8 Sachaufgaben: Alle werden älter, Legen und Überlegen, 9 6 itb Überlegen und Rechnen, Mit Geld rechnen, Zerlegen Praktische Geometrie: Kugeln in der Umwelt 6 ITb bedeutet, dass es zu der entsprechenden Seite ein interaktives Tafelbild für das Whiteboard gibt. Für Hinweise zum insatz s. Seite 0.

5 inführung von multiplikation und Division Inhaltsverzeichnis des Schülerbuchs Malaufgaben in der Umwelt, Malaufgaben am Hunderterfeld legen 6 67 itb Rechenwege bei Malaufgaben, infache Malaufgaben Von einfachen zu schwierigen Malaufgaben, inmaleins 70 7 Zehner-, Fünfer-, Zweier- und inerreihe 7 7 itb Dreier-, Sechser-, Neunerreihe 7 7 itb Vierer-, Achter-, Siebenerreihe itb Sachaufgaben: Malaufgaben in der Umwelt, Mit Geld rechnen 78 8 itb Teilen, Teilen am inmaleins-plan 8 8 itb Von einfachen zu schwierigen Geteiltaufgaben 8 itb Tausch- und Umkehraufgaben 86 Vertiefung der Addition und der Subtraktion Praktische Geometrie: Sitzplan, Grundrisse und Seitenansichten itb Rechenwege bei Plusaufgaben beschreiben, Rechenwege bei Minusaufgaben beschreiben (mündlich und schriftlich) 90 9 itb Zahlenmauern, Rechendreiecke 9 9 itb Sachaufgaben: Skizzen zeichnen, Tabellen anlegen, Sachrechnen im Kopf itb Vertiefung des inmaleins rgänzende Übungen inmaleins-tafel, Zeilen in der inmaleins-tafel, Spalten in der inmaleins-tafel, inmaleins an der Tafel Praktische Geometrie: Knotenschule, Wege im Stadtplan (Kombinatorik) Sachaufgaben: Sachaufgaben lösen, Sachaufgaben finden, Gebühren 00 0 itb 0 0 itb Zahlen in der Umwelt: Zahntabellen 09 Formen herstellen: Falten - Schneiden - Legen, Würfel falten 0 Zahlenmuster (Addition und Subtraktion) Gerade und ungerade Zahlen Zahlenmuster (Quadrat- und Dreieckszahlen, inmaleins) 6 7 Teilen mit Rest 8 9 Gleichungen, Ungleichungen 0 mini-projekte 9 6 Zeit: Tag und Stunden, Stunden und Minuten, Tagesablauf, Jahreslauf itb Daten sammeln: Pflanzen messen, Störche, Maße am Körper 6 9 Bald ist Weihnachten (Denkspiel, Würfelnetz, Packerknoten) 0 Bald ist Ostern (Kombinatorik, Zufallsexperiment) Blitzrechnen Operationsfelder für die Blitzrechenübungen unerschöpfliche Aufgabenfülle? Finde eine passende Frage. Partnerarbeit Schnüffelaufgaben Forschen und Finden Mathekonferenz

6 rste Orientierung Habe deine Zwecke im Ganzen vor Augen und lasse dich im inzelnen durch die Umstände bestimmen. Johann Wolfgang von Goethe Allen Kolleginnen und Kollegen, die neu mit dem ZAHLNBUCH arbeiten, empfehlen wir, sich eingehend mit der Grundkonzeption auf den Seiten 8 7 im Begleitband auseinanderzusetzen, da dies für eine erfolgreiche Arbeit mit dem Buch unabdingbar ist. Im lternbrief am Beginn des Schülerbuchs werden einige zentrale Punkte benannt. Dort wird auch erklärt, wie die verschiedenen Bereiche der inhaltsbezogenen Kompetenzen und die Seiten, auf denen die allgemeinen mathematischen Kompetenzen besonders geübt werden, farblich gekennzeichnet sind. Wichtig für die Arbeit in der täglichen Praxis ist es, die intelligenten und gleichzeitig schlichten Lösungen zu kennen, die das ZAH- LNBUCH für Schlüsselprobleme des Unterrichts anzubieten hat. Diese seien hier kurz erläutert. Differenzierung Die üblichen Methoden der Differenzierung bestehen darin, dass die Lehrperson Gruppen von Kindern oder einzelnen Kindern Aufgaben für ein bestimmtes Lernziel zuweist, die nach inschätzung der Lehrperson dem jeweiligen Lernstand entsprechen. s gibt Werke, bei denen die Kinder weitgehend unabhängig voneinander Heftchen für Heftchen abarbeiten. Dadurch werden aber nicht nur die Bildungsstandards verfehlt, auch soziales Lernen wird verhindert. Im ZAHLNBUCH wird ein grundsätzlich anderer Weg der Differenzierung beschritten: Das Buch ist vom Grundsatz her so konzipiert, dass Kinder mit unterschiedlichen Voraussetzungen, Interessen und Möglichkeiten gemeinsam damit arbeiten können und gleichwohl individuell gefördert werden. Die Differenzierung ergibt sich aufgrund des besonderen Aufbaus von selbst: Das ZAHLNBUCH bietet einerseits eine Grundlage für den rwerb der Kenntnisse und Fertigkeiten, die für das weitere Lernen notwendig und daher für alle Kinder in gleicher Weise verbindlich sind. Das Arbeitsheft enthält Übungen der unteren und mittleren Anforderungsstufe zur Festigung und Vernetzung der Grundlagen. Bereits auf dieser Stufe besteht ein Spielraum bei der Auswahl der Aufgaben, der Wahl der Lösungswege, der Form der Darstellung, der den Kindern eine gewisse Selbststeuerung ermöglicht. Auf dieser Grundlage bauen Lernangebote auf, die sich ebenfalls an alle richten, aber von jedem Kind in vollem Umfang nach seinen Möglichkeiten individuell wahrgenommen werden können und dürfen (natürliche Differenzierung). Diese Angebote, die durch eine grüne Unterlegung deutlich zu erkennen sind, beginnen immer auf der unteren Anforderungsstufe (Basiskompetenzen), reichen aber bis in die höchste Anforderungsstufe hinein und verknüpfen die Übung allgemeiner mathematischer Kompetenzen mit der Übung inhaltlicher Kompetenzen. Die Kinder werden bei der Bearbeitung dieser Angebote unterschiedlich weit kommen, was aber kein Problem ist, denn ihre mathematischen Kräfte werden auch gesteigert, wenn sie sich mit diesen Angeboten nur auf der unteren Anforderungsstufe befassen. Trotz der unterschiedlichen Bearbeitungen ist ein sozialer Austausch möglich, den wir als hohes Gut ansehen. Wenn beispielsweise die rgebnisse von Rechnungen an der Tafel zusammengetragen werden, damit auf dieser Grundlage Muster erkannt und beschrieben werden, können auch Kinder einbezogen werden und den Anschluss finden, die selbst nur wenige Rechnungen durchgeführt haben. Für die Bearbeitung der grün unterlegten Aufgaben ist die Anlage eines Portfolios sinnvoll. Übung der Basiskompetenzen Zum Grundangebot gehört der Blitzrechenkurs mit 0 Übungen pro Schuljahr, der ständig auf der Tagesordnung stehen muss. Allen Beteiligten muss bewusst gemacht werden, dass es sich lohnt, an dieser Stelle intensiv und fortgesetzt zu üben. Hilfreich ist hier der Vergleich mit dem Sport, wo Fitness- und Konditionsprogramme eine Selbstverständlichkeit sind. Wer sich körperlich fit hält, kann körperlich etwas leisten. Wer in der Mathematik die Basiskompetenzen übt, kann damit seine mathematische Leistung steigern. Zum Wesen der Basiskompetenzen gehört es ja, dass sie ständig benutzt werden. Jede Blitzrechenübung wird an der entsprechenden Stelle im Schülerbuch eingeführt. Die Kinder lernen dabei sich gegenseitig Aufgaben zu stellen. Um die Durchführung der Blitzrechenübungen sowohl in der Schule als auch zu Hause zu ermöglichen, wurden die dafür erforderlichen Operationsfelder sowohl in das Schülerbuch (S. ) als auch in das Arbeitsheft (ausklappbarer Umschlag) integriert. s ist sinnvoll, Mathematikstunden mit dem Blitzrechnen als warm up zu beginnen. Für Kinder, die zu Hause beim Blitzrechnen keine Unterstützung finden das sind oft gerade die Kinder, für die es am nötigsten ist sollten andere Rechentrainer rekrutiert werden (Mitschüler, rwachsene in der Nachmittagsbetreuung, Senioren, ). Damit sich diese externen Helfer über die Übungen informieren können, wurde in das Arbeitsheft eine Übersicht über die Übungen des betreffenden Schuljahrs aufgenommen (S. 70 7), die auch auf S. 60 f. abgedruckt ist. Genauere Hinweise zum Stellenwert und zur Durchführung des Blitzrechnens sind auf der beiliegenden CD zu finden. Die Praxis des Blitzrechnens wird unterstützt durch die Rechenkartei Blitzrechnen. Basiskurs Zahlen und die CD-ROM Blitzrechnen. Die Rechenkartei für jedes Schuljahr enthält ca. 00 Aufgabenkarten. Auf der Vorderseite jeder Karte ist eine Aufgabe symbolisch und bildlich dargestellt. Die Lösung steht auf der Rückseite. Mit der Kartei können auch schwächere Kinder trainieren. Sie ist auch eine Hilfe für externe Rechentrainer. Die CD-ROM Blitzrechnen bietet noch mehr Möglichkeiten. Insbesondere enthält sie Testmodule, mit denen die Kinder ihre Lernfortschritte selbst überprüfen können. Diese CD gibt es in einer inzelplatzversion und einer Netzwerkversion für eine ganze Schule, jeweils für die Klassen / und /. Außerdem können abgespeckte Versionen für jedes Schuljahr getrennt mit dem Arbeitsheft bezogen werden. 6

7 rste Orientierung Auch im Sachrechnen und in der Geometrie gibt es Basiskompetenzen, die besondere Übungsanstrengungen erfordern. Hierfür stehen die Karteien Sachrechnen im Kopf. Basiskurs Größen / und / sowie Geometrie im Kopf. Basiskurs Formen (ab Klasse ) zur Verfügung. Die Basiskompetenzen in den Bereichen Zahlen, Formen und Größen kennzeichnen den unteren Anforderungsbereich. Förderung leistungsschwächerer Kinder Der rfolg in der Mathematik steht und fällt mit dem Aufbau von Verständnis. Was man verstanden hat, kann man besser anwenden und behalten. Damit hat man auch für das Weiterlernen eine bessere Grundlage. Dies kann man nicht oft genug betonen. Wegen seines auf Verständnis ausgerichteten Ansatzes bewährt sich das ZAHLNBUCH gerade bei schwächeren Kindern, wie empirische Untersuchungen zeigen. Mehrere lemente des Werkes wirken sich hier positiv aus: der schlüssige Aufbau, die kleine Anzahl gut ausgewählter Anschauungsmittel, prägnante zeichnerische Darstellungen und Sprechweisen, durchgehende Übungsformate, wiederkehrende Lehr-/Lernstrukturen. All dies hilft auch den rklärungsbedarf zu reduzieren und trägt zur ntlastung der Lehrpersonen bei. Da der Blitzrechenkurs nicht nur das übliche Kopfrechnen, sondern auch grundlegende Zahlvorstellungen und Zahlbeziehungen umfasst, die für das Verständnis entscheidend sind, ist der Kurs gleichzeitig ein eingebautes Förderprogramm für Kinder, die sich mit der Mathematik etwas schwerer tun. Basiskompetenzen heißen ja auch deshalb Basiskompetenzen, weil von ihnen andere Kompetenzen abhängen. Für eine intensive Übung der grundlegenden Anforderungen wurde die Reihe Verstehen und Trainieren. Grundaufgaben zum Zahlenbuch entwickelt, die ergänzend zum Arbeitsheft eingesetzt werden kann. Wie der Titel zum Ausdruck bringt, geht es nicht um das bloße Rechentraining, sondern um Üben im Hinblick auf Verständnis. Die Hefte dieser Reihe stellen zum großen Teil eine schriftliche Grundlegung der Blitzrechenübungen dar. Wir empfehlen dringend, dass bei Kindern mit zusätzlichem Förderbedarf zuallererst die Möglichkeiten des ZAHLNBUCHs und seiner Begleitmaterialien ausgeschöpft werden. Förderung leistungsstarker Kinder Leistungsstarke Kinder können sich bei den grün unterlegten Angeboten ausleben und erhalten darüber hinaus durch Igelaufgaben zusätzliche Anregungen. Zur weiteren Förderung steht die Reihe Probieren und Kombinieren. Igelaufgaben zum Zahlenbuch zur Verfügung, die aber keinesfalls als exklusives Angebot für diese Gruppe zu verstehen ist. Auch schwächere Kinder können und sollen sich an diesen Aufgaben versuchen. Probieren ist eine mathematische Grundstrategie, die gerade dann eingesetzt wird, wenn man noch keine Lösungsstrategien kennt. Da das ZAHLNBUCH mathematisch gehaltvoll ist, können leistungsstarke Kinder viele Themen des Buches selbstständig weiterführen. Auch diese Kinder sollten zunächst einmal unter Ausschöpfung der Möglichkeiten, die das ZAHLNBUCH bietet, gefördert werden. Im Begleitband werden dazu Hinweise gegeben. Nach unserem Verständnis zeigt sich eine echte Begabung von Kindern darin, dass sie mathematische Themen aus sich selbst kreativ weiterspinnen können. Diagnose In bewusster Abgrenzung von der Diagnositis, der Testeritis und der valuitis, die von den angelsächsischen Ländern aus leider immer stärker auch auf uns übergreift, setzt das ZAHLN- BUCH auf implizite Formen von Diagnose: Die Kinder bearbeiten im Unterricht ständig Aufgaben, an deren Bearbeitung man den Lernstand einschätzen kann. ine Aufgabe wird ja nicht erst dadurch zu einer Testaufgabe, dass sie auf einem Testblatt oder Diagnosebogen steht. Wenn z. B. das inspluseins gelernt wird, rechnen die Kinder im Unterricht mündlich und schriftlich eine Vielzahl von Aufgaben. Wenn es um die schriftliche Multiplikation geht, werden dazu viele Aufgaben mit unterschiedlich großen Zahlen gerechnet. Aus den mündlichen und schriftlichen Äußerungen der Kinder im normalen Unterricht kann man umfassendere Informationen über den Lernstand und die Lernfortschritte gewinnen als aus Diagnosebögen, deren Auswertung nur zusätzliche Zeit kostet. Die Äußerungen der Kinder müssen im Unterricht aber durch geschicktes Fragen und Nachfragen gezielt angeregt werden. Dies gelingt natürlich umso leichter, je mehr Sprechanlässe die im Unterricht behandelten Themen bieten und provozieren. Auch auf diesem Gebiet setzt das ZAHLNBUCH Maßstäbe. Zum eigenaktiven und eigenverantwortlichen Lernen gehört es auch, die Kinder anzuleiten, von sich aus bei anderen Kindern und der Lehrperson nachzufragen, wenn sie etwas nicht verstanden haben. s gibt nur einen Bereich, in dem die Lehrperson im Interesse der Kinder und im eigenen Interesse gut daran tut, sich über die Lernfortschritte genau auf dem Laufenden zu halten und darüber sogar Buch zu führen: den Bereich der Basiskompetenzen, vor allem im Blitzrechnen. Dieser Bereich ist überschaubar und lässt sich mit einem akzeptablen Aufwand kontrollieren, was bei den Totalprogrammen von Diagnose und Fördern, mit denen der gesamte Unterricht nach angelsächsischen Vorstellungen überzogen werden soll, nicht der Fall ist. Mit der CD-ROM Blitzrechnen steht nicht nur ein einfaches Förderprogramm, sondern auch ein einfaches Diagnoseprogramm zur Verfügung. Da falsche ingaben nicht angenommen werden, erhalten die Kinder eine unmittelbare Rückmeldung über die Richtigkeit ihrer Rechnungen. Mit den Testmodulen sowohl für die einzelnen Übungen als auch mit den Gesamttests für alle Übungen eines Schuljahrs können die Kinder selbst ihren Lernstand einschätzen. Bei der inzelplatzund der Netzwerkversion sind die rgebnisse des Gesamttests von der Lehrperson mühelos einzusehen. Die Lehrperson erhält auf einen Blick eine Übersicht über den Stand einer Klasse beim Blitzrechnen und kann sich auf dieser Grundlage mit Kindern und ltern über weitere Übungsmaßnahmen verständigen. ltern und Kindern die Bedeutung des Blitzrechnens bewusst zu machen, ihnen die Notwendigkeit beständigen Übens vor Augen zu führen, ihre Fortschritte genau zu verfolgen und eisern auf entsprechenden Übungsanstrengungen auf diesem Gebiet zu beharren: Auf diesem eng begrenzten Gebiet lohnt es sich, nergie zu investieren. Alle Beteiligten werden früher oder später begreifen, dass sich alles andere im Unterricht viel schneller und leichter erledigen lässt, wenn die Basiskompetenzen sicher und mit Verständnis beherrscht werden. 7

8 Allgemeine Praxishinweise in Plan, den man nicht ändern kann, ist ein schlechter Plan. Publilius Syrus,. Jhdt. v.chr. In diesem Abschnitt sollen Hinweise vorweg genommen werden, die für den Unterricht generell wichtig sind. Dies erspart bei den Hinweisen zu den einzelnen Seiten Wiederholungen. Im ZAHLNBUCH werden mathematische Grundideen von der Frühförderung beginnend über die Klassen hinweg konsequent entwickelt. Dies wird in der Grundkonzeption erläutert. Für den Bereich Zahlen und Operationen kommt die entsprechende Gliederung in Themenblöcke in der linken Spalte des Inhaltsverzeichnisses deutlich zum Ausdruck. Die Grundideen der Bereiche Raum und Form, Größen, Messen, Sachrechnen und Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit werden in der mittleren Spalte des Inhaltsverzeichnisses durch Fettdruck hervorgehoben. Mit der gleichen Farbe wie dieser letztgenannte Bereich ist auch die elementare Kombinatorik gekennzeichnet, da sie im Mathematikunterricht nur in Verbindung mit diesem Bereich Bedeutung hat. Inhaltlich handelt es sich bei der Kombinatorik natürlich um ein Teilgebiet des Bereichs Zahlen und Operationen. Daten kommen auch im Bereich Größen, Messen, Sachrechnen vor, wie in manchen Lehrplänen zu Recht ausgewiesen ist. Umfassende mathematische und didaktische Hinweise finden sich auf eingeschobenen Seiten vor jedem Themenblock. Lernumgebungen und didaktische Situationen In den letzten Jahren hat es sich eingebürgert, den Unterricht in Lernumgebungen zu gliedern. Durch diese Bezeichnung kommt zum Ausdruck, dass den Lernenden Spielräume für eigene Aktivitäten geboten werden müssen. ine Lernumgebung kann kleinere Lernumgebungen enthalten und selbst Teil einer umfassenderen Lernumgebung sein. Das ZAHLNBUCH wurde so konzipiert, dass in der Regel jede Seite bzw. Doppelseite als Lernumgebung erscheint. Das betreffende Thema wird in der Überschrift benannt. Man kann die Beschreibung einer Lernumgebung mit einem Theaterstück vergleichen, das aufgeführt werden soll. Die Lehrperson führt dabei Regie. Als Regisseurin hat sie selbst Freiheiten, die sie nutzen darf und soll. Die in diesem Begleitband unter der Rubrik Wie kann man vorgehen? gemachten Regiehinweise sind daher grundsätzlich nur als mpfehlungen zu verstehen. Für die Unterrichtsorganisation hat sich eine Unterscheidung didaktischer Situationen bewährt, die der französische Didaktiker Guy Brousseau vorgeschlagen hat:. inführung in eine Lernumgebung. Aktive Bearbeitung der Aufgaben durch die Kinder. Bericht und Diskussion. Reflexion (rklärung eines Lösungswegs, Begründung eines Musters). Zusammenfassung ( Institutionalisierung ) Der Lehrperson und den Kindern fallen bei den einzelnen Situationen unterschiedliche Aufgaben zu: Zu : Bei der inführung in eine Lernumgebung geht es darum, die Aufgabenstellung möglichst klar zu beschreiben. Dies geschieht am besten mithilfe prägnanter Beispiele. Vor der Arbeit mit dem Buch müssen immer Aktivitäten stehen, die auf die Aufgabenstellungen im Buch vorbereiten. Dafür werden in der Regel einzelne Aufgaben aus dem Buch herausgegriffen. Zu : Wenn die Aufgabenstellung verstanden ist, sollen die Kinder möglichst selbstständig arbeiten, alleine, in Zweiergruppen oder in Kleingruppen. Die Lehrperson muss sich nur vergewissern, ob alle verstanden haben, worum es geht und ggf. steuernd eingreifen. In manchen Fällen arbeitet die gesamte Klasse gemeinsam an einer Aufgabe. Zu : Nach Bearbeitung der Aufgabenstellung werden die rgebnisse an der Tafel gesammelt, geordnet und besprochen. Hier kommt es darauf an, die Kinder durch gute Fragen zum Sprechen zu bringen. Zu : In der Reflexionsphase ist es das Ziel, die Kinder zu rklärungen von Lösungswegen und zu Begründungen von Mustern anzuleiten. Dazu müssen Impulse gegeben werden. Die Lehr - person ist hier voll gefordert. Zu : Zum Abschluss der Arbeit werden die wichtigen rgebnisse von der Lehrperson herausgestellt und zusammengefasst. Wie ersichtlich, beschreiben diese fünf Situationen die Abfolge der Phasen, die bei der Untersuchung einer mathematischen Aufgabenstellung durchlaufen werden. In Reinform findet sich diese Abfolge bei den grün unterlegten Seiten, bei denen die allgemeinen mathematischen Kompetenzen Modellieren, Problemlösen, Argumentieren, Darstellen und Kommunizieren voll zur Geltung kommen. Bei anderen Lernumgebungen spielen nur einzelne Situationen eine Rolle. Wenn z. B. auf einer Seite nur Übungsaufgaben zu einer vorher eingeführten Fertigkeit gerechnet werden, bedarf es keiner neuen inführung und die Besprechung kann kurz gehalten werden. Wenn die Kinder in Kleingruppen Blitzrechnen üben, ist nur die Situation relevant. Die unterschiedlichen Rollen der Lehrperson und der Kinder bei den einzelnen Situationen gehen aus folgender Tabelle hervor: Situation Lehrperson Kinder inführung Aufgabe erklären zuschauen, zuhören, mitmachen aktive Bearbeitung beobachten, Hinweise geben arbeiten Sammlung der rgebnisse, Bericht Reflexion Zusammenfassung zuhören, nachfragen Blick öffnen, anleiten prägnant darstellen berichten, zuhören erklären, begründen zuhören, nachfragen 8

9 Allgemeine Praxishinweise inrichtung von Kleingruppen Um das selbstständige Arbeiten der Kinder zu unterstützen, empfehlen wir generell eine Organisationsform, die in Japan vielfach praktiziert wird und sich dort ausgesprochen bewährt hat: die inrichtung relativ fester Kleingruppen. In der japanischen Gesellschaft spielt die solidarisch arbeitende Gruppe eine Schlüsselrolle. Der Grundgedanke ist aber auch dem westlichen Denken keineswegs fremd. r findet sich z. B. im Subsidiaritätsprinzip einiger Soziallehren, das folgendermaßen lautet: Jede soziale Gruppe soll die Aufgaben, die sie selbst bewältigen kann, in eigener Regie bearbeiten, und nur dann Hilfe von einer höheren bene anfordern, wenn die eigenen Kräfte nicht ausreichen. Auf eine Schulklasse übertragen, bedeutet dieses Prinzip, dass zwischen das einzelne Kind und die Lehrperson Kleingruppen mit bis Kindern als Zwischenebene eingeschoben werden. Die Kinder jeder Gruppe sollen sich gegenseitig helfen, natürlich ohne einander die Arbeit abzunehmen. In der japanischen Praxis werden die Gruppen im Laufe eines Jahres mehrfach neu gemischt. Die Organisation der Gruppen erfordert zu Beginn natürlich einen bestimmten Aufwand, aber diese Investition lohnt sich. Für einige Aufgabenstellungen des ZAHLNBUCHs sind Kleingruppen eine große Hilfe, z. B. für das Blitzrechnen, bei denen die Kinder sich gegenseitig Aufgaben stellen und sich kontrollieren, und für Mathekonferenzen, bei denen sich die Kinder gegenseitig ihre Rechen- und Lösungswege erklären. Der möglichst selbstständige Umgang der einzelnen Kinder und der Kleingruppen mit dem Buch wird durch Lösungsbände zum Schülerbuch und zum Arbeitsheft unterstützt. Die Hefte der Reihe Probieren und Kombinieren enthalten Lösungsblätter. Unterricht in altersgemischten Klassen In altersgemischten Klassen führt kein Weg daran vorbei, Gruppen zu bilden, die an verschiedenen Bänden des ZAHLNBUCHs arbeiten. Dies liegt in der Natur der Mathematik. Das inspluseins im ersten Schuljahr z. B. hat eine andere Struktur als das inmaleins im zweiten Schuljahr. Das halbschriftliche Rechnen ist etwas anderes als das schriftliche. Natürlich gibt es zwischen verschiedenen Themen auch Beziehungen. Die Verdopplungsaufgaben im inspluseins etwa kommen in anderer Schreibweise auch im inmaleins vor, und halbschriftliche Strategien bilden die Grundlage für schriftliche Verfahren. Dies rechtfertigt aber keineswegs einen gemeinsamen Unterricht. Der Unterricht muss unter diesen Bedingungen so organisiert werden, dass eine Lerngruppe in eine Lernumgebung eingeführt werden kann oder in einer Lerngruppe rgebnisse besprochen, reflektiert bzw. zusammengefasst werden können, während die anderen Kinder/Kleingruppen selbstständig arbeiten. Diese Unterrichtsform ist ohne Zweifel anspruchsvoll. Wenn an den Zielsetzungen des Mathematikunterrichts keine Abstriche gemacht werden sollen, wird im altersgemischten Unterricht ein Buch benötigt, das bewusst das eigenständige Arbeiten fördert und den informellen Austausch zwischen den Gruppen fördert. Das ZAHLNBUCH genügt diesen Ansprüchen. Hinweise zum insatz des Werkes in altersgemischten Klassen finden sich auf der dem Materialband beiliegenden CD. Stoffverteilung Von den 0 Seiten des Schülerbuchs enthalten die 0 Seiten des Themenblocks rgänzende Übungen keinen neuen Stoff, sondern stellen einen Puffer dar, auf den während und am nde des Schuljahrs zur Differenzierung zugegriffen werden kann. Nicht alle Seiten/Doppelseiten erfordern den gleichen Aufwand. Langsamer vorgehen muss man bei der Grundlegung von Themen. Davon hängt das Verständnis ab. Ansonsten empfiehlt sich ein zügigeres Tempo. Im ZAHLNBUCH werden alle grundlegenden Themen des Bereichs Zahlen und Operationen in mehreren Durchgängen behandelt und die Basiskompetenzen im Blitzrechnen das gesamte Schuljahr hindurch geübt. Daher wird kein Kind abgehängt. Bereits beim ersten Themenblock wird dieses Konstruktionsprinzip deutlich: Immer geht es um Anzahlen, die Zahlenreihe, Ordnungszahlen und Maßzahlen (Geld). Immer steht die strukturierte Anzahlerfassung im Mittelpunkt. Bei dem inspluseins folgt nach Plusaufgaben in der Umwelt die Behandlung von Plusaufgaben am Zwanzigerfeld. Im nächsten Durchgang schließen sich Übungen an Rechenformaten (Zahlenmauern, Rechendreiecke) und die Vertiefung an der inspluseins-tafel an. Begleitet wird dies durch die entsprechenden Blitzrechenübungen, die den Unterricht ständig begleiten. s sind immer die gleichen Grundideen, die nach dem Spiralprinzip entwickelt werden. Das ZAHLNBUCH ist nicht als Angebot aufzufassen, das Seite für Seite und Aufgabe für Aufgabe abgearbeitet werden muss. Die Lernziele lassen sich auch mit dem sprichwörtlichen Mut zur Lücke erreichen. Der einzige Bereich, in dem Lücken vermieden werden müssen, ist das Blitzrechnen. Hier ist aber zu beachten, dass der Großteil der 0 Übungen im ersten Halbjahr eingeführt wird, sodass ein weiteres Halbjahr für deren gründliche Übung zur Verfügung steht. Wenn alle diese Punkte beachtet werden, sollte kein Stoffdruck entstehen. Als grobe Anhaltspunkte für die Stoffverteilung haben sich im Band folgende Angaben bewährt:. Halbjahr: Orientierung und inführung Schuljahresbeginn bis Herbstferien: Wiederholung, Orientierung im Hunderterraum Herbstferien bis Weihnachten: Addition im Hunderter, Subtraktion im Hunderter, Integrierende Übungen Weihnachten bis nde des. Halbjahres: inführung von Multiplikation und Division (bis S. 7). Halbjahr: Übung und Vertiefung nde des. Halbjahres bis Ostern: Fortsetzung von Multiplikation und Division Ostern bis Pfingsten: Vertiefung der Addition und der Subtraktion Vertiefung des inmaleins (bis S. 0) Pfingsten bis Schuljahresende: Vertiefung des inmaleins (S. 0 ff.), rgänzende Übungen Die Miniprojekte Zeit, Daten sammeln Bald ist Weihnachten, Bald ist Ostern sind zeitlich einzupassen. Bei späteren Osterferien sollte vor Ostern schon mit der Vertiefung des inmaleins begonnen werden. Bei Verzögerungen im Zeitplan, die aus unterschiedlichen Gründen eintreten können, bildet der Themenblock rgänzende Übungen wie oben schon angemerkt einen Puffer. 9

10 Arbeits- und Demonstrationsmittel im Band In der Volkskunst muss die Funktionsfähigkeit der hergestellten Gegenstände unverzichtbares Ziel sein. In der Verbindung von echtem Material und mit ehrlichem Handwerk werden zweckmäßige, dauerhafte und schöne Produkte geschaffen. Das Handwerk aber ist nicht der Schönheit untergeordnet, sondern umgekehrt die Schönheit dem Handwerk. Funktionsfähigkeit ist Schönheit. Grundsatz der japanischen Kakiemon-Töpfer-Dynastie Im Folgenden werden die für das Zahlenbuch infrage kommenden Arbeits- und Demonstrationsmittel beschrieben. Welche davon jeweils benötigt werden und welche Materialien sonst noch bereitgestellt werden müssen, ist bei den Hinweisen zu den einzelnen Seiten/Doppelseiten unter der Rubrik WAS WIRD BNÖTIGT? angegeben. Arbeitsmittel Für die Arbeit mit dem Band werden benötigt: Hunderterfeld (im Schülerbuch auf S., für die Grundideen Rechnen und Zehnersystem ) Hundertertafel (im Schülerbuch auf S., als Kopiervorlage im Materialband, für die Grundidee Zehnersystem ) Zahlwinkel und inmaleinswinkel (beiliegend, für die Grundideen Rechnen und Zehnersystem ) Zehner- und Fünferstreifen (beiliegend, rot/blau, für die Grundidee Zehnersystem ) inmaleins-plan im Format DIN A (beiliegend, für die Grundideen Zahlenreihe und Rechnen ) inmaleins-tafel (auf der Rückseite des Schülerbuchs, für die Grundideen Rechnen und Zahlenmuster ) Rechengeld (Münzen und Scheine in Cent und uro, für die Grundidee Zahlen in der Umwelt ) Tangram (beiliegend, für die Grundidee Formen legen ) Lernuhr (als Kopiervorlage im Materialband, für die Grundidee Zahlen in der Umwelt ) Diese Arbeitsmaterialien wurden so ausgewählt, dass sie die arithmetischen Grundideen für den zweiten Band voll abdecken (bis auf die Grundidee Rechenverfahren, die bei den ersten beiden Bänden noch keine Rolle spielt). Im Programm mathe 000 sind folgende Arbeitsmaterialien erhältlich (Bestellnummern und Preise sind dem aktuellen Katalog für die Grundschule des rnst Klett Verlags zu entnehmen): Arbeitsmittel (Zahlwinkel, inmaleinswinkel, Tangram, Zehner- und Fünferstreifen, inmaleins-plan, großes Hunderterfeld, im Fünfer-Pack zur Nachbestellung) Wendeplättchen (Klassensatz mit 00 Stück, blau/rot, aus dickem Karton) Der Hunderterrahmen (0 Zehnerschiffchen mit 00 Wendeplättchen aus Holz im Holzrahmen) Bei dem zuletzt genannten Holz-Material handelt es sich um eine besonders haltbare und handliche Alternative zu den Zehnerund Fünferstreifen, welche einen besseren haptischen Zugriff erlaubt als Materialien aus Karton. Demonstrationsmittel Die Unterrichtsarbeit wird erleichtert, wenn einige oder im Idealfall alle Arbeitsmittel auch als Demonstrationsmittel im Groß format zur Verfügung stehen. Kinder können dann Arbeitsaufträge, Aufgabenstellungen und rklärungen, die von der Lehrperson am Demonstrationsmaterial verdeutlicht werden, sofort am eigenen Material nachvollziehen und auch ihre am eigenen Material erarbeiteten Lösungswege und Überlegungen mithilfe des Demonstrationsmaterials der ganzen Klasse vorstellen. Dies ist effektiver als eine rein verbale Präsentation. Folgende genau auf die Arbeitsmittel der Kinder abgestimmte Demonstrationsmaterialien werden im Programm mathe 000 des rnst Klett Verlags angeboten: Wendeplättchen (00 Stück, blau/rot, doppelseitig magnetisch, Ø cm) inmaleins-tafel (Poster, 8 cm x 9 cm (A 0), stabiles Kunststoffpapier) inmaleins-plan (Poster, 8 cm x 9 cm (A 0), stabiles Kunststoffpapier) Diese Materialien sind sehr haltbar und können jahrelang verwendet werden. Die inmaleins-tafel kann ähnlich wie die inspluseins-tafel auf einem großen Bogen Tonpapier aufgezeichnet werden, wobei man die Farbgebung der Felder durch die Farbe der eingetragenen Aufgaben ersetzen kann (rote Felder rot beschriften, blaue blau,, weiße Felder schwarz). Nach Möglichkeit sollte man die Schüler an der Herstellung beteiligen. Interaktive Tafelbilder Für den insatz in Klassenzimmern, die mit einem Whiteboard ausgestattet sind, stehen interaktive Tafelbilder (itb) zum ZAH- LNBUCH zur Verfügung. In allen didaktischen Situationen, in denen Informationen gegeben werden müssen und es auf die Kommunikation mit den Kindern ankommt, insbesondere den didaktischen Situationen inführung, Bericht und Diskussion sowie Begründung, sind interaktive Tafelbilder eine sehr große Hilfe. Bei der inführung in Schülerbuchseiten und deren Besprechung sind sie unübertrefflich. Interaktive Tafelbilder erlauben auch eine Veränderung von Rechnungen und unterstützen damit die Diskussion über Rechenwege. In den Praxishinweisen wird in der Rubrik WAS WIRD BNÖTIGT? unter dem Kürzel itb auf ein interaktives Tafelbild zur Seite/Doppelseite hingewiesen. Das ZAHLNBUCH fordert vielfach zu Handlungen an grundlegenden Materialien auf, durch die Rechenwege erklärt, Beziehungen aufgezeigt und Begründungen für Muster (operative Beweise) gegeben werden. In den Praxishinweisen zu den Seiten/Doppelseiten des Schülerbuchs wird dies genau ausgeführt. Dafür steht die mathe 000-Galerie digitaler Darstellungen zur Verfügung, die in die interaktiven Tafelbilder integriert ist. Bei den Praxishinweisen lassen wir offen, in welcher Ausführung (OHP, Magnettafel, Whiteboard) die Demonstrationsmittel eingesetzt werden. 0

11 Praxishinweise zu den Seiten/Doppelseiten im Schülerbuch Konzepte sind wichtiger als Rezepte. Ferran Adrià, Spanischer Meisterkoch Dieser Abschnitt ist folgendermaßen aufgebaut: Jedem Themenblock ist eine Doppelseite vorangestellt, auf der die mathematischen und didaktischen Grundlagen erklärt werden. Anschließend werden Praxishinweise zu den einzelnen Seiten des Themenblocks gegeben. Wenn sich ein Thema über eine Doppelseite erstreckt, was häufig der Fall ist, zieht sich ein zusammenhängender Text über die beiden zugehörigen Seiten im Begleitband. inzelseiten im Schülerbuch werden wo immer möglich auf einer Seite im Begleitband behandelt. Manchmal war ein Ausweichen auf die Nachbarseite unvermeidlich. Die Überlappungen sind aber gut zu erkennen. rleichtert wird dies durch das bewährte Gliederungsschema: WAS WIRD benötigt? Worum geht es? Wie kann man vorgehen? Die letzte Rubrik wird unterteilt in die Abschnitte Vor der Arbeit mit dem Buch: Nach der Arbeit mit dem Buch: Am nde des Abschnitts wird im Abschnitt Fortsetzung: auf anschließende Aufgaben/Seiten im Arbeitsheft, in den Heften Verstehen und Trainieren. Grundaufgaben zum Zahlenbuch, Probieren und Kombinieren. Igelaufgaben zum Zahlenbuch, die Rechenkartei Blitzrechnen, die CD-ROM Blitzrechnen sowie auf weitere Zusatzmaterialien (z. B. Die Denkschule ) verwiesen. s sei an dieser Stelle noch einmal angemerkt, dass die Aufgabenstellungen im Arbeitsheft und auch die Aufgaben im Heft Verstehen und Trainieren im Schülerbuch erarbeitet werden. Daher eignen sich diese Hefte gut für Hausaufgaben. Übersicht über die Werkteile: Das Zahlenbuch für das. Schuljahr Schülerbuch (allgemeine Ausgabe) Arbeitsmittel Fünfer-Pack Schülerbuch (Ausgabe Baden-Württemberg) Schülerbuch und Arbeitsheft mit Lösungen Arbeitsheft mit CD-ROM Lehrerpaket (Begleitband und Materialband mit CD-ROM) Arbeitsheft ohne CD-ROM Digitaler Unterrichtsassistent Weitere Materialien für das. Schuljahr Übungsmaterialien Arbeitshefte zum Fördern und Fordern Software Verstehen und Trainieren Blitzrechensoftware /, inzelplatzversion Probieren und Kombinieren Blitzrechensoftware /, Netzwerkversion Karteien Lernspiele Blitzrechnen Basiskurs Zahlen (bis 00) Spiegeln mit dem Spiegel Sachrechnen im Kopf / Basiskurs Größen Die Denkschule / Arbeits- und Demonstrationsmaterial Wendeplättchen, 00 Stück, Klassensatz inspluseins-tafel, Poster (8 cm x 9 cm), Kunststoffpapier Metallbox mit Wendeplättchen, 60 Stück aus festem Karton Wendeplättchen, 00 Stück, magnetisch, Demonstrationsmaterial Der Hunderterrahmen, 0 Zehnerschiffchen, 00 Wendeplättchen aus Holz inmaleins-tafel, Poster (8 cm x 9 cm), Kunststoffpapier inmaleins-plan, Poster (8 cm x 9 cm), Kunststoffpapier Spiel- und Lernplakate / (9, cm x 8 cm), Dreier-Pack Interaktive Tafelbilder inzellizenz / Schullizenz /

12 Themenblock Wiederholung und Ausblick Mathematische und didaktische Grundlagen [Die] Routine ist in der Mathematik etwas Unvermeidliches., Automatismen sind nötig; sie werden durch Übung erworben, und zweckmäßige Übungen gehören zum Arbeitsstoff. Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Band, S. Die Klagen, dass die Kinder in den Ferien vieles oder gar alles vergessen haben, sind legendär und haben in den letzten Jahrzehnten aus allgemein bekannten Gründen noch zugenommen. Die einzige Möglichkeit, um dieser ntwicklung im Mathematikunterricht entgegenzuarbeiten, ist die Konzentration auf wenige mathematische Grundideen, die gründlich und häufig behandelt werden können, eben weil sie Grundideen sind. Der Band des ZAHLNBUCHs beginnt mit einem relativ kurzen Abschnitt zur Wiederholung der wichtigsten Lernziele des ersten Schuljahrs, in dessen Mittelpunkt natürlich das inspluseins und seine Umkehrung stehen. s erscheint sinnvoll an dieser Stelle noch einmal an die dem inspluseins zugrundeliegenden Rechengesetze zu erinnern und auch die Blitzrechenübungen des ersten Schuljahrs noch einmal aufzulisten. Rechengesetze Wie im Begleitband zum Themenblock inführung der Addition ausgeführt, beruht die Addition auf lediglich zwei Rechengesetzen: Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) a + b = b + a, Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) a + (b + c) = (a + b) + c. Diese beiden Gesetze erlauben es, schwierigere Plusaufgaben auf folgende Typen einfacher Plusaufgaben zurückzuführen: Addition von Zahlen im Fünferraum, Addition von, 0 (und 0, grün), rgänzen bis 0 (blau), Addition von (gelb), Verdopplungsaufgaben (rot). In der inspluseins-tafel sind diese einfachen Aufgaben farblich hervorgehoben, wie in Klammern angegeben Die Zurückführung von schwierigeren Aufgaben auf einfache ist eine Grundstrategie der Mathematik, die den Kindern bei den Plusaufgaben erstmals begegnet. Was sie dabei lernen, hat also grundsätzliche Bedeutung für das mathematische Arbeiten. Leistungsstarke Kinder erkennen den Nutzen dieser Strategie selbst, schwächere Kinder müssen hingeführt werden, sie zu nutzen. Diese in der Natur der Mathematik liegende Art Förderung ist die einzig sinnvolle. Im Band wurde die Subtraktion zunächst als eigene Rechenart eingeführt, aber anschließend wurde sofort der Zusammenhang mit der Addition aufgezeigt: ine Plusaufgabe und jede ihrer beiden Umkehrungen bedingen einander. Wenn man die Tauschaufgabe einbezieht, hat man also eine Familie von vier Aufgaben. Beispiel: 8 + 6, 6 + 8, 6, 8 Dies kann man so interpretieren, dass die drei Zahlen 6, 8 und in zwei Plus- und zwei Minusbeziehungen stehen. Wenn die Kinder diese Beziehungen verstanden haben, können sie aus = die rgebnisse der zwei Minusaufgaben 6 = 8 und 8 = 6 ableiten, ohne eigens rechnen zu müssen. Dies ist der Grund dafür, dass das inspluseins beim Lernen und bei der Automatisierung Vorrang erhält. Die Beziehung zwischen Addition und Subtraktion zu verinnerlichen, dauert aber seine Zeit. rinnert werden muss auch noch an die Tatsache, dass es bei der Subtraktion zwei Aspekte gibt: das Abziehen und das rgänzen. Beim rgänzen wird das rgebnis additiv bestimmt. Beispiel: 9 =, da 9 + = 0 und 0 + =, + = ist. Solche Überlegungen zu verinnerlichen, dauert aber ebenfalls seine Zeit. Da diese operativen Beziehungen im Hunderter- und Tausenderraum erneut angesprochen werden, haben die Kinder noch mehrfach Gelegenheit dazu. Blitzrechenübungen im Band Das inspluseins und das insminuseins sind die wichtigsten Blitzrechenübungen des ersten Schuljahrs. Die ersten sechs Übungen Wie viele?, Zahlenreihe, Zerlegen, Immer 0 /Immer 0 (rgänzen bis 0, rgänzen bis 0), Verdoppeln und Kraft der Fünf beziehen sich auf Zahlvorstellungen und Zahlbeziehungen, die das inmaleins und das insminuseins vorbereiten und unterstützen und sind in beide Rechenarten integriert. Die nachfolgenden Übungen Halbieren, Zählen in Schritten und Mini-inmaleins bieten zusätzliche Stützen. Aus diesem Grund ist es sehr sinnvoll, die Blitzrechenübungen von Band mit der Wiederholung des inspluseins und des insminuseins auf den Seiten 8 zu verbinden. Dies ist die effektivste Auffrischung der Basiskompetenzen. Probieren und Kombinieren Zusammen mit den inhaltsbezogenen Kompetenzen müssen auch die allgemeinen, prozessbezogenen Kompetenzen aufgefrischt werden. Dafür werden in diesem Themenblock Aufgaben über Zahlenmauern und Rechendreiecke herangezogen, die durch Probieren gelöst werden können. Beispiel: Bei der folgenden Zahlenmauer sind die drei inneren Zahlen gesucht:

13 Themenblock Wiederholung und Ausblick Mathematische und didaktische Grundlagen 8 Die Lösung gelingt, wenn man den mittleren Grundstein versuchsweise ansetzt und damit die Zwischensteine berechnet. Ist deren Summe gleich dem Deckstein, ist man fertig. Ist sie größer bzw. kleiner, muss man die angesetzte Zahl in der Mitte unten verkleinern bzw. vergrößern. Nach wenigen Schritten hat man die Lösung: Jedes Kind kann mit Probieren zum Ziel kommen. Leistungsstarken Kindern ist es aber unbenommen, die Lösung schnell oder gar auf direktem Weg zu finden. In analoger Weise löst man auch Rechendreiecke, bei denen die drei äußeren Zahlen vorgegeben sind. Beispiel: 7 9 Auch hier kann man die linke innere Zahl versuchsweise ansetzen, in Abhängigkeit davon die rechte und obere innere Zahl ausrechnen. Wenn zufällig die obere und linke innere Zahl gleich der linken äußeren Zahl ist, hat man die Lösung gefunden. Wenn diese Summe zu groß bzw. zu klein ist, muss man die linke innere Zahl verkleinern bzw. vergrößern. Wieder findet man in wenigen Schritten die Lösung. Auch hier können leistungsstarke Kinder schneller oder direkt zur Lösung gelangen Das Zufallsexperiment Doppelwürfel Zu dieser Wiederholung passt sehr gut das Würfeln mit zwei Würfeln (Doppelwürfel), das für das Verständnis von Zufallsphänomenen besonders lehrreich ist. Auf Seite 9 wird an einem wichtigen Beispiel eine Grundidee der Stochastik verdeutlicht: Ausfälle eines Zufallsexperiments, die auf den ersten Blick gleich wahrscheinlich sind, sind tatsächlich nicht gleich wahrscheinlich. Dies wird deutlich, wenn zwei Zufallsexperimente gegenübergestellt werden: einerseits das Würfeln mit einem einzigen Würfel, bei dem die Ausfälle,,,, und 6 alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommen. Man spricht hier von Gleichverteilung, andererseits das Würfeln mit zwei Würfeln, bei dem die möglichen Summen der gewürfelten Zahlen, die sog. Augensummen,,,,, mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auftreten. Die Wahrscheinlichkeiten zeigen mit einer Bevorzugung der Mitte eine typische Verteilung. Den Kindern ist eine solche Ungleichverteilung mit einer Bevorzugung der Mitte bereits im. Schuljahr begegnet, nämlich beim Plättchen werfen. Bereits beim Werfen mit zwei Plättchen ist die Chance für den Ausfall rotes, blaues doppelt so groß wie für die Ausfälle rote und blaue. Der Grund dafür liegt darin, dass z. B. rote nur auf eine einzige Weise realisiert werden kann: Beide Plättchen müssen rot sein. Der Ausfall rotes, blaues hingegen entsteht, wenn das eine Plättchen auf die rote Seite fällt und das andere auf die blaue oder wenn das erste Plättchen auf die blaue, das andere aber auf die rote Seite fällt. Je mehr Plättchen man verwendet, desto breiter streuen die Häufigkeiten und die Wahrscheinlichkeiten um den Mittelwert. Beim Würfeln mit zwei Würfeln (einem roten und einem blauen) gibt es deshalb keine Gleichverteilung bei den Augensummen, weil die Augensumme nur dadurch entstehen kann, dass beide Würfel zeigen. Bereits bei der Augensumme gibt es aber zwei Möglichkeiten: Der blaue Würfel zeigt, der rote oder umgekehrt der rote zeigt und der blaue. In der Grundschule geht es lediglich darum, den Kindern durch eigene Handlungen, rfahrungen zum Zufall zu ermöglichen. Die begriffliche Durchdringung erfolgt in der Sekundarstufe und gelingt dort umso besser, je bessere Vorerfahrungen die Kinder aus der Grundschule mitbringen. Hier liegt der Grund dafür, dass es sich lohnt, stochastische Grundideen bereits in der Grundschule zu behandeln. igene Gestaltung von Seiten statt Kopiervorlagen Zu Beginn des Bandes muss noch ein Punkt angesprochen werden, der grundsätzliche Bedeutung hat. Das ZAHLNBUCH fördert eigenständiges Lernen. Dazu gehört auch, dass die Kinder lernen, leere Blätter selbst zu gestalten. Im Band wurden Anleitungen gegeben, wie man Päckchen übersichtlich aufschreibt. Im Band sollten die Kinder jetzt lernen, auch andere Übungsformate selbst darzustellen. Bei den Zahlenmauern kann man die Gitterstruktur mühelos zum Zeichnen der Kästchen nutzen. Bei den Rechendreiecken ist der Aufwand etwas höher. Auch wenn die ersten Versuche der Kinder noch etwas zu wünschen übrig lassen sollten, ist dieser Weg gerechtfertigt. r ist für die Kinder förderlicher und spart außerdem Kosten. Das Kind ist kein passives Wesen, dessen Hirn es vollzustopfen gilt, sondern ein aktives Wesen, das in seiner aktiven Suche nach Wissen gefördert werden will. Dieser radikale Perspektivenwechsel bei den Vertretern der aktiven Schule läuft keineswegs auf die Abschaffung des Unterrichts hinaus; dieser soll jedoch auf eine bescheidenere Rolle zurückgedrängt und der individuellen Arbeit untergeordnet werden. Jean Piaget: Über Pädagogik. Weinheim: Beltz 999, S. 8

14 inspluseins-tafel Wiederholung des inspluseins unter Betonung operativer Beziehungen inspluseins-tafel Demonstrationsmaterial: vtl. inspluseins- Tafel als Poster, itb WORUM GHT S? Die inspluseins-tafel wird im Band ausführlich behandelt und ist den Kindern bereits vertraut. Ihre Struktur wird noch einmal besprochen. In den farbigen Feldern stehen die einfachen Plusaufgaben: Aufgaben mit Summand 0, und 0 (grün) Verdopplungsaufgaben (rot), Zehnerergänzungsaufgaben (blau), Aufgaben mit Summand (gelb). Die beiden Aufgaben + = und + =, deren rgebnisse im Fünferraum liegen, und die ebenfalls als einfach gelten, sind in der Tafel nicht gefärbt. Aus den einfachen Aufgaben lassen sich die schwierigen Aufgaben in den weißen Feldern operativ erschließen, da jedes weiße Feld mindestens einem farbigen Feld benachbart ist. Die rgebnisse weichen nur um ab. Beispiele: Aus = 7 ergibt sich = 6 ( weniger). Aus = 6 folgt = 7 ( mehr). Aus 0 + = und 8 + = 0 folgt 9 + = ( weniger bzw. mehr). Vertauschungsaufgaben stehen spiegelsymmetrisch zur mittleren Zeile mit den Verdopplungsaufgaben. Da Vertauschungs aufgaben das gleiche rgebnis haben, brauchen also nur die rgebnisse von 7 schwierigen Aufgaben gelernt zu werden. Für die weitere Automatisierung des inspluseins dient die Tafel als Aufgabendisplay. WI KANN MAN VORGHN? Vor der Arbeit mit dem Buch: Die Lehrerin sollte die Kinder zunächst auffordern, ihre Rechenkenntnisse zu demonstrieren. Dann kann sie den Kindern Aufgaben stellen und sich dabei am Blitzrechenkurs von Band orientieren. Dann lenkt sie das Gespräch auf die inspluseins-tafel. Die Kinder erzählen, was sie darüber noch wissen. Die Lehrerin weist noch einmal darauf hin, dass man aus rgebnissen der einfachen Aufgaben die rgebnisse der schwierigen Aufgaben ableiten kann.? Beschreibe die einfachen Aufgaben und rechne sie mündlich. a) b) c) d) a) Welche Aufgaben haben b) Welche Aufgaben haben das rgebnis? das rgebnis? Rechne zu jeder Aufgabe vorher eine farbige Nachbaraufgabe. a) = Leon: Maria: 8 + = 9 + = a) = a) = = = + 7 = Stellt euch gegenseitig Aufgaben b) + = 7c) 8 + = + 6 = = + 7 = = + 8 = = 6 inspluseins-tafel wiederholen, verschiedene Möglichkeiten der Ableitung von rgebnissen aus rgebnissen farbiger Nachbaraufgaben nochmals bewusst machen. Bis zur inführung der halbschriftlichen Addition (Seite 0) inspluseinsaufgaben wiederholt rechnen und automatisieren. Arbeitsheft, Seite Die Typen der einfachen Plusaufgaben werden genannt und mündlich gerechnet, zunächst im Klassenverband, anschließend in Partner- oder Gruppenarbeit. Im Band, Seite 88, wird schon erarbeitet, dass bei den Aufgaben in jeder Spalte von oben nach unten der erste Summand immer um vermindert, der zweite immer um erhöht wird, das rgebnis also gleich bleibt. Diese rkenntnis soll hier aufgefrischt werden. a) Die Kinder können einige leichte Aufgaben mit dem rgebnis schnell finden: + 0 =, 0 + =, =, + =. Dann erinnern sie sich oder entdecken nochmals neu, dass die betreffende Spalte ein Schönes Päckchen von Aufgaben ist, die alle das rgebnis haben: 0 + =, 9 + =, =, =, =, + 9 =, + 0 =. 8 b) Analog wird das Schöne Päckchen der Aufgaben 0 + =, =, =, =, =, + 0 = identifiziert. Zu jeder weißen Aufgabe wird eine farbige Nachbaraufgabe gerechnet, wie es vorgemacht ist. s bleibt den Kindern überlassen, ob sie zuerst die einfache Aufgabe aufschreiben und dann die schwierige oder umgekehrt. Diese Aufgabe ist eine Aufforderung zur Wiederholung des inspluseins. Fortsetzung: ÆÆArbeitsheft Seite Nach der Arbeit mit dem Buch: s empfiehlt sich eine gründliche Wiederholung des Blitzrechnens vom Band.

15 DO0060_00_00.indd :: Seite: [Farbbalken für Fogra9] BlacK Yellow Magenta Cyan insminuseins-tafel Wiederholung des insminuseins unter Betonung operativer Beziehungen insminuseins-tafel? Rechne die einfachen Aufgaben mündlich. a) b) c) d) a) Welche Aufgaben haben das rgebnis 6? b) Welche Aufgaben haben das rgebnis? Zeige und rechne im Heft. Wie geht es weiter? a) 7 0 = 7 b) = 9 c) 6 6 = 0 d) 0 = 0 e) 7 7 = 0 8 = 7 = 9 6 = 9 9 = = 9 = 7 6 = 9 6 = 8 8 = = 0 = = 9 6 = 7 7 = = = = 9 6 = 6 6 = 8 7 = Stellt euch gegenseitig Aufgaben f) 6 6 = = 0 8 = 9= 0 = 6 0 In jedem schrägen Streifen von links unten nach rechts oben nehmen die rgebnisse um zu. Beispiel: 8 8 = 0, 9 8 =, 0 8 =, In jedem schrägen Streifen von links oben nach rechts unten bleiben die rgebnisse gleich. Beispiel: 0 =, =, 6 =, Wie kann man vorgehen? Die Aufgabe wird im Klassenverband begonnen und dann in Partner- oder Gruppenarbeit fortgeführt. Auch hier werden die Kinder einfache Aufgaben mit den rgebnissen 6 und schnell finden und diese zum Ausgangspunkt für weitere Aufgaben nehmen. a) 6 0 = 6, 6 0 = 6, 6 = 6 s zeigt sich, dass alle Aufgaben in einem schrägen Streifen das rgebnis 6 haben. Sie bilden ein Schönes Päckchen. b) Analog bilden die Aufgaben in dem schrägen Streifen von 0 bis 0, die alle das rgebnis haben, ein Schönes Päckchen. Auch diese Aufgabensequenzen bilden Schöne Päckchen. Bis zur infüh- insminuseins-tafel untersuchen und Beziehungen zwischen Minusaufgaben bewusst machen. rung der halbschriftlichen Subtraktion (Seite 0) insminuseinsaufgaben wiederholt rechnen und automatisieren. Arbeitsheft, Seite Arbeits- und Demonstrationsmaterial: Worum geht es? Obwohl wir es nicht für nötig halten, neben der inspluseins-tafel als zweites Poster eine insminuseins-tafel einzuführen, wird auf dieser Seite diese Tafel zur Wiederholung des insminuseins benutzt. Ihre Struktur leitet sich aus der Plus-Tafel in folgender Weise her: An die Stelle, an der in der Plus-Tafel die Plusaufgabe a + b mit dem rgebnis c steht, wird die Umkehraufgabe c b geschrieben. Die einfachen Minusaufgaben sind Umkehrungen der einfachen Plusaufgaben und entsprechend gefärbt. Während es bei der Plus-Tafel am Beginn des. Schuljahrs darum geht, bereits bekannte Strukturen aufzufrischen, ist die Minus-Tafel für die Kinder ein Feld zum rforschen. Bei der Arbeit mit dieser Tafel werden ihnen Zusammenhänge mit dem inspluseins bewusst. Beispiele: 7 = 7, denn = ; 8 8 = 0, denn = 8; 8 =, denn + = 8; 8 =, denn + = 8. Wie bei der Plus-Tafel kann man bei der Minus-Tafel die rgebnisse in den Zeilen, Spalten und schrägen Streifen verfolgen. Dann zeigt sich: In jeder Spalte nehmen die rgebnisse von oben nach unten jeweils um ab. Beispiel: 8 0 = 8, 8 = 7, 8 = 6, In jeder Zeile nehmen die rgebnisse von links nach rechts jeweils um zu. Beispiel: 0 =, =, 7 =, Diese Aufgabe ist eine Aufforderung zur Wiederholung des inspluseins. Fortsetzung: ÆÆArbeitsheft Seite Nach der Arbeit mit dem Buch: mpfohlen wird nochmals, das Blitzrechnen vom Band gründlich zu wiederholen. Dieses Fitnessprogramm ist eine zentrale Komponente des ZAHLNBUCHs.

16 6 Rechnen in ngland Wiederholung des inspluseins und des inmaleins Rechnen in ngland Demonstrationsmaterial: vtl. Bildmaterial über ngland, evtl. Material Das Zauberdreieck DO0060_00_00.indd :: Seite: 6 [Farbbalken für Fogra9] Cyan BlacK Magenta Yellow Worum geht es? inspluseins und inmaleins werden auf dieser Seite im angelsächsischen Kontext wiederholt. Die Kinder sehen, dass die Rechnungen zwar im Prinzip die gleichen sind, dass aber die Ausdrucksweisen abweichen: Nicht nur die Zahlwörter sind anders, sondern auch die Schreibweisen. Die dahinter stehende Logik ist aber die gleiche. Die Darstellung des Zehners als Dreieck (wie im Logo von mathe 000 ) ist in den angelsächsischen Ländern sehr verbreitet (Anordnung der Kegel beim Bowling). Da die inführung in die englische Sprache heute fester Bestandteil der Grundschule ist, bietet sich die Seite auch für fächerübergreifenden Unterricht an. Wie kann man vorgehen? Vor der Arbeit mit dem Buch: Die Kinder werden angeregt, zu berichten, was sie über ngland wissen. Die Lehrerin unterstützt dies durch geeignetes Material über ngland (Bilder, Postkarten, Briefmarken, Münzen, Karten, ). Die Kinder haben bereits Kenntnisse von englischen Wörtern, insbesondere Zahlnamen, die sie hier einbringen können. Als Vorbereitung für die Aufgaben 8 schreibt die Lehrerin einige Plus- und Minusaufgaben in englischer Schreibweise an und lässt die Kinder herausfinden, dass es sich um die üblichen Plus- und Minusaufgaben, nur eben anders aufgeschrieben, handelt. Dabei sollten alle Typen, die in den Aufgaben 8 vorkommen, berücksichtigt werden. Bei den Aufgaben, und 7 bzw., 6 und 8 muss das rgebnis, die erste Zahl oder die zweite Zahl berechnet werden. Die Kinder müssen hier genau aufpassen. ventuell können die Aufgaben auch schon in nglisch gesprochen werden. Nützlich ist eine Gegenüberstellung der bei uns üblichen und der angelsäch sischen Schreibweisen. Anmerkung: Didaktisch gesehen zeigt sich hier ein deutlicher Unterschied in den Auffassungen: In den angelsächsischen Ländern wird viel schneller auf das schriftliche Rechnen vorbereitet. In Deutschland hingegen wird das halbschriftliche Rechnen betont. Im ZAHLNBUCH wird es bewusst How many? a) b) c) 9 Count one two three four five six seven eight nine ten 6 9 Aufgaben zur Wiederholung. 8 Andere Darstellungen für Plus- und Minusaufgaben kennen lernen. 0 nglische Zahlwörter vorlesen, evtl. nachsprechen lassen. Arbeitsheft, Seiten 7 als Vorstufe zur Algebra gepflegt, was wir für die mathematische Bildung als weit besser ansehen als einen frühen Übergang zu schriftlichen Verfahren. Im Buch richtet sich die Aufmerksamkeit sicherlich zuerst auf die Bilder: die englische Fahne, Londons Wahrzeichen Big Ben und die in Schuluniform gekleideten Schulkinder., Die Notation von Rechnungen in Zahlenhäusern ( number houses ) unterscheidet sich nicht von der bei uns üblichen Form. Für einen eventuellen intrag im Heft kann der Rahmen der Häuser weggelassen werden, was man den Kindern an einem Beispiel vormachen muss. 8 Jedes Kind kann diese Aufgaben für sich bearbeiten, wenn sie vorher besprochen wurden Diese (mündliche) Aufgabe ist leicht, wenn man weiß, was How many? bedeutet. 0 Diese Aufgabe eignet sich für eine Besprechung in der Klasse, wobei sich ein Vergleich mit den deutschen Zahlwörtern geradezu aufdrängt. Die Kinder sollten erfahren, dass die englischen und deutschen Zahlwörter die gleiche etymologische Wurzel haben. Ab zeigt sich ein wichtiger Unterschied: twenty-one, twenty-two, gegenüber einundzwanzig, zweiundzwanzig, Fortsetzung: ÆÆArbeitsheft Seiten 7 zur freien Auswahl Nach der Arbeit mit dem Buch: Für weitere Übungen sei das Material Das Zauberdreieck von W. Metzner aus dem Programm mathe 000 empfohlen. 6

17 DO0060_00_00.indd ::0 Seite: 7 [Farbbalken für Fogra9] BlacK Yellow Magenta Cyan Rechnen in Italien Wiederholung des inspluseins und des insminuseins 7 Rechnen in Italien Wie kann man vorgehen? Vor der Arbeit mit dem Buch: An einem Beispiel an der Tafel wird der Aufbau einer Zahlenmauer wiederholt, und es wird die Lösung einer Mauer durch systematisches Probieren aufgefrischt. Beispiel: 8 Quanti? a) b) c) 7 8 Die Lehrerin zeigt, wie man eine Mauer (mit höchstens zweistelligen Zahlen) im Heft darstellen kann (s. Arbeitsheft Seite 7, Aufgabe 8): Le piramidi di mattoni. a) 8 b) c) Prova. a) b) 0 c) 6 d) Quanti ist das italienische Wort für Wie viele, was einige Kinder vielleicht aus dem Zusammenhang schließen können (mündliche Lösung). a) = = = + + = b) = = = = c) = = = = Contare uno due tre quattro cinque sei sette otto nove dieci Aufgaben zur Wiederholung. Durch systematisches Probieren lösen. Auf Rechenvorteile hinweisen (z. B statt 8 ++ ). Italienische Zahl wörter vorlesen, evtl. nachsprechen lassen. Arbeitsheft, Seiten 7 Arbeitsmittel: Wendekarten Demonstrationsmittel: Wendekarten, evtl. Bildmaterial über Italien Worum geht es? Anders als auf der englischen Seite begegnen die Kinder hier den bei uns üblichen Schreibweisen, aber in Verbindung mit einer anderen Sprache. Aufgefrischt wird das Übungsformat Zah - len mauern. ine Zahlenmauer ist so auf - gebaut, dass auf je zwei benachbarte Steine einer Schicht ein Stein aufgesetzt wird, in den immer die Summe der beiden unteren Steine eingetragen werden muss. Zahlenmauern eignen sich sehr gut, um operative Beziehungen zwischen Addition und Subtraktion hervorzuheben. Wenn alle Grundsteine gegeben sind, kann man von unten nach oben bis zum Deckstein fortlaufend addieren. Sind Zahlen auf d) + + = + + = = = 7 verstreuten, aber benachbarten Steinen gegeben wie bei den Aufgaben b) und c) müssen fehlende Zahlen durch Subtrahieren (rgänzen bzw. Abziehen) bestimmt werden. In Aufgabe b) z. B. ergibt sich die Zahl links unter dem Deckstein als Lösung der Aufgabe 8 oder als Lösung der Aufgabe + 8 =. Wenn wie in Aufgabe keine Zahlen auf benachbarten Steinen vorgegeben sind, gelangt man mit systematischem Probieren zur Lösung. Dabei sind Wendekarten eine große Hilfe. Man setzt die mittlere untere Zahl probeweise an und rechnet dann bis zum Deckstein hoch. Wenn die Summe der Steine unter dem Deckstein über oder unter der Zahl auf dem Deckstein liegt, muss die mittlere untere Zahl entsprechend verändert werden. 7 piramidi heißt natürlich Pyramide, di heißt von und mattoni heißt Zahlen. Lösung durch direkte Rechnungen. Prova ist das italienische Wort für Probiere. Diese Zahlenmauern werden durch Probieren gelöst, wobei Wendekarten eine große Hilfe sind. An einem Beispiel sollten die Kinder darauf aufmerksam gemacht werden, dass es für die Berechnung günstig ist, wenn man das Vertauschungsgesetz anwendet. Statt z. B. bei fortlaufend zu rechnen, ist es günstiger umzustellen auf Auch bei + + kann man umstellen auf + +. Contare heißt Zählen (gleiche etymologische Wurzel wie count ). Wenn es in der Klasse ein Kind mit italienischem Hintergrund gibt, kann dieses Kind die Zahlnamen vorlesen, sonst die Lehrerin. Im Anschluss an diese Aufgabe sollten auch Kinder mit anderen Muttersprachen zeigen, wie die Zahlnamen in ihrer Sprache lauten. Fortsetzung: ÆÆArbeitsheft Seiten 7 zur freien Auswahl 7

18 8 ÜberlegenDO0060_00_00.indd Legen und Wiederholung des Übungsformats Rechendreiecke, Denkspiel Schiebespiele Legen und Überlegen Arbeits- und Demonstrationsmaterial: Wen deplättchen, Wendekarten, Rechendreieck (groß, z. B. mit Klebestreifen an der Tafel), itb DO0060_00_00.indd :: Seite: 8 [Farbbalken für Fogra9] Cyan Magenta Yellow BlacK Worum geht es? Analog zum Format Zahlenmauern wird das ebenfalls aus Band bekannte Format Rechendreiecke zur Wiederholung des inspluseins verwendet. Wenn alle inneren Zahlen eines Rechendreiecks vorgegeben sind, braucht man nur zu addieren. Wenn innere und äußere Zahlen vorgegeben sind, muss auch subtrahiert werden. Wenn nur die äußeren Zahlen vorgegeben sind, kommt man durch Verändern versuchsweise gewählter Zahlen zum Ziel. Plättchen sind dabei hilfreich. Beispiel: Aufgabe b) Man kann die in 6 + zerlegen. Dann muss innen oben die stehen, denn + = 0. Der Test zeigt für die Zahl links außen 6 + =. Dort muss aber herauskommen. Also wird ein Plättchen links innen dazu getan: 7 + =, + 6 = 0. Der Test ergibt jetzt: =. Das ist näher an. Die rhöhung der Zahl links innen auf 8 führt zur Lösung. Rechne und setze fort. a) b) c) d) a) b) c) d) Probiere. a) b) c) d) Auch Textaufgaben können durch Legen und Überlegen gelöst werden: Der im Text beschriebene Sachverhalt wird mit Plättchen nachgelegt. Vergleichsaufgaben, bei denen die Begriffe mehr als bzw. weniger als auftreten, sind deutlich schwerer. Wenn die Lösung handlungsorientiert erarbeitet wird, gelingt sie leichter. Wie kann man vorgehen? Vor der Arbeit mit dem Buch: Der instieg kann über ein großes Rechendreieck erfolgen, das aus Klebestreifen an der Tafel oder auf dem Fußboden geformt wurde. An diesem Dreieck werden zuerst einfache Aufgaben gelegt. An Beispielen werden die verschiedenen Aufgabentypen besprochen. Insbesondere wird das systematische Probieren an einem Beispiel wiederholt: a) Nina hat Steine. Sie sammelt noch.? Nina hat jetzt Steine. c) Mirko hat Murmeln. Alex hat 0 Murmeln mehr.? Alex hat Murmeln. b) Anna hat 8 Murmeln. Sie verschenkt davon.? Anna hat noch Murmeln. d) Sarah und Ali haben zusammen 0 uro. Sarah hat uro mehr als Ali.? Sarah hat 6 uro, Ali hat uro. 8, Aufgaben evtl. mit Plättchen legen und rechnen. Muster besprechen und mündlich begründen. Durch systematisches Probieren lösen. Fragesymbol als Anregung zum Finden passender Aufgaben erklären. Mündlich lösen. Ähnliche Aufgaben finden lassen. Arbeitsheft, Seite 8 Die Zahl links innen wird versuchsweise gewählt, wobei sich 6 anbietet, denn =. Dann wird die Zahl innen oben berechnet: 0 6 =. Der Test zeigt 6 + = 0 für die Zahl links außen. Diese Zahl soll aber 8 sein. Daher muss die Zahl links innen vergrößert werden, usw. Das Rechendreieck im Bild wird gemeinsam ergänzt: Die Zahl links außen ist 9. Den Kindern wird gezeigt, wie sie im Heft ein Rechendreieck zeichnen können. Dazu wird aus dem Arbeitsheft, Seite 8, Aufgabe, vorge zogen., Bei diesen Aufgaben muss man nur addieren und subtrahieren. Der Igel regt zu systematischem Probieren an. Die ersten Aufgaben werden gemeinsam an der Tafel gelöst. a) und b) sind einfach zu lösen. Bei c) müssen die Kinder aufpassen. Alex hat 0 Murmeln mehr (als Mirko). ist etwas anderes als Alex hat 0 Murmeln.. Die Igelaufgabe d) lässt sich mit Plättchen so lösen (rot für Sarah, blau für Ali): Bei fünf roten und fünf blauen Plättchen (uro) hätten beide Kinder gleich viel. Sarah hat aber mehr. Daher muss ein rotes Plättchen umgedreht werden. Sarah hat dann 6 (uro), Ali hat (uro). Sarah hat also uro mehr als Ali. Fortsetzung: ÆÆArbeitsheft Seite 8 Nach der Arbeit mit dem Buch: Weitere Spielpläne für das aus Band bekannte Schiebespiel Plätze tauschen (s. Materialband oder Denkschule /, Seite 9). 8

19 DO0060_00_00.indd..0 0:6:8 Seite: 9 [Farbbalken für Fogra9] BlacK Yellow Magenta Cyan Größere kleinere gleiche Chancen Verständnis für unterschiedliche Chancen von zufälligen reignissen entwickeln 9 Größere kleinere gleiche Chancen?? Würfle etwa 0-mal mit einem Würfel. a) Lege eine Tabelle an. b) Welche Augenzahl kommt bei dir oft vor? Welche Augenzahl kommt selten vor? c) Vergleicht mit euren Nachbarn. d) Vergleicht auch die Chancen, eine gerade oder eine ungerade Zahl zu würfeln. Würfle ganz oft mit zwei Würfeln. a) Lege eine Tabelle an. b) Welche Augensummen kommen bei dir oft vor? Welche Augensummen kommen bei dir selten vor? c) Vergleicht mit euren Nachbarn. Warum werden die Augensummen in verschieden oft geworfen? rkläre mithilfe der Tabelle. Augensumme mögliche Würfe Forschen und Finden a) a) Würfelzahl Strichliste 6 Augensumme Strichliste Heft ein. Alternativ ist auch Partnerarbeit möglich. Anschließend werden die rfahrungen ausgetauscht. Die Kinder werden merken, dass der Zufall keine der Zahlen,, 6 systematisch bevorzugt. Jede der Zahlen hat die gleiche Chance, gewürfelt zu werden, aber manchmal kommt zufällig die eine, manchmal die andere Zahl am häufigsten vor. d) wird gemeinsam besprochen. Auch da zeigt sich, dass gerade und ungerade rgebnisse die gleiche Chance haben, gewürfelt zu werden. In die Gespräche fließen die Begriffe häufig, häufiger als, selten, seltener als, Chance, gleiche Chance, zufällig ein. In der gleichen Weise wird mit zwei Würfeln verfahren. Zunächst muss aber überlegt werden, welche Augensummen überhaupt entstehen können. Im Vergleich mit den Nachbarn und im Klassengespräch werden jetzt die unterschiedlichen Häufigkeiten deutlich. Bei allen Kindern wird die Mitte deutlich bevorzugt. Die kleinste und die größte Augensumme kommen nur selten vor, bei manchen Kindern vielleicht gar nicht. Würfle mit drei Würfeln. a) Welche Zahlen von bis 0 sind als Augensummen möglich?,,, 6,..., 8 b) Welche Augensummen werden häufig gewürfelt? Häufig: 0, Welche Augensummen werden selten gewürfelt? Begründe. Selten:, 8 c) s gibt 7 Möglichkeiten, die Augensumme 0 zu würfeln, aber nur 0 Möglichkeiten für die Augensumme 6. rkläre. (verschiedene Lösungen), Zuerst Zufallsexperimente und Anlage einer Strichliste klären. Befunde von anhand der Zahlzerlegungen in der Tabelle erklären. Augensummen analog zu mit Würfeln untersuchen. Arbeitsmaterial: Spielwürfel pro Kind, itb Worum geht es? Auf dieser Seite werden zwei grundlegende Zufallsexperimente einander gegenübergestellt: Das Würfeln mit einem Würfel ist der Prototyp eines Zufallsexperiments, bei dem alle Ausfälle (Ausgänge, rgebnisse) die gleiche Chance haben (Gleichverteilung). Das Würfeln mit zwei Würfeln (in der Fachsprache als Doppelwürfel bezeichnet) ist ein einfaches Beispiel für ein Zufallsexperiment, bei dem sich die Chancen für verschiedene Ausfälle unterscheiden. Wenn die xperimente durchgeführt werden, zeigt sich das an den Häufigkeiten sehr deutlich. Dass bei dem Doppelwürfel keine Gleichverteilung vorliegt, können die Kinder mit ihren Kenntnissen gut verstehen. s liegt daran, dass sich die verschiedenen Augensummen unterschiedlich oft als Summe von zwei Würfelzahlen darstellen lassen. In der Tabelle zu Aufgabe ist dies vorgegeben. Man erkennt, dass die Chance für die Augensumme 7 am größten ist, weil sich 7 auf 6 verschiedene Weisen als Summe von Würfelzahlen darstellen lässt. Damit der Ausgang + vom Ausgang + deutlich unterschieden wird, ist es wichtig, zwei unterschiedlich gefärbte Würfel zu verwenden. Wie kann man vorgehen? Die Tabelle wird an die Tafel gezeichnet und es wird gezeigt, wie Würfelergebnisse mit Strichlisten festgehalten werden. Der Würfel kann dabei in der Klasse reihum gehen, auch beim intragen der Striche können mehrere Kinder tätig werden. Dann würfelt jedes Kind weiter und trägt die rgebnisse in eine eigene Tabelle im 9 Hier wird das Geheimnis gelüftet. Die Kinder können aus der Tabelle ablesen, dass für die Augensumme beide Würfel zeigen müssen, zur Augensumme 7 aber 6 Würfelzahlkombinationen beitragen. An grün unterlegten Aufgaben können sich alle Kinder individuell versuchen. s spielt keine Rolle, wie weit sie kommen. Bei dieser Aufgabe können sie alleine, mit einem Partner oder in Gruppen arbeiten, rgebnisse in einer Tabelle festhalten oder einfach nur würfeln und jeweils die Augensumme berechnen. Auch bei bloßem Würfeln sehen sie, dass die Mitte bevorzugt wird. c) ist schon schwieriger. Die 0 Möglichkeiten für die Augensumme 6 ergeben sich mit dem Additionsprinzip. Man unterscheidet verschiedene Fälle: Roter Würfel : Möglich ist nur (rot) + (blau) + (grün); Roter Würfel : Möglich sind + +, + + ; Roter Würfel : + +, + +, + + ; Roter Würfel : + +, + +, + +, + +. Die 7 Möglichkeiten für die Augensumme 0 ergeben sich analog. Man geht die Werte 6,,,,, für den roten Würfel durch und zerlegt die verbleibenden Reste,, 6, 7, 8, 9 systematisch auf den blauen und grünen Würfel. 9

20 Themenblock Orientierung im Hunderterraum Mathematische und didaktische Grundlagen Je mehr man verlangt, ohne genügend dafür zu sorgen, dass das Verlangte wirklich erworben werde, mit desto Wenigerem muss man zufrieden sein Man stelle mäßigere Anforderungen, aber man halte diese in ihrem ganzen Umfange fest.. F. Beneke 86 Der nun folgende Themenblock wurde im Band sehr sorgfältig vorbereitet. Daher gibt es viele Anknüpfungspunkte. Der Block nimmt mit 7 Seiten ein Fünftel des Umfangs ein. Dies ist gerechtfertigt, da ein Verständnis der Hunderterstruktur nicht nur für das Rechnen im Hunderter wichtig ist, sondern grundsätzliche Bedeutung für das Zehnersystem hat. Zehner + Zehner = 7 Zehner, usw. In der Bruchrechnung leitet sich daraus auch ab = 7 (= ) Hunderterfeld Grundidee Zehnersystem Die geniale Struktur des Zehnersystems erlaubt es, das Rechnen mit kleinen Zahlen systematisch auf das Rechnen mit großen Zahlen zu übertragen. Der Trick besteht darin, dass immer größere inheiten verwendet werden, diese aber nur in kleiner Anzahl auftreten. Bereits im Band wurde neben der kleinsten inheit iner schon systematisch die nächste inheit Zehner vorbereitet, wobei besonderer Nachdruck auf die Verschiebung von zehn (inern) auf Zehner gelegt wurde. Mit der neuen inheit Zehner kann gerechnet werden wie mit inern. Auf der Handlungsebene drückt sich dieser Übergang so aus, dass man 0 iner zu einem Paket zusammenfasst, anschaulich gesprochen verpackt und die Packungen zählt. In der Stellentafel werden die Anzahlen der iner und der Zehner in entsprechenden Spalten notiert. Auf diese Weise kommt man mit 0 Ziffern aus. Bereits im Band wurde schon angedeutet, dass dieser Konstruktionsprozess weitergeführt werden kann: 0 Zehner lassen sich zu Hunderter, der nächst größeren Zahleneinheit, verpacken. Zahldarstellungen Wie jedes große Thema wird auch der Hunderterraum im ZAHLNBUCH in mehreren Durchgängen jeweils ganzheitlich erarbeitet. Von Durchgang zu Durchgang können die Kinder ihre Kenntnisse erweitern und verdichten. Zehnerbündel Den Anfang macht die Darstellung von Zehnern in Zehnerbündel und die Notation zweistelliger Zahlen in der Stellentafel (Seite 0). Z 7 Auf Seite folgen reale Verkörperungen dieser Struktur (Zehnerpacks von Brötchen, ierkartons). Auch hier wird die Stellentafel zur Notation benutzt. In Vorbereitung des nachfolgenden Themenblocks lernen die Kinder auf Seite 6, dass man mit Zehnern wie mit inern rechnen kann. Die insicht, dass sich Zahlen auf beliebige inheiten beziehen lassen, ist fundamental: + = 7 kann bedeuten: iner + iner = 7 iner Kinder + Kinder = 7 Kinder Klassen + Klassen = 7 Klassen Meter + Meter = 7 Meter 0 Dieses Anschauungsmittel ist besonders vielfältig nutzbar und wird den Kindern das ganze Schuljahr über in unterschiedlichen Zusammenhängen begegnen. Man erkennt darin in jeder Zeile und in jeder Spalte einen Zehner. Anders als bei den Zehnerpacks müssen die Kinder den Zehner hier aber gedanklich als neue inheit sehen. Seite 7 lenkt den Blick nur auf die Zehner. Dies bedeutet, dass in der inerspalte immer 0 steht. In der Zehnerspalte treten die bekannten kleinen Zahlen von 0 bis 9 auf. Der volle Hunderter bildet eine neue inheit und erfordert in der Stellentafel eine dritte Spalte. Das Hunderterfeld kann als Fortsetzung des Zwanzigerfeldes betrachtet werden. Allerdings können darin Zahlen nicht durch Plättchen gelegt, sondern nur markiert werden, insbesondere mit einem Zahlwinkel. Die Unterteilung in vier Felder mit je Punkten erleichtert dies. Wie in Band wird auch in Band ein kleines Hunderterfeld neben den Seitenzahlen mitgeführt. Balken-/Punkt-Darstellung ine weitere Darstellung von Zahlen im Hunderterraum, die im Vergleich zum Hunderterfeld schon deutlich schematischer ist, aber die Grundidee besonders schön zur Geltung bringt, folgt auf den Seiten 8 9: die Darstellung von Zehnern durch Balken (dicke Striche) und von inern durch Punkte. Sie passt hervorragend zur Stellentafel. Das Hunderterfeld eignet sich auch sehr gut als Anschauungsgrundlage für die Blitzrechenübungen rgänzen bis 00 und 00 teilen (Seiten ). Hundertertafel

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