Didaktik der Grundschulmathematik 4.1

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1 Didaktik der Grundschulmathematik 4.1 Didaktik der Grundschulmathematik

2 Didaktik der Grundschulmathematik 4.2 Inhaltsverzeichnis Didaktik der Grundschulmathematik 1 Anschauungsmittel 2 Aufbau des Zahlbegriffs 3 Addition und Subtraktion 4 Multiplikation und Division 5 Schriftliche Rechenverfahren

3 Didaktik der Grundschulmathematik 4.3 Didaktik der Grundschulmathematik Kapitel 4: Multiplikation und Division

4 Didaktik der Grundschulmathematik 4.4 Inhaltsverzeichnis Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.1 Modelle der Multiplikation 4.2 Multiplikative Strukturen in der Umwelt 4.3 Herleitung und Rechenregeln der Multiplikation 4.4 Das kleine 1x1 4.5 Modelle zur Division 4.6 Rechengesetze und Grundaufgaben der Division

5 Didaktik der Grundschulmathematik 4.5 Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.1 Modelle der Multiplikation

6 Didaktik der Grundschulmathematik 4.6 Modelle zur Multiplikation Mengenvereinigung zeitlich-sukzessiv (dynamisch) Die Gesamtmenge entsteht Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung des gleichen Vorgangs: Die Verkäuferin legt fünf Netze mit jeweils drei Apfelsinen in das Regal. räumlich-simultan (statisch) Vereinigungsmenge liegt von Anfang an vollständig vor: Es liegen 5 Packungen mit jeweils 6 Äpfeln auf der Theke.

7 Modelle zur Multiplikation Kartesisches Produkt A B = a, b a A b B A B Baumdiagramm Tabelle / Matrix Vorsicht: Dieses Modell ist für eine Einführung ungeeignet! (Elemente müssen mehrfach benutzt werden; kaum Erfahrungen und nur einseitiger Anwendungsbezug [Kombinatorik] vorhanden; Bezug zur Division schwer herstellbar; nicht auf einfache Additionsaufgaben zurückführbar, ) Jürgen Roth Didaktik der Grundschulmathematik 4.7

8 Didaktik der Grundschulmathematik 4.8 Modelle zur Multiplikation Operatoren Maschinen Für gib. 3 Pfeile 3 Tabellen 3 3? Vorsicht: Nur geringer Umweltbezug! Keinen Einführung mit dem Operatormodell (höchstens ergänzend)!

9 Didaktik der Grundschulmathematik 4.9 Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.2 Multiplikative Strukturen in der Umwelt

10 Multiplikative Strukturen in der Umwelt Didaktik der Grundschulmathematik 4.10

11 Multiplikative Strukturen in der Umwelt Didaktik der Grundschulmathematik 4.11

12 Didaktik der Grundschulmathematik 4.12 Multiplikationsaufgaben in der Umwelt Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 48

13 Didaktik der Grundschulmathematik 4.13 Multiplikationsaufgaben in der Umwelt Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 49

14 Didaktik der Grundschulmathematik 4.14 Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.3 Herleitung und Rechenregeln der Multiplikation

15 Multiplikation als fortgesetzte Addition Didaktik der Grundschulmathematik = = Punktmuster (Würfelaugen) Problem Kommutativgesetz nur schwer einzusehen. Unsymmetrie bei den Zahlbedeutungen: fünf Plättchen, drei Fünfermengen drei Plättchen, fünf Dreiermengen

16 Multiplikation als fortgesetzte Addition Didaktik der Grundschulmathematik = = Lineare Anordnung Punktmengen Problem Kommutativgesetz nur schwer einzusehen. Unsymmetrie bei den Zahlbedeutungen: fünf Plättchen, drei Fünfermengen drei Plättchen, fünf Dreiermengen

17 Multiplikation als fortgesetzte Addition 3 5 = = Punktfelder 3 5 = 5 3 Jürgen Roth Vorteile Im selben Feld kann man drei Plättchen, fünf Plättchen, dreimal fünf Plättchen und fünfmal drei Plättchen gleichzeitig sehen. Übersichtliche Darstellung Ökonomie des Abzählens Multiplikative Muster des Alltags sind oft in Feldern strukturiert. Gute Hinführung auf die Veranschaulichung von Bruchzahlen (Dezimalbrüchen) mit Hilfe von Flächen. Didaktik der Grundschulmathematik 4.17

18 Rechengesetze der Multiplikation Didaktik der Grundschulmathematik 4.18 Kommutativgesetz Für alle a, b, c N gilt: a b = b a 3 4 = 4 3 Distributivgesetz Für alle a, b, c N gilt: Assoziativgesetz (1) a b + c = a b + a c (2) (a + b) c = a c + b c Für alle a, b, c N gilt: a b c = a (b c) Die Rechengesetze werden als Rechenvorteile eingeführt! = = 2 (3 4)

19 1x1-Aufgaben am Hunderterfeld Didaktik der Grundschulmathematik x1-Winkel Darstellen von Malaufgaben mit dem 1x1-Winkel unterschiedliche Zerlegungen, Lösung über Plusaufgabe) Aufgabe und Tauschaufgabe Malaufgaben mit 2, mit 5, mit 10 Foliengerade Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S. 114ff Folienkreuz Unterteilungen die für das Rechen nützlich sein können 1x1-Aufgaben in kleinere zerlegen

20 Didaktik der Grundschulmathematik 4.20 Hunderterfeld Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S. 114ff =

21 Didaktik der Grundschulmathematik 4.21 Hunderterfeld Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S. 114ff

22 Didaktik der Grundschulmathematik 4.22 Hunderterfeld Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S. 114ff

23 Didaktik der Grundschulmathematik 4.23 Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.4 Das kleine 1x1

24 Didaktik der Grundschulmathematik 4.24 Einmaleins-Plan Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S. 117ff An den Reihen springen: Ergebnisse von Malaufgaben und ihre Umkehrung ablesen. Vielfache von 5 und 10 als Orientierungshilfe Grundaufgaben (kurze Reihe)

25 Didaktik der Grundschulmathematik 4.25 Einmaleins-Plan Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S. 117ff Grundaufgaben (1 9, 2 9, 5 9, 10 9) lernen Nachbaraufgaben erschließen Zahlen zerlegen 21 = = = 3 7

26 Didaktik der Grundschulmathematik 4.26 Einmaleinszahlen in der Hundertertafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S & S. 136ff

27 Didaktik der Grundschulmathematik 4.27 Einmaleinszahlen in der Hundertertafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S & S. 136ff

28 Didaktik der Grundschulmathematik 4.28 Einmaleinszahlen in der Hundertertafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S & S. 136ff

29 Didaktik der Grundschulmathematik 4.29 Einmaleinszahlen in der Hundertertafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S & S. 136ff

30 Didaktik der Grundschulmathematik 4.30 Einmaleinszahlen in der Hundertertafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S & S. 136ff

31 Didaktik der Grundschulmathematik 4.31 Einmaleinszahlen in der Hundertertafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S & S. 136ff

32 Didaktik der Grundschulmathematik 4.32 Einmaleins-Tafel Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1, Klett, Stuttgart, 1992, S

33 1x1-Kenntnisse Warum eigentlich? Didaktik der Grundschulmathematik 4.33 Überschlagsrechen Gerade im Computerzeitalter immer wichtiger! Grobe Überprüfung auf Richtigkeit Aufbau von Größenvorstellungen Kleines 1x1 ist eine wichtige Grundlage für das Überschlagsrechnen Grundlage für das schriftliche Multiplizieren und Dividieren! Wenn ein Schüler das 1x1 nur mit 90%iger Sicherheit beherrscht, liegt seine Erfolgswahrscheinlichkeit bei der schriftlichen Multiplikation einer 4- mit einer 3-stelligen Zahl unter 30% und selbst bei 95%iger Beherrschung nur knapp über 50% vorausgesetzt, dass er 100%ig über alle anderen für die schriftliche Multiplikation notwendigen Kenntnisse verfügt. Lörcher Nicht nur sicher sondern auch schnell! Kurzzeitgedächtnis!

34 Didaktik der Grundschulmathematik 4.34 Reihenfolge der 1x1-Reihen Früher: 1x1-Reihen einzeln 10, 5; 2, 4, 8; 3, 6, 9; 7 2, 4; 10, 5; 8; 3, 6, 9; 7 Heute: Ganzheitliche Sicht aller 1x1-Aufgaben von Anfang an. Müller/Wittmann: Hunderterfeld mit 1x1-Winkel Einmaleins-Plan Einmaleins-Tafel

35 Erwerb der Einmaleinskenntnisse Didaktik der Grundschulmathematik 4.35 Möglichst flexibler Einsatz verschiedener Rechenstrategien! Ergebnis ist schon verinnerlicht (Stützpunkt) Quadratzahlen, 2, 10 Stützpunkt Nachbaraufgabe (bzgl. des 1. oder 2. Faktors) (Implizite Anwendung: Distributivgesetz) 8 7 = Stützpunkt Verdopplung (Implizite Anwendung: Spezialfall Assoziativgesetz) Tauschaufgabe (Anwendung: Kommutativgesetz) Vergrößern / Verkleinern eines Faktors um zwei (Implizite Anwendung: Distributivgesetz) 8 3 =

36 Didaktik der Grundschulmathematik 4.36 Vernetzung der Malaufgaben 2 4 = Verdoppeln / Halbieren Nachbaraufgabe Stützpunkt 3 4 = 4 4 = 7 4 = 5 4 = 6 4 = 8 4 = Vielfältige Vernetzungen bewusst ansprechen! 10 4 = 9 4 =

37 Gültigkeit von Strategien verdeutlichen Didaktik der Grundschulmathematik 4.37 Vgl. Rechengesetze der Multiplikation Strategie des Verdoppelns bzw. Halbierens: 6 7 = 42 : 2 2 : = 21 Wird ein Faktor halbiert, so wird auch das Produkt halbiert, wird ein Faktor verdoppelt, so wird auch das Produkt verdoppelt.

38 Typische Fehler bei Aufgaben zum 1x1 Didaktik der Grundschulmathematik 4.38 Multiplikation mit 0 und 1 Übergeneralisierung: Null neutral bzgl. aller Rechenoperationen Fehlerhafter Transfer von der Addition n 0 = n 0 n = n 1 1 = 2 5 mit Null malnehmen, d. h. 5 mit nichts malnehmen, d. h. 5 nicht malnehmen, d. h. 5 behalten, also 5 bleibt stehen, 5 ist das Ergebnis! Anwendung einer Primitivform Aufsagen einer 1x1-Reihe, wiederholte Addition Verzählen leicht möglich! Strategie nicht sinnvoll! 4 4 = = 21 Dreimal keinen Apfel auf den Tisch legen. Addition und Multiplikation kontrastieren!

39 Typische Fehler bei Aufgaben zum 1x1 Didaktik der Grundschulmathematik 4.39 Perseverationsfehler Vorher benutzte Zahl wirkt nach und setzt sich durch. 2 8 = = 27 Anwendung von Rechenstrategien 9 4 = = 40; 40 9 = = = 60; 5 9 = 45; 60 9 = = 51

40 Didaktik der Grundschulmathematik 4.40 Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.5 Modelle zur Division

41 Didaktik der Grundschulmathematik 4.41 Vorsicht: Der Begriff gerecht ist mehrdeutig. Modelle zur Division Aufteilen / Messen Einen gegebenen Menge M wird in Teilmengen mit einer geg. Anzahl von jeweils gleichvielen Elementen aufgeteilt. Geg.: Ges.: Mächtigkeit von M, Mächtigkeit der Teilmengen Anzahl der Teilmengen Verteilen Einen gegebenen Menge M wird gleichmäßig an eine gegebenen Anzahl von Teilmengen verteilt. Geg.: Mächtigkeit von M, Anzahl der Teilmengen Ges.: Mächtigkeit der Teilmengen 12 Äpfel werden in Netze mit jeweils 4 Äpfeln aufgeteilt. Wie viele Netze werden gefüllt? 12 Ä : 4 Ä = 3 (Vgl. Längenmodell) 12 Äpfel werden an 4 Kinder verteilt. Wie viele bekommt jeder? 12 Ä : 4 = 3 Ä

42 Didaktik der Grundschulmathematik 4.42 Modelle zur Division Aufteilen / Messen Einen Menge kann auf viele verschiedenen Weisen in Teilmengen aufgeteilt werden. Zusammenhang zwischen Aufteilen und Multiplikation: Aufteilaufgabe: 12 : 4 Multiplikationsaufgabe: 3 4 = 12 4 = 12 Verteilen Einen Menge kann auf viele Weisen verteilt werden. Zusammenhang zwischen Verteilen und Multiplikation: Verteilaufgabe: 12 : 4 Multiplikationsaufgabe: 4 3 = 12 4 = 12

43 Aufteilen / Verteilen und Division Didaktik der Grundschulmathematik 4.43 Ziel: Schülerinnen und Schüler können bei Vorgabe einer konkreten Aufteil- (Mess-) bzw. Verteilsituation die zugehörige Divisionsaufgabe angeben (und lösen), einer Divisionsaufgabe sowohl eine Aufteil- (Mess-), wie auch einen Verteilsituation finden (und die ursprüngliche Aufgabe auf dieser inhaltlichen Grundlage deuten). Aber: Schülerinnen und Schüler müssen die Klassifikation von anwendungsbezogenen Divisionsaufgaben nach Aufteil- (Mess-) und Verteilaufgaben nicht beherrschen.

44 Aufteilen/Verteilen-Klassifikation S. L. Didaktik der Grundschulmathematik 4.44 Der sprachliche Grund: Der Sprachgebrauch in der Umgangssprache deckt sich beim Aufteilen und Verteilen häufig nicht mit dem in der Fachsprache Der entwicklungspsychologische Grund: Eine begriffliche Unterscheidung überfordert das Abstraktionsvermögen vieler Grundschüler. Der fachliche Grund: Das Klassifikationsschema ist nicht erschöpfend. (Es gibt Divisionsaufgaben, bei denen weder aufgeteilt, noch verteilt wird.) Der sachliche Grund: Eine begriffliche Unterscheidung ist für die gewünschten Rechenfertigkeiten sowie für die Fähigkeit, die Division in entsprechenden Anwendungssituationen anwenden zu können nicht notwendig. Der pragmatische Grund: Es kommt vor, dass Schüler insbesondere wenn sie das Ergebnis schon kennen in der Vorstellung aus Gründen der Arbeitsökonomie zur Lösung einer Verteilaufgabe eine Aufteilhandlung bzw. zur Lösung einer Aufteilaufgabe eine Verteilhandlung durchführen.

45 Didaktik der Grundschulmathematik 4.45 Weitere Modelle zur Divison Operatormodell Vgl. Modelle zur Multiplikation Umkehroperation der Multiplikation Wiederholte Subtraktion (Rückwärtsspringen) = 0 15 : 3 =

46 Didaktik der Grundschulmathematik 4.46 Methodisches Vorgehen Spiegel: Ist 1:0=1? Ein Brief - und eine Antwort. In: Grundschule 27 (1995) Heft 5 S. 8 Hefendehl-Hebeker: Zur Behandlung der Zahl Null im Unterricht, insbesondere in der Primarstufe. In: mathematica didactica 4 (1981), Heft 4, S Grunderfahrungen zum Auf- & Verteilen Handlungsebene mit Material Spielen von Realsituationen Bildebene Punktfelder Mengenbilder Längenmodelle Herausarbeiten des Zusammenhangs zwischen Multiplikation und Division Suche nach Umkehroperationen Auffassen von Divisons- als Multiplikationsaufgaben Problem mit der Zahl Null Vgl. Hefendehl-Hebeker (1981)

47 Didaktik der Grundschulmathematik 4.47 Aufteilen / Messen Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 82

48 Didaktik der Grundschulmathematik 4.48 Aufteilen / Messen Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 82

49 Didaktik der Grundschulmathematik 4.49 Verteilen Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 83

50 Didaktik der Grundschulmathematik 4.50 Verteilen Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 83

51 Didaktik der Grundschulmathematik 4.51 Teilen mit Rest Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 84

52 Didaktik der Grundschulmathematik 4.52 Teilen mit Rest Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 84

53 Didaktik der Grundschulmathematik 4.53 Teilen mit und ohne Rest Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 3. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 15

54 Didaktik der Grundschulmathematik 4.54 Was passiert mit dem Rest? Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 3. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 15

55 Didaktik der Grundschulmathematik 4.55 Restschreibweise 13 : 5 = 2 Rest 3 Contra Missbrauch des Gleichheitszeichens Bei der Restschreibweise wird das Gleichheitszeichen nicht korrekt im Sinne der mathematischen Identität benutzt: Der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen ist (bei ausschließlicher Benutzung der natürlichen Zahlen) nicht definiert. Der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen ist mehrdeutig. Beispiel: 2 Rest 1 ]2; 2,5] (Abhängig vom Divisor!) Verstoß gegen die Transitivität der Gleichheitsrelation Beispiel: Obwohl 14: 4 = 3 Rest 2 und 11: 3 = 3 Rest 2 gilt, kann man nicht folgern: 14 4 = 11 3.

56 Didaktik der Grundschulmathematik 4.56 Restschreibweise 13 : 5 = 2 Rest 3 Pro Gleichheitszeichen wird dynamisch benutzt Bei der Restschreibweise wird das Gleichheitszeichen nicht statisch im Sinne der mathematischen Identität sondern dynamisch im Sinne der Aufgabe-Ergebnis-Vorstellung zur knappen Beschreibung eines Handlungsablaufs benutzt. Ausdrücke wie 2 Rest 1 sind (im Kontext) eindeutig Nur bei kontextfreier Benutzung sind Ausdrücke wie 2 Rest 1 mehrdeutig. Im jeweiligen Kontext hingegen sind sie eindeutig. Nahtloser Übergang zur Bruchschreibweise Von der Restschreibweise kann nahtlos zur Bruchschreibweise (gemischte Zahlen) übergegangen werden. (Keine fehlerverursachende, deutliche Änderungen der Notation notwendig.) Division als eigenständige Rechenoperation klar erkennbar Im außerschulischen Umfeld der Schüler ist nur die Restschreibweise bekannt.

57 Didaktik der Grundschulmathematik 4.57 Kapitel 4: Multiplikation und Division 4.6 Rechengesetze und Grundaufgaben der Division

58 Didaktik der Grundschulmathematik 4.58 Rechengesetze der Division Die Division ist weder kommutativ noch assoziativ! Distributivgesetz (Es existiert nur eines!) Für alle a, b N 0 und c N gilt: a + b c = a c + b c

59 Didaktik der Grundschulmathematik 4.59 Grundaufgaben der Division Erwerb durch Rückgriff auf die anschaulichen Modelle des Aufteilens (Messens) & Verteilens, den Zusammenhang von Multiplikation & Division als Umkehroperation (Umkehraufgaben). Parallele Behandlung von Multiplikation und Division!

60 Didaktik der Grundschulmathematik 4.60 Verbindung von Multiplikation & Division Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 3. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 14

61 Didaktik der Grundschulmathematik 4.61 Verbindung von Multiplikation & Division Wittmann, Müller (2002). Das Zahlenbuch. Mathematik im 3. Schuljahr. Ausg. Bayern. Stuttgart: Ernst Klett Grundschulverlag, S. 14

62 Typische Fehler bei der mündlichen Division Fehler bei der Division durch 0 0 : 0 = 1; 3 : 0 = 0 Fehler bei der Anwendung einer Primitivform Rückwärtszählen der betreffenden 1x1-Reihe in gleichlangen Schritten (wiederholte Subtraktion) 12 : 4 = 4; 21 : 3 = 6 Perseverationsfehler 44 : 4 = 14 Jürgen Roth Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien (a) 155 : 5 = 301 (b) 96 : 16 = 10 Fehler bei der Division von reinen Zehnerzahlen (a) 8000 : 20 = 40 (b) 400 : 80 = 20 (c) 1000 : 200 = 500 (a) 150 : 5 = 30; 5 : 5 = 1; = 301 (b) 90 : 10 = 9; 6 : 6 = 1; also 96 : 16 = 10 (a) Probleme mit den Endnullen. (b) Erste Ziffer von Dividend und Divisor wird vertauscht. (c) Erst 10 : 2 = 5 dann Nullen anhängen. Didaktik der Grundschulmathematik 4.62

63 Mündl. Multiplikation/Division größerer Zahlen Didaktik der Grundschulmathematik 4.63 Zehnereinmaleins (Erarbeitungsmöglichkeiten) Fortgesetzte Addition 4 20 = Rechnen mit Stellenwerten 4 20 = 4 2 Z = 8 Z = 80 Bilden der Zehnerreihe 20, 40, 60, 80 Berücksichtigen von Analogien 2 4 = = = 800

64 Überschlagsrechnung! Runden! Mündl. Multiplikation/Division größerer Zahlen Jürgen Roth Multiplikation mit ZE und entsprechende Division : 4 Kurz: 4 20 = : 4 = = = : 4 = 3 = = : 4 = 43 Multiplikation mit Z und entsprechende Division : 30 Kurz: = : 30 = = = : 30 = 2 = = : 30 = 12 Multiplikation mit E und entsprechende Division Kurz: = = = 120 = = : : 4 = : 4 = : 4 = 48 Didaktik der Grundschulmathematik 4.64

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