Übungsaufgaben zu Kapitel 5. Aufgabe 101. Inhaltsverzeichnis:

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1 Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 112 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004)... 4 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 116 (Klausuraufgabe Sommersemester 2008)... 5 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Übungsaufgaben zu Kapitel 5 Aufgabe 101 Bei der Herstellung von Schokoladentafeln interessiert a) das durchschnittliche Abfüllgewicht einer Tafel Schokolade. b) die Varianz des Gewichtes einer Schokoladentafel. c) der Anteil p der Schokoladentafeln unter 100 g. Aus diesem Grund wird aus der laufenden Produktion die folgende Stichprobe für Abfüllgewichte gezogen: 100, 97, 101, 96, 98, 102, 96, 100, 101, 98 Berechnen Sie einen Schätzer für die gefragten Größen aus der Stichprobe. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 1 von 8

2 Aufgabe 102 Bei der Herstellung von Schokoladentafeln sei das Verpackungsgewicht X normalverteilt mit Standardabweichung σ = 2 g. Der Sollwert der Tafeln liegt bei 100 g. Der Hersteller möchte weder haben, dass µ < 100 g (dann müsste er Reklamationen der Verbraucher befürchten), noch dass µ > 100 g (unnötige Verschwendung und damit finanzielle Verluste). Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergibt ein arithmetisches Mittel von x = 98,9 g. a) In einem ersten Schritt soll davon ausgegangen werden, dass der unbekannte Erwartungswert gleich dem Sollwert 100g ist. Welche Hypothesen müssen aufgestellt werden? b) Legen Sie unter der Annahme, dass die Hypothese H 0 zutrifft, einen symmetrischen Zufallsstreubereich um µ = 100 g fest, in dem x mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt. c) Kann die Hypothese µ = 100 g bei der vorgegebenen Stichprobe verworfen werden? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Hypothese µ = 100 g zu verwerfen, obwohl sie tatsächlich zutrifft? e) Wie lauten Nullhypothese H 0, Alternativhypothese H 1, Zufallsstreubereich und Ablehnungsbereich, wenn der Hersteller überprüfen will, ob der Erwartungswert der Schokoladentafeln größer oder gleich 100 g ist? f) Kann an der Nullhypothese µ 100g bei der vorliegenden Stichprobe festgehalten werden? Aufgabe 103 Bei der Fertigung eines bestimmten Typs von Wellen ist die Länge einer Welle (in mm) normalverteilt mit Varianz σ 2 = 0, 02. Die Längenmessung bei 20 Wellen ergab folgende Werte: 1-mal 239,65 1-mal 239,85 3-mal 239,90 6-mal 240,00 3-mal 240,10 2-mal 240,15 1-mal 240,20 1-mal 240,25 2-mal 240,30 Lässt sich bei Signifikanzniveau α = 0, 05 eine Abweichung vom Sollwert 240 mm nachweisen? Aufgabe 104 Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt ist mit Varianz σ 2 = 0,26. Eine Stichprobe von 500 Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von x = 54,03 mm. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 2 von 8

3 Testen Sie mit diesen Daten die Nullhypothese H 0 : µ = 55 auf dem Signifikanzniveau α =1%. Aufgabe 105 In einem chemischen Prozess wird über eine Dosiervorrichtung ein bestimmter Stoff zugeführt. Die Stoffmenge war dabei in der Vergangenheit normalverteilt mit Erwartungswert 100 g und Standardabweichung 2 g. Der Produktionsleiter meint, dass die Maschine neu adjustiert werden muss, da sie in jüngster Zeit im Mittel zu große Mengen zuführt. Er lässt 10-mal die zugeführten Stoffmengen nachwiegen und erhält die folgenden Werte (in g) gemeldet: 99,7 102,6 99,3 100,4 100,5 102,2 105,5 98,2 102,6 102,7 a) Überprüfen Sie die Behauptung des Produktionsleiters mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 5 %. (Gehen Sie dabei davon aus, dass sich die Standardabweichung nicht geändert hat.) b) Wie wäre die Testentscheidung ausgefallen, wenn das Signifikanzniveau 1 % betragen hätte? Aufgabe 106 a) Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Die Füllmengen seien normalverteilt; die 2 = Maschinengenauigkeit betrage σ 15. Eine konkrete Stichprobe ergab folgende 15 Messwerte (in g): Weicht der Erwartungswert µ der Füllmengen der Maschine signifikant von 1000 g ab? (Signifikanzniveau α = 0, 05.) b) Bei einer anderen Zuckerabfüllmaschine ergab sich bei einer Stichprobe vom Umfang 100 ein arithmetischer Mittelwert x =1001, 11 [g]. Auch hier seien die Füllmengen normalverteilt mit Varianz σ 2 = 15. Auf dem Signifikanzniveau α = 5 % ist zu überprüfen, ob die mittlere Füllmenge größer als 1000 g ist. Aufgabe 107 Eine Maschine füllt Limonade in 0,33-Liter-Dosen. Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergab folgende Füllmengen (in ml): Lässt sich auf Basis dieser Stichprobe zum Signifikanzniveau 1 % ein Unterschreiten der Sollfüllmenge bestätigen? Gehen Sie von der Annahme aus, dass die Füllmengen unabhängig normalverteilt sind. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 3 von 8

4 Aufgabe 108 Die Zugfestigkeit [in N] der Drähte zweier Hersteller soll verglichen werden. Es wurden daher die Zugfestigkeitswerte von je 8 Drahtstücken gemessen. Folgende Werte ergaben sich: Hersteller A: Hersteller B: Sind die Drähte der beiden Hersteller gleich zugfest? Führen Sie einen geeigneten Signifikanztest zum Signifikanzniveau 5% durch unter der Annahme, dass die Zugfestigkeit beider Hersteller normalverteilt ist mit gleicher Standardabweichung σ. Aufgabe 109 Bei der Analyse zweier Produktvarianten ergaben sich über 8 Wochen hinweg die folgenden Verkaufszahlen. Variante A: Variante B: Wenn die Verkaufszahlen als normalverteilt angenommen werden: Bedeutet das, dass die Variante A signifikant höhere wöchentliche Verkaufszahlen aufweist, oder liegen die Unterschiede noch in dem vom Zufall bedingten Rahmen? (Wählen Sie als Signifikanzniveau 5 %.) Aufgabe 110 In einer Gemeinde hatte eine Partei in der Vergangenheit einen Stimmenanteil von 30 %. Bei der letzten Umfrage haben sich allerdings nur 32 von 120 befragten Personen für diese Partei ausgesprochen. Spricht das (bei Signifikanzniveau α = 0, 01) für eine Änderung des Stimmenanteils? Aufgabe 111 Der Benzinverbrauch eines neuen Kraftfahrzeuges soll getestet werden. Für 8 untersuchte Fahrzeuge ergeben sich folgende Messwerte in Liter / 100 km: 3,8 3,4 3,5 4,1 3,7 4,0 3,5 3,7 a) Untersuchen Sie mit einem geeigneten statistischen Test, ob behauptet werden kann, der Verbrauch liege unter 4,2 Liter / 100 km. b) Unter welcher zusätzlichen Annahme haben Sie den Test durchgeführt? Aufgabe 112 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004) An einer Hochschule wurde in zwei Kursen die gleiche Klausur geschrieben. Es ergaben sich folgende Werte: Kurs A: Anzahl der Teilnehmer 39 arithmetischer Mittelwert der erzielten Punktzahlen 39,6667 empirische Standardabweichung der Punktzahlen 8,4809 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 4 von 8

5 Kurs B: Anzahl der Teilnehmer 33 arithmetischer Mittelwert der erzielten Punktzahlen 34,2222 empirische Standardabweichung der Punktzahlen 10,1386 a) Kann man mit diesen Daten nachweisen, dass die mittlere Punktzahl in Kurs A größer ist als in Kurs B? Führen Sie zur Beantwortung dieser Frage einen geeigneten Test zum Signifikanzniveau α = 5 % durch. b) Welche statistischen Annahmen liegen dem von Ihnen durchgeführten Test zugrunde? Aufgabe 113 Bei der Massenproduktion eines Artikels treten immer wieder unbrauchbare Stücke auf. Der Produzent versichert, dass ihr Anteil p nicht mehr als 2 % beträgt. Eine Stichprobe vom Umfang n = 5000 ergab 120 unbrauchbare Artikel. Formulieren Sie H 0 und H 1. Kann man H 0 zum Niveau α = 0,05 ablehnen? Zum Niveau α = 0,01? Aufgabe 114 Dem Hersteller eines Waschmittels wird von einer Verbraucherorganisation vorgeworfen 3-kg Packungen in den Handel zu bringen, deren Inhalt wesentlich unter dem Nenngewicht liegt. Der Hersteller bestreitet dies. Zur Überprüfung kauft die Verbraucherorganisation 25 Packungen und stellt jeweils deren Nettogewicht fest. Dabei ergibt sich ein arithmetisches Mittel von x = 2, 96 kg und eine empirische Varianz von s 2 = 0,01 kg 2. Welchen Stichprobentest sollte die Verbraucherorganisation bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % aufstellen? Wie lautet das Testergebnis? Aufgabe 115 Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit bekannter Varianz σ 2 = 20 (also X ~ N( µ,20) ). Es sollen zweiseitige (= nach oben und unten beschränkte) Intervalle berechnet werden. a) Es ist µ = 1000 bekannt. In welchem Intervall liegt das arithmetische Mittel x einer Stichprobe vom Umfang 10 mit Wahrscheinlichkeit 95 %? b) µ ist nicht bekannt. Aber angenommen, es wäre µ = 1000 (Nullhypothese H 0 ), in welchem Intervall liegen dann die Mittelwerte x aus Stichproben vom Umfang n = 10 mit Wahrscheinlichkeit 95 %? c) µ ist nicht bekannt. Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 10 ergab sich x = 998,74. In welchem Intervall könnte µ liegen? Aufgabe 116 (Klausuraufgabe Sommersemester 2008) Ein Hersteller von Kühlschränken hofft, durch eine technische Verbesserung den Energieverbrauch reduziert zu haben. Bei einer Stichprobe von 10 Geräten der alten Technik wurde folgender Energieverbrauch gemessen (jeweils in kwh/jahr): Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 5 von 8

6 Bei einer Stichprobe von 8 Geräten mit der verbesserten Technik wurden folgende Werte gemessen: a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 0,05, ob die technische Verbesserung tatsächlich den Energieverbrauch verringert hat. Gehen Sie dabei davon aus, dass die Messwerte Realisierungen unabhängiger Normalverteilungen sind und dass sich die Varianz der Normalverteilung durch die technische Verbesserung nicht geändert hat. b) Kann man auf Basis dieser Daten bei Signifikanzniveau 0,05 sogar behaupten, der Energieverbrauch habe sich um 10 kwh/jahr verringert? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 117 Die Wirkstoffmenge [in mg] bei einem Medikament sei normalverteilt. Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergab die Werte 51,3 49,9 49,0 50,1 50,7 50,0 51,4 49,5 48,1 48,9 a) Berechnen Sie den zweiseitigen 99 %-Vertrauensbereich für die mittlere Wirkstoffmenge. b) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Vertrauensbereiche für die mittlere Wirkstoffmenge. c) Für welche Fragestellungen verwendet man welchen der drei Vertrauensbereiche? Aufgabe 118 Bei einer Umfrage unter 1000 (repräsentativ ausgewählten) Personen gaben 71 an, bei der nächsten Wahl für die Partei X stimmen zu wollen. Wie groß ist der Stimmenanteil p, den die Partei bei der Wahl erzielen wird, bei Vertrauenswahrscheinlichkeit 99 % mindestens? Aufgabe 119 Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt ist mit Varianz σ 2 = 0,26. Eine Stichprobe von 100 Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von x = 54,55 mm. a) Berechnen Sie den zweiseitigen 99%-Vertrauensbereich für den unbekannten Erwartungswert µ der Bolzendurchmesser. b) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99%-Vertrauensbereiche für den unbekannten Erwartungswert µ der Bolzendurchmesser. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 6 von 8

7 Aufgabe 120 Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Beim Nachwiegen von 20 Packungen ergaben sich folgende Werte (in g): 2-mal 996,5 1-mal mal 997,5 1-mal mal 998,5 4-mal mal mal 1000,5 1-mal mal 1002,5 1-mal mal 1004 Die Füllmengen können als normalverteilt angesehen werden. Bestimmen Sie den zweiseitigen Vertrauensbereich für die mittlere Füllmenge der Maschine zum Vertrauensniveau 1 α = 0, 95. Aufgabe 121 Bei einem in der Entwicklung befindlichen neuen Motortyp wurde ein wichtiges Konstruktionsmerkmal geändert. Es liegen die folgenden Messwerte für den Benzinverbrauch (in Liter pro 100 km) vor. Vor der Änderung: Nach der Änderung: a) Berechnen Sie ein zweiseitiges 99%-Vertrauensintervall für die Benzinersparnis, die die Konstruktionsänderung bewirkt hat. b) Welche Annahmen liegen Ihrer Rechnung aus a) zugrunde? Aufgabe 122 Aus einem laufenden Produktionsprozess wird eine Stichprobe von 800 Einheiten gezogen, um zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95 % einen Vertrauensbereich für die Ausschussquote p zu ermitteln. a) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen zweiseitigen Vertrauensbereich für p. b) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen einseitigen nach oben begrenzten Vertrauensbereich für p. c) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen einseitigen nach unten begrenzten Vertrauensbereich für p. d) Die Stichprobe enthält 3 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen zweiseitigen Vertrauensbereich für p. Aufgabe 123 Vier Maschinen füllen Zucker in 1000-g-Packungen. Die Füllmengen [in g] von 2 i Maschine i seien N ( µ, σ )-verteilt, dabei sei: i i 4,9 4,6 4,8 4,8 4,6 4,4 4,9 4,5 4,5 4,7 4,1 4,2 4,4 4,5 4,5 4,3 4,4 4,4 µ = mittlere Abfüllmenge der Maschine i; 2 σ i = Abfüllgenauigkeit der Maschine i. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 7 von 8

8 Maschine 1: Gegeben: µ 1 = 1004, 9 g, σ 1 = 4 [g²] Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 1000 g enthält? Maschine 2: Gegeben: µ 2 = 1003, 7 g, σ 2 = 4 [g²] Welche Füllmenge erreichen 99 % der Packungen mindestens? Maschine 3: µ 3 ist unbekannt. Eine Stichprobe vom Umfang n = 100 lieferte x = 1001,3 g. Kann man damit nachweisen, dass µ 3 > 1000 g gilt? Maschine 4: µ 4 ist unbekannt. Eine Stichprobe vom Umfang n = 100 lieferte x = 1002,5 g. Gesucht ist ein nach unten begrenztes Intervall, das das unbekannte µ 4 enthält. a) Was ist bei Maschine 1, 2, 3, 4 jeweils gesucht? b) Bei manchen der Maschinen kann man das, was gesucht ist, noch nicht ausrechnen; es fehlen noch Angaben. b1) Bei welchen der vier Fragen fehlen noch Angaben? b2) Welche Angaben fehlen? c) Führen Sie die Rechnungen durch. 2 Aufgabe 124 Eine Gruppe G 1 von n 1 =100 Versuchspersonen wird mit einem neuen Medikament behandelt, welches den Blutdruck senken soll. Eine Vergleichsgruppe G 2 mit ebenfalls n 2 =102 Personen wird nicht behandelt und dient nur zur Kontrolle. Es wurde bei allen Personen der Blutdruck in mmhg gemessen. Folgende Werte wurden daraus errechnet (in mmhg): x = 114,84 ; x = 122, 13; s = 10, 5 ; s = 10, Kann man aus diesem Versuch schließen, dass das Medikament tatsächlich die beabsichtigte Wirkung hat, oder beruht der kleinere Durchschnitt in G 1 auf Zufall, weil eben zufällig viele Personen mit ohnehin niedrigem Blutdruck in G 1 gelangt sind? Man wähle 1-α = 0,99 Aufgabe 125 Bei einer Umfrage unter 500 Wahlberechtigten wird gefragt: Welche Partei würden Sie wählen, wenn am Sonntag Wahl wäre?. Von den 500 ausgewählten Personen geben 60 an, dass sie die Partei XY wählen. Zwischen welchen Prozentzahlen bewegt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% der tatsächliche Stimmenanteil der Partei XY? 2 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 8 von 8

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