Syntax von LOOP-Programmen

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1 LOOP-Berechenbarkeit Syntax von LOOP-Programmen Definition LOOP-Programme bestehen aus: Variablen: x 0, x 1, x 2, x 3,... Konstanten: 0, 1, 2, 3,... Trennsymbolen:; und := Operationen: + und Befehlen: LOOP, DO, END J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 1 / 30

2 LOOP-Berechenbarkeit Syntax von LOOP-Programmen Definition (Fortsetzung) Wir definieren die Syntax von LOOP-Programmen induktiv wie folgt: 1 x i := x j + c, x i := x j c und x i := c, für Konstanten c N, sind LOOP-Programme. 2 Falls P 1 und P 2 LOOP-Programme sind, so ist auch P 1 ; P 2 ein LOOP-Programm. 3 Falls P ein LOOP-Programm ist, so ist auch LOOP x i DO P END ein LOOP-Programm. Dabei darf in der LOOP-Anweisung die Wiederholvariable x i nicht im Schleifenkörper P vorkommen. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 2 / 30

3 LOOP-Berechenbarkeit Semantik von LOOP-Programmen Um die Semantik von LOOP-Programmen zu beschreiben, stellen wir uns die Werte der Variablen in Registern gespeichert vor. Abstraktion: Es gibt unendlich viele Register unendlicher Kapazität, d.h., beliebig große Zahlen können in einem Register gespeichert werden. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 3 / 30

4 LOOP-Berechenbarkeit Semantik von LOOP-Programmen Definition In einem LOOP-Programm, das eine k-stellige Funktion f berechnen soll, gehen wir davon aus, dass dieses mit den Startwerten n 1,...,n k N in den Variablen x 1,..., x k (und 0 in den restlichen) gestartet wird. 1 Die Zuweisungen x i := x j + c und x i := c werden wie üblich interpretiert. In x i := x j c wird x i auf 0 gesetzt, falls c x j ist. 2 Das Programm P 1 ; P 2 wird so interpretiert, dass zuerst P 1 und dann P 2 ausgeführt wird. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 4 / 30

5 LOOP-Berechenbarkeit Semantik von LOOP-Programmen Definition (Fortsetzung) 3 Das Programm P in LOOP x i DO P END wird so oft ausgeführt, wie der Wert der Variablen x i zu Beginn angibt. Da x i nicht in P vorkommen darf, steht die Anzahl der Iterationen vor der ersten Ausführung der Schleife fest. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 5 / 30

6 LOOP-Berechenbarkeit LOOP-Berechenbarkeit Definition Eine Funktion f : N k N heißt LOOP-berechenbar, falls es ein LOOP-Programm P gibt, das gestartet mit n 1,..., n k in den Variablen x 1,...,x k (und 0 in den restlichen) stoppt mit dem Wert f(n 1,..., n k ) in der Variablen x 0. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 6 / 30

7 LOOP-Berechenbarkeit LOOP-Berechenbarkeit Bemerkung: Die Anweisung IF x 1 = 0THEN P ELSE P END lässt sich wie folgt mit dem obigen Befehlssatz ausdrücken: x 2 := 1; x 3 := 1; LOOP x 1 DO x 2 := 0END; LOOP x 2 DO P; x 3 := 0END; LOOP x 3 DO P END Die Anweisung IF x 1 = c THEN P ELSE P END lässt sich ähnlich mit LOOP-Befehlen ausdrücken (s. Übungen). J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 7 / 30

8 LOOP-Berechenbarkeit LOOP-Berechenbarkeit Es ist nicht möglich, mit einem LOOP-Programm unendliche Schleifen zu programmieren. Das heißt, jedes LOOP-Programm stoppt nach endlich vielen Schritten. Somit sind LOOP-berechenbare Funktionen stets total. Da es nicht totale, aber intuitiv berechenbare Funktionen gibt, z.b. f : N 2 N mit f(n 1, n 2 ) = n 1 div n 2, kann die Menge der LOOP-berechenbaren Funktionen nicht die Menge aller intuitiv berechenbaren Funktionen umfassen. Es gibt sogar total definierte intuitiv berechenbare Funktionen, die nicht LOOP-berechenbar sind (z.b. die Ackermann-Funktion). J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 8 / 30

9 LOOP-Berechenbarkeit LOOP-Berechenbarkeit: Addition Beispiel: Die Addition f : N 2 N mit ist LOOP-berechenbar. f(n 1, n 2 ) = n 1 + n 2 Idee: Berechne n 1 + n 2 = n 1 + } {{}. n 2 x 0 := x 1 + 0; LOOP x 2 DO x 0 := x END J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 9 / 30

10 LOOP-Berechenbarkeit LOOP-Berechenbarkeit: Multiplikation Beispiel: LOOP-berechenbar ist auch die Multiplikation f : N 2 N: f(n 1, n 2 ) = n 1 n 2. Idee: Berechne n 1 n 2 = 0+n 1 + n n }{{ 1. } n 2 x 0 := 0; LOOP x 2 DO x 0 := x 0 + x 1 END Dabei wird x 0 := x 0 + x 1 durch ein Unterprogramm gemäß dem Beispiel oben für die Addition berechnet, d.h., hier entstehen zwei ineinander geschachtelte LOOP-Schleifen. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 10 / 30

11 WHILE-Berechenbarkeit Syntax von WHILE-Programmen Definition WHILE-Programme sind wie folgt definiert: 1 Jedes LOOP-Programm ist ein WHILE-Programm. 2 Falls P ein WHILE-Programm ist, so ist auch ein WHILE-Programm. WHILE x i 0DO P END J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 11 / 30

12 WHILE-Berechenbarkeit Semantik von WHILE-Programmen Definition 1 Die Semantik von LOOP-Programmen wurde bereits definiert. 2 Das Programm P in einer WHILE-Anweisung WHILE x i 0DO P END wird wiederholt, solange der Wert von x i ungleich 0 ist. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 12 / 30

13 WHILE-Berechenbarkeit WHILE-Berechenbarkeit Definition Eine Funktion f : N k N heißt WHILE-berechenbar, falls es ein WHILE-Programm P gibt, das gestartet mit n 1,..., n k in den Variablen x 1,...,x k (und 0 in den restlichen) stoppt mit dem Wert f(n 1,..., n k ) in der Variablen x 0 sofern f(n 1,...,n k ) definiert ist, andernfalls stoppt P nicht. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 13 / 30

14 WHILE-Berechenbarkeit LOOP- versus WHILE-Berechenbarkeit Folgerung: Jede LOOP-berechenbare Funktion f : N k N ist WHILE-berechenbar. Bemerkung: In WHILE-Programmen kann man auf LOOP-Schleifen verzichten, denn offensichtlich kann man LOOP x i DO P END simulieren durch: x j := x i + 0; WHILE x j 0DO x j := x j 1; P END J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 14 / 30

15 WHILE-Berechenbarkeit WHILE-Berechenbarkeit: Potenzfunktion Beispiel: Die Potenz f : N N mit f(n) = 2 n ist WHILE-berechenbar. Idee: Berechne 2 n = }{{}. n x 0 := 1; WHILE x 1 0DO x 0 := x 0 + x 0 ; x 1 := x 1 1 END J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 15 / 30

16 WHILE-Berechenbarkeit LOOP- versus WHILE-Berechenbarkeit Beispiel: Das WHILE-Programm x 3 := x 1 4; WHILE x 3 0DO x 1 := x 1 + 1END; LOOP x 1 DO x 0 := x 0 + 1END; LOOP x 2 DO x 0 := x 0 + 1END berechnet die Funktion f : N 2 N mit n 1 + n 2 falls n 1 4 f(n 1, n 2 ) = undefiniert sonst. f ist aber nicht LOOP-berechenbar, da f nicht total ist. Es gibt also WHILE-berechenbare Funktionen, die nicht LOOP-berechenbar sind. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 16 / 30

17 WHILE-Berechenbarkeit WHILE- versus Turing-Berechenbarkeit Theorem Jedes WHILE-Programm kann durch eine Turingmaschine simuliert werden, d.h., jede WHILE-berechenbare Funktion ist auch Turing-berechenbar. ohne Beweis J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 17 / 30

18 GOTO-Berechenbarkeit Syntax von GOTO-Programmen Definition GOTO-Programme bestehen aus Folgen von markierten Anweisungen: M 1 : A 1 ; M 2 : A 2 ;...; M m : A m ; Anweisungen A i dürfen dabei sein: Zuweisung: x i := x j + c, x i := x j c und x i := c, für Konstanten c N unbedingter Sprung:GOTO M i bedingter Sprung:IF x i = c THEN GOTO M j Abbruchanweisung: HALT J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 18 / 30

19 GOTO-Berechenbarkeit Semantik von GOTO-Programmen Definition Mit dergoto Anweisung springt man zu der Anweisung mit der angegebenen Marke. DieHALT Anweisung beendet ein GOTO Programm, d.h., die letzte Anweisung sollte entweder GOTO oder HALT sein. Bemerkung: GOTO-Programme können auch unendliche Schleifen enthalten, z.b.: M 1 :GOTO M 1 J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 19 / 30

20 GOTO-Berechenbarkeit GOTO-Berechenbarkeit Definition (GOTO-Berechenbarkeit) Eine Funktion f : N k N heißt GOTO-berechenbar, falls es ein GOTO-Programm P gibt, das gestartet mit n 1,..., n k in den Variablen x 1,...,x k (und 0 in den restlichen) stoppt mit dem Wert f(n 1,..., n k ) in der Variablen x 0 sofern f(n 1,...,n k ) definiert ist, andernfalls stoppt P nicht. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 20 / 30

21 GOTO-Berechenbarkeit GOTO-Berechenbarkeit: Addition Beispiel: Die Addition f : N 2 N, f(n 1, n 2 ) = n 1 + n 2 ist GOTO-berechenbar. Idee: Berechne n 1 + n 2 = n 1 + } {{}. n 2 M 1 : x 0 := x 1 + 0; M 2 : IF x 2 = 0THEN GOTO M 6 ; M 3 : x 0 := x 0 + 1; M 4 : x 2 := x 2 1; M 5 : GOTO M 2 ; M 6 : HALT; J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 21 / 30

22 GOTO-Berechenbarkeit GOTO-Berechenbarkeit: Multiplikation Beispiel: Die Multiplikation f : N 2 N, definiert durch f(n 1, n 2 ) = n 1 n 2, ist GOTO-berechenbar (s. Übungen). J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 22 / 30

23 GOTO-Berechenbarkeit WHILE- versus GOTO-Berechenbarkeit Theorem Jedes WHILE-Programm kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden, d.h., jede WHILE-berechenbare Funktion ist auch GOTO-berechenbar. Beweis: Wir simulieren die Schleife WHILE x i 0DO P END durch M 1 : IF x i = 0THEN GOTO M 2 ;... P;... GOTO M 1 ; M 2 :... J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 23 / 30

24 GOTO-Berechenbarkeit GOTO- versus WHILE-Berechenbarkeit Theorem Jedes GOTO-Programm kann durch ein WHILE-Programm mit einer WHILE-Schleife simuliert werden, d.h., jede GOTO-berechenbare Funktion ist auch WHILE-berechenbar. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 24 / 30

25 GOTO-Berechenbarkeit GOTO- versus WHILE-Berechenbarkeit Beweis: Wir betrachten das GOTO-Programm P: M 1 : A 1 ; M 2 : A 2 ;...; M k : A k ; Wir simulieren P durch folgendes WHILE-Programm mit einer zusätzlichen Variablen x Sprung zur Simulation der Sprungmarken: x Sprung := 1; WHILE x Sprung 0DO IF x Sprung = 1THEN B 1 END; IF x Sprung = k THEN B k END END J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 25 / 30

26 GOTO-Berechenbarkeit GOTO- versus WHILE-Berechenbarkeit Dabei ist B i, 1 i k, wie folgt definiert: A i ; x Sprung := x Sprung + 1 falls A i eine Zuweisung ist B i = x Sprung := n IF x j = c THEN x Sprung := n falls A i =GOTO M n ist ELSE x Sprung := x Sprung + 1END falls A i =IF x j = c THENGOTO M n ist x Sprung := 0 falls A i =HALT ist Die Anweisung IF x = c THEN P ELSE P END kann, wie wir wissen, durch LOOP-Schleifen und somit auch durch WHILE-Schleifen simuliert werden. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 26 / 30

27 GOTO-Berechenbarkeit Kleenesche Normalform für WHILE-Programme Folgerung: Jede WHILE-berechenbare Funktion f : N k N kann durch ein WHILE-Programm mit nur einer WHILE-Schleife (und mehreren IF-THEN-ELSE-Anweisungen) berechnet werden. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 27 / 30

28 GOTO-Berechenbarkeit Kleenesche Normalform für WHILE-Programme Beweis: Es sei P ein beliebiges WHILE-Programm, das eine Funktion f berechnet. Nach dem vorletzten Satz gibt es ein GOTO-Programm P, das f berechnet. Nach dem letzten Satz gibt es ein WHILE-Programm P mit nur einer WHILE-Schleife und mehreren IF-THEN-ELSE-Anweisungen, das f berechnet. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 28 / 30

29 GOTO-Berechenbarkeit Turing- versus GOTO-Berechenbarkeit Theorem Jede Turingmaschine kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden, d.h., jede Turing-berechenbare Funktion ist auch GOTO-berechenbar. ohne Beweis J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 29 / 30

30 GOTO-Berechenbarkeit LOOP- vs. Turing-, WHILE-, GOTO-Berechenbarkeit Bemerkung: Aus den bisherigen Sätzen ergibt sich: GOTO-berechenbar = WHILE-berechenbar = Turing-berechenbar LOOP-berechenbar Es gibt WHILE-berechenbare Funktionen, die nicht LOOP-berechenbar sind (z.b. die Ackermann-Funktion). J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 30 / 30

1.2 LOOP-, WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit

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