Übersicht 2. Mathematik als Beruf? Von logischen Strukturen und spannenden Aufgaben. Martin Oellrich. ein Problem vor der Haustür 3

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1 Mathematik als Beruf? Von logischen Strukturen und spannenden Aufgaben Übersicht vom Problem zur Theorie 0. Juni Juni 008 Martin Oellrich die Idee weiter denken MathematikerIn werden? Gibt es einen Wanderweg, der über jede der Brücken (rot) genau einmal führt? ein Problem vor der Haustür wer das Problem löste 4 Trug maßgebliche Fortschritte bei in Königsberg 76: sieben Brücken über den Pregel Frage: gibt es einen Wanderweg, der über jede der Brücken (rot) genau einmal führt? Leonhard Euler schweizer Mathematiker (707 78) Algebra / Zahlentheorie Analysis / Funktionentheorie (Euler-Zahl e) Differential- und Integralgleichungen Kombinatorik / Graphentheorie (Begründer) history/mathematicians/euler.html

2 die Vorbereitung 5 die Lösung 6 Eulers Idee: Abstraktion durch einen Graphen Eulers Beobachtung: beim Durchlaufen eines Weges werden in allen inneren Knoten eine gerade Anzahl Kanten verbraucht 5 jede Landmasse wird repräsentiert durch einen Knoten jede Brücke wird repräsentiert durch eine Kante Eulers Einsicht: die wesentliche Problemstruktur steckt in diesem Modell! die eigentliche Leistung 7 Eulers Schluss: für einen Weg über alle Kanten darf es höchstens zwei Knoten mit ungerader Anzahl Kanten geben das ist nicht erfüllt! Übersicht 8 Was bedeutet Eulers Erkenntnis? klar: der Fall Königsberg ist gelöst Graphen: ein neuartige Idee, die Realität nachzubilden flexibles Instrument mit enormer Tragweite der Beweis: allgemeingültige Struktur in allen vergleichbaren Situationen vom Problem zur Theorie die Idee weiter denken MathematikerIn werden? Neubegründung der Graphentheorie hier wird noch heute geforscht!

3 Problemlösung mit Graphen 9 Aufgabe A 0 Aufgabe A Aufgabe B Frage: Gibt es für einen Springer einen Weg auf dem Schachbrett, der über jedes Feld genau einmal führt? Gibt es für einen Springer einen Weg auf dem 4 4-Schachbrett, der über jedes Feld genau einmal führt? Kann man das 4 4-Schachbrett ohne die beiden Ecken lückenlos mit -Dominosteinen überdecken? Aufgabe A Aufgabe B Frage: Kann man das 4 4-Schachbrett ohne die beiden Ecken lückenlos mit -Dominosteinen überdecken? Beobachtung: der Weg benutzt in jedem Knoten genau zwei Kanten. Wegen des eindeutigen Wegs durch die Eckfelder entsteht ein Kurzkreis kein vollständiger Weg möglich.

4 Aufgabe B ein einfaches Problem? Jeder Dominostein entspricht im Graphen einer Kante, die einen weißen mit einem schwarzen Knoten verbindet. Es gibt verschieden viele weiße und schwarze Knoten keine vollständige Überdeckung möglich. Wie kann man die Deutschlandkarte mit möglichst wenigen Farben so einfärben, dass benachbarte Länder verschiedene Farben bekommen? ein einfaches Problem? 5 Geschichte des Landkartenproblems 6 allgemeine Aufgabe: färbe die Knoten eines ebenen Graphen so, dass die Enden jeder Kante verschiedene Farben bekommen. Frage: Geht das immer mit höchstens 4 Farben? Kartographen kommen schon immer mit 4 Farben aus 85: Francis Guthrie formuliert die Vermutung mathematisch 878 bringt Arthur Cayley das Problem in die London Mathematical Society 879 veröffentlicht Alfred Kempe einen ersten Beweis 890 erkennt Percy Heawood ihn als falsch, kann aber beweisen, dass fünf Farben ausreichen 969 hat Heinrich Heesch entscheidende Ideen für einen Beweis, kann sie aber technisch nicht durchführen 976 gelingt Ken Appel und Wolfgang Haken ein Beweis mit Computerhilfe 996 reduzieren 4 Mathematiker den Rechenaufwand auf

5 die Geschichte geht weiter 7 Wie funktioniert ein Durchbruch? 8 noch heute wird gearbeitet an einem computerfreien Beweis an den Farbanzahlen anderer Oberflächen an schnelleren Verfahren zur Konstruktion von 4-Färbungen? Torus: 7 Farben ein aufmerksamer Mensch beobachtet einen Sachverhalt ein anderer erkennt die Bedeutung, trägt sie in die wissenschaftliche Gemeinschaft auch Experten können irren Fortschritte bleiben lange Zeit gering irgendwann hat jemand eine bahnbrechende Idee, kommt aber selbst nicht zum Ziel Kollegen greifen die Idee auf und führen sie durch es ergeben sich weit reichende Folgen und Arbeitsfelder. Mathematik ist beharrliches Ringen um endgültige Wahrheiten Mathematik ist heute weltweites Teamwork Euler heute: Rundfahrt der Müllabfuhr 9 Euler heute: Rundfahrt der Müllabfuhr 0 Frage: Wie kann die Müllabfuhr möglichst schnell alle Straßen abfahren? Frage: Wie kann die Müllabfuhr möglichst schnell alle Straßen abfahren? Sackgassen streichen 0 ungerade Knoten! allgemeine Aufgabe: finde eine Rundfahrt, die (trotz der ungeraden Knoten) so wenig wie möglich Straßen wiederholt.

6 Graphen heute: Navigationssysteme Graphen heute: Mobilfunk Straßenkarten sind riesige Graphen kürzeste Strecken müssen möglichst schnell gefunden werden Antennen stören einander muss mit möglichst wenig Frequenzen auskommen Übersicht das Studium 4 es gibt vier mathematische Bachelor-Studiengänge: vom Problem zur Theorie die Idee weiter denken MathematikerIn werden? Mathematik: allgemein, mit eigenem Schwerpunkt Statistik: Aussagen aus (sehr) vielen Daten Technomathematik: physikalisch-technische Prozesse Wirtschaftsmathematik: Finanzströme, Wirtschaftsmodelle Grundausbildung ist dieselbe, Spezialisierung durch Schwerpunkte und Nebenfächer alle dauern drei Jahre, danach Berufseinstieg oder Master-Studiengang Ausbildung für die Wissenschaft zwei Jahre kann auch später gemacht werden

7 Grundlagen der Mathematik 5 Grundlagen der Mathematik 6 Eigenschaften von Zahlen, Folgen und n-dimensionalen Funktionen x 0 für alle x R welche Art Zahl erfüllt x =? allgemeine Vektorräume und lineare Abbildungen in beliebigen Dimensionen P v v Q 0 a 0 R + a n+ := ( a n + r ) a n lim a n = r n Wo liegt das rote Maximum genau? f(x, x )! = 0 orthogonale Projektion Q = n i= v i, P v i v i Rotation eines Körpers y y y 0 cos α 0 sin α 0 0 sin α 0 cos α 0 A@ x x x A Grundlagen der Mathematik 7 Kommunikation in der Mathematik 8 diskrete Strukturen und elementare Wahrscheinlichkeit Verknüpfung von Permutationen ( ) ( ) ( ) 4 = 4 4 Gaußsche Normalverteilung φ(x) = π e x Mathematik anderer Leute verstehen Theorem: Let G be a graph. G has an Eulerian path if all the edges belong to a single component and there are at most two odd vertices. Proof. We observe that every Eulerian path is incident to every interior node twice.... Mathematik anderen erklären

8 die Rolle des Computers 9 der Trend 0 Studierende lernen: Verhalten von Zahlen auf einem Computer algorithmische Abläufe für Berechnungen Programmieren in einer Hochsprache, z.b. Java keine Vorliebe für Computer oder Perfektion im Programmieren nötig! Schwerpunkt bleibt auf den Abläufen, nicht der Maschine der Arbeitsmarkt Quelle: Dieter et al., Zahlen rund um das Mathematikstudium I, MDMV 6/08 die Message Mathe ist eine jahrtausende lange Erfolgsstory Mathe erfordert Geduld, Grips und Liebe zum Detail Mathe ist abwechslungsreich, nichts wird doppelt gemacht Mathe ist heute Teamwork Mathe belohnt durch Anerkennung sachlicher Ergebnisse Mathe ist Zukunft! Quelle: Bundesanstalt für Arbeit, Arbeitsmarkt Information 00