Crash Review Course Financial Risk Manager (FRM)

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1 Crash Review Course Financial Risk Manager (FRM Philipps-Universiä Marburg WS7/8 Par I GARP (Global Associaion of Risk Professionals organizes an examinaion, he Financial Risk Manager (FRM Cerificae Program. This examinaion is fas becoming an essenial requiremen for risk managers all over he world You can learn more abou his exam a This Course has been designed sricly along he lines of he FRM curriculum Insrucor Dr. Helmu Sieger, FRM helmu.sieger@sieger-parner.de (c S+P/CrashReviewCourse 78

2 Forma Crash Review Course Inroducion (. classroom Presenaions key conceps criical poins for exam success. inerchanging wih FRM forma examinaions learning by doing examples from GARP 3. Reflecion by Q+A sessions discussion of he examples concep checkers 4. Final Sress Tes of paricipans quesions in 6 minues ÆTo benefi from his course, paricipans mus familiarized hemselves wih financial producs and heir valuaions (c S+P/CrashReviewCourse 78

3 Crash Review Course Inroducion ( Topics WS 7/8. Par: Quaniaive Mehods (Risk Managers Tool Box: % Bond Fundamenals Fundamenals of Probabiliy Fundamenals of Saicics Mone Carlo Mehods. Par: Capial Markes (Financial Producs Inroducion o Derivaives Opions Fixed-Income Securiies Fixed-Income Derivaives Equiy, Currency, and Commodiy Markes 3. Par: Marke Risk Managemen Inroducion o Marke Risk Measuremen Sources of Marke Risk Hedging Linear Risk Nonlinear Risk: Opions Modelling Risk Facors VaR Mehod Liquidiy Risk 3 % (c S+P/CrashReviewCourse 78 3

4 Crash Review Course Inroducion (3 Topics SS 8 4. Par: Invesmen Risk Managemen: % Porfolio Managemen Hedge Fund Risk Managemen 5. Par: Credi Risk Managemen: 5 % Inroducion o Credi Risk Measuring Acuarial Defaul Risk Measuring Defaul Risk from Marke Prices Credi Exposure Credi Derivaives and Srucured Producs Managing Credi Risk 6. Par: Operaional and Inegraed Risk Managemen: 5 % Operaional Risk Risk Capial [Economic] and RAROC Firm-Wide Risk Managemen (c S+P/CrashReviewCourse 78 4

5 Crash Review Course Inroducion (4 Lieraure J.C. Hull: Opions, Fuures, and Oher Derivaives J.C. Hull: Risk Managemen and Financial Insiuions P. Jorion: FRM-Handbook P. Wilmo: (Inroducion Quaniaive Finance for furher hins see: (c S+P/CrashReviewCourse 78 5

6 Job a Risk: Compensaion For Risk Professionals (c S+P/CrashReviewCourse 78 6

7 Global Associaion of Risk Professionals (c S+P/CrashReviewCourse 78 7

8 Map Par I Par II Par III (c S+P/CrashReviewCourse 78 8

9 Einführung und Orienierung Gegensand der Veransalung in Sichworen.... Risikomessung... Mark-, Kredi-, operaionelles und liquidiäsmäßiges Risiko.... und Risikoseuerung (Diversifikaion, Hedging und Neing 3. diverse Sichen Bewerung und Risikoberechnung von Finanzinsrumenen Rendie-/Risikoseuerung aus Gesambanksich ( werorienier aus Sich der (exernen Rechnungslegung ( markorienier aus Sich aufsichsrechlicher Regulierung ( kapialorienier Inhal is angelehn an die Zerifizierung der Global Associaion for Risk Professionals (GARP zum Financial Risk Manager (FRM (c S+P/CrashReviewCourse 78 9

10 Risikomessung und Risikoseuerung (a Regelkreis Risikomanagemen Risikoidenifizierung 5 KWG MaRisk SolvV Risikoseuerung Basel II/ Säule IAS 39 DRS 5- Risikoquanifizierung Deuscher Rechnungslegung Sandard DRS 5- Risikoberichersaung von Krediund Finanzdiensleisungsinsiuen (c S+P/CrashReviewCourse 78

11 Risikomessung und Risikoseuerung (b Risikoidenifizierung welche Risiken sind mi der Geschäfsäigkei verbunden Markpreisrisiken Adressenausfallrisiken Operaionelle Risiken Liquidiäsrisken Risikoquanifizierung wie hoch is das Risiko, ausgedrück in Geldeinheien Schaden * Einriswahrscheinlichkei des Schadens insbesondere Ermilung von Value-a-Risk Kennzahlen Aggregaion verschiedener Risiken zu einer Gesambanksich Risikoseuerung wie können Risiken qualiaiv/quaniaiv verwale werden Feslegung von (qualiaiven Risikosraegien Feslegung eines (quaniaiven Limisysems forlaufende Analyse/Reporing der Risikosrukur (Einzel-/Porfolioebene und ggfs. Einleiung von srukurverbessernden Maßnahmen (Limiierung, Hedge, (c S+P/CrashReviewCourse 78

12 Risikomessung und Risikoseuerung ( unerschiedliche Sichen... ökonomisch aufsichsrechlich bilanziell... auf Risiken: Markrisiken Kredirisiken Op-Risiken Liq-Risiken? Risikopoenzial Messung Seuerung Risikodeckungsmasse GuV Kapial p.a. Gesam Geschäfsaren Verkauf Hedge Verbriefung Versicherung Limiierung Exernes Risikodeckungspoenzial Garaniefonds Hafungszusagen Quaräres Risikodeckungspoenzial Inernes Risikodeckungspoenzial Eigenmiel Nachrangiges Hafkapial Teriäres Risikodeckungspoenzial Gezeichnees Kapial Offene Reserven Reserven Sille Reserven Sekundäres Risikodeckungspoenzial Jahresüberschuss Jahresüberschuss ohne Risikokosen Jahresüberschuss gemäß Gewinnbedarfsrechnung Zusaz Jahresüberschuss Primäres Risikodeckungspoenzial Posiives Risikoergebnis Überschuss aus kalkulieren Risikokosen und realisieren Risikoaufwendungen (c S+P/CrashReviewCourse 78

13 Exkurs: werorieniere Bankseuerung Risikodiversifikaion und akives Risikomanagemen gehören zu einer modernen Bankseurung zenrale Fragen:. wie vereil sich das Vermögen auf einzelne Anlageklassen?. wie viel Vermögen soll zur Deckung des Gesamrisikos eingesez werden? 3. wie wird das Limi auf die Risikoaren vereil und welche Größen werden wie limiier? 4. welche Messmehoden werden für die einzelnen Risikoaren eingesez? 5. wie werden die Risiken zum Gesamrisiko inegrier? 6. kann das Gesamrisiko auch uner Sressbedingungen gedeck werden? 7. is ausreichend regulaorisches Kapial zur Abdeckung der Mindeseigenkapialanforderungen vorhanden? (c S+P/CrashReviewCourse 78 3

14 Exkurs: Daen und Prozesse aus echnischer Sich implizier die Berachung aller 3 Seuerungsebenen [Bank, Aufsich, Rechnungswesen] eine inegriere Gesamdaenbasis effiziene Daenransformaionsprozesse Zahlungssromgeneraor Preisrechner eine adäquae Darsellung der Ergebnisse Prozess zur Bereisellung der Seuerungsinformaionen Risk-Engines Basisinformaionen Informaionsgenerierung Verwalung der Analyse, Seuerung und Durchleiung Informaionen und Darsellung Operaive Syseme Informaionsgenerierung Daa-Warehouse Risikomanagemen -Geschäfsdaen -Kundendaen - -Cash Flows -Produkzerlegung -Bewerung - (c S+P/CrashReviewCourse Markpreisrisiko -Kredirisiko -Operaionelle Risiken - Limiierung - Gesamrisiko Sicherheiensyseme Durchleiung Seuerung Kundengeschäf -Beleihungswere -Sicherheienwere Exerne Syseme - -Markdaen -Zeireihen -Sicherheienwere -Parnerinformaionen -Krediereignisse Sraegie -Abwicklungsdaen in Anlehnung an: A.Beck u.a.: Herausforderungen für moderne Gesambankseuerungssyseme, in RISIKOMANAGER 9/6, S Verwalung der Informaionen auf Einzelgeschäfsebene -Selekionen und Aggregaionen für die Auswerung Meldewesen (exern Reporing (inern

15 Crash Review Course ( Zielsezung moivierende Vorbereiung auf die FRM-Zerifizierung Zielgruppe Sudierende, die eine berufliche Täigkei direk oder indirek im Risikomanagemen ansreben Bank/Nich-Bank, Consuling, Sofware-Enwicklung,... Niveau Mahemaik/Saisik milerer Schwierigkeisgrad alle erforderlichen Begriffe und Mehoden müssen bekann sein Volks-/Beriebswirschaf gue Kennnisse des Geld-, Kapial- u. Kredimarkes alle erforderlichen Begriffe und Mehoden müssen bekann sein Darsellung anwendungsorienier, d.h.... Modelle + Mehoden Daen + Prozesse Abschluss-Klausur FRM-Fragen Seien einer Medaille (c S+P/CrashReviewCourse 78 5

16 Crash Review Course (... zu meiner Person Sudium der Volkswirschaf an der Philipps-Universiä in Marburg wissenschaflicher Miarbeier am dorigen bankberiebswirschaflichen Lehrsuhl Prof. Priewasser div. Funkionen im Finanzsekor, in der Sofware-Indusrie und in der Beraungsbranche Miglied bei GARP und PRMIA; FRM, PRM geschäfsführender Parner eines (kleinen Beraungsunernehmens mi den Schwerpunken. Modellierung/Bewerung/Managemen von Finanzproduken/~porfolien. kapialmarkorieniere Bankaufsich, ~Rechnungswesen (IAS 3/39, ~Seuerung 3. Lösung von Werksa-Problemen : Funkionsbeschreibungen und Daenbewirschafung: Konzepion der Verarbeiung neuer Finanzproduke und Inegraion dieser Produke in die Prozesskee einer Bank Analyse und Überwachung von besehenden Bewerungsalgorihmen für einfache und komplexe Finanzproduke (Derivae Zusammenarbei mi den Fachbereichen (Accouning, Risikomanagemen, Bankseuerung, Aufsich bei der Feslegung ihrer Anforderungen an die Sysemabbildung (c S+P/CrashReviewCourse 78 6

17 Crash Review Course Agenda Teil (WS 7/8. Blockveransalung 4..7/5..7 B. Mehoden. (Finanz-Mahemaik. Saisik/Sochasik C. Finanzinsrumene. Spo Mark. Termin Mark.. FRA, Forward, Fuure.. Opionen 3. (Srukuriere Produke. Blockveransalung 5..8/6..8 D. Markrisiko. Messung. Seuerung 3. Value a Risk (c S+P/CrashReviewCourse 78 7

18 Crash Review Course Agenda Teil (SS 8 A. Kredirisiko. Orienierung/Grundlagen. Messung 3. Seuerung 4. Implemeniere Modelle B. OP- und LIQ-Risiko. Operaionelles Risiko. Liquidiäsrisiko C. Risikomanagemen - div. Sichen. Bankberiebliche Seuerung. Aufsichsrechliche Regulierung 3. Dokumenäres Rechnungswesen (c S+P/CrashReviewCourse 78 8

19 Exkurs: Markes, Models, Managemen Insiuionenberachung Markes Bankaufsich Produkberachung FiMa/saisische Finanzposiionen Grundlagen Risikomanagemen Porfoliomanagemen Bankaccouning Bankseuerung Managemen Models (c S+P/CrashReviewCourse 78 9

20 Risiko und Risikomanagemen (... was is Risiko...? Risiko ª Unsicherhei zukünfige Ereignisse sind unbekann/unsicher Raingherabsufung eines Konrahenen ( Landesbanken,... verschärfe Aufsichsregeln ( Basel II,... geändere Buchhalungsregeln ( IAS 39/Hedge Accouning,... Markpreisveränderungen ( USD/EUR,... risiko-averses Verhalen für die Reduzierung der Unsicherhei wird ein (höherer Preis bezahl Derivae können (auch für das Managemen des Risikos benuz werden... was is Risikomanagemen? Übernahme von Risiken... gehör zum alläglichen Geschäf der Banken (begrenze Risikoragfähigkei erforder... einen effizienen Einsaz des Eigenkapials zur Risikodeckung eine risikoadjusieren Eigenkapialrendie Hedging-Transakionen... eliminieren nich das Risiko, sondern ransferieren das (Preis-Risiko zu Markeilnehmern, die willig sind, dieses (zu einem ensprechenden Preis zu übernehmen (c S+P/CrashReviewCourse 78

21 Risiko und Risikomanagemen (... wie wird Risiko gemessen/gemanag? Zufallsvariablen zukünfige Ereignisse sind Zufallsvariable Lise möglicher Ergebnisse, kombinier mi ihren Einriswahrscheinlichkeien, führ zu ihrer Wahrscheinlichkeisvereilung Risikomanagemen manipulier diese Wahrscheinlichkeisvereilung: miels Derivae und/oder Diversifikaion wird die Varianz (Volailiä des (Hedge-Porfolios verringer, und dadurch... reduzier sich das (Risiko-Kapial; der Firmenwer nimm zu,... Accouning-Regeln (FAS 33, IAS 39 beeinflussen das (ökonomische Risikomanagemen Gewinnausweis soll keinen großen Schwankungen unerliegen fair value hedges oder cash flow hedges aus Accouning-Sich (müssen nich nowendigerweise mi den ökonomischen Absicherungen deckungsgleich sein (c S+P/CrashReviewCourse 78

22 Risiko und Risikomanagemen (3 Sysemaisches Risikomanagemen opimale Seuerung der vorhandenen Risiken Einschäzung der Risiken Absicherungssraegie Einsaz von Sicherungsinsrumenen Effizienzkonrolle der eingesezen Insrumene Risiken... erkennen (Risikoaren... messen (Exposure, Sensiiviäen... und beweren (Markdaen, Szenarien... seuern (Sraegie, Produke... Währungsänderungsrisiken Devisenermingeschäfe/-opionen Zinswährungsswap Zinsänderungsrisiken Forward-Rae Agreemen, Zinsfuures/-opionen Zinsswaps, Swapions, Opionen auf Anleihen Akienkursänderungsrisiken Opionen auf Akien/-Akienindizes Indexfuures konrollieren (Modelle, Mehoden, Daen, Prozesse... (c S+P/CrashReviewCourse 78

23 Exkurs: Risikomanagemen als Prozess... if you re no measuring i, you re no managing i... Risikoidenifizierung - Modell - Risikoconrolling - Ergebnis/Verfahrenskonrolle - Risikoquanifizierung - Mehode - Risikoseuerung - Managemen i.e.s. - Risk Managemen is he se of procedures, sysems, and persons used o conrol he poenial loss of a financial insiuion. (c S+P/CrashReviewCourse 78 3

24 Risiko und Risikomanagemen (4 ex. und in. Risiken Bankrisiken exerne Risiken inerne Risiken Markpreisrisken Adressenausfallrisiken Liquidiäsrisiken Beriebsrisiken Fremdwhr Akien Zinsen Edelmeall sonsige Preise Pre-Selemen Selemen Refinanzierung Termine Abruf Personal Organisaion Informaion Rech Risikoverbund: Mark- und Kredirisiken heoreische Ansäze zur Kredirisikomessung verdeulichen die enge Verknüpfung von Mark- und Kredirisiken (c S+P/CrashReviewCourse 78 4

25 Risikoaren Exkurs: MaRisk (a in MaRisk explizi genanne Risikoaren Gesambankrisiken Markpreisrisiken Liquidiäsrisiken Adressenrisiken Operaionelle Risiken Zins Akien Währungen Rohsoffe Immobilien Beeiligungen aber: jeder kann NUR einmal verloren gehen unerheblich von der originären Ursache (c S+P/CrashReviewCourse 78 5

26 Ausblick: Adressenrisiken Exkurs MaRisk (b Cash-Flow-Risiko Adressenrisiken Weränderungsrisiko Kredirisiken (Rückzahlung Ausfallrisiken (Konrahen Boniäsrisiken (Boniä aus Buchkredien Wiedereindeckungsrisiko aus Derivaekonraken ( Pre-Selemen Risk bei Akienposiionen aus Kredilinien Erfüllungs-/Vorleisungsrisiko aus Werpapierkonraken ( Selemen Risk bei verzinslichen Werpapieren ( spezifisches Markpreisrisiko spread risk aus verzinslichen Werpapieren Garanien/Bürgschafen Abwicklungsrisiko aus Derivae-/Werpapierkonraken (c S+P/CrashReviewCourse 78 6

27 Risiko und Risikomanagemen (5 Zinsänderungsrisiko beriff alle Zinsposiionen bei denen der Nominalzins Opporuniäs(-Mark~, Diskonierungs~zins is D Zins bei fesverzinslichen Werpapieren D Zins f(zinssrukur D credi spreads f(boniä D Zins bei variabel verzinslichen Werpapieren beinhalen auch ein Barwerrisiko, da sie nich vollsändig und/oder sofor an verändere Markzinsen angepass werden können (aber vernachlässigbar Währungsrisiko offene FX-Posiion... auf der Akiv-Seie: Werverlus bei sinkenden Devisenkursen auf der Passiv-Seie: Werverlus bei seigenden Devisenkursen Risikoausweis analog Zinsänderungsrisiko Akienkursrisiko Markwer eines Akien-Porfolios verminder sich w/kursbewegungen Werveränderungen werden haupsächlich durch Ergebnisse der AG gerieben (c S+P/CrashReviewCourse 78 7

28 Risiko und Risikomanagemen (6 Kredirisiko (Adressrisiko mögliche negaive Werveränderung eines Zahlungssroms... w/zahlungsunfähigkei des Schuldners (Ausfallrisiko oder Boniäsveränderung (spread-risiko bzw. Raingänderungsrisiko Komponenen ( Kredinehmer/Konrahen PD: Ausfallwahrscheinlichkei EAD: Exposure (curren + poenial exposure LGD: Wiedergewinnungswer (recovery rae Messung und Managemen Ausfallwahrscheinlichkeien und recovery raes sind... ungleich schwieriger zu schäzen als Markpreisvolailiäen (-> selene Ereignisse Gesamrisiko eines Krediporfolios verlang... die Erfassung von Korrelaionseffeken (c S+P/CrashReviewCourse 78 8

29 Risikomessung ( Komponenen der Risikomessung mark-o-marke mark-o-model Markbewerung Sensiiviäsanalysen Duraion Konvexiä greeks Value a Risk Szenarioanalysen und Sresssimulaionen Exremwer- Simulaion bea (c S+P/CrashReviewCourse 78 9

30 Risikomessung ( Value-a-Risk: Ansäze akuelle Markdaen Posiionsdaen zukünfige Markdaen Markwer_heue Markwer_morgen Sensiiviä dela/gamma approach Verluspoenzial full approach Value-a-Risk full approach: Markwer( - Markwer( dela approach: Markwer( * Sensiiviä( * DRisikofakor (c S+P/CrashReviewCourse 78 3

31 rading funcion Risikomanagemen: ein Querschnishema! Pricing Fron Middle Back Order Managemen Deal Capure Pos in Keeping Risk- Measuremen Managemen Porfolio Managemen Clearing & Selemen Accouning overall level of he risks being aken, capial adequacy, regulaory compliance record keeping funcion Analyics Trading Compliance Reporing inern exern Risikomanagemen im Rahmen der Vorlesung: A. Risikomessung Risiken idenifizieren: relevane Risikofakoren erkennen Risiken quanifizieren: relevane Risikomessverfahren anwenden B. Risikoseuerung Risiken seuern: Posiionen kompensieren und diversifizieren Risiken konrollieren: Effizienz der Risikopoliik regelmäßig prüfen (c S+P/CrashReviewCourse 78 3

32 All he Mah You Need (Finanz-Mahemaik e ln Taylor-Series (Sensiiviäen, Greeks (c S+P/CrashReviewCourse 78 3

33 All he Mah You Need e Zielsezung Verbindung zur quaniaiven Finance schaffen The mos useful mah is he simples mah (Wilmo 3, S. 959: Believe i or no, you can appreciae almos all finance heory by knowing hese [e, ln, Taylor series] 3 hings ogeher wih expecaions... e is die Eulersche Zahl:,783 is eine Funkion: e x bzw. exp(x e,783 ; e ;... e lim + n n n, seig wirkender Zinseszinseffek (+ Zins* n n Yexp(x ,5 - -,5 - -,5,5,5,5 3 3,5 x Anwendung FiMa: seige Verzinsung/ coninuous compounding : das Zeiinervall geh gegen null, wenn die Anzahl der Zinszahlungen... bei immer geringeren Zinszahlungen [Zins/n]... gegen unendlich geh (c S+P/CrashReviewCourse 78 33

34 Seige Verzinsung Beispiel in weis eine Invesiion einen Wer von 3 auf in 3 ha die Invesiion einen Wer von 45 bei seiger Verzinsung ergib sich ein annualisierer Zinssaz r von: 3 r 45 3 r 45 e * 3 e ln 3 r ln( e ln 3 r r ln, 8% 3 3 im Vergleich zu anderen Zinsberechnungsmehoden: K 3 K 3 45 Zinsberechnungsmehode Zinssaz r einfach (+r*,78% exponeniell (+r,4% halbjährlich exponeniell (+r/,5*,% seig e r*,8% (c S+P/CrashReviewCourse 78 34

35 All he Mah You Need ln ln Logarihmus, der sich auf die Basis b, e bezieh der naürliche Logarihmus einer Zahl x is jene Zahl yln x, für die e y x gil : x -> e y -> e 4,65 y ln( 4,65 ln(x bzw. Logarihmen sind nur für posiive Zahlen definier: Yln(x,5,5 -,5 - -,5 - -,5,5,5,5 3 3,5 x Exponenialfunkionen und Logarihmusfunkionen... sind zueinander invers, d.h. eine Exponenialfunkion is eine Umkehrfunkion einer Logarihmusfunkion und umgekehr: y e x ln(y x ln(e; da ln(e ln(y x (c S+P/CrashReviewCourse 78 35

36 All he Mah You Need e und ln Logarihmen in der Finanzrechnung nach wieviel Jahren T verdoppel sich ein Kapial K? * K K * (+r ein T ln + ln K ln K + T * ln (+r ein -> mehrperiodische Wachsumsvorgänge K n K * (+r * (+r *... * (+r n ln K n ln K + ln (+r + ln (+r ln (+r n -> der Unerschied zwischen dem Wer zu Ende und zu Anfang eines n- periodischen Zeiabschnis is gleich der Summe der seigen Rendien der Einzelperioden unabhängig davon, ob die Einzelperioden Jahre, Monae oder Tage sind geomerische Durchschnisrendie Kapial sei in 4 Jahren von auf 4,4 gesiegen geomerisch ermiele Durchschnisrendie... als exp. Rendie geschrieben: in seiger Schreibweise: ln(,885 8,48 % Wachsumsmuliplikaor,44 kann wie folg berechne werden: exp. Rendie: (+,885 4,44 seige Rendie: e (,848*4,44 D r ein ln T ln( + r (c S+P/CrashReviewCourse T ln ln( + r ln K 4,4 4 8,85% ein ein n n ln K ln( + r i i

37 Exkurs: seige vs diskree Rendien ( Definiion der beiden Rendie-Begriffe s und seien Zeipunke mi der Eigenschaf s < berache wird eine Posiion, die einen Wer besiz, welcher sich über die Zei hinweg änder: S s : Wer zum Zeipunk s S : Wer zum Zeipunk Definiion der diskreen Rendie R s S S S s Definiion der seigen Rendie r s S ln S s Synonyme seige Rendie Log-Rendie Differenz der logarihmieren Preise coninuously compounded reurn diskree Rendie (einfache Rendie reurn s ln S S S s ln S s (c S+P/CrashReviewCourse 78 37

38 Exkurs: seige vs diskree Rendien ( seig vs diskre beide Rendiedefiniionen basieren auf dem Quoienen S und S s sie sind lezlich Funkionen von S /S s aufgrund dieser Eigenschaf kann der eine Rendiebegriff mi Hilfe des anderen dargesell werden: S r S s + Rs ; e S S + R R s s r s bzw. hieraus folg die approximaive Gleichhei für kleine, d.h. nahe bei Null liegende, absolue Were von r s und R s rs R s e s e grundsäzlich gil aber*: R s > r s r s s r s ln( R + *zum richigen Umgang vgl. G.Dorfleiner: Seige versus diskree Rendien; Überlegungen zur richigen Verwendung beider Begriffe in Theorie und Praxis, in Kredi und Kapial /, S. 6-4 s (c S+P/CrashReviewCourse 78 38

39 All he Mah You Need Taylor series Differenialrechnung Seigung einer Funkion f(x an der Selle x: df/dx mahemaisch: f(x+ dx f(x+f (x*dx f(x df dx lim δx f ( x + δx δx f ( x? df df dx x x+ dx Dela-Approach : rechnen mi einer abgeleieen Funkion bei x zeig die Funkion den Wer f(x; bei (x + dx den Wer f(x+ dx zusäzlich is in dem durch x und f(x gegebenen Punk die Tangene an die Funkion geleg ungefähr (wenngleich nich exak ensprich der Werunerschied f(x+ dx f(x dem Höhenunerschied, den die Tangene zwischen x und x+ dx aufweis diese Differenz ensprich der Seigung der Tangene f (x, muliplizier mi dx dx (c S+P/CrashReviewCourse 78 39

40 (c S+P/CrashReviewCourse 78 4 Taylor Series ( Exkurs: Tayloreihenenwicklung Taylorreihe... gil als fundamenales Insrumen zur lokalen Unersuchung von Funkionen nachbilden von Funkionen (approximieren in dem ein Zusammenhang zwischen Koeffizienen einer (ganzraionalen Funkion und ihren Ableiungen hergesell wird Herleiung f sei eine ganzraionale Funkion vom Grade 4 mi dem Funkionserm f(xa 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a x + a ; so is an der Selle x gil Æ 4 '''' ( ( ( 3 4 ( a x f a x a x f a x a x a x f a x a x a x a x f n i i i i x f i x f f i a f a a f f a a f f a a f f a a f f a a f ( (' i '''' 4 4 '''' 3 3 (! :! : a allgemein gil für das Glied n bei 3 4 ( 4! ( 3 ( 3! ( (! ( (! ( ( (

41 (c S+P/CrashReviewCourse 78 4 Taylor Series ( Approximaionsqualiäen Taylor series... um bspw. den Wer einer Opion näherungsweise zu besimmen: es ineressieren... der Wer (Funkion der Opion: V(S, der (unabhängige Underlying-Price S, wobei S sich äglich veränder: ds. parielle Ableiung des Opionsweres V nach dem Underlying: dela. parielle Ableiung des Opionsweres V nach dem Underlying: gamma die (unabhängige Zei parielle Ableiung von V(S, nach is: Taylor series (! ( (... quadraische Beziehung ( ( ( ( lineare Beziehung ( ( ( i i i i x dx f d x i x f x x f x dx f d x x dx df x x f x x f x dx df x x f x x f δ δ δ δ δ δ δ S V S V V δ δ δ, (, ( lim +..., (, ( S V S S V S V S V S S V δ δ δ δ δ δ

42 Exkurs: Taylor Series Expansion*( Definiion Taylor series expansion of f(x around x is definied as where f i f ( x ( x o f ( x i ih + f f i! i ( x order x ( x ( x x ( x x derivaive i + of f f(x xx ( x wih ( x x usefull approximaions when x s are near x : small we can drop some of he erms on he righ-hand side, because hey are negligible firs-order Taylor series approximaion: f ( x f ( x + f x ( x ( x x second-order approximaion: a beer approximaion can be obained by including he nd -order-erm respec + o 3! f x xxx ( x (c S+P/CrashReviewCourse 78 4 ( x x evaluaed if f(x has a derivaive a x and if (x - x, hen (x - x is denoed by dx (x - x and df(x f(x - f(x. We obain he familiar noaion in erms of differenials dx and df : df ( x f ( x dx f ( x f ( x x + f x ( x ( x x + f xx ( x ( x *S.N.Nefci: An Inroducion o he Mahemaics of Financial Derivaives, 996, S. 59f a x he poin x

43 Exkurs: Taylor Series Expansion ( Example: Duraion and Convexiy PV (Zerobond: B B e B r( T. we now ineresed in he Taylor series approximaion of B wih respec o a firs-order Taylor series expansion around will be given by r( T r( T e + ( re (, [, T ] B s derivaive of B wih respec o B second-order Taylor series approximaion: e r T r( T r( T + ( re ( + ( r e (, [, ] T ( can be obained by expanding B wih respec o r wih, T fixed (c S+P/CrashReviewCourse 78 43

44 Exkurs: Taylor Series Expansion (3 Full approach versus Taylor Series Approximaios Taylor Series Approximaion B Time full approach firs order approximaion second order approximaion (c S+P/CrashReviewCourse 78 44

45 Exkurs: Taylor Series Expansion (4 Example: Duraion and Convexiy. now: expanding B wih respec o r wih, T fixed consider a second-order approximaion around he rae r r T B e ( T ( r r + ( T ( r r, ( ( [, T ], r > dividing by (e -r (T- : db B ( T ( r r + ( T ( r r, [, T ], r > his expression provides a second-order Taylor series expansion for he %rae of change in he value of a zero bond as r changes infiniesimally he righ-hand side measures he %rae of change in he bond price as r changes by r -> r, where r can be inerpreed as he curren rae he coefficien of he firs erm (r-r is called modified duraion he second erm is posiive and has a coefficien of (T- : i represens he so-called convexiy of he bond as ineres raes increase (decrease, he value of he bond decrease (increase he convexiy implies ha he bigger hese changes, he smaller heir relaive effecs (c S+P/CrashReviewCourse 78 45

46 Finanzinsrumen: Cash Flow, Posiion, Bewerung. Finanzinsrumen Zahlung f (Zeipunk, Vorzeichen, Geldberag sichere Zahlungen: deerminisische(s Zahlungsreihe (Finanzproduk unsichere Zahlungen: sochasische(s Zahlungsreihe (Finanzproduk Zahlungsreihe (cash flow Folge zusammengehöriger Zahlungen 3 N Zei -Preis Zahl Zahl Zahl 3 Zahl N. Geschäf Kauf long posiion + (Opion: Liefer-/Zahlungsrech Verkauf shor posiion - (Opion: Liefer-/Zahlungspflich 3. (arbiragefreie Bewerung a durch Duplikaion miels einfacher Finanzproduke (besser: Zahlungssröme b durch Diskonierung der Zahlungen des Finanzprodukes (c S+P/CrashReviewCourse 78 46

47 Zinsrechnung (: Parameer Parameer der Zinsberechnung Nominalzinssaz r (Basispreis für Anlage/Aufnahme GE über die Zeiperiode von Jahr day coun convenion DCC(T (besimm einen Zeiraum T(, als Vielfaches/Brucheil eines Jahres DCC (T Tage( T Tage(T acual ; 3E,... Jahreswer 36 ; 365 ; acual,... Zinsverrechnung / linear exponeniell e-exponeniell Zinsverrechnungsermine diskre seig Jahreswer jährlich, / jährlich, /4 jährlich, Laufzeiende business day convenion (preceeding, following, modified following Zinszahlungsermine Zinsverrechnungsrhyh. > Zinszahlungsrhyhm.: Zinskapialisierung business day convenion (preceeding, following, modified following Markausgleichszahlungen (Dis-agio accouning -> amorisieren (Zei-linear, Effekivzins-konsan (c S+P/CrashReviewCourse 78 47

48 Exkurs: Zinsverrechnungen Zinsverrechnungen im Vergleich FV fuure value PV presen value r per annum rae (fracion of years money marke yield Zinsverrechnung Formel Beispiele simple PVFV/(+r $/(+,8*,5 $96,5 annual PVFV*(+r - $*,8-5 $68,6 $*,8 -,5 $96,3 semi-annual PVFV*(+r/ - $*(+,8/ -*5 $67,56 $*(+,8/ -*,5 $96,5 coninuous PVFV*e -r* $*e -,8*-5 $67,3 $*e -,8*,5 $96,8 bond equivalen yields heoreical models (c S+P/CrashReviewCourse 78 48

49 Exkurs: How o quoe yields A marke quoes prices B(,T observed marke price: B(,T 95, wih (T- 8 days he year having 365 days he formulas can all yield he same price 95., if we allow for he use of differen yields B(, T B(, T ( +,963 ( +, , , B(, T 95, 8,4* 365 e he convenion o quoe yields in erms of he above formulas (which is only an implici undersanding during he execuion of rades will be expressed precisely in he acual conrac emerging marke bonds are in general quoes in erms of yields in reasury markes, he quoes are in erms of prices ignoring convenions can lead o cosly numerical errors in pricing and risk managemen (c S+P/CrashReviewCourse 78 49

50 Zinsrechnung (: Zinssazransformaionen Zinsberechnung - aggenau ( lineare vs exponenielle Verzinsung (Geldmark vs Kapialmark + r * DCC(, r r ( + r (( + r ( + r * DCC( DCC(,, DCC( *, DCC( / DCC(, ( lineare vs koninuierliche Verzinsung (Opionspreisberechnung e r DCC (, r + r * DCC (, ln( + r * DCC( DCC (,,, (3 Umgang mi unerschiedlichen Tageoperaoren + r * DCC (, r + r DCC DCC ( * DCC (,, ( * r, Excel/Usancen (c S+P/CrashReviewCourse 78 5

51 Bewerung ( inerne Rendie (Effekivzins; Yield-o-Mauriy komm ohne Mark(zinsinformaionen aus berechne sich inern, d.h. ex ane aus der in bekannen Zahlungsreihe reslaufzeiabhängige Rendien von Werpapieren (eines möglichs homogenen Marksegmenes -> Rendie(srukur-kurve Cash Flow, Preis und Rendie clean price cash flow Sückzinsen diry price yield (c S+P/CrashReviewCourse 78 5

52 Inerne Rendie ( Bewerung ( Kredivolumen EUR Zei Auszahlung Tilgung Zins Kapialdiens Resschuld Laufzei 5 Jahre -9 Tilgung EUR/Jahr Nominalzins 5 % Disagio % Zinsermine jährlich 4 Zinszahlungen jährlich 5 Tagerechnung 3E/36 Zei Zahlungssrom Barwere ,37 4, ,3 4 55, ,6,,9 inerne Rendie Excel/Rendie (c S+P/CrashReviewCourse 78 5

53 Bewerung (3 Markbewerung (Markzins Preis- und Zahlungsinformaionen des Markes ( Opporuniä einbeziehen: Duplikaionsverfahren. Duplikaion Diskonierungsverfahren 3 N Zei PV(G Produk G -A G G G 3 G N Anlage -x x (+R S(,PF Anlage Anlage -x -x 3 x (+R x 3 (+R 3 Anlage -x N x N (+R N Duplikaionsporfolio - Geldanlagen x i der Gesamhöhe A so besimmen, dass die Rückzahlungen mi den Berägen der Zahlungsreihe übereinsimmen (c S+P/CrashReviewCourse 78 53

54 . Diskonierung G Finanzproduk: Bewerung (4 3 N Zei G G G 3 G N Diskonierungsfakor Preis für GE in n im Zeipunk : n -df n df df n (, n Diskonierungssrukur (df,..., df N für,..., N : F F J df df + F + F Barwer: PV ( G J df df N n F F CF( N JN wobei df df F N N j, G S : S n df n N Finanzproduk j mi cash flow und akueller (c S+P/CrashReviewCourse N S Markpreis einfache Implemenierung:. Zahlungssrom (Produk. Diskonierungssrukur (Mark 3. Algorihmus (Barwer

55 Ausgangsdaen Beispiel Bewerung ( Finanzmark Bond RLZ Preis Kupon Bond(,9 6 Bond( 98, 5 Bond(3 3, 7 Zahlungssröme ( 3 Bond( -,9 6 Bond( -98, 5 5 Bond(3 -, zu bewerender Bond: Reslaufzei 3 Jahre Kupon 6,5 % 3??? 6,5 6,5 6,5 (c S+P/CrashReviewCourse 78 55

56 Beispiel Bewerung (. Duplikaion ( Rückwärsieraion Excel/Duplizierung ( 3 zu bewerender Bond??? 6,5 6,5 6,5 Porfolio- Gewiche Bond(3, ,738 6,9679 6,9679 6,5 Bond( -,445378,4377 -,5 -,4679 Bond( -,49847,4366 -,4454 Duplikaionsporfolio -98,87 6,5 6,5 6,5. Diskonierung ( Vorwärsieraion aus den Finanzmarkproduken die Diskonfakoren ableien ( boosrappen Finanzmarkgleichung Diskonierungsfakor df(,9 6 df(, , 5 df( + 5 df(, , 7 df( + 7 df( + 7 df(3, miels des Zahlungssroms den Barwer besimmen: Excel/Diskonierung cash flows Barwere 6,5 6, ,5 5, ,5 86, ,87 (c S+P/CrashReviewCourse 78 56

57 Beispiel Diskonierungssrukur Geldmarkzinssrukur (Tgac/36 Laufzei m Kapialmarkzinssrukur (Tg3E/36 Laufzei (Jahre n 3 4 Zinssaz (% r(n 6 7 7,5 8 Zeisrukur (n Zei in Tagen Zinssrukur r(n Diskonsrukur df(n.. 3, 7,85, , 7,95, , 8,5, , 8,75, , 8,45, , 8,475,983 df( /,6, df( (-,7*,9434/,7, df(3 (-,75*(,9434+,879/,75, df(4 (-,8*(,9434+,879+,835/,8,7559 Excel/Diskonsrukur boosrapping PV ( Kuponbond Rusch auf der Zinssrukurkurve : PV ( Kuponbond,7 * df,7 * df +,7 * df +,7 * df +,7 * df +,7 * df 3 3 +,7 * df 4,986897,95996 (c S+P/CrashReviewCourse 78 57