Logik für Informatiker

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1 Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1

2 Der aussagenlogische Tableaukalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Logik für Informatiker, SS 06 p.2

3 Der aussagenlogische Tableaukalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Beweis durch Fallunterscheidung Logik für Informatiker, SS 06 p.2

4 Der aussagenlogische Tableaukalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Beweis durch Fallunterscheidung Top-down-Analyse der gegebenen Formeln Logik für Informatiker, SS 06 p.2

5 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Logik für Informatiker, SS 06 p.3

6 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Logik für Informatiker, SS 06 p.3

7 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Falls Formelmenge erfüllbar ist (Test schlägt fehl), wird ein Gegenbeispiel (eine erfüllende Interpretation) konstruiert Logik für Informatiker, SS 06 p.3

8 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Falls Formelmenge erfüllbar ist (Test schlägt fehl), wird ein Gegenbeispiel (eine erfüllende Interpretation) konstruiert Nachteil Mehr als eine Regel Logik für Informatiker, SS 06 p.3

9 Kleine Deutsch- und Englischsstunde Deutsch das Tableau des Tableaus (Gen.) die Tableaus (pl.) Logik für Informatiker, SS 06 p.4

10 Kleine Deutsch- und Englischsstunde Deutsch das Tableau des Tableaus (Gen.) die Tableaus (pl.) der Tableaukalkül (nicht das) Logik für Informatiker, SS 06 p.4

11 Kleine Deutsch- und Englischsstunde Deutsch das Tableau des Tableaus (Gen.) die Tableaus (pl.) der Tableaukalkül (nicht das) Englisch the tableau (sing.) the tableaux (pl.) the tableau calculus Logik für Informatiker, SS 06 p.4

12 Zur Erinnerung: Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α A A B (A B) (A B) Logik für Informatiker, SS 06 p.5

13 Zur Erinnerung: Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α A A B (A B) (A B) Disjunktive Formeln: Typ β (A B) A B A B Logik für Informatiker, SS 06 p.5

14 Zur Erinnerung: Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 A B A B (A B) A B (A B) A B A A A Logik für Informatiker, SS 06 p.6

15 Zur Erinnerung: Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 A B A B (A B) A B (A B) A B β β 1 β 2 (A B) A B A B A B A B A B A A A Logik für Informatiker, SS 06 p.6

16 Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalküls α α 1 α 2 konjunktiv p q p q Logik für Informatiker, SS 06 p.7

17 Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalküls α α 1 α 2 konjunktiv p q p q β disjunktiv p q β 1 β 2 p q Logik für Informatiker, SS 06 p.7

18 Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalküls α α 1 α 2 konjunktiv p q p q β disjunktiv p q β 1 β 2 p q F F Widerspruch F F Logik für Informatiker, SS 06 p.7

19 Instanzen der α- und β-regel Instanzen der α-regel P Q (P Q) (P Q) P P P P P Q Q Q Logik für Informatiker, SS 06 p.8

20 Instanzen der α- und β-regel Instanzen der α-regel P Q (P Q) (P Q) P P P P P Q Q Q Instanzen der β-regel P Q (P Q) P Q P Q P Q P Q Logik für Informatiker, SS 06 p.8

21 Beispiel ((( A B) C) (( B A) C)) ( A B) C (( B A) C) B A C ( A B) C A B B A B Logik für Informatiker, SS 06 p.9

22 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Logik für Informatiker, SS 06 p.10

23 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Auswahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Logik für Informatiker, SS 06 p.10

24 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Auswahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Heuristik Nicht-verzweigende Regeln zuerst: α vor β Logik für Informatiker, SS 06 p.10

25 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Auswahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Heuristik Nicht-verzweigende Regeln zuerst: α vor β Nota bene Selbe Formel kann mehrfach (auf verschiedenen Ästen) verwendet werden Logik für Informatiker, SS 06 p.10

26 Formale Definition des Kalküls Definition: Tableau Binärer Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind Logik für Informatiker, SS 06 p.11

27 Formale Definition des Kalküls Definition: Tableau Binärer Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind Definition: Tableauast Maximaler Pfad in Einem Tableau (von Wurzel zu Blatt) Logik für Informatiker, SS 06 p.11

28 Formale Definition des Kalküls Sei M eine Formelmenge Initialisierung Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau für M Logik für Informatiker, SS 06 p.12

29 Formale Definition des Kalküls Sei M eine Formelmenge Initialisierung Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau für M Erweiterung T ein Tableau für M Logik für Informatiker, SS 06 p.12

30 Formale Definition des Kalküls Sei M eine Formelmenge Initialisierung Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau für M Erweiterung T ein Tableau für M B ein Ast von T Logik für Informatiker, SS 06 p.12

31 Formale Definition des Kalküls Sei M eine Formelmenge Initialisierung Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau für M Erweiterung T ein Tableau für M B ein Ast von T F eine Formel auf B oder in M, die kein Literal ist Logik für Informatiker, SS 06 p.12

32 Formale Definition des Kalküls Sei M eine Formelmenge Initialisierung Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau für M Erweiterung T ein Tableau für M B ein Ast von T F eine Formel auf B oder in M, die kein Literal ist T entstehe durch Erweiterung von B gemäß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) Logik für Informatiker, SS 06 p.12

33 Formale Definition des Kalküls Sei M eine Formelmenge Initialisierung Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau für M Erweiterung T ein Tableau für M B ein Ast von T F eine Formel auf B oder in M, die kein Literal ist T entstehe durch Erweiterung von B gemäß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) Dann ist T ein Tableau für M Logik für Informatiker, SS 06 p.12

34 Formale Definition des Kalküls Nota bene Alle Äste in einem Tableau für M enthalten implizit alle Formeln in M Logik für Informatiker, SS 06 p.13

35 Formale Definition des Kalküls Definition: Geschlossener Ast Ast B eines Tableaus für M ist geschlossen, wenn F, F B M Logik für Informatiker, SS 06 p.14

36 Formale Definition des Kalküls Definition: Geschlossener Ast Ast B eines Tableaus für M ist geschlossen, wenn F, F B M Definition: Geschlossenes Tableau Ein Tableau ist geschlossen, wenn jeder seiner Äste geschlossen ist Logik für Informatiker, SS 06 p.14

37 Formale Definition des Kalküls Definition: Geschlossener Ast Ast B eines Tableaus für M ist geschlossen, wenn F, F B M Definition: Geschlossenes Tableau Ein Tableau ist geschlossen, wenn jeder seiner Äste geschlossen ist Definition: Tableaubeweis Ein Tableau für M, das geschlossen ist, ist ein Tableaubeweis für (die Unerfüllbarkeit von) M Logik für Informatiker, SS 06 p.14

38 Beispiel: Nun formal richtig M = ((( A B) C) (( B A) C)) 1 ( A B) C (( B A) C) B A C ( A B) C A B B A B Logik für Informatiker, SS 06 p.15

39 Korrektheit und Vollständigkeit des Tableaukalküls Theorem Eine Formelmenge M ist unerfüllbar genau dann, wenn es einen Tableaubeweis für (die Unerfüllbarkeit von) M gibt Logik für Informatiker, SS 06 p.16

40 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Logik für Informatiker, SS 06 p.17

41 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Lemma Jedes Tableau für eine erfüllbare Formelmenge M ist erfüllbar Logik für Informatiker, SS 06 p.17

42 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Lemma Jedes Tableau für eine erfüllbare Formelmenge M ist erfüllbar Lemma Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfüllbar Logik für Informatiker, SS 06 p.17

43 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Lemma Jedes Tableau für eine erfüllbare Formelmenge M ist erfüllbar Lemma Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfüllbar Also Kein geschlossenes Tableau für erfüllbare Formelmenge Logik für Informatiker, SS 06 p.17

44 Kern des Vollständigkeitsbeweises Definition: Voll expandiertes Tableau Ein Tableau heißt voll expandiert, wenn jede Regel auf jede passende Formel auf jedem offenen Ast angewendet worden ist Logik für Informatiker, SS 06 p.18

45 Kern des Vollständigkeitsbeweises Definition: Voll expandiertes Tableau Ein Tableau heißt voll expandiert, wenn jede Regel auf jede passende Formel auf jedem offenen Ast angewendet worden ist Lemma B offener Ast in voll expandiertem Tableau, dann B M erfüllbar Also Voll expandierte Tableau für unerfüllbares M ist geschlossen Logik für Informatiker, SS 06 p.18

46 Klauseltableau M eine Menge von Klauseln Logik für Informatiker, SS 06 p.19

47 Klauseltableau M eine Menge von Klauseln Änderungen Keine α-regel Logik für Informatiker, SS 06 p.19

48 Klauseltableau M eine Menge von Klauseln Änderungen Keine α-regel Erweiterungsregel kann Verzweigungsgrad >2 haben Logik für Informatiker, SS 06 p.19

49 Klauseltableau M eine Menge von Klauseln Änderungen Keine α-regel Erweiterungsregel kann Verzweigungsgrad >2 haben Alle Knoten im Tableau enthalten Literale Logik für Informatiker, SS 06 p.19

50 Klauseltableau: Beispiel M = { {P, Q, R}, { R}, { P, Q}, {P, Q}, { P, Q} } Logik für Informatiker, SS 06 p.20

51 Klauseltableau: Beispiel M = { {P, Q, R}, { R}, { P, Q}, {P, Q}, { P, Q} } 1 P Q P Q P Q R P P Q Q Logik für Informatiker, SS 06 p.20

52 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität Kein Literal darf auf einem Ast mehr als einmal vorkommen Logik für Informatiker, SS 06 p.21

53 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität Kein Literal darf auf einem Ast mehr als einmal vorkommen Schwache Konnektionsbedingung Bei Erweiterung von Ast B muss mindestens eines der neuen Literale komplementär zu Literal in B M sein Logik für Informatiker, SS 06 p.21

54 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität Kein Literal darf auf einem Ast mehr als einmal vorkommen Schwache Konnektionsbedingung Bei Erweiterung von Ast B muss mindestens eines der neuen Literale komplementär zu Literal in B M sein Starke Konnektionsbedingung (Modellelimination) Bei Erweiterung von Ast B muss mindestens eines der neuen Literale komplementär zum Blatt von B sein außer beim ersten Schritt Logik für Informatiker, SS 06 p.21

55 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität, starke u. schwache Konnektionsbedingung erhalten Vollständigkeit Logik für Informatiker, SS 06 p.22

56 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität, starke u. schwache Konnektionsbedingung erhalten Vollständigkeit Jedoch Bei starker Konnektionsbedingung kann ungünstige Erweiterung in Sackgasse führen Logik für Informatiker, SS 06 p.22

57 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität, starke u. schwache Konnektionsbedingung erhalten Vollständigkeit Jedoch Bei starker Konnektionsbedingung kann ungünstige Erweiterung in Sackgasse führen (bei schwacher Konnektionsbedinung nicht) Logik für Informatiker, SS 06 p.22

58 Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität, starke u. schwache Konnektionsbedingung erhalten Vollständigkeit Jedoch Bei starker Konnektionsbedingung kann ungünstige Erweiterung in Sackgasse führen (bei schwacher Konnektionsbedinung nicht) Beispiel: M = { {P}, { Q}, { P, Q}, { P, R} } Logik für Informatiker, SS 06 p.22

59 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Signatur: F: Flugreise V: Vollpension M: Meer P: Pool Logik für Informatiker, SS 06 p.23

60 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Signatur: F: Flugreise V: Vollpension M: Meer P: Pool Falls sie nicht mit dem Flugzeug fliegen, besteht der Vater auf Vollpension am Meer. F (V M) Logik für Informatiker, SS 06 p.23

61 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Signatur: F: Flugreise V: Vollpension M: Meer P: Pool Falls sie nicht mit dem Flugzeug fliegen, besteht der Vater auf Vollpension am Meer. F (V M) Die Mutter möchte mindestens einen ihrer drei Wünsche erfüllt sehen: ans Meer fliegen, oder am Meer ohne Pool, oder Vollpension und Pool. (M F) (M P) (V P) Logik für Informatiker, SS 06 p.23

62 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Signatur: F: Flugreise V: Vollpension M: Meer P: Pool Falls sie nicht mit dem Flugzeug fliegen, besteht der Vater auf Vollpension am Meer. F (V M) Die Mutter möchte mindestens einen ihrer drei Wünsche erfüllt sehen: ans Meer fliegen, oder am Meer ohne Pool, oder Vollpension und Pool. (M F) (M P) (V P) Gibt es keinen Pool, so besteht Tochter Lisa auf einer Flugreise und Urlaub am Meer und darauf, dass keine Vollpension gebucht wird. P (F M V) Logik für Informatiker, SS 06 p.23

63 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Signatur: F: Flugreise V: Vollpension M: Meer P: Pool Falls sie nicht mit dem Flugzeug fliegen, besteht der Vater auf Vollpension am Meer. F (V M) Die Mutter möchte mindestens einen ihrer drei Wünsche erfüllt sehen: ans Meer fliegen, oder am Meer ohne Pool, oder Vollpension und Pool. (M F) (M P) (V P) Gibt es keinen Pool, so besteht Tochter Lisa auf einer Flugreise und Urlaub am Meer und darauf, dass keine Vollpension gebucht wird. P (F M V) Auch dem Baby soll einer seiner Wünsche erfüllt werden: erstens einen Pool und nicht fliegen oder zweitens Vollpension, dann aber ohne Pool. (P F) (V P) Logik für Informatiker, SS 06 p.23

64 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Behauptung Dann müssen sie ans Meer mit Vollpension, mit Pool und ohne Flug. M V P F Logik für Informatiker, SS 06 p.24

65 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Behauptung Dann müssen sie ans Meer mit Vollpension, mit Pool und ohne Flug. M V P F Negation der Behauptung: M V P F Logik für Informatiker, SS 06 p.24

66 Klauseltableau: Weiteres Beispiel F (V M) (1) F V (2) F M (M F) (M P) (V P) (3) M V (4) M P (5) M P V (6) F M V (7) F M P (8) F P V P (F M V) (9) P F (10) P M (11) P V (P F) (V P) (12) P V (13) F V (14) F P Negation der Behauptung (15) M V P F Logik für Informatiker, SS 06 p.25

67 Klauseltableau: Weiteres Beispiel Beobachtung Konstruktion des Konnektionstableaus bei Beginn mit Klausel (1) mit Regularität mit starker Konnektionsbedingung Dann Nahezu deterministische Beweiskonstruktion Logik für Informatiker, SS 06 p.26

68 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Logik für Informatiker, SS 06 p.27

69 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Tableauregeln (mit uniformer Notation) Logik für Informatiker, SS 06 p.27

70 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Tableauregeln (mit uniformer Notation) Formale Definition des Kalküls Logik für Informatiker, SS 06 p.27

71 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Tableauregeln (mit uniformer Notation) Formale Definition des Kalküls Korrektheit und Vollständigkeit Logik für Informatiker, SS 06 p.27

72 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Tableauregeln (mit uniformer Notation) Formale Definition des Kalküls Korrektheit und Vollständigkeit Klauseltableau Logik für Informatiker, SS 06 p.27

73 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Tableauregeln (mit uniformer Notation) Formale Definition des Kalküls Korrektheit und Vollständigkeit Klauseltableau Regularität Logik für Informatiker, SS 06 p.27

74 Zusammenfassung: Tableaukalkül Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung Tableauregeln (mit uniformer Notation) Formale Definition des Kalküls Korrektheit und Vollständigkeit Klauseltableau Regularität Schwache und starke Konnektionsbedingung Logik für Informatiker, SS 06 p.27

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