Risikotheorie und -management

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1 Risikotheorie und -management Pichtfach Masterstudium der Finanz- und Versicherungsmathematik 3. Semester Erstellt nach der Vorlesung von Eranda Dragoti-Çela im Wintersemester 2009 Institut für Optimierung und Diskrete Mathematik Technische Universität Graz

2 Inhaltsverzeichnis 1 Risiko und Risikomanagement: Hintergrund und Ziele 5 2 Ermittlung der Gewinn-Verlust-Funktion Verlustoperatoren Der allgemeine Fall Finanzderivate Risikomaÿe Einige grundlegende Risikomaÿe Risikomaÿe basierend auf der Verlustverteilung Die Standardabweichung stdl := σ 2 F L Value at Risk V ar α L Conditional Value at Risk CV ar α L - oder Expected Shortfall ES Methoden zur Berechnung von VaR und CVaR Der empirische VaR bzw. CVaR Ein nicht-parametrisches Bootstrapping Verfahren zur Ermittlung von Kondenzintervallen der Schätzer Zusammenfassung des nicht-parametrischen Bootstrapping-Verfahrens zur Berechnung von Kondenzintervallen Eine approximative Lösung ohne Bootstrapping Historische Simulation Varianz-Kovarianz Methode Monte-Carlo Verfahren Extremwerttheorie Klassische Extremwerttheorie Grenzverteilungen von normierten und zentrierten Summen Grenzverteilungen von normierten und zentrierten Maxima Graphische Methoden zur Untersuchung des Verteilungsrandes Der Hill Schätzer Die POT Methode Peaks over Threshold Schätzer für den Tail und das Quantil der Exzess-Verteilung Wie wird eine hohe Schwelle u gewählt? Die empirische durchschnittliche Exzess-Funktion Schätzung der Parameter γ und β

3 5 Multivariate Verteilungen Grundlegende Eigenschaften von Zufallsvektoren Probleme bei der Modellierung der Abhängigkeit zwischen Finanzgröÿen mit Hilfe der multivariaten Normalverteilung Abhängigkeitsmaÿe Lineare Korrelation Rangkorrelation Tail-Abhängigkeit Multivariate elliptische Verteilungen Die multivariate Normalverteilung Varianz-gemischte Normalverteilungen Sphärische Verteilungen Elliptische Verteilungen Koherente Risikomaÿe Konvexe Risikomaÿe Elliptische Verteilungen und Portfoliooptimierung Einführung in Copulas Grundlegende Eigenschaften Co-Monotonie und Anti-Monotonie Kendall's Tau und Spearman's Rho Tail-Abhängigkeit Elliptische Copulas Weitere Eigenschaften von Copulas Archimedische Copulas Bivariate Archimedische Copulas Multivariate Archimedische Copulas Vorteile und Nachteile Archimedischer Copulas Simulation Archimedischer Copulas Simulation von Gauss'schen Copulas und t-copulas Simulation von Gumbel und Clayton Copulas Schätzung von Copulas Die Schätzer ˆθ für CR Ga, ν,r, CCl θ und Cθ Gu Schätzung von Gauss'schen Copulas und t-copulas Die wichtigsten Familien von Copulas im Überblick Kreditrisiko Modelle Ein einfaches Modell Modelle mit latenten Variablen Das univariate KMV Modell siehe auch Das multivariate KMV Modell: Berechnung von multivariaten Default Wahrscheinlichkeiten Credit Metrics CreditRisk + - Ein Poisson Mixture Modell Monte Carlo Methoden im Kreditrisiko-Management Grundlagen von Importance Sampling

4 7.2.2 Exponential tilting: Bestimmung der IS-Dichte für light tailed Variablen IS im Falle von Wahrscheinlichkeitsmaÿen

5 Kapitel 1 Risiko und Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Begrisherkunft: Risicare: Gefahr laufen, wagen Resecum: Felsklippe Risiko: die aus der Unvorhersagbarkeit der Zukunft resultierende Möglichkeit eines Abweichens von Unternehmens-Zielen. Risikomanagement: Systematisches, aktives, zukunfts- und zielorientiertes Denken und Handeln im Umgang mit unternehmerischen Risiken. Gegenstand des RM: Sowohl Einzelrisiken als auch das Gesamtrisiko der Unternehmung Berücksichtigung von Risikointerdependenzen Integration des RM in die Unternehmenssteuerung Zentrale Fragen des strategischen RM: Welche sind die strategischen Risiken? Welche Risiken soll das Unternehmen selbst tragen? Welcher Instrumentemix sollen zur Steuerung der Risiken zum Einsatz kommen? Welches Risikodeckungspotential ist erforderlich? Welcher risikoadjustierte Erfolgsmaÿstab dient als Zielgröÿe der Unternehmenssteuerung? Beispiel Anfangskapital V 0 = 100. Spiel: man verliert oder gewinnt 50 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/2. { 150 mit Wahrsch. 1/2 Kapital nach dem Spiel V 1 = 50 mit Wahrsch. 1/2 5

6 Sei X := V 1 V 0 der Gewinn/Verlust. Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X heiÿt Gewinn/Verlust Verteilung GVV. Die Verteilungsfunktion von L := V 0 V 1 heiÿt Verlustverteilung. L 0 Risiko! Viele Leute hätten lieber keinen Gewinn und keinen Verlust mit Sicherheit, als entweder Gewinn oder Verlust von 50 Einheiten mit Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/2 Risikoaversion! Die Entscheidung, ob gespielt wird oder nicht, hängt von der Verlustverteilung ab. Diese ist aber in der Regel unbekannt! Denition Ein Risikomaÿ ρ ist eine Abbildung der Zufallsvariablen in die reellen Zahlen, die jeder Zufallsvariable L eine reelle Zahl ρl R zuordnet. Beispiel Mögliche Risikomaÿe sind: Standardabweichung Nachteil: symmetrisch; bestraft Verluste wie Gewinne gleichermaÿen Quantil der Verlustverteilung z.b. VaR, CVaR. Nachteil: i.a. keine konvexen Funktionen Warum Risikomanagement? Das Volumen des risikoreichen Handels im Globalen Markt steigt kontinuierlich: Global OTC Derivatives: Nominalwert in Trillionen von USD 1 Kontrakte interest rate derivatives ,3 285,7 213,2 164,5 142,3 99,8 credit default swaps 38,6 62,2 34,4 17,1 5,44 3,78 2,15 equity derivatives 8,7 10 7,2 5,6 4,2 3,4 2,5 Beispiele groÿer Verluste in den Finanzmärkten 2 Orange County 1994 Barings Bank 1995 LTCM 1998 Bankgesellschaft Berlin 2001 BAWAG 2006 Fannie May and Freddie Mac 2008 Lehman Brothers 2008 Hypo Real Estate 2008 Risikotypen: Für eine Organisation entsteht Risiko durch Ereignisse oder Handlungen, welche die Organisation daran hindern könnten ihre Verpichtungen zu erfüllen bzw. ihre Strategien durchzuführen. 1 Quelle: ISDA - International Swaps and Derivatives Association, Inc. 2 siehe zb. 6

7 Finanzielles Risiko: Marktrisiko Kreditrisiko Operationelles Risiko Liquiditätsrisiko, Rechtliches Risiko, Rufschädigungsrisiko Es wird versucht diese Risiken möglichst genau abzuschätzen; dazu wird idealerweise die GVV verwendet. Regulierung und Aufsicht: Gründung des Basler Ausschusses für Bankenaufsicht in Sicherheitskapital abhängig von der GVV. Basler Ausschuss: Vorschläge und Richtlinien über Anforderungen und Methoden zur Berechnung des Sicherheitskapitals. International akzeptierte Standards für die Berechnung des Volumens des Sicherheitskapitals, sowie darauf basierende gesetzliche Bestimmungen werden angestrebt. Kontrolle durch die Aufsichtsbehörde Basel I: Internationale Mindestkapitalanforderungen insbesondere bzgl. Kreditrisiko Novelle formuliert standardisierte Modelle für Marktrisiko mit einer Option für gröÿere Banken zur Verwendung von Value at Risk VaR Modellen Basel II: Mindestkapitalanforderungen bzgl. Kredit- und Marktrisiko sowie bzgl. operationelle Risiken, aufsichtliche Überprüfungsverfahren, Marktdisziplin ? BASEL III - Verbesserung und Weiterentwicklung von BASEL II im Hinblick auf die Umsetzbarkeit und operationelles Risiko. 3 Siehe 7

8 Kapitel 2 Ermittlung der Gewinn-Verlust-Funktion 2.1 Verlustoperatoren V t... Wert des PF zum Zeitpunkt t. t... Zeithorizont. Verlust: L [t,t+ t] := V t + t V t. Diskretisierung der Zeit: t n = n t, n = 0, 1, 2,... wobei V n = V n t. Beispiel Ein Aktienportfolio: L n+1 := L [tn,t n+1 ] = L [n t,n+1 t] = V n+1 V n Das Portfolio besteht aus α i Stück von Aktie A i, i = 1, 2,..., d. S n,i... Preis von Aktie A i zum Zeitpunkt t n. V n = d α i S n,i X n+1,i := ln S n+1,i ln S n,i Z n,i := ln S n,i Seien w n,i := α i S n,i /V n, i = 1, 2,..., d, die relativen Portfoliogewichte. 8

9 Es gilt: d L n+1 := V n+1 V n = α i S n+1,i = = d α i S n,i d α i expz n+1,i expz n,i = d α i S n,i [expz n+1,i Z n,i 1] = d d = V n w n,i [expx n+1,i 1] =: l n X n+1 [ ] expzn+1,i α i expz n,i 1 expz n,i d α i S n,i [expx n+1,i 1] Mit e x = 1 + x + ox x für x 1 erhält man die Linearisierung L n+1 = V n d w n,i X n+1,i =: ln X n Der allgemeine Fall V n = ft n, Z n ; Z n = Z n,1,..., Z n,d ist ein Vektor von Risikofaktoren. Veränderungen der Risikofaktoren: X n+1 = Z n+1 Z n L n+1 = ft n+1, Z n + X n+1 ft n, Z n =: l n X n+1 wobei l n x := ft n+1, Z n + x ft n, Z n der Verlustoperator ist. Der linearisierter Verlust ist dann L n+1 = f t t n, Z n t + d f zi t n, Z n X n+1,i wobei f t und f zi die partiellen Ableitungen von f sind. Damit ergibt sich der linearisierte Verlustoperator d ln x = f t t n, Z n t + f zi t n, Z n x i. 2.3 Finanzderivate... sind Finanzprodukte oder Kontrakte, die aus einem fundamentalen Basiswert zb. Aktienpreis, Aktienindex, Zinssatz, Rohstopreis abgeleitet werden. 9

10 Denition Eine Europäische Call Option ECO auf eine bestimmte Aktie S gibt dem Besitzer das Recht, aber nicht die Picht, die Aktie S an einem Tag T um einen Preis K zu kaufen. Die Option wird um einen bestimmten Preis am Tag 0 erworben. Der Wert der ECO zum Zeitpunkt t ist Ct = max{st K, 0}, wobei St der Preis der Aktie S zum Zeitpunkt t ist. Denition Eine Nullkuponanleihe mit Laufzeit T ist ein Kontrakt, der dem Besitzer eine Währungseinheit zum Zeitpunkt T bringt. Denition Ein Währungs-Forward ist ein Kontrakt zwischen zwei Parteien, der dem Käufer das Recht einräumt, eine bestimmte Menge V einer fremden Währung zu einem bestimmten Zeitpunkt T und zu einem bestimmten Wechselkurs ē vom Verkäufer zu erwerben. Beispiel Ein Anleihen-Portfolio: Sei Bt, T der Preis der Nullkuponanleihe zum Zeitpunkt t < T. Die kontinuierliche Rendite yield - yt, T = 1 T t ln Bt, T - wird interpretiert als der kontinuierliche Zinssatz, der zum Zeitpunkt t für den gesamtem Zeitraum [t, T ] vereinbart wurde. Für unterschiedliche Laufzeiten gibt es unterschiedliche Renditen. Die Renditenkurve yield curve zum xen Zeitpunkt t ist T yt, T. Das Portfolio besteht aus α i Stück der Nullkuponanleihe i mit Laufzeit T i und Preis Bt, T i, i = 1, 2,..., d. Der Wert des Portfolios ist V n = d α i Bt n, T i = d α i exp{ T i t n Z n,i } = ft n, Z n, wobei Z n,i := yt n, T i die Risikofaktoren sind. Sei X n+1,i = Z n+1,i Z n,i die Veränderung der Risikofaktoren, dann gilt: l [n] x = L n+1 = d α i Bt n, T i exp{z n,i t T i t n+1 x i } 1 d α i Bt n, T i Z n,i t T i t n+1 X n+1,i. Beispiel Ein Währungs-Forward-Portfolio: Die Partei, die die fremde Währung kauft, hält eine Long Position. Die Partei, die verkauft, hält eine Short Position. Eine Long Position über V Einheiten in einem Währungs-Forward entspricht einer Long Position über V Einheiten in einer fremden Nullkoponanleihe NCA und einer Short Position über ē V Einheiten in einer einheimischen Nullkuponanleihe. 10

11 Es wird folgende Annahme getroen: Der Euro-Investor hält eine Long Position in einem USD/EUR Forward über V USD. Sei B f t, T B d t, T der Preis einer USD- EUR-basierten NCA und et der Kassawechselkurs spot exchange rate für USD/EUR. Der Wert der Long Position des Währungs-Forwards zum Zeitpunkt T ist V T = V et ē. Die Short Position in der einheimischen NCA kann wie im Beispiel behandelt werden. Die Long Position in der fremden NCA: Risikofaktoren: Z n = ln et n, y f t n, T, wobei y f t n, T = 1 T t n ln B f t n, T. Wert der Long Position: V n = V exp{z n,1 T t n Z n,2 } = V exp{ln et n T t n 1 ln B f t n, T } T t n = V exp{ln et n + ln B f t n, T } = V exp{lnet n B f t n, T } = V et n B f t n, T. Der linearisierte Verlust: L n+1 = V nz n,2 t + X n+1,1 T t n X n+1,2 Beispiel Europäische Call Option ECO auf eine Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis Strikepreis K: Der Wert der Call Option zum Zeitpunkt T ist max{s T K, 0}. Der Preis der ECO zum Zeitpunkt t < T ist C = Ct, S, r, σ Black-Scholes Modell, wobei t die Zeit, S der Preis der Aktie zum Zeitpunkt t, r der Zinssatz und σ die Volatilität ist. Die Risikofaktoren sind: Der Wert des Porftolios ist und der linearisierte Verlust ist Z n = ln S n, r n, σ n X n+1 = ln S n+1 ln S n, r n+1 r n, σ n+1 σ n. V n = Ct n, S n, r n, σ n = f t n, expz n,1, Z n,2, Z n,3 L n+1 = C t t + C S S n X n+1,1 + C r X n+1,2 + C σ X n+1,3 mit den Greeks C t Theta, C S Delta, C r Rho und C σ Vega. 11

12 Kapitel 3 Risikomaÿe Verwendungszweck von Risikomanagement: Bestimmung der Mindestkapitalanforderungen: Kapital, das benötigt wird, um event. Verluste abzudecken. Als Management Tool: zur Bestimmung der Risiken, die unterschiedliche Einheiten einer Firma eingehen dürfen. 3.1 Einige grundlegende Risikomaÿe Gewichtete Summe der Aktiva Assetklassenspezische Gewichte ZB. Basel I 1998: Eigenkapital Cooke Ratio = risikogewichtete Summe der Aktiva 8% 0% für Forderungen gegenüber staatlichen Schuldnern OECD-Staaten 20% für Forderungen gegenüber Kreditinstituten Gewicht := 50% für grundpfandrechtlich gesicherte Realkredite 100% für alle sonstigen Risikoaktiva, d.h. alle Kredite an Unternehmen Nachteile: Kein Unterschied zwischen Long und Short Positionen, berücksichtigt keine Diversikationseekte. Sensitivität gegenüber Risikofaktoren Der Portfoliowert zum Zeitpunkt t n ist V n = ft n, Z n, wobei Z n ein Vektor von d Risikofaktoren ist. Die Sensitivitätskoezienten sind f zi = δf δz i t n, Z n, 1 i d, z.b.: The Greeks eines Portfolios. Nachteile: Aggregierung zum Risikomaÿ bei simultanen Veränderungen von mehreren Faktoren schwierig; bei mehreren Märkten ist die Aggregierung zum Risikomaÿ für das Gesamtportfolio schwierig. Szenario basierte Risikomaÿe Sei N die Anzahl möglicher Veränderungen der Risikofaktoren = Szenarien, X i der Vektor der Risikofaktorveränderungen, wenn Szenario i, 1 i N, eintritt. 12

13 χ = {X 1, X 2,..., X N } sei die Menge der Szenarien und l [n] der Verlustoperator des Portfolios. Jedem Szenario wird ein Gewicht w i, 1 i N, zugeordnet. Das Portfoliorisiko ist dann Ψ[χ, w] = max{w 1 l [n] X 1, w 2 l [n] X 2,..., w N l [n] X N } Beispiel SPAN Regeln verwendet von CME siehe Artzner et al., 1999: Das Portfolio besteht aus mehreren Einheiten eines Future-Kontrakts und mehreren Put bzw. Call Optionen desselben Kontrakts mit gleicher Laufzeit. Berechnung der SPAN Marge: Szenarien i, 1 i 14: Szenarien 1 bis 8 Szenarien 9 bis 14 Volatilität Preis der Future Volatilität Preis der Future 1 3 Range 1 3 Range 2 Range 2 Range 3 3 Range 3 3 Range Szenarien i, i = 15, 16, stellen extreme Bewegungen nach oben bzw. unten des Futurepreises dar. Die Gewichte sind { 1 1 i 14 w i = 0, i 16 Ein bestimmtes Modell zb. Black-Scholes wird verwendet um die Optionspreise in den entsprechenden Szenarien zu generieren. 3.2 Risikomaÿe basierend auf der Verlustverteilung Sei F L := F Ln+1 die Verteilung des Verlustes L n+1. Die Parameter von F Ln+1 werden anhand von historischen Daten entweder direkt oder mit Hilfe der Risikofaktoren geschätzt Die Standardabweichung stdl := σ 2 F L Sie wird vor allem in der Portfolio-Theorie verwendet. Nachteile: Die Standardabweichung existiert nur für Verteilungen mit EFL 2 <, d.h. sie ist nicht einsetzbar bei leptokurtischen fat tailed Verlustverteilungen Gewinne und Verluste beeinussen die Standardabweichung gleichermaÿen. Beispiel L 1 N0, 2, L 2 t 4 Student-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden. Es gilt σ 2 L 1 = 2 und σ 2 L 2 = m m 2 = 2. Die Verlustwahrscheinlichkeit bei L 2 ist jedoch viel gröÿer als bei L 1. Hinweis: Plotte den logarithmischen Quotient ln[pl 2 > x/pl 1 > x]! 13

14 3.2.2 Value at Risk V ar α L Denition Sei L eine Verlustfunktion und α 0, 1 ein gegebenes Kondenzniveau. V ar α L ist die kleinste Zahl l, sodass PL > l 1 α gilt. V ar α L = inf{l R: PL > l 1 α} = inf{l R: 1 F L l 1 α} = inf{l R: F L l α} Ein Vorschlag von der BIS Bank of International Settlements für den VaR ist z.b.: V ar 0.99 L über einen Horizont von 10 Tagen als Maÿ für das Marktrisiko eines Portfolios. Denition Sei F : R R eine monoton steigende Funktion d.h. x y = F x F y. Die Funktion F : R R, y inf{x R: F x y} heiÿt verallgemeinerte inverse Funktion von F. Hier gilt inf =. Falls F streng monoton steigend ist, gilt F 1 = F. Beispiel Sei F : [0, + [0, 1] mit { 1/2 0 x < 1 F x = 1 1 x. Dann ist die verallgemeinerte inverse Funktion gegeben durch { F 1 y > 1 y = inf{x [0, ]: F x y} = 2 0 y 1 2. Denition Sei F : R R eine monoton steigende Funktion. q α F := inf{x R: F x α} heiÿt α-quantil von F. Für die Funktion L und ihre Verteilungsfunktion F gilt: Beispiel Sei L Nµ, σ 2. Es gilt V ar α L = q α F = F α. V ar α L = µ + σq α Φ = µ + σφ 1 α, wobei Φ die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist, denn V ar α L = β PL V ar α L = PL µ + σφ 1 α = L µ P φ 1 α = PL φ 1 α = φφ 1 α = α. } {{ σ } =L N0,1 PL µ + σφ 1 α = PL V ar α L V ar α L = µ + σφ 1 α, da die Normalverteilung kontinuierlich ist. 14

15 Beispiel Ein Portfolio besteht aus d = 5 Stück einer Aktie A. Der heutige Preis von A ist S 0 = 100. Die täglichen Log-Renditen sind normalverteilt: X 1 = ln S1 S 0, X 2 = ln S2 S 1,... iid N0, Sei L 1 der 1-Tages PF-Verlust von heute auf morgen. a Berechnen Sie V ar 0.99 L 1. L n+1 = V n d w n,i expx n+1,i 1 X n+1,i = ln S n+1,i S n,i Für den VaR gilt L 1 = ds 0 expx 1 1 X 1 = ln S 1 S 0 V ar u L 1 = FL 1 u = l = F L1 l = u = P L 1 l P 500 expx 1 1 l = u P expx 1 1 l = u 500 P expx 1 1 l = u P X 1 ln 1 l = u X 1 N0, F X1 ln 1 l = u 1 u = F X1 ln1 l F 1 X 1 1 u = ln 1 l expf 1 X u = l l = exp F 1 X 1 u Es gilt F = 2.3 und somit FX = = Für u = 0.99 folgt insgesamt Z V ar 0.99 L b Berechnen Sie V ar 0.99 L 100 und V ar 0.99 L 100, wobei L 100 der 100-Tage PF-Verlust über einen Zeithorizont von 100 Tagen ausgehend von heute ist. L 100 ist die Linearisierung des obigen 100-Tage PF-Verlustes. L 100 = 500 exp X mit Es folgt somit X 100 = ln S 100 S 0 l = V ar 0.99 L 100 = 500 V ar 0.99 L S1 = ln S2 S100 = S 0 S 1 S i=0 ln S i+1 S i = 100 X i N0, 1. 1 exp F = exp 2.3 X 100 Für die Linearisierung gilt e x 1 + x für x 1, also L 100 = 500 X 100. V ar 0.99 L 100 = > 500!! Anfangskapital Hier ist die Risikofaktoränderung über 100 Tage nicht innitesimal klein, die Linearisierung versagt also. 15

16 3.2.3 Conditional Value at Risk CV ar α L - oder Expected Shortfall ES Ein Nachteil von VaR ist, dass er keine Auskunft darüber gibt, wie groÿ der Verlust sein könnte, falls L V ar α L. Denition Sei α ein vorgegebenes Kondenzniveau und L eine kontinuierliche Verlustfunktion mit Verteilungsfunktion F L. Es gilt insbesondere CV ar α L := ES α L = EL L V ar α L. CV ar α L = EL L V ar α L = ELI [q αl, L PL q α L = 1 1 α ELI [q αl, = 1 1 α wobei I A die Indikatorfunktion der Menge A ist, also I A x = + q αl ldf L l { 1 x A 0 x A. Sei F L die diskrete Verteilungsfunktion einer Verlustverteilung L und α ein vorgegebenes Kondenzniveau. Der verallgemeinerte CVaR wird im diskreten Fall folgendermaÿen deniert: GCV ar α L := 1 [ ELI[qαL, + q α L 1 α P L q α L ]. 1 α Lemma Sei α ein vorgegebenes Kondenzniveau und L eine kontinuierliche Verlustfunktion mit Verteilungsfunktion F L. Es gilt CV ar α L = 1 1 α 1 α V ar p Ldp. Beweis. Für den CVaR gilt CV ar α L = 1 1 α q ldf αl Ll. Setze y : [0, 1] R, α V ar α L = q α L und y : R [0, 1], l y l. Dann gilt V ar y ll = l. Man substituiert nun l = V ar p L = yp im Integral, was zu df L l = df L V ar p L = dp führt, da F L V ar p L = PL V ar p L = p gilt. Die Integrationsgrenzen ändern sich zu q α L α 1. Zusammen ergibt das CV ar α L = 1 1 α 1 α V ar p Ldp. Beispiel a Sei L Expλ. Bestimmen Sie CV ar α L. 16

17 CV ar α L = 1 1 α β λl exp{ λl}dl. Mit β = V ar α L = F 1 L α folgt α = F Lβ = 1 exp{ λβ} und somit Eingesetzt liefert das für λl = t β = ln1 α. λ CV ar α L = = 1 1 α βλ 1 + βλe βλ λ1 α t exp{ t} dt λ = 1 1 e t 1 + t λ 1 α βλ = CV ar α L = λ 1 1 ln1 α. b Die Verteilungsfunktion F L der Verlustfunktion L sei folgendermaÿen gegeben: F L x = γx 1/γ für x 0 und γ 0, 1. Bestimmen Sie CV ar α L. V ar α L = 1 1 α γ 1 γ CV ar α L = γ 1 1 α γ 1 γ 1 1. Beispiel Sei L N0, 1. Seien φ und Φ die Verteilungsdichte bzw. -funktion von L. Es gilt CV ar α L = φφ 1 α 1 α. Sei L Nµ, σ 2. Zeigen Sie, dass CV ar α L = µ + σ φφ 1 α 1 α CV ar α L = = 1 ldφl = 1 1 α V ar αl 1 1 exp 1 α 2π l2 2 1 α Φ 1 α Φ 1 α gilt. 1 l e l2 /2 dl 2π = φφ 1 α 1 α Beispiel Sei die Verteilungsfunktion von L die Student-t-Verteilung mit ν > 1 Freiheitsgraden. Die Dichtefunktion von L ist g ν x = Zeigen Sie, dass CV ar α L = gνt 1 ν ist. ν+1/2 Γν + 1/2 1 + x2. νπγν/2 ν α ν+t 1 1 α ν a 2 ν 1, wobei tν die Verteilungsfunktion von L 17

18 3.3 Methoden zur Berechnung von VaR und CVaR Gegeben ist folgendes Setting: Portfoliowert: V m = ft m, Z m Vektor von Risikofaktoren: Z m Verlustfunktion: L m+1 = l [m] X m+1 X m+1, der Vektor der Veränderungen der Risikofaktoren: X m+1 = Z m+1 Z m Beobachtungen historische Daten: Z m n+1,..., Z m. Wie können diese historischen Daten nun zur Berechnung von V arl m+1 bzw. CV arl m+1 verwendet werden? Der empirische VaR bzw. CVaR Sei x 1, x 2,..., x n eine Stichprobe der unabhängigen identischverteilten ZV X 1, X 2,..., X n mit Verteilungsfunktion F. Notation: Die ZV X 1, X 2,..., X n sind i.i.d. Die empirische Verteilungsfunktion ist F n x = 1 n n k=1 I [xk,+ x mit dem empirischen Quantil q α F n = inf{x R: F n x α} = F n α. Unter der Annahme x 1 > x 2 >... > x n gilt: q α F n = x [n1 α]+1, wobei [y] = sup{n N: n y} für jedes y R, denn es gilt q α F n = inf{x R: F n x α} = x max{k N: n k n α}+1 = x max{k N: 1 k n α}+1 = x max{k N: k 1 αn}+1 = x [n1 α]+1. ˆq α F := q α F n ist der empirische Schätzer des Quantils q α F. Lemma Sei F eine streng monoton steigende Funktion. Dann gilt lim ˆq αf = q α F, α 0, 1, n d.h. der Schätzer ˆq α F ist konsistent. Der empirische Schätzer des CVaR ist ĈVaR α F = [n1 α]+1 k=1 x k [n1 α]

19 3.3.2 Ein nicht-parametrisches Bootstrapping Verfahren zur Ermittlung von Kondenzintervallen der Schätzer Seien die ZV X 1, X 2,..., X n i.i.d. mit Verteilungsfunktion F und sei x 1, x 2,... x n eine Stichprobe daraus. Gesucht ist ein Schätzer eines von F abhängigen Parameters θ, z.b. θ = q α F, und das dazugehörige Kondenzintervall. Sei ˆθx 1,..., x n ein Schätzer von θ, zb. ˆθx 1,..., x n = x [n 1α]+1,n, wobei x 1,n >... > x n,n die sortierte Stichprobe ist. Das gesuchte Kondenzintervall ist ein Intervall a, b, a = ax 1,..., x n und b = bx 1,..., x n, sodass Pa < θ < b = p, für ein vorgegebenes Kondenzniveau p. Fall I: F ist bekannt. Durch Simulation von F werden N Stichproben N groÿ x i 1, xi 2,..., xi n, 1 i N, erzeugt. Sei θ i = ˆθ x i 1, xi 2,..., xi n, 1 i N. Die empirische Verteilungsfunktion von ˆθx 1, x 2,..., x n ist F ˆθ N x := 1 N N I [ θi, x F ˆθ für N. Das gesuchte Kondenzintervall ist q 1 p 2 denn für a := q 1 p F ˆθ 2 N und b := q 1+p F ˆθ 2 N gilt Pθ > b = p = 1 p 2 2 F ˆθ N, q 1+p F ˆθ N, 2 und Pθ < a = 1 p 2 Pθ < a θ > b = 1 p Pa < θ < b = p Fall II: F ist unbekannt. Zur Erinnerung: Die empirische Verteilungsfunktion von X i, 1 i n, ist F n x = 1 n I n [xi, x. Wenn n groÿ ist, dann gilt F n F. Wir können Stichproben aus F n nehmen, indem wir n Elemente aus {x 1, x 2,..., x n } mit Zurücklegen ziehen. Angenommen es werden N solche Stichproben gezogen: x i 1, x i 2,..., xn i, 1 i N. Es soll θ i = ˆθ x i 1, x i 2,..., x i n berechnet werden. Die empirische Verteilungsfunktion FN θ x = 1 N N I [θi, x approximiert die Verteilungsfunktion F ˆθ von ˆθX 1, X 2,..., X n für N. Für das Kondenzintervall a, b mit a = q 1 p/2 FN θ, b = q 1+p/2FN θ gilt a = θ [N1+p/2]+1,N b = θ [N1 p/2]+1,n, wobei θ 1,N θ 2,N... θ N,N durch Sortierung von θ 1, θ 2,..., θ N entsteht. 19

20 3.3.3 Zusammenfassung des nicht-parametrischen Bootstrapping-Verfahrens zur Berechnung von Kondenzintervallen Gegeben: Stichprobe x 1, x 2,..., x n der i.i.d. ZV. X 1, X 2,..., X n mit Verteilungsfunktion F und ein Schätzer ˆθx 1, x 2,..., x n eines unbekannten Parameters θf. Gesucht: Ein Kondenzintervall I p für θ mit vorgegebenem Kondenzniveau p. Bilde N neue Stichproben x i 1, x i 2,..., x i n, 1 i N, durch ziehen mit Zurücklegen aus {x 1, x 2,..., x n }. Berechne θi = ˆθ x i 1, x i 2,..., xn i. I p = θ[n1+p/2]+1,n [N1 p/2]+1,n, θ, wobei θ 1,N θ2,n... θ N,N durch Sortierung von θ1, θ 2,..., θ N entsteht Eine approximative Lösung ohne Bootstrapping Gegeben: Eine Stichprobe x 1, x 2,..., x n von ZV X i, 1 i n, i.i.d. mit unbekannter kontinuierlicher Verteilungsfunktion F. Gesucht: Ein Kondenzintervall a, b für q α F, a = ax 1, x 2,..., x n, b = bx 1, x 2,..., x n, sodass Pa < q α F < b = p und Pa q α F = Pb q α F = 1 p/2. Wir suchen i > j, i, j {1, 2,..., n}, und das kleinste p > p, sodass und P x i,n < q α F < x j,n = p P x i,n q α F 1 p/2 und P x j,n q α F 1 p/2 wobei x 1,n x 2,n... x n,n durch Sortierung von x 1, x 2,..., x n entsteht. Sei Y α = #{x k : x k > q α F }. Es gilt: Px j,n q α F = Px j,n < q α F = PY α j 1, P x i,n q α F = Px i,n > q α F = 1 PY α i 1 = PY α i Y α Bn, 1 α. Berechne Px j,n q α F und Px i,n q α F für unterschiedliche i und j solange, bis i, j {1, 2,..., n}, i > j, gefunden werden, die und erfüllen. Beispiel Für n = 10 und α = 0.8 berechne das Kondenzintervall für q 0.8 F mit Konvidenzniveau p Y 0.8 B10, 0.2 PY 0.8 = 0 = PY 0.8 = 1 = PY 0.8 = 2 = PY 0.8 = 10 =

21 Px 1,10 < q 0.8 F = PY = p = Px 4,10 > q 0.8 F = 1 PY = [x 4,10, x 1,10 ] und Px 4,10 q 0.8 F x 1, > Historische Simulation Seien x m n+1,..., x m historische Beobachtungen der Veränderungen der Risikofaktoren X m n+1,..., X m gegeben. Annahme: Die historischen Verluste sind i.i.d. Die historischen Verlustwerte l k = l [m] x m k+1, k = 1, 2,..., n, stellen eine Stichprobe der Verlustverteilung dar. Der empirische VaR ist demnach und der empirische CVaR V ar = q α ˆF L n = l [n1 α]+1,n ĈV ar = [n1 α]+1 l i,n [n1 α] + 1, wobei l 1,n l 2,n... l n,n durch die Sortierung von l i, 1 i n, entsteht. Der VaR und CVaR des aggregierten Verlustes über mehrere Tage, zb. 10 Tage, kann mit Hilfe der Verlustwerte geschätzt werden. Vorteile: l 10 k 10 = l [m] einfache Implementierung j=1 x m n+10k 1+j k = 1,..., [n/10] berücksichtigt die Abhängigkeitsstruktur zwischen den Komponenten des Vektors der Veränderungen der Risikofaktoren X m k = X m k,1,..., X m k,d Nachteile: es sind sehr viele historische Daten notwendig um zuverlässige Schätzer zu bekommen Schätzung impliziert, dass der geschätze Verlust nicht gröÿer als bereits historisch realisierte Verluste sein kann Varianz-Kovarianz Methode Die Grundidee hier ist die Verwendung der linearisierten Verlustfunktion L m+1 = l mx m+1 = V d w i X m+1,i = V w X m+1, 21

22 wobei V := V m, w i := w m,i, w = w 1,..., w d T, X m+1 = X m+1,1, X m+1,2,..., X m+1,d. Unter der Annahme X m+1 N d µ, Σ folgt V w X m+1 N V w µ, V 2 w Σw. Seien x m n+1,..., x m historische Beobachtungen der Veränderungen der Risikofaktoren, mit der Annahme sie seien i.i.d. Der Schätzer für µ i ist ˆµ i = 1 n n k=1 x m k+1,i i = 1, 2,..., d und der Schätzer ˆΣ = ˆσ ij für Σ = σ ij ˆσ ij = 1 n 1 n x m k+1,i µ i x m k+1,j µ j i, j = 1, 2,..., d. k=1 Insgesamt erhält man nun den Schätzer für VaR: siehe Bsp Vorteile: analytische Lösung einfache Implementierung keine Simulationen notwendig Nachteile: V ar α L m+1 = V w ˆµ + V w ˆΣwφ 1 α Linearisieung nicht immer adäquat, nur für einen kurzen Zeithorizont gerechtfertigt siehe Übung Annahme der Normalverteilung könnte zur Unterschätzung des Risikos führen und sollte begründet werden zb. anhand von historischen Daten Monte-Carlo Verfahren Historische Beobachtungen der Risikofaktoren und deren Veränderungen. Annahme über ein parametrisches Modell für die Verteilungsfunktion der Veränderung der Risikofaktoren X m+1 ; zb. gemeinsame Verteilungsfunktion F und Unabhängigkeit von X m n+1,..., X m. Schätzung der charakteristischen Parameter dieser Verteilungsfunktion. 22

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