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1 KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9A Aufgabe Punkte (max) Punkte (1) Löse folgende Gleichungen. (a) x 3 5x + x = 0 (b) 4x x 3 = 0 (c) 1 x = 1 7 (e) (x + 17)(x 16) = 0 (f) (d) 1,5 1, 0 x 1 = x + 1 x = () In einer Urne sind 3 rote und 4 gelbe Kugeln, in einer andern Urne eine gelbe und eine rote. Anne zieht aus der ersten Urne eine Kugel zufällig, ohne sie zurückzulegen. Dann zieht sie zufällig eine Kugel aus der zweiten Urne und legt sie in die erste. Schließlich zieht sie noch eine Kugel aus der ersten Urne. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Anne drei rote Kugeln? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die dritte Kugel, die Anne zieht, rot? (3) Ein Lotto-jackpot enthält Millionen Euro; die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist 0, Berechne den zu erwartenden Gewinn pro Spiel, wenn ein Lottoschein Euro kostet.

2 (4) In Deutschland wurden im vergangenen Jahr ca Unfälle mit Personenschäden registriert, davon waren 10, % durch Alkohol verursacht. Während sich 4,6 % der Verkehrsunfälle ohne Alkoholeinfluss nachts ereigneten, waren es bei den Alkohol- Unfällen immerhin 68,0 %, die in der Nacht geschahen. a) Stelle die Daten des Artikels in einer Vierfeldertafel zusammen. b) Ein Unfall mit Personenschaden wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Unfall (1) unter Alkoholeinwirkung geschah, wenn bekannt ist, dass er tagsüber stattfand? () tagsüber stattfand, wenn bekannt ist, dass Alkohol im Spiel war? (5) In einer Klasse sind im Nachmittagsunterricht mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % alle Schülerinnen anwesend, während die Wahrscheinlichkeit, dass 1,,..., 5 von ihnen fehlen durch die folgende Tabelle gegeben sind: Anzahl p 0,5 0,15 0,1 0,07 0,03 a) woran kann man erkennen, dass nie mehr als 5 Schülerinnen fehlen? b) Wieviel fehlende Schülerinnen kann man durschnittlich erwarten?

3 (1) Löse folgende Gleichungen. KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9A 3 Lösungen a) x 3 5x +x = 0. Ausklammern und Satz vom Nullprodukt liefert x 1 = 0, sowie x 5x +4 = 0. Die zweite Gleichung gibt x = 1 und x 3 =. b) 4x 4 +11x 3 = 0. Substitution x = z liefert 4z +11z 3 = 0, also z 1 = 3 und z = 1 4. Resubstitution ergibt x = 3 (keine Lösung) und x = 1 4, also x 1 = 1 und x = 1. c) 1 = 1. Vergleich beider Seiten liefert x = 7. x 7 d) Exponentialgleichungen werden mit Logarithmus gelöst: 1,5 1, 0 x 1 = 150 : 1.5 1, 0 x 1 = 100 log (x 1) log(1.0) = log(100) = : log(1.0) x 1 = + 1 log(1.0) x = log(1.0) + 1 : x = 1 ( ) log(1.0) + 1 Der Taschenrechner liefert x = 116, 8. e) (x + 17)(x 16) = 0: Satz vom Nullprodukt liefert x 1 = 17, x = 4, x 3 = 4. f) 1 4 x + 1 x = : Multiplizieren mit 4 und alles auf eine Seite bringen gibt x + x 8 = 0, also x 1 = und x = 4. () In einer Urne sind 3 rote und 4 gelbe Kugeln, in einer andern Urne eine gelbe und eine rote. Anne zieht aus der ersten Urne eine Kugel zufällig, ohne sie zurückzulegen. Dann zieht sie zufällig eine Kugel aus der zweiten Urne und legt sie in die erste. Schließlich zieht sie noch eine Kugel aus der ersten Urne. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Anne drei rote Kugeln? Es ist p(rrr) = = 9, da die zweite rote Kugel in die erste Urne gelegt wird und damit wieder drei rote und vier gelbe drin sind, bevor die dritte gezogen wird.

4 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die dritte Kugel, die Anne zieht, rot? Hier gibt es vier Pfade zu berücksichtigen: p(rrr) = = 9 98, p(grr) = = 16 98, p(rgr) = = 6 98, p(ggr) = = 1 98, somit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit p = = (3) Ein Lotto-jackpot enthält Millionen Euro; die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist 0, Berechne den zu erwartenden Gewinn pro Spiel, wenn ein Lottoschein Euro kostet. Sei X der Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sieht so aus: X p 0, , Der erwartete Gewinn ist also E(X) = 0, , = 1, 9. Man verliert also pro Spiel 1,9 Euro. Wenn man mit Buchstaben rechnet, tut man sich leichter: es ist E(X) = ( 10 6 )p (1 p) = 10 6 p p + p = 10 6 p = 1,9. (4) In Deutschland wurden im vergangenen Jahr ca Unfälle mit Personenschäden registriert, davon waren 10, % durch Alkohol verursacht. Während sich 4,6 % der Verkehrsunfälle ohne Alkoholeinfluss nachts ereigneten, waren es bei den Alkohol- Unfällen immerhin 68,0 %, die in der Nacht geschahen. a) Stelle die Daten des Artikels in einer Vierfeldertafel zusammen. mit Alkohol ohne Alkohol insgesamt tagsüber nachts insgesamt

5 KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9A 5 b) Ein Unfall mit Personenschaden wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Unfall (1) unter Alkoholeinwirkung geschah, wenn bekannt ist, dass er tagsüber stattfand? () tagsüber stattfand, wenn bekannt ist, dass Alkohol im Spiel war? (1): Es ist p = = 0.046, also etwa 4,6 % (): Hier ist p = = 0.3, also 3 % (Gegenereignis der % im Text; dieses Ergebnis hätte man auch ohne Vierfeldertafel hinbekommen). (5) In einer Klasse sind im Nachmittagsunterricht mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % alle Schülerinnen anwesend, während die Wahrscheinlichkeit, dass 1,,..., 5 von ihnen fehlen durch die folgende Tabelle gegeben sind: Anzahl p 0,5 0,15 0,1 0,07 0,03 a) woran kann man erkennen, dass nie mehr als 5 Schülerinnen fehlen? Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, dass 0, 1,..., 5 Schülerinnen fehlen, beträgt 1. b) Wieviel fehlende Schülerinnen kann man durschnittlich erwarten? Zählt X die fehlenden Schülerinnen, so ist E(X) = = Es sind also 1,68 fehlende Schülerinnen zu erwarten.

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