Aufgaben zu Kapitel 14

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1 Aufgaben zu Kapitel 14 1 Aufgaben zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen? Aufgabe 14.2 Gibt es ein (reelles) lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten, welches eindeutig lösbar ist? Aufgabe 14.3 Ist ein reelles lineares Gleichungssystem (A b) mit n Unbekannten und n Gleichungen für ein b eindeutig lösbar, so ist es dies auch für jedes b stimmt das? Aufgabe 14.4 Folgt aus rg A = rg(a b), dass das lineare Gleichungssystem (A b) eindeutig lösbar ist? Aufgabe 14.5 Zeigen Sie, dass die elementare Zeilenumformung (1) auf Seite 468 auch durch mehrfaches Anwenden der Umformungen vom Typ (2) und (3) auf Seite 468 erzielt werden kann. Aufgabe 14.6 Es sind reelle Zahlen a, b, c, d, r, s vorgegeben. Begründen Sie, dass das lineare Gleichungssystem ax 1 + bx 2 = r cx 1 + dx 2 = s im Fall ad bc 0 eindeutig lösbar ist und geben Sie die eindeutig bestimmte Lösung an. Bestimmen Sie zusätzlich für m R die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: 2 x x 2 = 2 m x 1 5 x 2 = 11 Rechenaufgaben Aufgabe 14.7 Bestimmen Sie die Lösungsmengen L der folgenden linearen Gleichungssysteme und untersuchen Sie deren geometrische Interpretationen 2 x x 2 = 5 x 1 + x 2 = 2 3x 1 + x 2 = 1, 2x 1 x 2 + 2x 3 = 1 x 1 2x 2 + 3x 3 = 1 6x 1 + 3x 2 2x 3 = 1 x 1 5x 2 + 7x 3 = 2. Aufgabe 14.8 Für welche a R hat das System (a + 1)x 1 +( a a 9)x 2 +(a 2)x 3 = 1 (a 2 2 a 3)x 1 +(a 2 6 a + 9)x 2 +3 x 3 = a 3 (a + 1)x 1 +( a a 9)x 2 +(a + 1)x 3 = 1 keine, genau eine bzw. mehr als eine Lösung? Für a = 0 und a = 2 berechne man alle Lösungen. Aufgabe 14.9 Berechnen Sie die Lösungsmenge des komplexen linearen Gleichungssystems: 2 x 1 + i x 3 = i x 1 3 x 2 ix 3 = 2i i x 1 + x 2 + x 3 = 1 + i Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von r R: rx 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + rx 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + rx 3 = 1

2 2 Aufgaben zu Kapitel 14 Aufgabe Untersuchen Sie das lineare Gleichungssystem x 1 x 2 + x 3 2 x 4 = 2 2 x x 2 + ax 3 = 4 x 1 + x 2 x 3 + ax 4 = a ax 2 + b 2 x 3 4 ax 4 = 1 in Abhängigkeit der beiden Parameter a, b R auf Lösbarkeit bzw. eindeutige Lösbarkeit und stellen Sie die entsprechenden Bereiche für (a, b) R 2 grafisch dar. Anwendungsprobleme Aufgabe Beim freien Fall eines Körpers vermutet man, dass die Strecke s in Meter m, welche der fallende Körper zurücklegt, von der Fallzeit t in Sekunden s, der Erdbeschleunigung g in m/s 2 und des Gewichts M des fallenden Körpers in kg abhängt. Ermitteln Sie durch Dimensionsanalyse aus dieser Vermutung eine Formel für die Fallstrecke. Aufgabe Aus zwei Gold-Silber-Legierungen, in denen sich die Metallmassen wie 2 : 3 bzw. wie 3 : 7 verhalten, sind 8 kg einer neuen Legierung mit dem Verhältnis 5 : 11 herzustellen. Wie viel Kilogramm der Legierungen sind dabei zu verwenden? Aufgabe Im Ursprung 0 = (0, 0, 0) des R 3 laufen die drei Stäbe eines Stabwerks zusammen, die von den Punkten a = ( 2, 1, 5), b = (2, 2, 4), c = (1, 2, 3) ausgehen. O b F b c F c F F a Abbildung 14.6 Die Gewichtskraft F verteilt sich auf die Stäbe. a Im Ursprung 0 wirkt die vektorielle Kraft F = (0, 0, 56) in Newton. Welche Kräfte wirken auf die Stäbe? Aufgabe Wir betrachten das in Abbildung 14.7 gegebene Modell für das Kohlendioxidmolekül CO 2. Es sind zwei (identische) Atome der Masse m 1 = m = m 2 über zwei identische Federn mit der Federkonstanten k mit einem Atom der Masse M verbunden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das System sich nur in einer Richtung, der x-richtung, bewegen kann. m k M k m x 1 x 2 x 3 Abbildung 14.7 Ein Modell für das Kohlendioxidmolekül. Geben Sie die Bewegungsgleichungen der Massenpunkte an und untersuchen Sie für welche Auslenkungen x 1, x 2 und x 3 die Kräfte F m1 := m 1 ẍ 1, F M := M ẍ 2 und F m2 := m 2 ẍ 3 jeweils 0 sind.

3 Hinweise zu Kapitel 14 3 Hinweise zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Siehe Seite 479. Aufgabe 14.2 Man betrachte die Zeilenstufenform. Aufgabe 14.3 Man ermittle die Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix. Aufgabe 14.4 Man suche ein Gegenbeispiel. Aufgabe 14.5 Will man die Zeile i mit der Zeile j vertauschen, so beginne man mit der Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile. Aufgabe 14.6 Bringen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform. Rechenaufgaben Aufgabe 14.7 Benutzen Sie das Eliminationsverfahren von Gauß oder das von Gauß und Jordan. Aufgabe 14.8 Bringen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform und unterschieden Sie dann verschiedene Fälle für a. Aufgabe 14.9 Man bilde die erweiterte Koeffizientenmatrix und wende das Verfahren von Gauß an. Aufgabe Führen Sie das Eliminationsverfahren von Gauß durch. Aufgabe Wenden Sie elementare Zeilenumformungen auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an und beachten Sie jeweils, unter welchen Voraussetzungen an a und b diese zulässig sind. Anwendungsprobleme Aufgabe Man setze eine Formel für die Strecke s mit den gegebenen Größen und unbestimmten Exponenten an. Aufgabe Man setze x 1 bzw. x 2 für die gesuchte Anzahl der Kilogramm der Legierungen und formuliere die Problemstellung als lineares Gleichungssystem. Aufgabe Man zerlege die Kraft F in drei Kräfte F a, F b und F c in Richtung der Stäbe. Aufgabe Man formuliere das Hooke sche Gesetz (F = kx) für die drei Massenpunkte. Dies ergibt ein Gleichungssystem in den Unbestimmten x 1, x 2 und x 3.

4 4 Lösungen zu Kapitel 14 Lösungen zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Ja. Aufgabe 14.2 Nein. Aufgabe 14.3 Ja. Aufgabe 14.4 Nein. Aufgabe 14.5 Aufgabe 14.6 Die eindeutig bestimmte Lösung des allgemeinen Systems ist ( ad bc rd bs, ad bc as rc ) und die eindeutige Lösung des Beispiels lautet ( 10m+33 7, 22 2m 7 ). Rechenaufgaben Aufgabe 14.7 Das erste System ist nicht lösbar, die Lösungsmenge des zweiten Systems ist L ={( 1 3 (1 t), 1 3 ( t), t) t R}. Aufgabe 14.8 Für a = 1gibt es keine Lösung. Für a = 2 und a = 3 gibt es unendlich viele Lösungen. Für alle anderen reellen Zahlen a gibt es genau eine Lösung. Im Fall a = 0 ist dies (L ={(1, 0, 0)}, und im Fall a = 2 ist L ={( λ, λ, 0) λ R} die Lösungsmenge. Aufgabe 14.9 Die Lösungsmenge ist L ={ 1 5 (3 + i, 3 4i, 3 + 6i)}. Aufgabe Im Fall r = 2ist L =. Im Fall r = 1 ist L ={(1 s t, s, t) s, t R} die Lösungsmenge und für alle anderen r R ist L ={( 2+r 1, 1 2+r, 1 2+r )} die Lösungsmenge. Aufgabe Das Gleichungssystem ist für alle Paare (a, b) der Hyperbel H ={(a, b) b 2 a(a+ 2) = 0} nicht lösbar. Für alle anderen Paare (a, b) R 2 \ H =: G ist das System lösbar. Es ist nicht eindeutig lösbar, falls a = 2 gilt, d. h. für alle Paare (a, b) = (2, b) G. Für die restlichen Paare ist das System eindeutig lösbar. Anwendungsprobleme Aufgabe s = agt 2 mit a R. Aufgabe Man braucht 1 Kilogramm der ersten und 7 Kilogramm der zweiten Legierung. Aufgabe F a = ( 12, 6, 30), F b = (10, 10, 20), F c = (2, 4, 6). Aufgabe Es wirken keine Kräfte, wenn alle Auslenkungen gleich sind.

5 Lösungswege zu Kapitel 14 5 Lösungswege zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Ist s = (s 1,..., s n ) eine spezielle Lösung und l = (l 1,..., l n ) eine Lösung des homogenen Systems, so ist für jedes λ R auch s + (λ l 1,..., λl n ) eine Lösung. Aufgabe 14.2 Bringt man die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform, so erkennt man, dass im Falle der Lösbarkeit mindestens eine Unbekannte frei wählbar ist. Somit ist eine Lösung niemals eindeutig bestimmt. Aufgabe 14.3 Weil die Lösung eindeutig bestimmt ist, muss der Rang der Koeffizientenmatrix, der in diesem Fall gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, gleich n sein. Betrachtet man die Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix, so hat diese n Stufen: b bn Keines der Elemente ist null. Also ist das Gleichungssystem für beliebige b 1,..., b n eindeutig lösbar. Aufgabe 14.4 Das lineare Gleichungssystem x 1 + x 2 = 1 hat die erweiterte Koeffizientenmatrix (1 1 1). Insbesondere gilt also rg A = rg(a b), aber dieses System ist nicht eindeutig lösbar, da (1 t, t) für jedes t R eine Lösung ist. Aufgabe 14.5 Wir vertauschen die i-te mit der j-ten Zeile und notieren diese etwas vereinfacht mit z i und z j in der erweiterten Koeffizientenmatrix. Addition und Multiplikation der Zeilen führen wir mit einem Vorgriff auf das nächste Kapitel vektoriell durch: z i z i + z j z i + z j. (3). (2).. z j z j z j (z i + z j ) z i + z j z i + z j + ( z i ) z j (3). (2)... z i z i z i Aufgabe 14.6 Das Gleichungssystem aus der Aufgabenstellung hat als erweiterte Koeffizientenmatrix: ( ) a b r (14.1) c d s Zur Abkürzung setzen wir D := ad bc. Da nach Voraussetzung D 0 ist, gilt a 0 oder c Fall: a 0. Wir formen die Matrix in 14.1 mithilfe von elementaren Zeilenumformungen um: Wir addieren das a c -Fache der ersten zur zweiten Zeile, multiplizieren dann die zweite Zeile mit a/d, addieren dann das b-fache der zweiten Zeile zur ersten, multiplizieren dann die erste Zeile mit 1/a und erhalten: ( ) 1 0 rd bs D as rc 0 1 D Also besitzt das Gleichungssystem aus der Aufgabenstellung genau eine Lösung, nämlich ( rd bs D, as rc D ).

6 6 Lösungswege zu Kapitel Fall: c 0. Eine zum 1. Fall analoge Rechnung zeigt, dass das Gleichungssystem auch in diesem Fall genau eine Lösung besitzt, nämlich ( rd bs D, as rc D ). Insgesamt ist damit bewiesen: Das Gleichungssystem aus der Aufgabenstellung besitzt für ad bc 0 genau eine Lösung, nämlich ( ) rd bs as rc,. D D Wir lösen nun das gegebene Gleichungssystem in Abhängigkeit von m R. Wegen 10 3 = 7 0 ist das System eindeutig lösbar, und Einsetzen in die Formel für die eindeutig bestimmte Lösung: l = ( 10m+33 7, 22 2m 7 ). Rechenaufgaben Aufgabe 14.7 Wir führen an der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) des ersten Systems elementare Zeilenumformungen durch, bis wir Zeilenstufenform erreicht haben: Damit gilt rg(a b) >rg A und nach dem Lösbarkeitskriterium auf Seite 475 ist das System nicht lösbar. Zeichnet man die drei Geraden, die durch die drei Gleichungen des Systems gegeben sind, in ein Koordinatensystem ein, so erkennt man, dass die drei Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben; ihre Schnittmenge ist leer, das besagt die Nichtlösbarkeit des Gleichungssystems. Nun wenden wir dasselbe Verfahren auf das zweite Gleichungssystem an: Damit gilt rg(a b) = rg A und nach dem Lösbarkeitskriterium auf Seite 475 ist das System lösbar. Wir wählen für die Unbekannte x 3 eine beliebige reelle Zahl t und erhalten durch Rückwärtseinsetzen x 2 = 1 3 ( t) und schließlich x 1 = 1 3 (1 t). Die Lösungsmenge ist also L ={( 1 3 (1 t), 1 3 ( t), t) t R}. Zeichnet man die vier Ebenen, die durch die vier Gleichungen des Systems gegeben sind, in ein Koordinatensystem ein, so erkennt man, dass von den vier Ebenen nur zwei voneinander verschieden sind. Die zwei unterschiedlichen Ebenen schneiden sich in einer Geraden in ihrer Schnittgeraden. Diese Schnittgerade ist durch die Lösungsmenge des Gleichungssystems gegeben. Aufgabe 14.8 Wir führen elementare Zeilenumformungen an der erweiterten Koeffizientenmatrix aus: a + 1 a 2 + 6a 9 a 2 1 a 2 2a 3 a 2 6a a 3 = a + 1 a 2 + 6a 9 a a + 1 (a 3) 2 a 2 1 (a + 1)(a 3) (a 3) 2 3 a 3 a + 1 (a 3) 2 a a + 1 (a 3) 2 a (a 3) 2 (a 2) a 2 + 5a a + 1 (a 3) (a 3) 2 (a 2)

7 Lösungswege zu Kapitel 14 7 Wir unterscheiden vier Fälle: a/ { 1, 2, 3} : Die Koeffizientenmatrix A hat den Rang 3, es gibt dann genau eine Lösung. Im Fall a = 0 erhält man also als Lösungsmenge L ={(1, 0, 0)}. a = 1 : Hier ergibt sich: Wegen rg A = 2 < 3 = rg(a b) (oder weil die erste Zeile die Form (0 00 ) mit 0 hat) gibt es keine Lösung. a = 2 : Hier ergibt sich: Wegen rg A = rg(a b) ist das Gleichungssystem lösbar. Es ist x 3 = 0, wir setzen x 2 = λ R, also x 1 = (1 + λ)/3. Die Lösungsmenge ist L ={( λ, λ, 0) λ R}. a = 3 : Hier ergibt sich also die Lösungsmenge: L ={( 4 1,λ,0) λ R}. Uns interessiert allerdings nur, dass es mehr als eine, nämlich unendlich viele Lösungen gibt. Aufgabe 14.9 Wir wenden elementare Zeilenumformungen auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an: Es gibt also eine eindeutige Lösung und zwar x 3 = 3 + 3i 3 i 2 0 i i i i 2 0 i i i i 0 6 3i 3i i i 0 2 i i i i 0 2 i i i i 0 2 i i i 3 + 3i = 1 10 (3 + 3i)(3 + i) = i, x 2 = i ix 3 = i, x 1 = 2i+ 3 x 2 + i x 3 = i, also ist L ={ 1 5 (3 + i, 3 4i, 3 + 6i)} die Lösungsmenge.

8 8 Lösungswege zu Kapitel 14 Aufgabe Wir notieren die erweiterte Koeffizientenmatrix und beginnen mit dem Eliminationsverfahren von Gauß: r r 2 1 r 1 r 1 r r r r r Fall: r = 1. In diesem Fall kann man die Lösungsmenge direkt ablesen: L ={(1 s t, s, t) s, t R} (das sind unendlich viele Lösungen). 2. Fall: r 1. Wir führen einen weiteren Eliminationsschritt durch. Hierbei multiplizieren wir die erste und die dritte Zeile 1 mit 1 r und erhalten: 0 1+ r r r r 1 Im Fall r = 2 gilt offenbar L =. Und im Fall r 2gibt es offenbar genau eine Lösung. Es ist L ={( 2+r 1, 1 2+r, 1 2+r )} die Lösungsmenge. Aufgabe Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) des Systems lautet: 2 3 a a a 0 a b 2 4 a 1 Wir führen nun elementare Zeilenumformungen durch, um die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen: 2 3 a a a 0 a b 2 4 a a a 2 a 2 0 a b 2 4 a a a 2 a b 2 a(a+ 2) a b 2 a(a+ 2) a 2 a 2 An der dritten Zeile erkennen wir nun bereits, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist, falls der Ausdruck b 2 a(a+ 2) gleich null wird. Die Menge aller dieser Paare (a, b) mit b 2 a(a+ 2) = 0 bildet eine Hyperbel H. Wir setzen nun voraus, dass (a, b) H gilt. Wir dividieren die dritte Zeile durch b 2 a(a+ 2) und erhalten die Koeffizientenmatrix: 0 1 a /(b 2 a(a+ 2)) a 2 a 2 Ist a 2, so kann man die letzte Zeile durch a 2 teilen und erhält so die eindeutige Lösbarkeit des Systems. Ist jedoch a = 2, so hat das System unendlich viele Lösungen.

9 Lösungswege zu Kapitel 14 9 a 1 b Die blau eingezeichneten Bereiche geben diejenigen Paare (a, b) R 2 an, für welche das Gleichungssystem lösbar ist. Für die rot eingezeichneten Punkte ist das Gleichungssystem nicht lösbar und schließlich liefern die grün eingezeichneten Punkte unendlich viele Lösungen. Anwendungsprobleme Aufgabe Wir machen der Vermutung entsprechend für s den Ansatz s = a t x1 g x2 M x 3 mit a R, (14.2) wobei nun die Werte für die Exponenten x 1,x 2,x 3 zu bestimmen sind. Wir notieren die Einheiten links und rechts des Gleichheitszeichens der Formel (14.2): m = s 0 m 1 kg 0 = s x1 (m/s 2 ) x2 kg x 3 = = s x 1 2 x2 m x2 kg x 3 Der Vergleich der Exponenten der zugehörigen Einheiten liefert nun das lineare Gleichungssystem x 1 2 x 2 = 0 x 2 = 1 x 3 = 0 mit der eindeutig bestimmten Lösung (2, 1, 0). Setzen wir diese gefundenen Werte in die Gleichung (14.2) ein, so erhalten wir für die Fallstrecke s die Formel s = a t 2 g 1 M 0 mit a R, sodass also letztlich eine Abhängigkeit der Fallstrecke von der Masse gar nicht gegeben ist. Die Konstante a kann nun durch Experimente bestimmt werden. Und tatsächlich erhält man dann für die Fallstrecke s = 1/2 gt 2. Aufgabe In einem Kilogramm der ersten Legierung sind 2/5 kg Gold und 3/5 kg Silber. In einem Kilogramm der zweiten Legierung sind 3/10 kg Gold und 7/10 kg Silber. In einem Kilogramm der zu erstellenden Legierung sind 5/16 kg Gold und 11/16 kg Silber. Diese Daten liefern das lineare Gleichungssystem für die Unbekannten Größen x 1 und x 2, d. h. für die gesuchten Kilogramm: 2/5 x 1 + 3/10 x 2 = 40/16 3/5 x 1 + 7/10 x 2 = 88/16

10 10 Lösungswege zu Kapitel 14 Wir multiplizieren beide Gleichungen mit 10 durch und führen an der erweiterten Koeffizientenmatrix eine elementare Zeilenumformung durch: ( ) ( ) / / / /16 Dabei haben wir die zweite Zeile mit 2 multipliziert und davon das 3-Fache der ersten Zeile subtrahiert. Es ist l = (1, 7) die eindeutig bestimmte Lösung des Systems. Also sind 1 Kilogramm der ersten und 7 Kilogramm der zweiten Legierung zu verwenden. Aufgabe Es ist die Kraft F in drei Kräfte zu zerlegen, welche in die Richtungen der Punkte a = ( 2, 1, 5), b = (2, 2, 4) und c = (1, 2, 3) zeigen, wir bezeichnen diese mit F a, F b und F c. Gesucht sind also l 1,l 2,,l 3 R mit l 1 a + l 2 b + l 3 c = F es gilt dann Fall l 1 a = F a, l 2 a = F b und l 3 c = F c. Dies drückt aus, dass die Kräfte in die Richtungen der Stäbe zeigen. (Addition und Multiplikation verstehen wir hier durchwegs komponentenweise. Wir nehmen die Notationen aus dem folgenden Kapitel vorweg.) Wir formulieren die Gleichung l 1 a + l 2 b + l 3 c = F als ein lineares Gleichungssystem und geben sogleich die erweiterte Koeffizientenmatrix an, welche wir auf Zeilenstufenform bringen, um die Lösung l 1,l 2,l 3 zu bestimmen: Es ist (6, 5, 2) die eindeutige Lösung des Systems. Damit haben wir die Kräfte in Richtung der Stäbe ermittelt, es gilt: F a = ( 12, 6, 30) F b = (10, 10, 20) F c = (2, 4, 6) Aufgabe Wir formulieren das Hook sche Gesetz für die drei Massenpunkte und erhalten die Bewegungsgleichungen: F m1 = kx 1 + kx 2 F M = kx 1 2 kx 2 + kx 3 F m2 = kx 2 kx 3 Gesucht sind die Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems: kx 1 + kx 2 = 0 kx 1 2 kx 2 + kx 3 = 0 kx 2 kx 3 = 0 Die erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Systems lautet: k k 0 0 k 2 k k 0 0 k k 0 Die Lösungsmenge des Systems erhalten wir, indem wir zur zweiten Zeile die erste und dritte addieren: k k 0 0 k k 0 0 k 2 k k k k 0 0 k k 0

11 Lösungswege zu Kapitel Die Lösungsmenge dieses Systems ist L ={(a,a,a) a R}. Also sind die drei betrachteten Kräfte genau dann null, wenn die drei Auslenkungen jeweils gleich groß sind; dies ist z. B. dann der Fall, wenn sich das System gleichförmig in x-richtung bewegt. Kommentar: Mithilfe der Matrizenmultiplikation, die wir auf Seite 518 erklären werden, können wir diese Bewegungsgleichungen in der einfachen Form F = K x mit den Spaltenvektoren und der Matrix F m1 x 1 F = F M, x = x 2 F m2 x 3 k k 0 K = k 2 k k 0 k k zusammenfassen. In Kapitel 18 entwickeln wir eine Methode, um solche vektoriellen Differenzialgleichungen (beachte: F = m ẍ = K x) zu lösen.

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