Elektrotechnik I Zusammenfassung & Formelsammlungfloba

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1 Elektrotechnik I Zusammenfassung & Formelsammlungfloba 1 Grundbegriffe Elementarladung: e =1, C el. Strom = geordnete Bewegung von Ladungen im Stromkreis, jede Bewegung von el. Ladung ist mit Magnetfeld verbunden Strom: I = Q t = Q [ ] p Q n C t s =A Stromdichte: J I = A = Q [ ] A t A m 2 I = J A = J A cos α Spannung: U = W [ ] ( J Q C =V analog: W s = F s ) = F s Spannung = el. Kraft, Ladung = el. Weg, Strom = el. Geschwindigkeit Leistung: P = W [ ] J = U I t s = V A = W linearer Leiter: A = const. & d l I ist gleichmäßig verteilt J hat überall den selben Wert U fällt gleichmäßig über l ab el. Feldstärke: E = U [ ] V l m ( Spannung auf Länge bezogen ) 2 Wirkwiderstand Ohmsches Gesetz: R = U [ ] V I A =Ω Leitwert: S = I [ ] A U = R 1 V =Ω 1 =S Wirkleistung: P (th) = R I 2 = U 2 R 1

2 spezifischer Widerstand: R = ρ l [ A] S spezifischer Leitwert: γ = ρ 1 m ρ = R A l = U I A l = E J [Ω m] nichtlinearer/differenteller (= nichtohmscher) Widerstand: R d = du di ( Temp.abh. des Widerstands: R θ = R 20 C 1+α20 C(θ 20 C)+β 20 C(θ 20 C) 2) Wärmeenergie: W th = c m T 3 Quellen keine Leistungsabgabe bei Leerlauf und Kurzschluss maximale Leistungsabgabe wenn R i = R L (aber: η =0, 5) ideale Quellen: U ist unabhängig von I (Spannungsquelle) bzw. I ist unabhängig von U (Stromquelle) { U = Ri I + U lineare Quellen: q I = G i U I q Achtung! Ströme sind hier negativ, da Quelle negative Leistung abgibt! R i = U q G i = I k U 0 U Ri = R i I (k) I Gi = G i U (0) I k 2

3 4 Netze an Gleichspannungen Arbeitspunktbestimmung: U A = U 1 = U q + R i I 1 = U q R i I A U A = U 2 = R V I 2 = R V I A U q I A = R i + R V Leistungsanpassung: P max, wenn R i = R V (aber: η =0, 5) Knotensatz: I = 0 am Knoten Maschensatz: U = 0 in einem Maschenumlauf Potentialdifferenz = Spannung, z.b. U AB = φ A φ B 0-Potential einer Schaltung: wenn 0-Potential geerdet ist: 3

4 1 Parallelschaltung von Widerständen: = 1 bzw. G e = G k R e R k Verhältnisse: I 1 = G ( 1 = R ) 2 und auch I 1 I 2 G 2 R 1 I = G 1 G e Der Ersatzwiderstand ist immer kleiner als jeder Einzelwiderstand: 1 R e = 1 R = R 1 R 2 R 2 = R 1 R R R 2 R 1 + R 2 Reihenschaltung von Widerständen: R e = 1 R k bzw. = 1 G e G k Verhältnisse: U 1 = R ( 1 = G ) 2 und auch U 1 U 2 R 2 G 1 U = R 1 R e Ersatzquellen und Überlagerungssatz: Jede lineare Schaltung kann durch eine Ersatzquelle (Spannungs- ODER Stromquelle) ersetzt werden. Bestimmung des Innenwiderstands R i = G 1 i : Spannungsquellen durch Kurzschlüsse, Stromquellen durch Unterbrechnung ersetzen und an den Klemmen in die Schaltung rechnerisch hineinmessen Bestimmung der Quellenspannung U qe : U qe = Leerlaufspannung U 0 an den Klemmen [oder] Bestimmung des Kurzschlussstroms I qe : I qe = Kurzschlussstrom I k an den Klemmen! Sind sowohl Spannungs- als auch Stromquellen vorhanden: 1. alle Spannungsquellen durch einen Kurzschluss ersetzen und die Ergebnisse für die Stromquellen berechnen 2. alle Stromquellen durch eine Unterbrechnung ersetzen und die Ergebnisse für die Spannungsquellen berechnen 3. beide Ergebnisse addieren 4

5 5 Elektrisches Feld entsteht bei el. Ladungen in einem Raumgebiet nur durch auftretende Kra fte (z.b. auf Probeko rper) indirekt nachweisbar! speziell: el. Stro mungsfeld: entsteht bei geordneter Bewegung el. Ladungen (= el. Strom) 5.1 Homogenes Stro mungsfeld! = const. E im linearen Leiter ( J! = const.)! & J! die gleiche La nge und Betrag in jedem Punkt haben E Feldlinien:! (damit wirkt die Kraft bei pos. auf jede Ladung wirkt die Kraft F! = Q E Ladungen in Feldrichtung, bei neg. Ladungen entgegengesetzt) I! Stromdichte ist damit auch proportional zur Feldsta rke: J! = =γ E! A el. Feldsta rke ist proportional zur Spannung: W = F!!l :Q W F!!!!l = E l cos α = l U =E Q Q Spannungen = A quipotentiallinien/-fla chen (= Ho henlinien, stets senkrecht! & J!):! zu E keine Spannungsunterschiede auf A quipotentialfla chen/-linien! 5

6 5.2 Inhomogenes Strömungsfeld E const. E = f( s) Weg und Spannung werden in infinitisimal kleine Teilstrecken unterteilt und aufsummiert: du = E( s) d s U 12 = P 2 P 1 E( s) d s ebenso bei dem Strom: di = J( A) d A I = A J( A) d A 5.3 Homogenes elektrostatisches Feld durch idealen Isolator unterbrochener Stromkreis im stationären Zustand: = Plattenkondensator mit der Ladung Q (eigentlich +Q 1 =0, 5Q und Q 2 = 0, 5Q) Äquipotentialflächen nur an Plattenoberflächen, solange kein el. Leitender Gegenstand in das el. Feld gebracht wird Feldlinien von pos. Ladung zu neg. Ladungen Quellenfeld, da Feldlinien 1 Anfang & 1 Ende haben (magnetisches Feld = Wirbelfeld; Feldlinien in sich geschlossen) Influenz = Ladungstrennung in einem el. Leiter im elektrost. Feld el. Flussdichte/Verschiebungsdichte D = Q [ = ɛ A 0 ɛ r E C m 2 = As ] m 2, ɛ 0 =8, As Vm Q A = ɛ 0 ɛ r E E = Q ɛ 0 ɛ r A Q = ɛ 0 ɛ r }{{ E } A D 6

7 5.4 Inhomogenes elektrostatisches Feld Influenz, el. Flussdichte/Verschiebungsdichte: D( s) =ɛ 0 ɛ r E( s), Ladung: dq = D da Q = D da = ɛ 0 ɛ r E da A Punktladungen Potential eines von dem Abstand r entf. Punktes zu einer Punktladung Q: 1 φ(r) = Q 4π ɛ 0 ɛ r r Potential eines von dem Abstand r i entf. Punktes zu den Punktladungen Q i : φ(r 1,r 2,... )= ( ) 1 Qi φ i = 4π ɛ 0 ɛ r Feldstärke eines von dem Abstand r entf. Punktes zu einer Punktladung Q: Q E = ɛ 0 ɛ r A = Q 4π ɛ 0 ɛ r r 2 Kraft die auf 2 Punktladungen wirkt: F = Q 2 E Q 1 1 = Q 2 4π ɛ 0 ɛ r r 2 (Coulomb-Gesetz) r i A 5.5 Permittivität zwischen Platten eines Kondensators ist statt Vakuum (0, ɛ r = 1) ein anderer Isolator: ɛ r = D D 0 = Q Q 0 (ɛ r Permittivitätszahl) Permittivität: ɛ = ɛ 0 ɛ r unpolare Stoffe (Ladungsschwerpunkte fallen auf einen Punkt zusammen) im el. Feld: Orientierungspolarisation Ausrichtung des Dipols 7

8 polare Stoffe (permanente Dipole) im el. Feld: Polarisation 1. homogenes Feld: 2. inhomogenes Feld: Kräfte unterschiedlich, wodurch der Dipol in das Gebiet höherer Feldstärke gezogen wird ɛ r ist stets größer oder gleich 1: 8

9 5.6 Kapazitive Eintore beim Einschalten der Spannung in einen Stromkreis mit einem Kondensator fließt Strom, bis der er auf die angelegte Spannung aufgeladen ist Kapazität: C = Q [ As U V = C ] V =F lineare kapazitive Eintore: Q(U) =C U mit C = const. nichtlineare kapazitive Eintore: C = f(u) Q(U) =C(U) U differenzielle Kapazität: C d = dq du Schaltungen: Reihenschaltung Parallelschaltung U = U U = const. Q = const. Q e = Q k 1 = 1 C e = C k C e C k Reihenschaltung: C e immer kleiner als C k Kapazität eines Plattenkondensators: D = Q A = C U A, D = ɛ 0 ɛ r E = ɛ 0 ɛ r U l C = ɛ 0 ɛ r A l Kapazität eines Koaxkabels: Q = A D( r)d A = D( r) 2π r l = ɛ0 ɛ r E( r) 2π r l E( r) = U = Q r C = a Q E( r)d r = r i ɛ 0 ɛ r 2π l ln r a r i C = ɛ 0 ɛ r 2π l ln r a r i Kapazität zwischen 2 konzentrischen Metallkugeln: C = 4π ɛ 0 ɛ r 1 r i 1 r a r a : C =4π ɛ 0 ɛ r r i Q ɛ 0 ɛ r 2π l 1 r 9

10 6 Magnetisches Feld = Wirbelfeld (Feldlinien in sich geschlossen) Ursache: Bewegung von Ladungen Elektromagnet: el. Strom in Leiter = bewegte Ladungen Dauermagnet: Bewegung von Elektronen um Atomkern Pole: Kraftwirkung am stärksten Gebiet zwischen den Polen = indifferente Zone: schwächere Kraftwirkung Feldlinien beim stromdurchflossenen Leiter: Rechte-Hand-Regel Kein Magnetfeld im innern des Leiters durch Kompensation vorhanden (Unterteilung in Einzelströme)! 6.1 Magnetische Flussdichte = Intensität eines Magentfeldes B = F I l [ N Am = J Am 2 = V A s Am 2 = Vs ] m 2 =T magnetischer [ Fluss bei ] homogenen Magnetfeldern: Φ= B A ( B A) Vs m 2 m2 = V s = Wb inhomogenes Magnetfeld: dφ = B( A) d A Φ= A B( A) d A magnetische Feldstärke: B = µ0 µ r H materialunabhängig (im Gegensatz zur Flussdichte) magnetische Feldkonstante: µ 0 =4π 10 7 Vs Am ( weitere Analogie: H = U ) m l 10

11 Durchflutung (= magnetische Spannung): Θ= I k = N I = A Jd A Θ= H l = s Hd s mit l Länge der Feldlinie Feldstärken wichtiger Bauteile: linearer stromdurchflossener Leiter: B = µ 0 µ r Kreisringspule: H = N I π D Mitte einer Zylinderspule: H N I l I 2πr, H = I 2πr 6.2 Materie im Magnetfeld Ferromagnetismus Permeabilität (Art magnetische Leitfähigkeit der Feldlinien): µ = µ 0 µ r relative Permeabilität: µ r = B B 0 meisten Stoffe: µ r 1 µ r < 1: diamagnetisch µ r > 1: paramagnetisch µ r 1: ferromagnetisch (Eisen, Cobalt, Nickel) Ferromagnetismus nur bei Feststoffen mit bestimmten Kristallstrukturen ferromagnetische Stoffe bestehen aus Weißschen Bezirken (= Elementarmagnete ), die ausgerichtet werden können dauerhaftes Magnetfeld (Permanentmagnet) 11

12 Neukurve eines Ferromagnetischen Stoffes: a)-c) Weißschen Bezirke wachsen d) Sättigung, Steigung nur noch mit µ 0 (wie im Vakuum) Hystereseschleife eines Ferromagnetischen Stoffes: B r = Remanenzflussdichte, die bleibt, wenn H abgestellt wird H c = Koerzitivfeldstärke, die für die vollständige Entmagnetisierung benötigt wird ferromagnetische Eigentschaft ist temp.abh.! therm. Energie erschwert Ausrichtung der Weißschen Bezirke B r wird mit steigender Temp. kleiner wenn T = Curie-Temperatur verschwindet Ferromagnetismus sprunghaft (770 C bei Eisen) 12

13 Magnetostriktion = Änderung der geometrischen Abmessungen ferromagnetischer Stoffe, die in ein Magnetfeld gebracht werden Ursache des Brummens bei Transformatoren im Wechselstrombetrieb magnetisch harte Stoffe: breite Hystereseschkurve (für Dauermagneten, schwerer entmagnetisierbar) magnetisch weiche Stoffe: enge Hystereseschkurve (für Transformatoren) bei weichen Stoffen, keine Darstellung in Hysteresekurve, sondern eine mittlere Magnetisierungskurve 6.3 Magnetische Kreise magnetische Quellenspannung: Θ= I magnetischer Strom: Φ= B A [A] (Durchflutung) [Wb] (magnetischer Fluss) [ ] A magnetischer Widerstand: R m = Θ Φ Wb = 1 H magnetischer Leitwert: Λ= 1 = Φ [ ] Wb R m Θ A =H bei ferromagnetischen Stoffen: Λ= f(h)! magnetischer Spannungsabfall bei Luftspalt: V m = H l (analog: U = E l) Leitwert eines Magnetischen Kreises wird kleiner, wenn Eisenweg durch Luftspalt unterbrochen ist: Streufluss, Φ ges =Φ L +Φ σ Streufaktor: σ = Φ σ Φ L (von Geometrie und Sättigung des Eisens abh.) 13

14 6.4 Kraft auf eine bewegte Ladung auf die Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld der Flussdichte B bewegt, wird die Lorentz-Kraft F ausgeübt: ( F = Q v B ) auf einen mit dem Strom I durchflossenen Leiter, der sich in einem Magnetfeld der Flussdichte B mit der Länge l (die Überschneidung!) befindet, wird die Lorentz- Kraft F ausgeübt: ( ) F = I l B Anwendung der Lorentz-Kraft: Hallelement Lorentz-Kräfte auf 2 stromdurchflossene (unendlich lange, sich im Vakuum befindende) Leiter: magn. Flussdichte eines Leiters im Abstand r: B 1 = µ 0 I 1 2π r mit B = F ( ) I l bzw. F 2 = I 2 l B1 ergibt sich: F 2 = µ 0 I 1 I 2 l 2π r 14

15 6.5 Energietransport durch el. und magn. Feld: Pointingvektor S = E H [ V m A m = W ] m 2 P = A Sd A Nachweis an Koaxleitungsanordnung: bei Umpolung zeigt S immernoch in die selbe Richtung, also wird auch bei Wechselstrom Energie nur in die eine Richtung transportiert: von der Quelle weg 15

16 7 Analogien zwischen Mechanik, el. und magn. Strom, Kreisen und Feldern Mechanik El. Strom/Kreis/Feld Magn. Strom/Kreis/Feld Weg: s [m] el. Ladung: Q [C] Geschwindigkeit: v = s el. Fluss: h i m s I = Q h i C s =A el. Stromdichte: J = I h i A m A 2 magn. Strom: Φ= B A [Wb] magn. Flussdichte: B = Φ A [T] (s. unten) mech. Kraft/Spannung: F = W» J s m =N Reibungskraft: R = F v F R = R v el. Kraft/Spannung:» J C =V U = W Q Spannungsabfall (an C): U = E l el. Widerstand: R = U I [Ω] el. Leitwert: G = I U [S] Durchflutung (Quellenspannung): Θ= I [A] Spannungsabfall: V m = H l magn. Widerstand: h AWb = 1 H i R m = Θ Φ magn. Leitwert: Λ= Φ Θ h Wb A =H i mech. Leistung: P = F v = R v 2 F = el. Leistung: 2 P = U I = R I 2 = U 2 R [W] R [W] el. Flussdichte: D = Q = ɛ A 0 ɛ r E h i C m 2 = As m 2 el. Feldstärke: E = U h i C m l 2 = As m 2 Permittivität: ɛ = ɛ 0 ɛ r rel. Permittivität/ Permittivitätszahl: magn. Leistung: P =Θ Φ [W] magn. Flussdichte: B = Φ = µ A 0 µ r H F = I l [T] magn. Feldstärke: H = U m = I N = Θ h i Am l l l Permeabilität: µ = µ 0 µ r rel. Permeabilität/ Permeabilitätszahl: ɛ r = D = Q D 0 Q 0 el. Feldkonstante: ɛ 0 =8, As Vm µ r = B B 0 magn. Feldkonstante: µ 0 =4π 10 7 Vs Am 16

17 8 Zeitabhängige Größen Frequenz, Periodendauer, Kreisfrequenz: f = 1 T, ω =2πf =2π 1 T Spitze-Spitze-Wert: u pp = u max u min Scheitelwert û = größter Betrag einer periodischen Spannung Sinusspannung: u(t) = û cos(ωt + φ u ) Sinusstrom: i(t) =î cos(ωt + φ i ) Phasendifferenz: φ = φ u φ i Wenn die Spannung dem Strom vorauseilt, ist φ positiv (per Definition). Gleichwert/arithmetischer Mittelwert: i = 1 T T idt 0 (= 0 bei reinen Wechselspannungen) Gleichrichtwert/arithmetischer Mittelwert einer gleichgerichteten Spannung: i = 1 T i dt T 0 Effektivwert/quadratischer Mittelwert: U (eff) = Nur für Ströme und Spannungen definiert! Leistung: P = U (eff) I (eff), wenn φ =0 Scheitelfaktor C = Scheitelwert Effektivwert Formfaktor F = Effektivwert Gleichrichtwert Verhältniszahlen wichtiger Funktionen: Sinus Dreieck Rechteck C F 1, 155 1, bei Sinus: U = û 2 und I = î 2 ) 2 Leistung (φ = 0): P (t) =R (î cos(ωt + φi ) 1 T T i 2 dt Die (Momentan)leistung schwingt mit der doppelten Frequenz des Stroms bzw. der Spannung. P = P (t) =0, 5P max 0 17

18 komplexe Darstellung von Sinusspannungen/-strömen: u(t) =û e j(ωt+φu) u(t) =û cos(ωt + φ u )+j û sin(ωt + φ u ) Re(u(t)) =u(t) = û cos(ωt + φ u ) Vereinfachte komplexe Darstellug von Sinusspannungen/-strömen: ( ) Spitzenwertzeiger û =û e jφ = u(t)/e jωt Effektivwertzeiger U = U e jφ = û e (= jφ u(t)/(e jωt 2) ) 2 Spannung und Strom an Grundelementen: zeitliche Darstellung komplexe Darstellung R i(t) =î sin(ωt + φ i ) u R (t) =R i(t) L C u L (t) =L di dt ) d (î sin(ωt + φi ) u L (t) =L dt u L (t) =ωl î cos(ωt + φ i ) u C (t) = 1 C idt u C (t) = 1 C î sin(ωt + φ i )dt u C (t) = 1 ωc î cos(ωt + φ i ) i(t) =î e jωt e jφ i = 2 I e jωt u R (t) =R i(t) =R I 2 e jωt u R (t) = û e jωt e jφu = U 2 e jωt U = R I u L (t) =L di d (î e jωt e i) jφ dt = L dt u L (t) =jωl î e jωt e jφ i =jωl 2 I e jωt u L (t) = û e jωt e jφu = U 2 e jωt U L =jωl I = X L I u C (t) = 1 1 idt = î e jωt e jφ idt C C u C (t) = 1 jωc î e jωt ejφ i = 1 jωc 2 I e jωt u C (t) = û e jωt e jφu = U 2 e jωt U C = 1 jωc I = X C I 18