ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 04
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- Valentin Vogt
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1 Elementreometrie ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 04 AUFGABE 1: Beweisen Sie den folenden Stz: Stz 2.10: Die Nceinnderusfürun mit ist eine Verscieun. Zum Beweis verwenden wir Stz 2.9: Eine Beweun verscieden von der Identität ist enu dnn eine Verscieun, wenn sie fixpunktfrei ist und jede Gerde uf eine zu ir prllele Gerde ildet. Es seien und zwei versciedene zueinnder prllele Gerden. Entsprecend der Ausse von Stz 2.9 reict es zu zeien, dss fixpunktfrei ist und eine elieie Gerde durc uf eine zu ir prllele Gerde eildet wird. Gerdenspieelunen ilden nur die Punkte der Spieelerden ufeinnder. D die eiden Gerden verscieden voneinnder sind und keinen Punkt emeinsm en, t keinen Fixpunkt. und Wir wissen ereits, dss die Prllelität eine Invrinte ei Beweunen ist. Sollte die Gerde zu und dmit ween der Trnsitivität uc zu prllel sein, erit sic folende Sclusskette: (1) wird durc uf sic selst eildet, wird ween der Erltun der Prllelität uf eine zu prllele Gerde durc eildet:. (2) wird durc uf sic selst eildet, wird ween der Erltun der Prllelität uf eine zu prllele Gerde durc eildet:. (3) Die Prllelität von und leit der Spieelun n erlten:. (4) Aus (1), (2) und (3) folt:, lso. Sei nun eine zu senkrecte Gerde. stet dnn uc senkrect uf. Jede der eiden Spieelunen und wird nun uf sic selst ilden:. Sei scließlic eine Gerde, die weder prllel noc senkrect zu ist. t jetzt mit und mit die Punkte und emeinsm. Bei der Spieelun n knn nict uf eine zu prllele Gerde eildet werden. t demzufole mit einen Punkt emeinsm.
2 ' Die Gerde t nun wiederum einen Punkt mit dem Bild von ei der Spieelun n emeinsm, woei ds Bild von ei der Spieelun n ist. S' ' ' P Die Dreiecke und sind lso leicscenkli woei die Symmetriecse eider Dreiecke ist. Leict zeit mn, dss eide Dreiecke sor konruent zueinnder sind. Dmit wäre uc leicscenklies Dreieck. Dieses wird ei der Spieelun n uf ein konruentes Dreieck eildet. ein S' ' ' S' '' P Ds entsteende Viereck ist lso eine Rute. Dmit sind und prllel zueinnder. AUFGABE 2: Beweisen Sie den folenden Stz: Stz 2.11: Zu jeder Verscieun existieren Gerdenspieelunen mit.
3 D F D'' F' F'' D' E E' E'' P M j k Mittelsenkrecte von. Senkrecte in uf. leistet ds Verlnte. AUFGABE 3: Im Skript wurde ezeit, dss die Nceinnderusfürun zweier Gerdenspieelunen, deren Spieelcsen sic in enu einem Punkt scneiden, eine Dreun um diesen Scnittpunkt ist. Grundle des Beweises wr insesondere die folende Skizze: Erläutern Sie, o uf der Grundle dieser Skizze der Beweis llemein efürt werden knn. Eränzen Sie f. durc weitere Skizzen und füren Sie den Beweis uf der Grundle Irer Skizzen. AUFGABE 4: Mn eweise: Wir ersetzen durc mit. Ween : Ween : =
4 AUFGABE 5: Mn untersuce die Nceinnderusfürun dreier Gerdenspieelunen, deren Spieelcsen prweise verscieden sind und enu einen Punkt emeinsm en. c Z mit c=' ' Z AUFGABE 6: Beründen Sie, dss es sinnlos ist, den Beriff der Drespieelun zu definieren.
5 Jede Dreun ist die Nceinnderusfürun zweier Gerdenspieelunen deren Spieelcsen enu einen Scnittpunkt en. Wir stellen unsere Dreun ls mit und en enu den Scnittpunkt dr. Jetzt untersucen wir die Nceinnderusfürun. Wenn uf liet folt nc den Üerleunen zur Lösun von Aufe 6, dss eine Gerdenspieelun ist. Untersucen wir lso den Fll, dss nict uf liet. Fll 1: Eine der Gerden oder ist prllel zu. Dieser Fll wird sic in dem folenden Fll wiederfinden. Fll 2: Keine der Gerden oder ist prllel zu. C A c B Ersetzen durc mit C ' C' A c c' B Mit sei der emeinsme Punkt von und ezeicnet.
6 Die vorletzte Umformun ilt ween von Aildunen., der Rest ween der Assozitivität der Nceinnderusfürun Mit möe der Scnittpunkt von mit ezeicnet sein. Wir ersetzen jetzt die Dreun derrt durc, dss ist. A' C C' ' A c' B' ' c'' Jetzt ilt: ist die Nceinnderusfürun einer Spieelun mit einer Verscieun. Ersetzunen von der ereits emcten Art füren scließlic zur Normlform der Scuspieelun. Eine Drespieelun ist lso ein Spieelun oder eine Scuspieelun.
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