Repetitionsaufgaben: Stereometrie

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1 Repetitionsaufgaben: Stereometrie Zusammengestellt von Bruno Wyrsch, Michael Güntensperger (KS Seetal;, Kugel und Kegel) Guido Köpfli und Fabian Glötzner (KS Schüpfheim/Gymnasium Plus; Quader, Prisma, Pyramide, zusammengesetzte Aufgaben) Kathrin Rimer und Fabian Glötzner (KS Beromünster, KS Schüpfheim, Theorie) Inhaltsverzeichnis Lernziele zu, Kugel und Kegel:... Kurztheorie... Aufgaben zu Quader, Prisma und Pyramide...10 Musterlösungen zu den Aufgaben zu Quader, Prisma, Pyramide aufgaben...1 Lösungen aufgaben... 1 Musterlösungen aufgaben... 1 Kegelaufgaben...15 Lösungen Kegelaufgaben Kugelaufgaben...16 Lösungen Kugelaufgaben Musterlösungen Kugelaufgaben Zusammengesetzte Aufgaben zur Stereometrie...18 Musterlösungen zu den zusammengesetzten Aufgaben zur Stereometrie Repetitionsaufgaben Stereometrie 1

2 Lernziele zu geradlinig begrenzten Körpern: Sie bestimmen olumen und Oberfläche von Pyramiden, Prismen und Quadern aus Angaben von Seitenlängen bzw. Radien. Sie lösen Formeln zur Oberflächen-, Mantel- und olumenberechnung nach beliebigen Grössen auf und berechnen diese Grössen. Sie erläutern die Herleitung und den Aufbau der Formeln zur Oberflächen-, Mantelund olumenberechnung. Sie entwickeln Formeln für spezielle Körper (z.b. Tetraeder) durch Herleitung aus bekannten Formeln. Sie skizzieren Körper perspektivisch sinnvoll und korrekt. Sie berechnen Oberfläche und olumen von Körpern, indem Sie sie in mehrere bekannte Teilkörper zerlegen. Sie benennen und beschreiben die fünf Platonischen Körper. Grundwissen Sie wenden die Formeln zur Berechnung der Höhe und der Fläche im gleichseitigen Dreieck an. Sie rechnen Raum- und Hohlmasse ineinander um. Sie wenden das Archimedische Prinzip an. Lernziele zu, Kugel und Kegel: Sie können die Formeln für Oberflächeninhalt und olumen von zylindrischen Körpern anwenden. Sie können die Formeln für Oberflächeninhalt und olumen von kegelartigen Körpern anwenden. Sie können die Formeln für Oberflächeninhalt und olumen von Kugeln anwenden. Sie können den relativen und absoluten Fehler von Messgrössen berechnen. Repetitionsaufgaben Stereometrie

3 Kurztheorie Definitionen olumen: Rauminhalt: Wie viel braucht es um etwas zu füllen Einheit: mm, cm, dm, m, km Oberflächen: Wie viel braucht es, um etwas einzupacken? Einheit: mm, cm, dm, m, km Mantel: Oberfläche ohne Grundflächen (siehe Skizze unten). Für viele Figuren gibt es vorgegebene Formeln, die man verwenden kann (vergleiche Tabelle unten). Grundflächen und die Oberflächen müssen aber oft von Hand berechnet werden, in dem man die Fläche in bekannte Figuren wie Drei- und ierecke einteilt. Weiter werden viele Figuren in gerade und schief unterteilt. Ein gerader Kegel (rechts) ist beispielsweise ein Kegel, bei welchem die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. on einem schiefen Kegel (links) spricht man, wenn die Spitze nicht senkrecht über dem Mittelpunkt liegt. In diesem Fall wird die Höhe als Abstand zwischen der erweiterten Grundfläche und der Spitze gemessen. Repetitionsaufgaben Stereometrie

4 Abkürzungen: a, b, c: Seiten h: Höhe des Körpers r: Radius s: Mantellinie O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche : olumen Form und Definition Prisma Formeln G h Spezialfall: Quader (Schuhschachtel) Ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche. abc O ab + bc + ac ( ab + bc + ac) Spezialfall: Würfel Ein Quader mit gleichlangen Seiten Bei einem Würfel gilt: a O 6a G h r π h a b c Für gerade gilt zudem: O r π + rπ h r π (r + h) Pyramide G h Kegel G h r π h Für gerade Kegel gilt zudem: O πr( r + s) M πrs Repetitionsaufgaben Stereometrie 4

5 Abkürzungen: a, b, c: Seiten h: Höhe des Körpers r: Radius s: Mantellinie O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche : olumen Kugel 4πr O 4πr Eine Figur kann auch aus verschiedenen Formen zusammengesetzt sein Masseinheiten: Für die Umrechnung der Masseinheiten gilt: 1000mm 1cm 1000cm 1dm 1000dm 1m Wenn man Schwierigkeiten mit der Umrechnung von Masseinheiten hat, dann können die Umrechnungstabellen helfen: Tabelle für Längen km 100m 10m m dm cm mm 0, 0 1, 1 1 0, 0 orgehen: 1.) Schreibe die gegebene Einheit rechtsbündig in die Spalte mit der gegebenen Einheit. a.) Möchte man in eine grössere Einheit umrechnen, dann füllt man die linken Spalten mit Nullen auf und setzte zwischen der gesuchten und der nächst kleineren Einheit ein Komma. b.) Möchte man in eine kleinere Einheit umrechnen, dann füllt man die Spalten bis zur gesuchten Einheit mit Nullen auf. Beispiele: Wenn man 1cm hat, schreibt man diesen in die entsprechende Spalte und hat zwischen cm und mm ein Komma, also 1cm 1,0 cm. Nun möchte man diesen cm in mm umrechnen und füllt die mm- Spalte mit einer Null auf. Somit hat man 10 mm. Möchte man 1 cm in m umrechnen, so setzt man zwischen m und dm ein Komma und füllt die m- und dm-spalte mit Nullen auf und bekommt 0,01 m. Tabelle für Flächen km (100m) (10m) m dm cm mm 0, , Möchte man Flächeneinheiten umrechnen, dann besitzt jede Einheit zwei Spalten ( hoch zwei zwei Spalten). Diese Tabelle funktioniert analog zur Tabelle für Längen. Die Einheiten werden rechtsbündig eingetragen. Möchte man 1cm in mm umrechnen, so ergibt das 100mm. Möchte man 1 cm in m umrechnen, so erhält man 0,0001m. 100mm 1cm 0,1dm 0,0001m 0, km Repetitionsaufgaben Stereometrie 5

6 Ein anderes Beispiel: 0,71m 71dm 7100cm mm (0, km ) Tabelle für olumen km (100m) (10m) m dm cm mm 0, , Auch diese Tabelle funktioniert analog zu den anderen Tabellen, nur hat jetzt jede Einheit Spalten ( hoch drei drei Spalten). Somit gilt: 1000mm 1cm 0,001dm 0,000001m 0, km mm 71000cm 71dm 0,071m 0, km Umrechnen in Liter: 1 Liter entspricht 1dm olumen Folgende Begriffe werden in verschiedenen Masseinheiten immer wieder gebraucht: Kilo: Tausend (1 Kilogramm 1000 Gramm) Hekto: Hundert Deka: Zehn Zenti: ein Hundertstel (1 Zentimeter ein hundertstel Meter) Milli: ein Tausendstel Regelmässige Polyeder: Die fünf Platonischen Körper Es gibt genau fünf vollkommen gleichmässige konvexe Körper. Gleichmässig heisst in diesem Zusammenhang, dass alle Seiten gleichlang, alle Aussenwinkel gleich gross und alle Aussenflächen kongruent sind. Diese Körper kann man in Pyramiden unterteilen (besonders deutlich ist dies beim Oktoader, das aus zwei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche besteht). So kann man das olumen dieser Körper berechnen. Repetitionsaufgaben Stereometrie 6

7 Beispielaufgabe 1: Bestimmung der olumenformel eines Oktaeders mit Seitenlänge a: Berechnen Sie den olumeninhalt eines Oktaeders mit Seitenlänge a. Lösung: Bestimmung der Höhe h einer der beiden Pyramiden aus denen das Oktaeder zusammengesetzt ist: d + h a dabei ist d die Diagonale der quadratischen Grundfläche der Pyramide, die auch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden kann: d a + a a, also d a a Setzt man d in die Gleichung oben ein, erhält man: a + h a, vereinfacht: a h a + Diese Gleichung wird nach h aufgelöst: a a a a h a und damit h Nun kann man die Ergebnisse in die olumenformel für die Pyramide a a * 1 a 1 Pyr a a a a 6 Pyr G h einsetzen: * Steht eine Wurzel im Nenner, erweitert man den Bruch mit dieser Wurzel. Das erleichtert das häufig weitere Rechnen mit dem Ergebnis. Da das Oktaeder aus zwei Pyramiden besteht muss das olumen noch verdoppelt werden: Oktaeder a a 6 Das olumen des Oktaeders beträgt a. Repetitionsaufgaben Stereometrie 7

8 Beispielaufgabe : Bei einer regelmässigen, geraden, vierseitigen Betonpyramide beträgt eine Länge der Grundfläche a4dm. Die Pyramide ist h0cm hoch. Daneben befindet sich eine Betonkugel, welche genau gleich schwer wie die Pyramide ist. Wie gross ist die Oberfläche der Kugel? Lösung: Da die Pyramide und die Kugel gleich schwer sind und aus dem gleichen Material bestehen, haben die beiden Körper dasselbe olumen. Man hat von der Kugel keine Angaben, ausser dass das olumen gleich viel beträgt wie bei der Pyramide. Somit muss man das olumen der Pyramide berechnen. Aus der Aufgabenstellung kennt man von der Pyramide Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe. Die beiden Angaben sind in verschiedenen Einheiten. Bevor man mit dem Rechnen beginnt, sollten alle Längen in dieselbe Einheit umgerechnet werden. Hier wird die Einheit Dezimeter gewählt. Somit ist die Höhe der Pyramide h0cmdm. Um nun das olumen der Pyramide berechnen zu können, muss die Grundfläche ermittelt werden. Die Pyramide ist regelmässig, das bedeutet, dass die Grundfläche quadratisch ist: G a 4 16 dm Somit ist das olumen der Pyramide: G h [ dm ] Nun weiss man, dass auch die Kugel ein olumen von 16dm besitzt. Mit dieser Angabe kann der Radius r der Kugel berechnet werden: 4 r π 16 [ dm ] Die Formel muss umgeformt werden: 4πr 16 r.8 r dm 4π Wenn man nun den Radius der Kugel kennt, kann die Oberfläche der Kugel berechnet werden: O π 4r π dm Die Kugel besitzt eine Oberfläche von etwa 0.6dm. Repetitionsaufgaben Stereometrie 8

9 Beispielaufgabe : Ein Würfel mit Seitenlänge 60cm wird aus Holz hergestellt und ist innen hohl. Die Holzbretter sind cm dick. Wie schwer ist der Würfel, wenn das Holz eine Dichte von 0,5 g/cm aufweist? Lösung: Man berechnet zuerst das olumen des Würfels mit Seitenlänge 60cm, wenn er ausgefüllt wäre. olumen Würfel mit der Seitenlänge 60cm beträgt a cm Nun möchte man das Holzvolumen berechnen. Dazu muss man wissen, wie gross der Hohlraum im Würfel ist. Berechnung olumen Hohlraum: Jede Seite wird rechts und links um je cm verkürzt, somit ist der innere Leerraum würfelförmig mit Seitenlängen cm. olumen Hohlraum: [ cm ] Man kann vom ganzen Würfel den Hohlraum subtrahieren und bekommt das mit Holz gefüllte olumen: cm Nun muss das olumen in das Gewicht umgerechnet werden. Aus der Aufgabenstellung haben wir die Angabe, dass das verwendete Holz eine Dichte von 0,5 g/cm aufweist. Das bedeutet, dass 1cm Holz genau 0,5g schwer ist. Nun haben wir 5856cm Holz, daher ist das Gewicht des Würfels: g In der Mathematik und Physik soll das Resultat in einer passenden Einheit angegeben werden. Hier macht es Sinn, das Resultat in Kilogramm umzurechnen (1kg1000g): 968g entspricht somit 9,68kg Somit ist dieser Würfel 9, kg schwer. Repetitionsaufgaben Stereometrie 9

10 Aufgaben zu Quader, Prisma und Pyramide Aufgabe 1 Ein regelmässiges sechseckiges Prisma hat eine Grundkantenlänge a4cm und eine Körperhöhe h9cm. Berechne olumen und Oberfläche dieses Körpers. Aufgabe Eine grosse Wanne ist vollständig mit Wasser gefüllt. Nun wird ein Holzwürfel von 15cm Kantenlänge (Dichte 0,4g/cm ) sorgfältig in diese Wanne gelegt. Wie viele Milliliter Wasser werden dabei überlaufen? Aufgabe a) Ein Tetraeder (Pyramide aus vier gleichseitigen Dreiecken) besitzt eine Kantenlänge a 5cm. Berechne die Oberfläche dieses Tetraeders. b) Zeige durch allgemeine Herleitung wie man auf die olumenformel für das Tetraeder kommt, wenn die Kantenlänge mit a bezeichnet wird. Aufgabe 4 a) Berechne das olumen und die Oberfläche einer regelmässigen quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a7cm und der Körperhöhe h5cm. b) Berechne das olumen und die Oberfläche einer regelmässig quadratischen Pyramide allgemein, wenn die Grundkantenlänge a und die Körperhöhe das ierfache der Grundkante beträgt. Aufgabe 5 Dieser würfelförmige Körper mit 8cm Aussenkantenlänge ist aus Profilstäben mit quadratischem Querschnitt (Seitenlänge 1,cm) hergestellt. Welche Masse besitzt er, wenn das Material eine Dichte von,7g/cm aufweist? Aufgabe 6 Ein Hausdach besteht geometrisch betrachtet aus zwei geraden Prismen, welche sich schneiden. Berechne das olumen des darunterliegenden Dachstuhls und die mit Ziegeln bedeckte Dachfläche. Aufgabe 7 Ein v-förmiger Kanal mit symmetrischem Querschnitt besitzt eine Breite von 4m und eine Tiefe von,5m. Welche Fläche von Betonplatten sind zur Auskleidung dieses Kanals pro 10m Länge notwendig? Aufgabe 8 Löse die Oberflächenformel Seite a auf. eines Quaders mit den Kanten a, b und c nach der Aufgabe 9 Zwei Würfel aus Knetmasse haben die Kantenlängen a5cm beziehungsweise b9cm. Jetzt wird daraus ein einziger Würfel geformt. Welche Kantenlänge besitzt dieser? Repetitionsaufgaben Stereometrie 10

11 Musterlösungen zu den Aufgaben zu Quader, Prisma, Pyramide Aufgabe 1 1 G h ,1 cm 4 O G 6 ah ,14 cm 4 Aufgabe M 15 0,4 150 g 150 cm 150ml 1,5l Aufgabe 1 a) O ,0 cm 4 x a a 1 1 b) h a a a 6a Gh a a a a a Aufgabe a) Gh , cm + h 5,5 67,5 5,4 cm 1 + O G 4 a h 40,41 cm b) Gh a 4a a O G + 4 a h a + a (4a) + ( ) a + a 16,5a 1 a ( ) a ,5 a a + 65 a a a + a 16,5 a Aufgabe 5 8 (8 1,) 6 (8 1,) 1, 8 5,6 6 5,6 1, 110,6 cm Aufgabe , , ,5 ( 1 ) 6 8, m A 4,5 + ( ) + 4,5 + ( ) Aufgabe 7 6, ,5 + 4 A ( ) +, , ,0 m Aufgabe 8 A (ab + ac + bc) ; A ab + ac + bc ; A bc a(b + c) A bc a (b + c) Aufgabe 9 c a + b ,49 cm 68,77 m Repetitionsaufgaben Stereometrie 11

12 aufgaben 1) Berechne den Inhalt des Mantel und der Oberfläche und das olumen eines geraden Kreiszylinders, wenn gegeben sind (Runde auf zwei Nachkommastelle): a) r 7 cm, h 1 cm b) m, h 8 m ) Auf einem Messzylinder sollen Markierungsstriche für 1cl angeben werden. Wie weit müssen diese Striche auseinander sein, wenn der innere Durchmesser des s 0mm beträgt. (Runde auf eine Nachkommastelle) ) Eine Datenleitung besteht aus Glasfaserkabeln von je 0.4dm Durchmesser. Wie viel Tonnen wiegen 10km Leitung, wenn die Dichte eines Glasfaserkabels.58g/cm beträgt. 4) Wie dick muss ein Kupferdraht von der Dichte 8.9 g/cm sein, damit ein Stück von 1cm Länge 5g wiegt. 5) Der Grimselstausee fasst rund 100 Millionen m Wasser. In wie vielen Tagen entleert ihn der zylindrische Ableitungsstollen in den Gelmersee, wenn dieser Stollen im Durchmesser.6m misst? Das Wasser fliesst mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von m/s ab. 6) Absoluter und relativer Fehler bei Messgrössen Sie wollen das olumen eines geraden Kreiszylinders (z.b. eine Ovomaltinebüchse) berechnen. Bei ihrer Messung können Sie die beiden Grössen auf 0.cm genau messen. Sie erhalten für den Radius r.4 ± 0.cm und für die Höhe h 5.0 ± 0.cm. a) Berechne den absoluten Fehler (die absolute Messunsicherheit) für das olumen des Körpers auf zwei geltende Ziffern genau (geltende Ziffern heisst: z.b. 9.8cm94cm) b) Wie viel beträgt der relative Fehler für den Radius r, für die Höhe h und für das olumen? c) Wie lauten die Rechenregeln für das Multiplizieren/Dividieren von mehreren Messgrössen, die mit Messunsicherheiten behaftet sind? Lösungen aufgaben 1) a) M cm, O cm, cm b) r 1.5m, M cm, O cm ) Die Messstriche sind 14.1 mm auseinander. ) Das Kabel wiegt t. 4) Das Stück müsste 0.85 cm dick sein. 5) Die Entleerung würde 7 Tage (7.66 Tage) dauern. 6) a) Der absolute Fehler F beträgt 18.5cm. b) Die relativen Fehler f betragen f Radius 8.%, f Höhe 4%, f olumen 0.56% c) Die relativen Fehler der einzelnen Messgrössen werden addiert! Repetitionsaufgaben Stereometrie 1

13 Musterlösungen aufgaben 1a) M r π h M 7 π 1 M 168π M cm O M + A Grundfläche O r π h + r π O O O O cm 168π + 7 π 168π + 98π 66π A h Grundfläche r π h 7 π 1 588π cm 1b) Grundfläche A h AGrundfläche h AGrundfläche 8 A cm A Grundfläche Grundfläche 707. cm M r π h M 1.50 π 8 M 4π M cm A Grundfläche r π r A Grundfläche r AGrundfläche π r 7.07 π r 1.50 cm O M + A π Grundfläche O 4π O cm ) Die Messstriche sind 14.1 mm auseinander. ) Leitung Grundfläche A h r π h Leitung 04. π 100' 000 Leitung Leitung Leitung Leitung Alle Leitungen 16' 000π dm 150' dm 150' 796' cm Masse Dichte olumen m m ' 796' m m ρ g t Die Kabel wiegen Tonnen. 4) Das Stück müsste 0.85 cm dick sein. 5) Die Entleerung würde 7 Tage (7.66 Tage) dauern. Repetitionsaufgaben Stereometrie 1

14 6a) Im ungünstigsten Fall ergibt sich das minimale / maximale olumen wie folgt: r π h. π 4.8 cm 7.99 cm 7 cm min r π h.6 π 5. cm cm 110 cm max.4 π 5 cm cm 90 cm mittel der Wert für das olumen kann zwischen 7cm und 110 liegen (Differenz 7 cm das olumen des s beträgt somit 90 cm ± 18.5 cm. Die absolute Messunsicherheit von 18.5 cm hat also einen Anteil von 0.56% an den 90 cm. ). 6b) der relative Fehler f für den Radius r, die Höhe h und das olumen ergibt sich: F 0. f Radius r 8.% r.4 F 0. f Höhe h 4% h 5 F 18.5 f olumen 0.56% 90 Um den relativen Fehler für die olumenberechnung zu berechnen geht man wie folgt vor: f 8.% ( rel. Fehler von r im Quadrat!) + 4% ( rel. Fehler von h) 0.66% olumen Der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen 0.56% und 0.66% ergibt sich durch Rundungsdifferenzen bei der Berechnung des aboluten Fehlers. 6c) Um das olumen des s zu berechnen, müssen die Messgrössen Radius r und Höhe h multipliziert werden. Um die Messunsicherheit des olumens bestimmen zu können, braucht man folgende Rechenregeln: Bei der Multiplikation und Division von mehreren Messgrössen werden die relativen Fehler der einzelnen Messgrössen addiert! f olumen f Radius r + fradius r + f Höhe h Repetitionsaufgaben Stereometrie 14

15 Kegelaufgaben 1) Berechne den Inhalt der Oberfläche und das olumen der folgenden Kreiskegel: a) r5 cm, h16cm b) r6cm, s10cm ) Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a15cm und b8cm rotiert um die Kathete a. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das olumen des entstandenen Kegels! ) Eine Sanduhr in Gestalt eines Doppelkegels ist soeben umgedreht worden. Aller Sand befindet sich wieder im oberen Teil und hat dort selbst die Gestalt eines geraden Kreiskegels mit Grundkreisradius r4.cm und Höhe h10cm. Der Sand rinnt nun gleichmässig nach unten, und nach einiger Zeit hat die Höhe des oben befindlichen Sandkegels um cm abgenommen. a) Wie viele cm Sand sind in der Sanduhr? b) Wie viele cm Sand sind bereits hinuntergerieselt? c) Wie viele Minuten sind verstrichen, während denen die Höhe des Sandkegels um jene cm zurückging, wenn die ganze Sandmenge in einer Stunde nach unten rinnt? 4) Ein gerader Kreiskegel hat einen Radius r10cm. Der aufgerollte Mantel bildet einen Kreissektor mit einem Zentriwinkel von 15. a) Berechne den Inhalt des Mantels und die Oberfläche des Kegels! b) Drücke den Inhalt des Mantels mit Hilfe von r aus! Lösungen Kegelaufgaben 1) a) s16.76cm, M π r s 6.1cm, O π r s + r π 41.85cm, 48.88cm b) h8cm, M cm, O 01.59cm, 01.59cm ) r8cm, h15cm, s17cm, M 47.6 cm, O 68.cm, cm. ) a) 184.7cm, b) d cm -6.6 cm 11.7 cm ; mit r.94cm (Strahlensatz) c) Annahme: gleichmässiger Durchgang des Sandes pro Minute: d/min184.7 cm / 60min.08 cm /min Zeitdauer t d / (d/min) cm /.08 cm /min 9.4min 4) a) Schneidet man den Kegel entlang seiner Mantellinie s auf und rollt ihn auf eine Ebene ab, so entsteht der Kreissektor mit Radius s und Zentriwinkel 15. Die Bogenlänge b des Kreissektors ist b π r. Würde der Kreissektor zu einem ganzen Kreis ergänzt, hätte der Kreisumfang den Betrag U π s. b π r r s r cm U π s s 60 8 M π r s cm, O r π + M cm cm cm, b) 8 r 8 π r M π r Repetitionsaufgaben Stereometrie 15

16 Kugelaufgaben 1) Berechne olumen und Oberflächeninhalt einer Kugel mit Umfang u 60 mm. ) Berechne Umfang und Oberflächeninhalt einer Kugel mit olumen 1 m. ) Das Planetarium in erkehrshaus Luzern hat eine halbkugelförmige Kuppel, deren Grundfläche 50 m misst. Die Kuppel muss neu mit einer Speziallackierung gestrichen werden. Wie viel m müssen gestrichen werden? 4) Wie viel Gramm wiegt eine Hohlkugel aus Gold (Dichte 19.9 g/cm ) mit einem Aussendurchmesser von mm und einem Innendurchmesser von 0mm. 5) Eine Hohlkugel aus Zinn mit mm Wandstärke und 180mm Aussendurchmesser soll zu einer Kugel umgegossen werden. Berechne den Durchmesser der Kugel. 6) Statt eines grossen Gasballons mit einem Fassungsvermögen von 600m sollen aus der gleichen Menge Ballonseide sechs kleinere Ballone hergestellt werden. Wie viel Gas braucht es, um alle kleinen Ballone zu füllen. 7) Fünf sehr zerbrechliche Glaskugeln mit Durchmesser d 48mm sollen in einer zylinderförmigen Kartonröhre transportiert werden. Diese Röhre ist mit Schaumstoff ausgekleidet. Der Abstand von der Kugel zur Röhre beträgt 5mm; der Abstand zwischen zwei Kugeln ist doppelt so gross. Berechne die Kartonmenge und die Schaumstoffmenge. 8) Ein Sportartikelhersteller möchte in China eine 5kg schwere Hantel aus Grauguss (Dichte 7. kg/dm ) herstellen lassen. Die Gewichte sollen die Form einer Kugel haben. Wie dick wird das erbindungsstück? Lösungen Kugelaufgaben 1) O mm, mm ) u.9 m, O 4.8 m ) O 500 m 4) Die Masse beträgt g. 5) d mm 6) m (r 5. m eines kleinen Ballons) 7) Kartonmenge mm ; Schaumstoffmenge mm 8) d 4.48 cm Repetitionsaufgaben Stereometrie 16

17 Musterlösungen Kugelaufgaben 1) u r π ) r u ( π ) r 60 π ( ) r 9.55 mm 4 r π Kugel Kugel 4 r π O 4 r π Kugel O π Kugel O mm Kugel u r π u 0.6 π r.90 m 4 r π Kugel π Kugel mm Kugel r r r ) O 500 m 4) Kugel 4 π ( ) Kugel ( 4 π ) 1 ( 4 π ) r 0.6 m O 4 r π Kugel O π Kugel O 484. m Kugel Hohlkugel Aussenkugel Innenkugel ( r ) ( r ) 4 Aussenradius 4 Innenradius Hohlkugel Hohlkugel Hohlkugel π π ( ) ( ) 4 16 π 4 10 π Hohlkugel mm 1. 97cm Masse Dichte olumen m m m ρ g Die Hohlkugel aus Gold wiegt genau Gramm. 5) d mm 6) Ballon m (r 5. m eines kleinen Ballons) 7) Kartonmenge mm ; Schaumstoffmenge mm 8) d 4.48 cm Repetitionsaufgaben Stereometrie 17

18 Zusammengesetzte Aufgaben zur Stereometrie Aufgabe 1 Ein Prisma hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Seiten Länge a 4 cm. Die Höhe des Prismas ist doppelt so groß wie die Grundseitenlänge a. a) Berechne das olumen des Prismas. b) An den beiden Dreiecksflächen werden Kegelhälften (wie aus der Skizze ersichtlich) angesetzt. Dadurch entsteht ein neuer Körper. Berechne das olumen und den Oberflächeninhalt des neuen Körpers. c) Um wie viel Prozent sind das olumen und die Größe der Oberfläche des neuen Körpers größer als Aufgabe Aus einem pyramidenförmigen Holzstück, dessen Grundfläche ein Quadrat mit 10cm Seitenlänge ist und dessen Höhe 15 cm beträgt, soll ein möglichst grosser Kegel geschliffen werden. Welches olumen wird dabei (mindestens) vom Holzstück abgeschliffen? Welchem Anteil am olumen des ursprünglichen Holzstückes entspricht das? Repetitionsaufgaben Stereometrie 18

19 Musterlösungen zu den zusammengesetzten Aufgaben zur Stereometrie Aufgabe 1 a) b) Gh a h h a a a a 4 55,4 cm 1 1 Grundfläche Prisma + π + r h π + π + π Prisma Grundfläche 55,46 + 7,55 6,68 cm c) 6,68 1 0,11 1,1% 55,4 Aufgabe 1 1 P ah cm 1 1 K π r h π π 9,7 cm Abschliff P K 500 9,7 107, cm 1 1 Abschliff π P ( ) 15 ( 10 ) π π 100 1,5 0,15 1,5% 100 Repetitionsaufgaben Stereometrie 19

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