Kapitel 6. Fachwerke

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1 Kpitel 6 chwerke 6

2 6 chwerke 6. Sttische Bestimmtheit Aufbu eines chwerks Ermittlung der Stbkräfte Knotenpunktverfhren Cremon-Pln Rittersches Schnittverfhren Zusmmenfssung Lernziele: Wir betrchten in diesem Kpitel Trgwerke, die nur us Stäben bestehen. Solche Trgwerke bezeichnet mn ls chwerke. Die Studierenden sollen erkennen können, wnn ein chwerk sttisch und kinemtisch bestimmt ist. Sie werden mit Verfhren zur systemtischen Ermittlung der Stbkräfte vertrut gemcht, und sie sollen diese Verfhren schgerecht nwenden können. D. Gross et l., Technische Mechnik, DO 0.007/ _6, Springer-Verlg Berlin Heidelberg 0

3 6. Sttische Bestimmtheit Sttische Bestimmtheit Ein Trgwerk, ds nur us (gerden) Stäben besteht, die in sogennnten Knoten miteinnder verbunden sind, heißt Stbwerk oder chwerk. Um die in den Stäben uftretenden Kräfte berechnen zu können, mchen wir folgende idelisierende Annhmen:. die Stäbe sind n den Knoten zentrisch und gelenkig miteinnder verbunden (die Knoten sind reibungsfreie Gelenke),. die äußeren Kräfte greifen nur in den Knoten n. Durch diese Vorussetzungen für ds idele chwerk ist gewährleistet, dss lle Stäbe nur uf Zug oder Druck bensprucht werden. n relen Konstruktionen sind diese delisierungen nur ngenähert erfüllt. So sind zum Beispiel die Stbenden miteinnder oder mit Knotenblechen verschweißt. Ddurch treten n den Knoten örtlich begrenzte Störeffekte uf, die llerdings keinen Einfluss uf ds globle Trgverhlten hben. Zum nderen greifen im wirklichen chwerk uch längs der Stäbe verteilte Lsten (z.b. ds Eigengewicht der Stäbe) n. Diese Kräfte werden im idelisierten chwerk entweder vernchlässigt oder ihre Resultierenden werden näherungsweise durch sttisch gleichwertige Kräftegruppen n den benchbrten Knoten ersetzt. 6. V V 9 V 0 V Abb. 6. Wir beschäftigen uns in diesem Kpitel im wesentlichen mit ebenen chwerken; räumliche chwerke behndeln wir nur m Rnde. Als Beispiel betrchten wir in Abb. 6. ein chwerk us Stäben, die in 7 Knoten miteinnder verbunden sind (Knoten, n denen Lgerkräfte ngreifen, werden mitgezählt). Es ist üblich,

4 50 6 chwerke die Stäbe mit rbischen Zhlen und die Knoten mit römischen Zhlen zu numerieren. Zur Ermittlung der Stbkräfte schneiden wir lle Knoten frei. ür die zentrle Kräftegruppe n jedem Knoten stehen zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen zur Verfügung (vgl. Abschnitt.). Dmit erhlten wir im Beispiel insgesmt 7 = 4 Gleichungen zur Bestimmung der 4 Unbeknnten ( Stbkräfte und Lgerkräfte). Ein chwerk heißt sttisch bestimmt, wenn die Lger- und die Stbkräfte llein us den Gleichgewichtsbedingungen (d.h. us der Sttik) bestimmbr sind. Allgemein erhält mn bei einem ebenen chwerk mit k Knoten, s Stäben und r Lgerrektionen k Gleichungen für die s + r Unbeknnten. Dmit die Stb- und die Lgerkräfte ermittelt werden können, muss dher die notwendige Bedingung k = s + r (6.) erfüllt sein. Bei einem räumlichen chwerk stehen n jedem Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen, d.h. insgesmt k Gleichungen zur Verfügung. Die notwendige Bedingung für sttische Bestimmtheit lutet dnn k = s + r. (6.) Bei dem chwerk nch Abb. 6. ist mit k =7,s = 0 und r = (zwei estlger) wegen 7 = die notwendige Bedingung (6.) erfüllt. D es ußerdem unbeweglich ist, ist es sttisch bestimmt. Ein chwerk heißt kinemtisch bestimmt, wenn die Lge ller Knotenpunkte festliegt. Bewegliche chwerke sind kinemtisch unbestimmt und müssen usgeschlossen werden. Die Abb. 6.b und c zeigen solche Ausnhmefchwerke. Auch hier ist jeweils mit k = 6, s = 9 und r = die notwendige Bedingung (6.)

5 Abb V V 8 9 V 0 V 6. Aufbu eines chwerks 5 5 V ϕ 4 8 V V b c 4 5 V dϕ 8 für sttische Bestimmtheit erfüllt. Dennoch lssen sich die Stbkräfte nicht us den Gleichgewichtsbedingungen berechnen: Gleichung (6.) ist nicht hinreichend für sttische Bestimmtheit. Die Stäbe 7 und 8 des chwerks nch Abb. 6.b lssen sich um einen endlichen Winkel ϕ drehen (Gelenkviereck, Beweglichkeit im Großen), während sich die Stäbe 5 und 8 des chwerks in Abb. 6.c um einen infinitesimlen Winkel dϕ drehen können (Beweglichkeit im Kleinen). 7 6 V 9 V 6. Aufbu eines chwerks m folgenden werden drei Möglichkeiten zum Aufbu von sttisch und kinemtisch bestimmten ebenen chwerken gegeben.. Bildungsgesetz: An einem Einzelstb werden zwei weitere Stäbe so ngefügt, dss ein Dreieck entsteht. Dnn schließt mn n zwei beliebigen Knoten des Dreiecks je einen weiteren Stb n und verbindet diese Stäbe zu einem neuen Knoten. Dieses Verfhren ist in Abb. 6. illustriert und lässt sich beliebig fortsetzen. Ein in dieser orm ufgebutes chwerk heißt einfches chwerk. Die Lge der Knotenpunkte liegt eindeutig fest. Dbei muss llerdings vermieden werden, zwei Stäbe so nzuschließen, dss sie 6.

6 5 6 chwerke uf einer Gerden liegen (gestrichelte Stäbe in Abb. 6.: Ausnhmefchwerk). k = s= k = s= k =4 s=5 k =5 s=7 ür die chwerke in Abb. 6. gilt die Beziehung k = s +. k =6 s=9 Abb. 6. (6.) Bei jedem weiteren Schritt erhöht sich die Anzhl der Stäbe um zwei und die Anzhl der Knoten um eins, so dss (6.) gültig bleibt. Bei einem sttisch bestimmt gelgerten einfchen chwerk treten r = Lgerrektionen uf. Durch Vergleich mit (6.) erkennt mn, dss in diesem ll die Bedingung (6.) erfüllt ist.. Bildungsgesetz: Zwei nch dem ersten Bildungsgesetz konstruierte chwerke werden durch drei Stäbe verbunden (Abb. 6.4), die nicht lle prllel und nicht zentrl sein dürfen. An die Stelle von zwei Stäben knn uch ein beiden Teilfchwerken gemeinsmer Knoten treten. So sind in Abb. 6.4b die beiden Stäbe und us Abb. 6.4 durch den Knoten ersetzt worden. b c Abb. 6.4 Verbinden wir zwei einfche chwerke nur in einem einzigen Knoten, so erhlten wir ein bewegliches Trgwerk. Die kinemtische und die sttische Bestimmtheit müssen dnn durch eine zusätzliche Lgerung erzeugt werden. n Abb. 6.4c sind die beiden einfchen Teilfchwerke nur im Knoten zusmmengeschlossen,

7 6. Ermittlung der Stbkräfte 5 d.h. der Stb in Abb. 6.4b ist entfernt worden. Dmit ds so entstndene chwerk nicht beweglich ist, wird ds einwertige Lger us Abb. 6.4b jetzt durch ein zweiwertiges Lger ersetzt. Ds chwerk ist dnn ein Dreigelenkbogen. Wie mn durch Abzählen leicht nchprüfen knn, ist in llen ällen nch Abb. 6.4 die Bedingung (6.) für sttische Bestimmtheit erfüllt.. Bildungsgesetz: Entfernen wir einen Stb us einem chwerk, ds nch dem ersten oder dem zweiten Bildungsgesetz ufgebut ist, so wird es beweglich. Wir müssen dher einen neuen Stb n einer nderen Stelle des chwerks so einfügen, dss es wieder strr wird. D sich dnn weder die Anzhl der Stäbe noch die Anzhl der Knoten ändert, ist die Bedingung (6.) uch für ds neue chwerk erfüllt. Abb. 6.5 b Ein Beispiel ist in Abb. 6.5 drgestellt. Entfernen wir us dem einfchen chwerk in Abb. 6.5 den Stb, so wird ds chwerk beweglich. Durch Einfügen des neuen Stbes erhlten wir dnn ds sttisch und kinemtisch bestimmte nichteinfche chwerk nch Abb. 6.5b. 6. Ermittlung der Stbkräfte Knotenpunktverfhren Ein Verfhren zur Bestimmung der Stbkräfte besteht drin, sämtliche Knoten freizuschneiden und n jedem Knoten die Gleichgewichtsbedingungen ufzustellen. Diese Methode heißt Knoten-

8 54 6 chwerke punktverfhren. Es ist ein systemtisches Verfhren, ds bei sttisch und kinemtisch bestimmten chwerken immer zum Ziel führt. Bei der prktischen Durchführung ist es zweckmäßig, zuerst nch Stäben mit der Stbkrft Null zu suchen. Wir nennen solche Stäbe Nullstäbe. Wenn Nullstäbe vor Beginn der Rechnung erknnt werden, reduziert sich die Anzhl der Unbeknnten. S S S b c S S S =0,S =0 S =,S =0 S =S,S =0 S S Abb. 6.6 Die folgenden Regeln helfen beim Auffinden der Nullstäbe:. Sind n einem unbelsteten Knoten zwei Stäbe ngeschlossen, die nicht in gleicher Richtung liegen ( unbelsteter Zweischlg ), so sind beide Stäbe Nullstäbe (Abb. 6.6).. Sind n einem belsteten Knoten zwei Stäbe ngeschlossen und greift die äußere Krft in Richtung des einen Stbes n, so ist der ndere Stb ein Nullstb (Abb. 6.6b).. Sind n einem unbelsteten Knoten drei Stäbe ngeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stb ein Nullstb (Abb. 6.6c). Diese drei Regeln folgen us den Gleichgewichtsbedingungen n den Knoten. S S S S Schnitt Schnitt b Abb. 6.7 ühren wir nch Abb. 6.7 n den Knoten und Schnitte durch einen Stb, so müssen wir n den freigeschnittenen Stbenden jeweils die Stbkrft S nbringen (Abb. 6.7b). Wegen ctio = rectio wirkt die Krft S uch uf die Knoten und. Ent-

9 6. Ermittlung der Stbkräfte 55 sprechend der Vereinbrung, dss Zugkräfte positiv sind, wirken positive Stbkräfte von den Knoten weg (d.h. sie ziehen n den Knoten); negtive Stbkräfte zeigen Druck n und wirken uf die Knoten zu. Es ist nicht immer möglich nschulich festzustellen, ob ein Stb ein Zug- oder ein Druckstb ist. Aus diesem Grund werden wir zunächst immer nnehmen, dss lle Stäbe eines chwerkes unter Zug stehen. Ergibt dnn die Berechnung eine negtive Krft für einen Stb, dnn steht dieser in Wirklichkeit unter Druck. Die s + r unbeknnten Stb- und Lgerkräfte lssen sich beim ebenen chwerk us den k Gleichgewichtsbedingungen für die k Knoten bestimmen. Zusätzlich knn mn noch die drei Gleichgewichtsbedingungen für ds Gesmtsystem verwenden. D diese ber nicht unbhängig von den Gleichgewichtsbedingungen für die Knoten sind, stellen sie nur eine Probe für die Richtigkeit der Anlyse dr. Bei der prktischen Lösung von Aufgben knn es zweckmäßig sein, zunächst die Lgerrektionen us dem Gleichgewicht für ds Gesmtsystem zu bestimmen. n diesem ll liefern drei ndere Gleichgewichtsbedingungen für die Knoten eine Probe für die Anlyse. Angemerkt sei, dss ds Knotenpunktverfhren sowohl bei ebenen ls uch bei räumlichen chwerken nwendbr ist. Bei Rumfchwerken ht mn dnn n jedem Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen ufzustellen. Beispiel 6. Ds chwerk nch Abb. 6.8 wird durch die Krft belstet. Gesucht sind die Lger- und die Stbkräfte. Lösung Ds chwerk ist nch dem ersten Bildungsgesetz ufgebut. D drei Lgerkräfte uftreten, ist ds chwerk nch Abschnitt 6. sttisch und kinemtisch bestimmt. m reikörperbild (Abb. 6.8b) numerieren wir Stäbe und Knoten. Nullstäbe kennzeichnen wir durch Nullen: Stb 4 (nch Regel ), die Stäbe 5 und 9 (nch Regel ) und die Stäbe 0 und (nch Regel ). Um die Anzhl der Unbeknnten zu reduzieren, ist es zweckmäßig, die Lgerkräfte vorb zu berechnen. Aus dem Kräfte- und B6.

10 56 6 chwerke A B l l l l 6 V 0 0 V α B H 0 4 V 8 V V b A B V S S S 6 S 6 V α α α S S S 7 S S c A S S 7 α α V S 8 S 8 V S S α S V B V B H Abb. 6.8 dem Momentengleichgewicht m Gesmtsystem folgen : B H =0, A : 4 l +6lBV =0 B V =, B : 6 la+l =0 A =. Abbildung 6.8c zeigt die freigeschnittenen Knoten, wobei lle Stbkräfte ls Zugkräfte ngenommen werden. Die bereits erknnten Nullstäbe werden weggelssen. Aus diesem Grund brucht Knoten V nicht mehr betrchtet zu werden. Kräftegleichgewicht n den Knoten liefert:

11 6. Ermittlung der Stbkräfte 57 ) : S + S cos α =0, : S + S sin α =0, ) : S + A =0, ) : S 6 S =0, V ) : S 8 + S 7 cos α S cos α =0, : S 7 sin α + S sin α =0, V) : S cos α S 6 S 7 cos α =0, : S 7 sin α + S sin α + =0, V ) : S S 8 =0, V ) : B H S cos α S =0, : B V + S sin α =0. Dies sind elf Gleichungen zur Berechnung der cht noch unbeknnten Stbkräfte und der drei Lgerkräfte. D die Lgerkräfte ber bereits durch Gleichgewichtsüberlegungen m Gesmtsystem bestimmt wurden, vereinfcht sich die Auflösung des Gleichungssystems, und drei Gleichungen können ls Probe verwendet werden. Mn erhält mit sin α = l/ 5 l =/ 5, cos α =l/ 5 l = / 5: S =, S = S 6 = 5, S =, S 7 = 5, S 8 = S = 4, S = 5. Es ist zweckmäßig, die Stbkräfte einschließlich der Vorzeichen in einer Stbkrfttbelle zusmmenzustellen, wobei wir uf den gemeinsmen ktor beziehen. Die Minuszeichen bei den Stbkräften S, S, S 6, S 7 und S zeigen n, dss diese Stäbe Druckstäbe sind.

12 58 6 chwerke Stbkrfttbelle i S i Dieses Beispiel - und viele weitere Beispiele zur Ermittlung von Stbkräften in ebenen chwerken-können Sie uch mit dem TM- Tool chwerksnlyse berbeiten (siehe Screenshot). Es steht hnen zusmmen mit einer Reihe weiterer TM-Tools unter der uf dem Umschlg ngegebenen Adresse frei zur Verfügung. B6. Beispiel 6. Ds Rumfchwerk nch Abb. 6.9 wird in den Knoten V und V jeweils durch eine Krft belstet. Es sind die Kräfte in den Stäben bis 6 zu berechnen. Lösung Wir schneiden die Knoten V und V frei und bringen die Stbkräfte S...S 6 ls Zugkräfte n. Die Gleichgewichtsbedingungen für diese Knoten luten dnn zunächst in Vektorform V: S e y + S e V/V S 4 e x + e z = 0, V : S e y + S e V /V S 5 e x + S 6 e V / + e z = 0.

13 6. Ermittlung der Stbkräfte V V V y z x Abb. 6.9 Dbei lssen sich die zunächst noch unbeknnten Einheitsvektoren us den Verbindungsvektoren zwischen den Knoten ermitteln. So erhält mn zum Beispiel für e V/V e V/V = + + =. Entsprechend gilt für die weiteren Einheitsvektoren e V /V =, e V / =, 5 0 e x = 0, e y = 0 0 0, e z = 0 0. Dmit luten die Gleichgewichtsbedingungen in Komponenten V: S S 4 =0, V : S S 5 S 6 5 =0, S + S =0, S S S 6 5 =0, S + =0, S + =0.

14 60 6 chwerke Auflösen liefert der Reihe nch S =, S =, S 4 =, S =, S 6 =0, S 5 =. 6.. Cremon-Pln Die Ermittlung der Stbkräfte knn uch zeichnerisch erfolgen. Dbei gehen wir dvon us, dss in einem ersten Schritt die Lgerkräfte bereits bestimmt wurden. Wir wollen ds Vorgehen n Hnd des chwerks in Abb. 6.0 erläutern. Aus den Gleichgewichtsbedingungen für ds Gesmtsystem (Abb. 6.0b) finden wir zunächst A H =, AV =, B=. Nch dem Numerieren der Stäbe und der Knoten denken wir uns zur Ermittlung der Stbkräfte wieder lle Knoten freigeschnitten. Bei der zeichnerischen Lösung verlngt ds Kräftegleichgewicht n den Knoten jeweils ein geschlossenes Krfteck (vgl. Abschnitt.). Wir beginnen m Knoten. Um ds Krfteck für diesen Knoten zu konstruieren, zeichnen wir zuerst die bereits berechneten Krftkomponenten A H und A V mßstäblich nch ihrer Größe und in ihrem wirklichen Richtungssinn (Abb. 6.0c). Durch die Stbkräfte S und S, deren Richtungen beknnt sind, wird ds Krfteck geschlossen. Dmit liegen die Richtungssinne von S und S m Knoten fest. Wir kennzeichnen sie in Abb. 6.0b durch Pfeile. Jeweils gleichgroße Gegenkräfte wirken wegen ctio = rectio n den gegenüberliegenden Knoten und V. Sie werden durch Gegenpfeile mrkiert. Entsprechend finden wir bei nun beknntem S durch ds geschlossene Krfteck m Knoten die Stbkräfte S und S 4. Gleichgewicht m Knoten liefert schließlich die Krft S 5. Wir trgen die Krftrichtungen von S bis S 5 n den Knoten ebenflls in ds chwerk ein. Ds Krfteck m Knoten V dient bschließend ls Kontrolle.

15 6. Ermittlung der Stbkräfte 6 A B 45 A H A b V 4 V B 5 Umlufsinn A V A H S Abb. 6.0 S S 4 S Kräftemßstb c S S 5 B S 5 S 4 V S S d 5 A H B 4 n Abb. 6.0c tucht jede Stbkrft in zwei Krftecken uf. Mn knn ds Vorgehen systemtisieren, indem mn lle Krftpläne so neinnder fügt, dss jede Stbkrft nur noch einml gezeichnet werden muss. Der so entstehende Kräftepln wird nch Luigi Cremon (80 90) bennnt. olgende Schritte sind bei der Konstruktion eines Cremon- Plns durchzuführen:. Zeichnen des reikörperbildes und Berechnung der Lgerkräfte.. Numerieren der Stäbe.. Ermittlung etw vorhndener Nullstäbe. Kennzeichnen dieser Stäbe durch eine Null im reikörperbild. 4. estlegung eines Kräftemßstbs und eines Umlufsinns. 5. Zeichnen des geschlossenen Krftecks us den eingeprägten Kräften und den Lgerrektionen. Dbei Kräfte in der Reihenfolge neinnderfügen, wie sie beim Umluf um ds chwerk im gewählten Umlufsinn uftreten. 6. Beginnend n einem Knoten mit höchstens zwei unbeknnten Stbkräften für jeden Knoten ds geschlossene Kräftepolygon A V

16 6 6 chwerke zeichnen. Kräfte dbei ebenflls in der Reihenfolge ntrgen, die durch den Umlufsinn gegeben ist. 7. D jede Stbkrft zweiml (mit entgegengesetzter Orientierung) uftritt, keine Pfeile in ds Kräftepolygon einzeichnen (die Stbkrft im Polygon nur durch die entsprechende Stbnummer kennzeichnen). Einzeichnen der Pfeile und der Gegenpfeile n den Knoten. 8. Letzte Krftecke ls Kontrolle verwenden. 9. Angbe ller Stbkräfte mit Vorzeichen in einer Tbelle. Um den Cremon-Pln für ds chwerk in Abb. 6.0 zu konstruieren, wählen wir den Umlufsinn entgegen dem Uhrzeiger. Anschließend zeichnen wir nch Punkt 5 ds geschlossene Krfteck der äußeren Kräfte in der Reihenfolge A H, A V, B, (Abb. 6.0d). Die Ermittlung der Stbkräfte beginnen wir m Knoten. Ds Krfteck wird so konstruiert, dss es sich in der Reihenfolge A H, A V, S und S (Umlufsinn!) schließt. Die Krftrichtungen werden ins reikörperbild eingetrgen. Anschließend gehen wir zum Knoten weiter. Von den dort ngreifenden Kräften S, S und S 4 tritt S bereits im Cremon- Pln uf. Die Richtung von S folgt us dem Pfeil m Knoten. Ds Krfteck wird nun mit S und S 4 geschlossen, und die Krftrichtungen werden wieder in ds chwerk eingetrgen. Am Knoten sind schließlich und S 4 bereits im Cremon-Pln enthlten, so dss ds Krfteck nur mit S 5 geschlossen werden muss (Kontrolle: die Richtung von S 5 muss mit der Richtung von Stb 5 übereinstimmen). Ds Krfteck für den Knoten V dient ls weitere Kontrolle. Aus dem Cremon-Pln können wir die Beträge der Stbkräfte im Rhmen der Zeichengenuigkeit blesen; die Vorzeichen folgen us den Pfeilrichtungen im reikörperbild: i 4 5 S i / 0,7,, 0,6, 6

17 6. Ermittlung der Stbkräfte 6 Abb. 6. zulässig b unzulässig Der Cremon-Pln lässt sich in der geschilderten orm nur für einfche chwerke zeichnen, wobei äußere Kräfte nur n Außenknoten ngreifen dürfen. Die Kräfte sind dbei stets ußerhlb des chwerks zu zeichnen (Abb. 6.) und nicht innerhlb (Abb. 6.b). Beispiel 6. Ds chwerk nch Abb. 6. wird durch die beiden Kräfte = und = belstet. Gesucht sind die Stbkräfte. B6. A 45 B C b Abb V 8 V V V 0 V A B C A c B Umlufsinn 6 C 4 0 Kräftemßstb Lösung Durch Anwenden der Gleichgewichtsbedingungen uf ds Gesmtsystem (Abb. 6.b) berechnen wir zuerst die Lgerkräfte: : B 6 C =0,

18 64 6 chwerke V : +6A+4 + B =0, : + B =0. Auflösen liefert A = 5, B=, C= 4. Die Pendelstützen A, B und C sind im reikörperbild ls Zugstäbe ngenommen worden. Die Ergebnisse zeigen, dss die Stäbe A und C in Wirklichkeit uf Druck bensprucht werden. Wir numerieren die Stäbe und die Knoten und stellen fest, dss die Stäbe und Nullstäbe sind (vgl. Abschnitt 6.., Regel ). Sie werden im reikörperbild durch eine Null gekennzeichnet. Nch Whl des Umlufsinns (entgegen dem Uhrzeiger) und des Kräftemßstbs zeichnen wir zunächst ds geschlossene Krfteck der äußeren Kräfte in der Reihenfolge A,, B, C, (Abb. 6.c). Dbei ist zu bechten, dss die Kräfte in den Pendelstützen jetzt im wirklichen Richtungssinn zu zeichnen sind. Die Ermittlung der Stbkräfte beginnen wir m Knoten : die beknnte Lgerkrft A und die unbeknnten Stbkräfte S und S müssen in dieser Reihenfolge ein geschlossenes Krfteck bilden (Abb. 6.c). Die entsprechenden Krftrichtungen (Stb : Druck, Stb : Zug) werden in ds reikörperbild eingetrgen. Mit der nun beknnten Krft S können wir m Knoten in gleicher Weise durch ds geschlossene Krfteck, S, S, S 4 die Stbkräfte S und S 4 bestimmen. Durch Weiterschreiten zu den Knoten bis V lässt sich der Cremon-Pln vollständig konstruieren. Ds Krfteck für den Knoten V dient ls Kontrolle. Aus dem Kräftepln entnehmen wir die Beträge der Stbkräfte; die Vorzeichen folgen us den Pfeilrichtungen im reikörperbild: i S i /, 4,7, 4, 0, 9 4,0 0,9, 7,9,, 9 0 0

19 6. Ermittlung der Stbkräfte Rittersches Schnittverfhren Sind nur einzelne Stbkräfte eines chwerks zu bestimmen, so ist es oft vorteilhft, ds Schnittverfhren nch August Ritter (86 908) nzuwenden. Bei diesem Verfhren zerlegen wir ds chwerk durch einen Schnitt in zwei Teile. Dbei müssen drei Stäbe geschnitten werden, die nicht lle zum gleichen Knoten gehören dürfen, oder der Schnitt ist durch einen Stb und ein Gelenk zu führen. Zur Erläuterung der Methode betrchten wir ds chwerk nch Abb. 6., bei dem die Kräfte in den Stäbenbisgesucht sind. Nch Ermittlung der Lgerrektionen denken wir uns ds chwerk mit einem Schnitt durch die drei Stäbe bis in zwei Teile zerlegt. An den freigeschnittenen Stäben werden jeweils die entsprechenden Stbkräfte ls Zugkräfte eingezeichnet (Abb. 6.b). A B A H S S b A V Abb. 6. S S S S B Sowohl der rechte ls uch der linke Teilkörper müssen für sich im Gleichgewicht sein. Wir können dher durch Anwenden der drei Gleichgewichtsbedingungen uf einen der beiden Teilkörper die drei unbeknnten Stbkräfte berechnen. Dbei ist es sinnvoll, möglichst Momentengleichungen um die Schnittpunkte von je zwei Stbkräften zu verwenden. Dnn gehen diese Kräfte nicht in die entsprechende Momentengleichung ein, und wir erhlten dmit

20 66 6 chwerke jeweils eine Gleichung für eine Stbkrft. Gleichgewicht m linken Teilkörper liefert uf diese Weise: : AV + + S =0 S =A V, : AV A H + S =0 S = A V A H, : A V S =0 S = (A V ). Mit den bereits ermittelten Lgerkräften sind dnn die Stbkräfte beknnt. Ds Schnittverfhren lässt sich oft uch nwenden, ohne dss die Lgerkräfte vorher berechnet werden müssen. So erhält mn zum Beispiel die Stbkräfte S bis S des chwerks in Abb. 6.4 direkt nch Schneiden der entsprechenden Stäbe us den Gleichgewichtsbedingungen für ds rechte Teilsystem (Abb. 6.4b). S S S S S b S Abb. 6.4 Bei räumlichen chwerken knn ds Schnittverfhren sinngemäß ngewendet werden. D für den strren Körper dnn sechs Gleichgewichtsbedingungen vorliegen, muss mn ds chwerk durch einen Schnitt trennen, der durch sechs Stäbe oder durch drei Stäbe und einen Knoten geht. B6.4 Beispiel 6.4 Ds chwerk nch Abb. 6.5 wird durch zwei Kräfte = und = belstet. Wie groß ist die Krft im Stb 4? Lösung Zur Ermittlung der Lgerkräfte zeichnen wir ds reikörperbild (Abb. 6.5b) und wenden die Gleichgewichtsbedingungen n:

21 6. Ermittlung der Stbkräfte 67 A : + +6B =0 B = 6 = 5 6, B : 6 AV + + =0 A V = + 6 = 7 6, : A H =0 A H = =. Trennt mn ds chwerk mit einem Schnitt durch die Stäbe 4 bis 6 (Abb. 6.5c), so liefert ds Momentengleichgewicht m linken Teil bezüglich die gesuchte Krft S 4 : : S4 +A H A V =0 S 4 = ( A V A H )= 4. A B A H b A V Schnitt B A H S 6 S 5 S 6 S 5 Abb. 6.5 A V S 4 c S 4 B Zur Probe wenden wir die Momentenbedingung m rechten Teil bezüglich n: : S4 +B =0 S 4 = ( B )= 4.

22 68 6 chwerke Zusmmenfssung Ein chwerk besteht us gerden Stäben, die in Gelenken miteinnder verbunden sind. Ein chwerk ist sttisch bestimmt, wenn die Stb- und Lgerkräfte llein us den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden können. Dies ist der ll, wenn die Zhl der unbeknnten Lger- und Stbkräfte gleich der Zhl der Gleichgewichtsbedingungen ist und ds chwerk unbeweglich ist. Ein chwerk ist kinemtisch bestimmt, wenn es unbeweglich ist. Ein chwerk, ds endliche oder infinitesimle Bewegungen usführen knn, ist kinemtisch unbestimmt. Die Stb- und Lgerkräfte können mit dem Knotenpunktverfhren ermittelt werden: reischneiden ller Knoten. reikörperbilder skizzieren; lle eingeprägten Kräfte sowie Stb- und Lgerkräfte einzeichnen. Dbei Vorzeichenkonvention für Stbkräfte bechten: lle Stbkräfte ls Zugkräfte nsetzen. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen n llen Knoten. m ebenen ll sind dies für jeden Knoten Gleichungen, im räumlichen ll für jeden Knoten Gleichungen. Auflösen der Gleichungen nch den Unbeknnten. Ds Gleichungssystem ist eindeutig lösbr, wenn die Determinnte der Koeffizientenmtrix ungleich Null ist. Dnn ist ds chwerk sttisch und kinemtisch bestimmt. Die Stbkräfte können bei ebenen chwerken uch grfisch mit Hilfe des Cremon-Plns ermittelt werden. Sind nur einzelne Stbkräfte gesucht, so ist es meist zweckmäßig, ds Rittersche Schnittverfhren nzuwenden.

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