1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

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1 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig und Unabhängigkeit 1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit S Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit von Sau kann nur mithilfe der relativen Häufigkeit bestimmt werden. Eine weitere Möglichkeit gibt es nicht. S. 176 a) P ({ ω }) = 1 (0, + 0,45) = 0,5 b) P ({ }) = 0; P ({ w 1 }) = 0,; P ({ w }) = 0,5; P ({ w }) = 0,45; P ({ w 1, w }) = 0,55; P ({ w 1, w }) = 0,65; P ({ w, w }) = 0,8; P ({ w 1, w, w }) = 1 a) P (a) = = 1 = 6 ; P (b) = 1 = 4 ; P (c) = 4 1 = ; P (d) = 1 = 4 b) P (A) = P ({ a, b }) = = 5 1 ; P () = P ({ b, c }) = 4 + = 7 1 ; P (C) = P ({ c, d }) = + 4 = 7 1 P (A ) = P (b) = 4 ; P (A ± C) = P ({ a, b, c, d }) = 1; P (A ± ) = P ({ a, b, c }) = = 4 4 a) P (A) + P () + P (C) + P (D) = 1 P () + P () + P () + P () = 1 1 P () = 1 also P () = 11, somit P (A) = 4 11 ; P (C) = 11 ; P (D) = 4 11 b) P (A ± C) = = 5 11; P (A C) = 0 5 A = { } P (A ± ) = P (A) + P () P (A) + P () 1, da P (A ± ) 1 P () 1 P (A) P () P ( A ), da P ( A ) = 1 P (A) 6 E E 1 ( E E 1 E ) = { }, also P (E 1 ± ( E 1 E )) = P (E 1 ) + P ( E E1 E 1 P ) (E 1 E ) P (E 1 E ) P ( E 1 ) P (E 1 ± E ) = P (E 1 ) + P ( E 1 E ) E 1 P (E E 1 ) P ( E 1 E ) P ( E 1 ) P (E 1 ± E ) P (E 1 ) + P (E ), da E 1 E ² E P (E ) P ( E ) 1 7 I P (E 1 ) + P (E ) = 0,4 II P (E ) + P (E ) = 0,9 III P (E 1 ) + P (E ) = 0,7 8 Term (): 6 ( 5 6 ) 4 5 I II + III: P (E 1 ) = 0, P (E 1 ) = 0,1 P (E ) = 0,; P (E ) = 0,6 9 Die Konstruktion erfolgt mithilfe des Thaleskreises. Für a 5 cm gibt es keine Lösung. P 1 4,cm A M 4,cm P und Unabhängigkeit 10

2 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig Zusammengesetzte Ereignisse S a) A und : Die Augensumme ist kleiner als sieben und eine Primzahl. Mögliche Augensummen: { ; ; 5 } A oder : Die Augensumme ist kleiner als sieben oder eine Primzahl. Mögliche Augensummen: { ; ; 4; 5; 6; 7; 11 } b) Die Augensumme ist eine Primzahl, die nicht kleiner als sieben ist. Mögliche Augensummen: { 7; 11 } a) b) c) d) Ω A A ± A \ ( ± C) e) f) g) h) Ω C A C ( A ) C A \ ( C) ( A \ ) C (A \ ) ± ( C) S. 178 a) C D ={ 5 } b) C ± D = { 1; ; 4; 5; 6 } c) C ± D = { } d) (C \ D) ± (D \ C) = { 1; ; 4; 6 } e) D \ C = { 4; 6 } f) C D = { } g) C D = { 1; ; ; 4; 6 } S K = D F ; L = (D F ) ± ( D F); M = F ; N = L 5 C = A ; D = A ; E = A ; F = (A ) ± ( A ) ; G = A ; H = G 6 E 1 = A ± ; E = A ± ; E = A ; E 4 = (A ) ± ( A ) = (A ± ) \ (A ) E 5 = E ; E 6 = (A ) ( A ) 7 A = { 10, 1, 14, 16, 18, 0,, 4, 6, 8 } ; = { 0,, 4, 6, 8 } A = { 11, 1, 15, 17, 19, 1,, 5, 7, 9 } ; = { 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1,, 5, 7, 9 } A ± = A = { 11, 1, 15, 17, 19, 1,, 5, 7, 9 } ; A = { 11, 1, 15, 17, 19, 1,, 5, 7, 9 } = A ± ; (1) A = { 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1,, 5, 7, 9 } A ± = { 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1,, 5, 7, 9 } = A () (1) und () bestätigen die Gesetze von de Morgan. 8 a) rote Fläche: X Z Y blaue Fläche: Y \(X Z) b) individuelle Lösungen 9 A = E 1 ± E ± E ; = (E 1 E ) ± (E 1 E ) ± (E E ); C 1 = (E 1 E ) ± (E 1 E ) ± (E E ) (mindestens Schwarzfahrer) C = [(E 1 E ) ± (E 1 E ) ± (E E )] \ (E 1 E E ) (genau Schwarzfahrer) D = und Unabhängigkeit 11

3 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 10 E i : Das i-te Werkstück ist brauchbar. A = E 1 E E ; = E 1 E ; C = E 1 E E ; D = ( E 1 E E ) (E 1 E E ) ± (E 1 E E ) ; E = ( E 1 E E ) ± (E 1 E E ) ; 11 f (x) = x x 1 schiefe Asymtote mit y = x 1 senkrechte Asymptoten bei x 1 = 1 ; x = 1 Der Additionssatz S a) F: Fernseher im Zimmer; C = Computer im Zimmer b) ,6 F F C 4 16 C % der Schüler und Schülerinnen haben weder einen Fernseher noch einen Computer im Zimmer S. 181 E s sind 99 9 = 90 Zahlen auf dem Glücksrad. 90 : = 0 Zahlen sind durch teilbar, 90 : 5 = 18 Zahlen sind durch 5 teilbar, 90 : 15 = 6 Zahlen sind durch und 5 teilbar. P ( Gewinn ) = = 4 90 = % a) h (K ± R) = = oder h (K ± R) = = b) h (K ± R ) = = oder h (K ± R ) = 86 = N: T-Shirt hat Nähfehler; D: T-Shirt hat Druckfehler D D a) P (N ± D) = = ,5 % N 6 8 b) P (N D) = 6 80 = 7,5 % N c) P ( N ± D ) = 1 P (D N) = = 9,5 % d) P ( N D ) = = 8,75 % e) P (N ± D) P(N D) = = 7 80 = 8,75 % 5 a) Ziffernsumme kleiner 4 (ZS < 4) = { 0 + 0; 0 + 1; 0 + ; 0 + ; 1 + 0; 1 + 1; 1 + ; + 0; + ; + 0 }. Ziffer größer 7 (. Z. > 7) = { 0 + 8; 1 + 8; + 8; ; 9 + 8; 0 + 9; 1 + 9; Z + 9; ; } P (ZS < 4) ± (. Z. > 7) = 100 = 0 % [(ZS < 4) (. Z. > 7) = { }] b) 1. Ziffer größer als. Ziffer (1. Z. >. Z.) = { 1 + 0; + 1; + 0; + ; + 1; + 0; ; 9 + 8; 9 + 7; 9 + 6; ; } P (1. Z. >. Z.) = = Ziffernsumme durch teilbar ( teilt ZS) = { + 1; + 0; ; 9 + 9; 9 + 6; 9 + ; 9 + 0} P ( teilt ZS) = + 1 = P ((1. Z. >. Z.) ( teilt ZS)) = P ((1. Z. >. Z.) ± ( teilt ZS)) = = = 64 % 6 h (D ± H) = = 00 = und Unabhängigkeit 1

4 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 7 Ω = { 11, 1, 1, 14, 1,,, 4, 1,,, 4, 41, 4, 4, 44 } P (A) = = 1 16 = 4 = 75% P () = = = 5 8 = 6,5% P (C) = = 9 16 = 56,5 % P (D) = = 1 16 = 4 = 75 % 8 a) mindestens eines : P (A) + P () P (A ) keines : 1 [P (A) + P () P (A )] höchstens eines : 1 P (A ) genau eines : P (A) P (A ) + P () P (A ) b) nicht beide = höchstens eines : 1 P (A ) c) entweder beide oder keines der beiden : P (A ) + 1 [P(A) + P () P (A )] d) A und nicht zugleich : P (A) P (A ) 9 Individuelle Lösungen 10 Gegenbeispiel: Wurf eines L-Würfels: A: ungerade Augenzahl; : Primzahl; C: gerade Augenzahl P (A) = ; P () = ; P (C) = P (A ± ± C) = 1; P (A C) = { } P (A ± ± C) P (A) + P () + P (C) ( 4 a ) + a a 8 a + 9 = 4 a + a ( 4 a ) = 4 a + a ( 4 a ) = + 4 a 4 a + a = + a 4 Unabhängigkeit von Ereignissen S a) P Z (K): Wahrscheinlichkeit (Wk), mit der er Karies hat, wenn er immer Zähne putzt. P Z (K): Wk, mit der er Karies hat, wenn er nicht immer die Zähne putzt. P Z (G): Wk, dass er größer als 1,50 m ist, wenn er immer die Zähne putzt. P Z (G): Wk, dass er größer als 1,50 m ist, wenn er seine Zähne nicht immer putzt. b) P Z (K) < P Z (K); P Z (G) = P Z (G) S. 184 a) P (A) = P ({ a }) + P ({ d }) = 4 16 = 4 ; P () = P ( {c} ) + P ( {d} )= 8 16 = P (A) P () = 4 = 8 P (A ) = P ( {d} )= 16 = 8 da P (A) P () = P (A ) sind A und unabhängig. P (A) = 6 ; P () = 6 ; P (C) = 6 P (A ) = 6 = P (A) P() A und sind unabhängig; P (A C) = 0 P (A) P(C) A und C sind unabhängig; P ( C) = 6 P () P(C) und C sind abhängig. 4 P (A) = 0,7 P ( A )= 0, P () = 0,4 P ( A )= 0,18; P ( A ) P () = 0,4 0, = 0,1 A und sind abhängig, somit auch A und. 5 P () = 0,7 0,4 + 0, 0,4 = 0,8 + 0,1 = 0,4; P (A) = 0,7 P (A ) = 0,7 0,4 = P (A) P () somit sind A und unabhängig. und Unabhängigkeit 1

5 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 6 a) P ( beide einwandfrei ) = 0,9 0,95 = 0,855 = 85,5 % b) P ( beide defekt ) = 0, = 0,005 = 0,5 % c) P ( mindestens ein Teil defekt ) = 1 P ( kein Teil defekt ) = 1 0,855 = 0,145 = 14,5 % S a) P (A) = = 6 ; P () = = 619 P (A) P() = 0,6 0,619 = 0, ,5 % P (A ) = 471 = 0,471 = 47,1 % A und sind abhängig. 8 P ( Junge ) = ,7 % P ( J) P () = ,99 % 884 P ( J ) = ,04 % P ( rillenträger ) = ,94 % J und sind abhängig. 9 a), b), c) individuelle Lösungen 10 Zwei Ereignisse sind unvereinbar, wenn A = { } P (A ) = 0 P (A) 0, P () 0 P (A) P () 0 A und sind abhängig. P (A ) 11 A und unabhängig, also P (A) P () = P (A ) P () = = 0,06 P (A) 0,1 = 0,5 P ( auteil funktionstüchtig ) = P ( A ) = P ( A ) P ( ) = 0,88 0,5 = 0,44 = 44 % 1 P (A) = 4 ; P () = P (A) P () = 4 = 8 P (A ) = A und sind abhängig. 1 P (Z) = ; P (S) = 6 ; P (F) = 15 a) P (Z) P(S) = 6 = 1 ; P (Z S) = 6 Z und S sind abhängig; b) P (F) P( S) = 15 6 = 90 ; P (F S) = 0 F und S sind abhängig; c) P (Z) P( F) = 15 = 0 ; P (Z F) = 0 Z und F sind unabhängig. 14 a), b) i) Wk, dass Ken zu spät kommt und die Lehrkraft es vermutet. (unabhängig davon, ob die Lehrkraft Ken gut einschätzen kann) ii) Wk, dass Lehrkraft vermutet hat, dass Ken zu spät kommt, wenn dieser zu spät kommt. (hoch) iii) Wk, dass Ken zu spät kommt, wenn die Lehrkraft es vermutet. (hoch) iv) Wk, dass Ken zu spät kommt, wenn die Lehrkraft es nicht vermutet hat. (niedrig) c) Sehr schlecht, da K und V unabhängig sind P ( esserung ) = P () = = P ( Medikament ) = P (M) = = P () P(M) = = P ( M) = 85 und M sind unabhängig. 16 und Unabhängigkeit 14

6 Schülerbuchseite 186 Lösungen vorläufig S. 186 ( ) 16 a) P ( immer nein ) = = 700 = 40 = 4 % b) P ( Sportverein und Spaß in Mathe ) = = 180 = 18 % c) H: macht regelmäßig Hausaufgaben; M: macht Mathematik Spaß; S: ist im Sportverein P (H) = = 500 = ; P (M) = = 600 = 5 ; P (S) = = 00 = 10 P (H) P(M) = 5 = 10 ; P (H M) = = 4 10 H und M sind abhängig; P (H) P(S) = 10 = 0 ; P (H S) = = = 0 H und S sind unabhängig; P (M) P(S) = 5 10 = 9 50 ; P (M S) = = 180 = 9 50 M und S sind unabhängig. 17 A = { 1,,, 4, 5, 6 } P (A) = 6 6 = 6 = { 11, 1, 15,, 4, 6, 1,, 5, 4, 44, 46, 51, 5, 55, 6, 64, 66 } C = { 14, 15,, 4,,, 41, 4, 46, 51, 55, 64 } a) P (A) P () P (C) = 6 = 6 P (A C) = 6 P () = 18 6 = P (C) = 1 6 = b) P (A) P() = 6 = 1 ; P (A ) = 6 = 1 A und sind unabhängig; P (A) P (C) = 6 = 18 ; P (A C) = 6 = 18 A und C sind unabhängig; P () P(C) = = 6 ; P ( C) = 8 6 = 9 und C sind abhängig. c) Würde man die Gleichung P (A) P () P (C) = P (A C) als Definition für die Unabhängigkeit -er Ereignisse verwenden, so könnte man daraus nicht auf die paarweise Unabhängigkeit der einzelnen Ereignisse schließen. Daher wäre die genannte Festlegung ungeeignet. 18 P (S I) = 0,; P (S II) = 0,; P (S III) = 0,5 P (F S I ) = 0,04; P (F S II ) = 0,19; P (F S III ) = 0,1 a) P ( F ) = 0, 0,96 + 0, 0,81 + 0,5 0,9 = 0,9 = 90 % P (F S III) b) P F (S III) = = 0,5 0,9 P (F) 0,1 = 0,5 = 50 % c) P ( F ) = 0,9; P (S III) = 0,5 P ( F ) P (S III) = 0,9 0,5 = 0,45 P ( F und S III sind unabhängig. F SIII) = 0,5 0,9 = 0,45 19 a) P (R S) = P (R) P(S) = r s b) P ( R S ) ± P ( R S )= r (1 s) + (1 r) s = r r s + s r s = r + s r s c) P ( R S )= P ( R ) P ( S )= (1 r) (1 s) d) = b) = r + s r s P (R S) e) P R (S) = = r s P (R) r = s 0 C: Anzahl Treffer Christine; J: Anzahl Treffer Johannes a) P (C = ) = ( ) = 4 P ( J = 1) = 0,4 0,6 + 0,6 0,4 = 0,48 P ((C = ) ( J = 1)) = P (C = ) P ( J = 1) = 0,5 0,48 = 0,1 = 1 % b) P ( J = 1) P (C = 0) + P ( J = ) P (C = 1) + P ( J = ) P (C = 0) = 0,48 0,5 + 0,4 0,5 + 0,4 0,5 = 0,4 = 4 % c) Wird keine Unabhängigkeit vorausgesetzt, so würden sich die Trefferwahrscheinlichkeiten je nach vorhergegangenem Ergebnis ändern, d. h. z.. P Treffer J (Treffer C) P Treffer C (Treffer J). Somit könnten obige Wahrscheinlichkeiten nicht berechnet werden. und Unabhängigkeit 15

7 Schülerbuchseite 187 Lösungen vorläufig 1 a) P (I) = S. 187 I II III 5 8 P () = = 5 7 P (I ) = P () 5 7 = 8 5 b) In einer Urne sind 7 Kugeln, von denen je 4 schwarz, rot und grün sind. Auf 8 schwarzen Kugeln ist ein Kreuz, auf 1 roten und 15 grünen ebenso. Eine Kugel wird gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie schwarz, wenn sie ein Kreuz hat? c) Wenn der Anteil blau bei allen Glücksrädern gleich groß ist. Es würde auch genügen, wenn der Anteil blau bei Glücksrad I halb so groß ist wie die Summe der entsprechenden Anteile von II und III. a) R R P ( R )= = 6 15 P (R) = 1 P ( R )= = 9 15 S S P (S) P ( R )= P (S R ) P (S) = 4 15 : 6 15 = 4 15 = 5 ; 15 = 5 b) R R I P (S) P (1 R) = 0,15 s (1 r) = 0,15 s = 0,15 (1 r) S 15 % II P (1 S) P (R) = 0, (1 s) r = 0, S 0 % in II: ( 1 0,15 1 r ) r = 0, (1 r) 1 (1 r 0,15) r = 0, (1 r) 0 = r 1,15 r + 0, 1,15 ± ,5 1, 1,15 ± 0,5 r 1/ = = 0,15 r 1 = 0,75 s 1 = (1 0,75) = 0,6; r 1 s 1 = 0,45; (1 r 1 ) (1 s 1 ) = 0,1 r = 0,4 s = 0,15 (1 0,4) = 0,5; r s = 0,1; (1 r ) (1 s ) = 0,45 c) Individuelle Lösungen R: Rauten Karte RR RR RR oben liegende Seite 1 1 R R R R P (R R) P R (R) = = P (R) 1 + = = 4 F: Frauen; NT = naturwissenschaftlich-technologischer Zweig I P ( NT NT F = = 69 F 51 P ( F NT) = P ( F ) P (NT) = = 60 F = M 60 von 10 Schülern = = Männer müssen den naturwissenschaftlich-technologischen Zweig gewählt haben. 5 Aus der Unabhängigkeit von S und M folgt: P (S) P (M) = P (S M) a + b a + b + c + d a + c a + b + c + d = a a + b + c + d (a + b) (a + c) = a (a + b + c + d) a + ac + ba + bc = a + ab + ac + ad bc = ad und Unabhängigkeit 16

8 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 6 a) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Im Dreieck AFC ist der Winkel CFA = 90 ; im Dreieck DC ist der Winkel CA = 90 (Thaleskreis über [CD]) Somit stimmen beide Dreiecke in α und einem 90 -Winkel überein. Sie sind ähnlich. b) In ähnlichen Dreiecken gilt: b = r CF a CF = ab r A AC = c CF = c ab r = abc 4 r 7 sin ( φ) = φ 1 = 40 φ 1 = 10 bzw. φ 1 = π; φ = 00 φ = 150 bzw. φ = 5 6 π Das Ziegenproblem S Individuelle Lösungen S. 191 a) Die. Stufe stellt in beiden Fällen keinen Zufallsprozess dar, da die Entscheidung ( bleiben bzw. wechseln ) jeweils feststeht und somit sicher ist. b) Strategie bleiben : P (A) = P (A A) = 1 = Strategie wechseln : P (A) = P (Z 1 A) + P (Z A) = = a) A 1 K 1 M : Das Auto steht hinter Tür 1 und der Kandidat wählt Türe 1 und der Moderator öffnet Türe. P (A 1 K 1 M ) = = 18 b) P (A 1 K 1 M ) = 1 = 9 c) P K1 M (A 1 ) gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit an, dass das Auto hinter der Türe 1 steht, wenn der Kandidat Türe 1 gewählt hat und der Moderator Türe geöffnet hat. P K1 M (A 1 ) = P (A 1 K 1 M ) P (K 1 M = 18 ) = = P K1 M (A ) gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit an, dass das Auto hinter der Türe steht, wenn der Kandidat Türe 1 gewählt hat und der Moderator Türe geöffnet hat. P K1 M (A ) = P (A K 1 M ) P (K 1 M = 1 ) = 18 Folgerung: Es ist günstiger im. Schritt die Türe zu wechseln. und Unabhängigkeit 17