(4) = 37,7 % mit 37,7 % Wahrscheinlichkeit sind es höchstens 4 Fahrräder, das ist recht hoch; man kann also die Behauptung nicht wirklich ablehnen.

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1 Schülerbuchseite 98 1 Lösuge vorläufig IV Beurteilede Statistik S. 98 p S. 1 p w a t Tabelle Tabelle dowloadbar im Iteretauftritt 1 Teste vo Hypothese 1 a) Erwartugswert μ = 5 ud Stadardabweichug σ = 1,6; Die Beobachtug vo 4 defekte Fahrräder liegt och i der σ-umgebug des Erwartugswertes. Bei ur 1 getestete Fahrräder ka ma die Behauptug icht wirklich beurteile, aber das Ergebis stützt sogar die Behauptug. b) F 1,5 (4) = 7,7 % mit 7,7 % Wahrscheilichkeit sid es höchstes 4 Fahrräder, das ist recht hoch; ma ka also die Behauptug icht wirklich ablehe. a) Falsch: Das Ergebis ka im Ablehugsbereich liege, aber die Hypothese trotzdem stimme. b) Falsch: Die Nullhypothese ka icht verworfe werde, sie ist sehr wahrscheilich wahr, aber sie köte auch falsch sei. c) Falsch: (Begrüdug wie i a)) d) Stimmt: Wie ma a de Aufgabe a) c) sieht a) Testgröße ist der Wählerateil, also die Azahl der Befragte, die die artei wähle würde. Die Nullhypothese H : p 6 %, Gegehypothese H 1 : p > 6 %, = 1 (z. B.) Wähler, die befragt werde. Nur we deutlich mehr als 6 Wähler für die artei wähle, z. B. für Z * K = {5; ; 1} würde ma davo ausgehe, dass der Wählerateil gestiege ist. Sid es deutlich mehr, da köte er gestiege sei. b) Repräsetativ heißt (ach K. Gerald va de Boogaart): idetisch verteilt: alle Beobachtuge spiegel das gleiche Zufallsgesetz wieder. stochastisch uabhägig: jede Beobachtug ist eu ach dem Zufallsgesetz zustade gekomme. Es gibt zwei grudsätzlich verschiedee Wege zu repräsetative Date: Zufällige ud faire Auswahl eier Stichprobe aus eier Grudgesamtheit. Uabhägiger Wiederholug idetischer Zufallsexperimete. c) Bei 7 % geht ma davo aus, dass der Ateil der Wähler gleich gebliebe ist. 4 a) Fall 1: 1 F (11),1 = 1, % Fall : 1 F _ (11),89 = 8,9 % b) Ma würde sich für Fall etscheide, da die Wahrscheilichkeit 15 Kugel zu erhalte uter der Bedigug es sid _ weiße Kugel größer ist als we weiße Kugel i der Ure sid. (Z = 15) < _ (Z = 15) c) 1 F (14),17, % p 5 Die Nullhypothese H 1 : p > 6, H : p = 6 ; Es wird z. B. = 1 mal gewürfelt. Ma erhält folgedes Diagramm:,,18,16,14,1,1,8,6,4,, Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 71

2 Schülerbuchseite 1 14 Lösuge vorläufig Da gilt: F 1 (),96 = 96, % köte ma z. B. vereibare die Nullhypothese abzulehe, we 6 öfter als Mal die Sechs fällt. K = {4; ; 1} v 6 a) Nicht stichhaltig, da subjektiv b) Bei 7 % muss der Ateil och icht ubedigt gesuke sei 7 % liegt sogar sehr ahe bei H : p = 4 %. {μ = 4; σ = 5}. c) Die Wahrscheilichkeit für geau 7 Treffer ist atürlich sehr klei. Ma muss,4 (Z 7) betrachte ud diese Wahrscheilichkeit ist sehr groß. d) Stichhaltig, μ = 4; σ 5 7 liegt im zu erwartede Bereich. S a) f (x) = (x + ) ; f (x) = (x + ) = x + 6; g (x) = x + ; g (x) = x b) f (x) = 1 x 6 ; f (x) = 6 x 5 ; g (x) = (1 x ) ; g (x) = (1 x ) ( x ) = 6 x 5 6 x c) f (x) = 1 + (x ) ; f (x) = _ (x ) ; g (x) = x ; g (x) = x 1 (x 1) d) f (x) = (1 + x _ x ); f (x) = 4 x; g (x) = = x + 4 ; g (x) = x (x + 4) x x (x + 4) = 8 x (x + 4) Fehler 1. ud. Art 1 + ( _ x ) = 1 + 4_ x 1 1: der ilz ist giftig; Der Fehler (der tödlich sei köte) wäre, ih für icht giftig zu halte ud zu esse. : der ilz ist icht giftig; Der Fehler (der auf keie Fall tödlich ist) wäre, ih für giftig zu halte ud icht zu esse. S. 14t Tabelle z g α 5, % Å5, % 4,7 % Å,Å %,Å6 % 1 F 1, (g 1) β Åå, % 7,å % 6, % 8,8 % 94,5 % F 1,5 (g 1) α + β 5, % 5,å % 6å % 8,9 % 94,å % g = 4 am kleiste g α åå,å % 6å, % 55, % 4,Å % Å,6 % 1 F 5, (g 1) β, %,5 %,Å %, %,åå % F 5, (g 1) α + β åå,å % 6å,5 % 55,4 % 4,4 %,å % g = 17 am kleiste v t a) falsch: α gibt die Wahrscheilichkeit a, mit der ma die Nullhypothese verwirft, obwohl sie falsch ist. b) falsch: Sie ka auch falsch sei Fehler. Art! 4 H =,1; = 5; k = 8 5 a),,75 =,5 % b) ; B(5;,1; k) = 1, % 7 k = 8 7 c) ; B(5;,; k) = 19 % ; B(5;,; k) =,7 % k = k = Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 7

3 Schülerbuchseite 15 Lösuge vorläufig S. 15m z p x 5 Idividuelle Lösuge; z. B. a) K = {9; 1} α = 1,1 % b) K = {7; ; 1} α = 1,1 %; (bzw. K = {; 1} α = 1,1 %) (bzw. K = {} α =,8 %),,,5,5,,,Å5,Å5,Å,Å,5, ,5, c) K = {6; ; 1} α = 1,97 % d) K = {1; ; 15} α =, %; (bzw. K = {} α = 5,6 %) (bzw. K = {; ; } α =,7 %),,,5,5,,,Å5,Å5,Å,Å,5, ,5, e) K = {1; ; } α =,1 % ; (bzw. K = {; ; } α = 1,6 %),,Å8,Å6,Å4,Å,Å,8,6,4,, Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 7

4 Schülerbuchseite_15 Lösuge vorläufig f) K = {} α = 1,1 %; (bzw. K = {; ; 1} α =, %),5,,Å5,Å,5, g) K = {5; ; } α = 4, % (bzw. K = {} α = 1,1 %),,5,,Å5,Å,5, h) K = {1; ; 5} α =,5 %; (bzw. K = {; 1} α =, %),,Å8,Å6,Å4,Å,Å,8,6,4,, m z 6 a) α = 8,7 %; β =,5 % b) g α,ååå,6å,å,å4 β,8,54,96,å56 α + β,å9,åå5,å7,åå Bei g = 15 ist der Uterschied ud die Summe am kleiste. c) Der Uterschied ist bei g = am kleiste. Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 74

5 Schülerbuchseite Lösuge vorläufig ) richtig: F 8,5 (1) =,5 % ) falsch: p =,5 ) richtig 4) falsch (we sie abgeleht wird) 5) falsch: wäre die Summe der beide Fehler α ud β 6) richtig: p (H 1 ) muss gegebe sei. 7) falsch: we die eie Fehlerwahrscheilichkeit größer wird, da wird die adere kleier. 8) falsch: richtig wäre: aus der gegebee Stichprobe ka mit eie Aussage über p mache. v 8 obe liks ist die Ableitugsfuktio vo ute rechts, da die Fuktio bei x = ei Extremum besitzt, für x < steigt ud für x > fällt; es gibt zwei Wedepukte bei x ±,6. ute liks ist die Ableitugsfuktio vo obe rechts, da die Fuktio bei x = ei Extremum besitzt, für x < fällt ud für x > steigt. Der Wedepukt ist i der Nähe vo x = 1. S. 16 S. 19 Tabellet m Eiseitiger Sigifikaztest 1 a) H : Das Medikamet hat doch so viele Nebewirkuge (p =,5) H 1 : Das Medikamet hat weiger Nebewirkuge (p <,5) Der schwerwiegedere Fehler wäre: Das eue Medikamet wird eigesetzt (d. h. zeigt im Test weiger Nebewirkuge), obwohl es doch so viele Nebewirkuge hat. Weiger schlimm (für die atiete) wäre das Medikamet icht eizusetze obwohl es weiger Nebewirkuge hat, da es im Test geauso viele gezeigt hat. b) Die Wahl des kritische Bereichs sollte so falle, dass die Fehlerwahrscheilichkeit möglichst klei wird (z. B. 1 %); der kritische Bereich wird da verkleiert. Die Nullhypothese sollte immer so gewählt werde, dass der Fehler, diese fälschlicherweise zu verwerfe der schlimmere Fehler ist ud eigeschräkt werde muss. a) H : p =,; H 1 : p >, eiseitiger Sigifikaztest b) 1, (Z g),5 1, (Z g 1),95 g 1 = 6 g = 7 der Ablehugsbereich ist {7; 1} ud damit α =,1 %. β (p = 4 %) = 89,4 %; β (p = 5 %) = 76,6 %; β (p = 6 %) = 6,6 % a) Suche im Tabellewerk eie Wert g, so dass, (Z g),5 ist. g = 7 Der Ablehugsbereich ist da {7; }. b) Ma würde die Nullhypothese ablehe. c) α = 4, % d) Idividuelle Lösuge 4 a) richtig siehe Defiitio b) richtig der Streife um de Erwartugswert wird vergrößert. c) richtig siehe b) Tabelle m S. 11 Tabelle t 5 a) Hier gehe wir vo der Nullhypothese H : p =,5 aus ud H 1 : p <,5; = 1; da ergibt sich mit Hilfe der Tabelle ei Ablehugsbereich vo K = {; ; 17} (α =,76 %), d. h. i dem Bereich sieht sich Yaik bestätigt. b) Bei =, H =,5 ud H 1 <,5 ergibt sich beim Sigifikaziveau vo 5 % ei Ablehugsbereich vo K = {; ; 9}; kommt 64 mal Blau vor, da geht ma icht davo aus, dass die Wahrscheilichkeit kleier ist. c) Ma würde die Hypothese aehme, da der Ablehugsbereich vo K = {; ; 1} geht. 6 a) K = {59; ; 1}; α = 4,4 % b) K = {; ; 87}; α =,8 % c) K = {117; ; }; α = 1,4 % Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 75

6 Schülerbuchseite Lösuge vorläufig 7 H : p =,96; H 1 : p <,96 (Behauptug des Geschäftsführers) a) K = {; ; 186} b) α =,1 % Ma ka aber auch die Aufgabe geau aders herum sehe aus der Sicht des Großabehmers ud da ist H : p,96; H 1 : p >,96 Damit ist K = {197; ; } ud α = 4 % (d. h. we 197 bis Kugelschreiber i Ordug sid, da wird ma H 1 befürworte. 8 a) Die olizei möchte de Fehler miimiere, dass ma fälschlicherweise aimmt, dass der Ateil der Agegurtete gestiege ist, obwohl er gleichgebliebe oder sogar kleier geworde ist; H : p,7; H 1 : p >,7 Der kritische Bereich liegt da bei K = {15; ; } ud α =,6 %. Der Autoclub hat die Hypothese H : p,7 mit dem kritische Bereich K = {; ; 18} ud α =,96 %. b) Die Zahl vo 154 agegurtete Fahrer liegt für die olizei im Ablehugsbereich der Nullhypothese, d. h. für die olizei ist der Ateil größer geworde. Der Autoclub sieht sich i seier Aahme bestätigt, dass der Ateil größer ist. m Tabelle oder m m 9 a) H wird abgeleht, da K = {75; ; 199} b) H wird ageomme, da K = {111; ; 15} c) H wird abgeleht, da K = {; ; 49} d) H wird abgeleht, da K = {144; ; 5} e) H wird ageomme, da K = {; ; 1} 1 a) Ma erhält de kritische Bereich K = {18; ; 5} ud somit α =, %. b) β (,6) = 84 %, β (,75) = 7, %; β (,9) =, % c) α =,7 %; β (,6) = 9,6 %; β (,75) = 4,9 %; β (,9) =,95 % d) α = 4,4 %; β (,6) = 7,7 %; β (,75) =,15 %; β (,9) = % 11 a) Nullhypothese: H : p,65; H 1 : p <,65 liksseitiger Test mit dem Ablehugsbereich K = { ; 7} b) die Bürgeriitiative macht eie rechtsseitige Test mit H : p,65; H 1 : p >,65 ud erhält de Ablehugsbereich K = {41; ; 6} c) bei k aus K = {71; ; 49} Zustimmuge ka weder die Stadtverwaltug och die Bürgeriitiative ihre Nullhypothese verwerfe, soder jeweils wird die Nullhypothese bestehe lasse. S a) H : p =,5; Behauptug: er rät ur! H 1 : p >,5; bei K = {15; ; } wird die Nullhypothese abgeleht, bei _ K = {; ; 14} ageomme. b) 1 liegt im Aahmebereich der Nullhypothese, ma geht also davo aus, dass er gerate hat. Der Fehler. Art köte eitrete. c) β (6 %) = 87,4 %; β (7 %) = 58,4 %; β (8 %) = 19,6 %; β (9 %) = 1,1 % m 1 Festlegug des Herstellers vo Medikamet B: H 1 : p < 85 %; H : p > 85 %; gesucht ist also ei Aahmebereich _ K = {g + 1; ; 18}, wobei für g gilt: g ; i = B (18;,85; i),5 (bzw.,1; bzw.,1) Ma erhält: _ K 5 % = {86; ; 18}; _ K 1 % = {8; ; 18}; _ K,1 % = {79; ; 18} Bei eiem seriöse Test wird ma wohl die Nullhypothese H : p,85 wähle ud H 1 : p >,85. Da ergibt sich: _ K 5 % = {98; ; 18}; _ K 1 % = {1; ; 18}; _ K,1 % = {1; ; 18} Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 76

7 Schülerbuchseite 111 Lösuge vorläufig 14 a) K = {; ; } b) Diagramm der B (5;,6)-Verteilug,Å,Å,8,6,4 (x = x i ) 6 1, zu F 5,6 (k): 1, 1,,8,6,4 F 6 1, Diagramm der B (5;,5)-Verteilug,Å,Å,8,6,4 (x = x i ) 6 1, Fehler. Art zu p =,5: 1, 1,,8,6,4 F 6 1, Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 77

8 Schülerbuchseite 111 Lösuge vorläufig Fehler. Art zu p =,4: 1, 1,,8,6,4 F 6 1, Fehler. Art zu p =,5: 1, 1,,8,6,4 F 6 1, c) Sikt das Sigifikaziveau, da wird der kritische Bereich kleier ud der Fehler. Art wird größer. d) (x = x i ),9,8,7,6,5,4,,,Å, Wird größer, da werde beide Fehler kleier. z p t s m 15 Idividuelle Lösuge Material: 1- -Müze 16 a) Für die Firma wäre es schlecht, we sich der Bekatheitsgrad icht auf 1 % verbessert hat das Stichprobeergebis aber so ausfällt, dass ma die Hypothese p,4 uterstützt. Dieses Risiko ist zu miimiere, also H : p <,4 ud H 1 : p,4. 1 ; k = g g 1 B (1;,4; k),5; also ; B (1;,4; k),95 Tabelle: g 1 = 48 g = 49; k = also ist der Aahmebereich der Gegehypothese p,4, d. h. der kritische Bereich der Nullhypothese p<,4; K = {49; ; 1}; b) α = 4, % < 5 % c) Ma müsste de kritische Bereich ach obe verschiebe, d. h. g größer mache. d) Die Agetur wählt dieses Verfahre, da da der für sie schlimme Fehler der Bekatheitsgrad ist besser geworde, wird aber icht bezahlt miimiert wird. Also H : p =,4 ud H 1 : p <,4 α = 9,1 %. Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 78

9 Schülerbuchseite Lösuge vorläufig 17 a) z. B. Eisetzverfahre: a + 4 ( a 7) = 7 a = 5; b = b) z. B. Additiosverfahre ( (II) (I)): = uedlich viele Lösuge; L = {(x y) x = _ y + ; y * R} c) z. B. Additiosverfahre ( (II) + (I)): = 4 L = { } d) z. B. Additiosverfahre (4 (II) + (I)): 8 a = 8 a = 1; b = 18 a) Amplitude: ; eriode: ; Verschiebug: b) Amplitude: 1,5; eriode: π; Verschiebug: π y y 1 x 1 x 1 O O Thema: Taxiproblem S. 11 z m p 1 () _ + 1 = + 1 ma muss 1 abziehe () beobachtetes Maximum = icht äder (4) = icht äder (1 1) + ( 1) + ( ) + + ( ( 1) ) (5) + = + _ 1 = _ + 1 = + 1 Zieht ma hiervo 1 ab ud lässt weg, da ergibt sich auch wieder. Idividuelle Lösuge a) (1) 154; () bleibt bei 69 1 = 17; () ; (4) 4; (5) 9 Das Verfahre liegt weit vo eier mögliche Obergreze etfert. b) z. B: durch Eifüge weiterer Werte zwische x 4 ud x 5 oder idem ma de obere Bereich mehr gewichtet oder idem ma utere Werte weglässt. Erst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1 Alle Rechte vorbehalte. Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayer, Lösuge ud Materialie Klasse 1 IV Beurteilede Statistik 79