1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

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1 Schülerbuchseite 5 5 Lösungen vorläuig VI Natürliche Eponential- und Logarithmusunktion Die natürliche Eponentialunktion und ihre Ableitung S. 5 Durch Ausprobieren erkennt man, dass < a <, bzw. sogar,5 < a <,8., Für a =,7 hat man schon ast die Gerade, als Tangente., 0,9 0,8 a 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,5 0, S. 5 = e ; e 5,598; e 0,5,80; e 0,5; e ,55; e, 0,0; e e 5,5; e ,008; e,7,00 a) () = e + entsteht aus dem,8 Graphen von () = e durch Verschiebung um nach oben.,,, b) () = e ist eine Streckung des Graphen von () = e mit,8, dem Faktor., c) () = e ist eine Spiegelung an, der -Achse. 0,8 d) () = e ist eine Verschiebung 0, um nach rechts. 0, 0, 0, 0, 0, 0,8 Ein DIN-A-Blatt ist cm breit und 9,7 cm hoch. a) Gesucht ist so, dass e 9,7; durch Probieren mit dem TR: e,9 9,7 Der Graph passt bis =,9 au das Blatt. b) e = 8857 cm 000 km Das Blatt müsste rund 000 km hoch sein. 5 a) () = e ; ( ) = e 0,5 b) () = e ; (0,5) = e 0,5,95 c) () = e e; () = e e =,5 e d) () = e e e (0) = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 5

2 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig a) () = e ; Ansatz ür g: = m + t, wobei m A = () und m B = ( ) () = e; e = e + t t = 0; t A : = e ( ) = e ; e = e + t t = e ; t B: = e + e b) m N = m A bzw. m N = m B Steigung der Normalen in A: m N = e ; Steigung der Normalen in B: m N = e 7 Parallele Tangenten haben dieselbe Steigung, also () = g () a) () = e ; g () = e = P (0 ); Q (0 0) b) () = e ; g () = e = keine Lösung möglich c) () = e ; g () = e e = e P ( e ) ; Q ( e ) 8 c () = c e ; Schnittpunkt mit der -Achse: c e 0 = c (0 c) c () = c e ; c (0) = c = 0, 0, () = 0, e 9 a) Gleichung der Tangente im Punkt P (a e a ) m P = (a) = e a ; e a = e a a + t t = e a ( a) t: = e a + ( a) e a Q: e a + ( a) e a = 0 = a b) Die -Koordinate des Punktes Q ist um kleiner als die -Koordinate des Punktes P. c) tan α = e a tan α = ea P Q e a = ea P Q P Q = oder Q = P d) Zu jedem Punkt P (a (a)) indet man immer einen. Punkt Q (a 0), der auch au der Tangente liegt. Die Verbindungsgerade PQ stellt die Tangente dar. 0 Vgl. Augabe 9. Wenn die Tangente durch (0 0) geht, hat der Berührpunkt die Koordinaten ( e). Die Tangente hat die Gleichung = e. a) Der Graph von () wird an der -Achse gespiegelt und um nach oben verschoben. b) Der Graph von () verschiebt sich um nach links. c) Der Graph von () wird an der - und der -Achse gespiegelt. d) Der Graph von () verschiebt sich um nach links und wird an der -Achse gespiegelt. () gehört zu dem lilaarbigen Graphen; (0) = 0 () gehört zu dem blauen Graphen; (0) = () gehört zu dem orangearbigen Graphen; Spiegelung von = e an der -Achse und Verschiebung um nach oben. () gehört zu dem roten Graphen; () = 0; es handelt sich um eine um nach rechts verschobene und mit dem Faktor 0,5 gestauchte Normalparabel. a) () = c e + a =, a = c e () = c e + c e ; also keine eindeutige Lösung möglich. Bsp.: c = a = e () = e + e b) (0) = c e 0 + a =, a = c (0) = c e 0 = c = () = e a = a) 8 b) 57, c) d) 5 e), ) 8,5 g) 80 h) 7 i) 57,8 k) 50 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

3 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig Die natürliche Logarithmusunktion und ihre Ableitung S a) F zugeordnet wird. b) g () = () e = e ür = g (e) = e = e ür = g (e ) = g stellt den Graph einer Funktion dar, da zu jedem * R + genau ein -Wert B e = e ür = g (e ) = g E e = e ür = g ( e ) = D C F' b E' c) g ordnet jeder positiven Zahl ihren A 5 Logarithmus zur Basis e zu. D' C' a S. 57 Teilaugabe b), Fehler im Schülerbuch? a) Schätzung: + = ln = ln 8 = ln + ln 8,0 +,08 =,8 b) Schätzung: : = ln = ln 8 = 0,9 c) Schätzung: + = ln 7 = ln 8 + ln 9 = ln 8 + ln =,8 d) Schätzung: = ln 0,75 = ln 8 = ln ln 8,0,08 = 0,98 e) Schätzung: ln = ln ln = ln,0 ) Schätzung: = 0,7 ln 8 = ln,08 = 0,9 a) ohne TR nicht lösbar b) ln (e ) = ln e = c) ln (e ) = ln e = d) ln ( e ) = ln e = e) ohne TR nicht lösbar ) ohne TR nicht lösbar g) [ln (e )] = [ ln e] = = 8 h) [ln (e ) 5 ] = ln e 0 = 0 i) ohne TR nicht lösbar a) D = R + ; () = b) D = R + ; () = c) D = R + ; () = d) D = R + ; () = e) D = R ; () = ) D = R + ; () = 5 () = gelbes Kärtchen g () = + lila Kärtchen h () = + rotes Kärtchen k () = grünes Kärtchen u () = gelbes Kärtchen v () = blaues Kärtchen Das Kärtchen 8 gehört zu keiner gegebenen Funktion. a) F () = ln + c > 0 b) F () = ln + c > 0 F () = ln ( ) + c < 0 F () = ln ( ) + c < 0 c) F () = + ln + c > 0 d) F () = 5 ln + c > 0 F () = + ln ( ) + c < 0 F () = 5 ln ( ) + c < 0 7 a) > 0: F () = 0,5 ln ; F () = = () < 0: F () = 0,5 ln ( ); F () = ( ) = = () b) > : F () = ln ( ); F () = = () < : F () = ln ( ); F () = ( ) = = () Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 7

4 Schülerbuchseite 57 Lösungen vorläuig 8 a) (0,5) = ; () = ; () = 0,5; () = 0,5 b) abgelesen: (,75) (,75) mit TR: (,7) 0,58; (,7) 0,55 9 Ansatz: = m + t a) m = (e ) = e (e = e ) = e + t t = t P: = e + b) Tangentengleichung an einem beliebigen Punkt P ( P ln P ) * G : Steigung: ( P ) = P ln P = P P + t t = ln P t P : = P + ln P A * t: = P 0 + ln P = ln P P = e t A : = e + c) Tangentengleichung siehe b): t: = P + ln P B (0 n) * t: n = P 0 + ln P n + = ln P P = e n + t B : = e (n + ) + n 0 a) Vermutung: g () ist eine Tangente an G mit g() Berührpunkt bei e b) Schnittpunkt (graphisch): A (e ) A Rechnerisch muss gelten: ln = e 5 ür = e: ln e = e e () = w. A. Tangente an G in (e ): = e a) b) P ( P ln (k P )); m = ( P ) = P 5 7 c) () = ln b p () q () h () g () () () ln (k P ) = P P + t t = ln (k P ) t P : = P + ln (k P ) A * t P : = P 0 + ln (k P ) = ln (k P ) e = k P P = e k Zu jedem k gibt es einen Berühr- punkt P ( e k ). Die Tangente durch P verläut auch durch A. Steigung der Normale in P ( P ln P ): m = P Gleichung der Normale durch 0: = P Da P Schnittpunkt von Normale und Graph () ist, gilt: ln P = P Diese Gleichung wird erüllt von P 0,5. a Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 8

5 Schülerbuchseite 58 Lösungen vorläuig S. 58 = ln ( + ) violetter Graph, da Nullstelle bei = = ln + blauer Graph, Verschiebung von ln um + in -Richtung = ln ( ) gelber Graph, da Nullstelle bei = = + + roter Graph, Nullstelle bei = Keine Graphen ür = ln, = , = ln + ln a) = ln + b) = ln ( + ) c) = ln d) = ln ( ) e) Individuelle Lösungen a) c) ln () d) b) violett: = + ln ; Verschiebung in -Richtung um nach oben blau: = ln ( +,5); Verschiebung in -Richtung um,5 nach links gelb: = ln ; Streckung in -Richtung mit Faktor rot: = ln ( ) ; Streckung in -Richtung mit Faktor 5 Für die Schnittstelle 0 muss gelten: () ln 0 = a 0 + c () 0 a 0 = (orthogonal) a = ln () alle Parabeln mit = schneiden orthogonal. Schnittpunkt au -Achse: ln 0 = 0 0 = c = also: ür = = 0,5 + 0,5 = 0,5 a) = ln nicht lösbar keine Nullstelle () = ; = 0 ür = Minimum ür T ( ), da () < 0 ür < und () > 0 ür > b) () = e ür = e = + e 5 P ( + e + e + ln ( + e) ) (0,7,58) () = e ür = e = e < 0 da + D gibt es keinen solchen Punkt. c) Berührpunkt: ( B B ln B ) Tangente durch Ursprung mit Steigung m = ( B ): B ln B = ( B ) B ln B =, also B = e B (e e ) T 5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 9

6 Schülerbuchseite 58 0 Lösungen vorläuig 7 a) D = R + b) () = ln = ( ln ) Etremwert ür ( ln ) = 0 ln =, also = e; da () > 0 ür < e und () < 0 ür > 0 H ( e e ) c) () ür 0, da () > 0 ür < e und einzige Nullstelle bei = 8 Sei J = Junge; D = Note J J D 9 D a) P (D) = 0, % b) P ( J D) = 9 0 = 0 % c) P J (D) = = 50 % d) P D ( J) = 9 9, % Ableiten zusammengesetzter Funktionen S. 59 a) h () = + e = u () (); h () = ( + ) ln = u () g () h () = e + = (u()); h () = + ln = u () g () h 5 () = (e ) + = u ( ()); h () = g (u ()) b) h 5 () = e ; h () = (Anwendung der Kettenregel) + S. 0 a) () = e b) () = e c) () = = d) () = e + e) () = + = + ) () = e g) () = e + = e + h) () = ) ( = oder () = ln ln ; () = a) ist Stammunktion von g () = () = = b) g ist Stammunktion von () = g () = ln ln = a) D = R; () = e + e = e ( + ) b) D = R + ; () = ln + = ln + c) D = R; () = e + e ( ) = e ( ) d) D = R + ; () = = oder () = ln () = e) D = R + ; () = ln = ln = ( ln + ) ) D = R; () = e ; () = e + e = e ( + ) g) D = R \[0; ]; () = ( ( ) ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) h) D = R \{ }; () = ( + ) e e ( + ) = ( e ( + ) ) ( + ) = ( e + ) ( + ) 5 a) richtig: () = e cos + e ( sin ) = e ( cos sin ) Vorzeichenehler bei der Ableitung von cos! b) richtig: () = e ln + e = e ( ln + ) Fehler bei der Ableitung von e : Richtig ist (e ) = e Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 0

7 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläuig Summe: s () = e + + ; s () = e + Dierenz: d () = e ; d () = e ; d () = + e ; d () = e Produkt: p () = e ( + ); p () = e ( + ) + e = e ( + + ) Quotient : q () = e + ; q () = ( + ) e e ( + ) = e ( + ) ( + ) Quotient : q () = + e ; q () = e ( + ) e 9 e = e ( ) 9 e = e ( + ) Verkettung: Verkettung: (g ()) = e ( + ) = e + ; (g ()) = e + = e + g ( ()) = ( e ) + = 9 e + ; g ( ()) = e 7 a) () = e ; () = e b) () = ln ln ( + ); ( > 0); () = + Kontrolle: Jeweils Etremstellen von mit Nullstellen von c) () = ( ln + ln ) ; () = vergleichen. Ebenso Steigungsverhalten von d) () = e + e = e ( + ); () = e und Vorzeichen. zu a) zu b) ' A 5 B ' zu c) zu d) ' 5 5 ' 5 5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

8 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläuig 8 v () = 0 ür = 0 und =, v () > 0 ür < 0 und > ; v () < 0 ür 0 < < Somit gilt ür v (): v hat bei = 0 einen Hochpunkt und bei = einen Tiepunkt. Ebenso gilt ür () = e v () : hat Hochpunkt bei und Tiepunkt bei. () 5 v () v() 9 waagrechte Tangente, wenn () = 0. a) () = e ; e = 0 wenn = e = 0 P (0 ) b) () = e + e = e ( + ); e ( + ) = 0 wenn + = 0 = P ( e ) c) () = ln ln = ; ln = 0 wenn ln = = e P ( e e ) d) () = e + + e + = e + ( + ); e + ( + ) = 0 wenn + = 0 = P ( ) 0 () F () = = () F () = = () F () = (ln + ) + ln ( + ) = ln + + ln ln = ln + ln + () F () = ln + = ln + = ln F () = ln ist Stammunktion von () = ln Graph der Funktion: schwarz; Graph der Ableitung: grün; Graph der Stammunktion: blau Grad von = ; die beiden Etremwerte sind Nullstellen der Ableitung (). Nullstellen von () sind die Etremwerte der Stammunktionen F (). Ebenso möglich: Prüen des jeweiligen Monotonieverhaltens. a) e + > 0 ür alle * R D = R c) b) F () = e + e = e e +,5,5 F 0,5 5 () = e + Gleichung einer Tangente: = m + t T P : m = ( ) = e 8 P ( e 8 e ) 8 = e 8 ( ) + t t = e e 8 = 9 e 8 ; T P : = e e 8 T P : m = () = e 8 P ( e 8 e ) 8 = e 8 + t t = e e 8 = 9 e 8 ; T P : = e e 8 Schnittpunkt: T P = T P : e e = e e 8 = 0; S (0 9 e 8 ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

9 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläuig () = g (); = m + m + = 0 m 0: / = ± m m Es gibt genau eine Lösung, wenn + m = 0, g S( ) also ür m =. Dann gilt ür S: = = ( ± 0 = S ( ) ) 5 m = 0 = S ( ) Eponentialunktionen und Eponentialgleichungen S. Zu lösen ist die Gleichung,85 Mrd. = 0,99 e 0,09 t Mrd. Durch Probieren (z. B. ür t = 0, t = 0, t = 0, t = 0) erkennt man, dass 0 < t < 0 sein muss. Genaueres Anhähern ergibt 5 < t <. Der genaue (gerundete) Wert ergibt t 5,87, d. h. im Jahr 0 hat sich die Zahl der Einwohner Indiens verdoppelt. Rechnet man mit doppelt so viel, ist e 0,09 t, also t =,. Aus der Deinition von ln olgt e ln =. Also: = e ln k = ln. S. a) b) e ln = ln = c) d) e) e ln = (e ln ) = 8 ) ln ( e ) = ln + ln e = ln ln + = ln g) ln ( e ) = ln ln + ln e = ln h) e ln = ( e ln ) = = i) ln e = ln ar a) ln a s = r ln a s ln a = r s c) a ln a = e ln ( a ln a ) = e ln a ln a = e b) a b ln a = e ln ( a b ln a ) = e ln b ln a ln a = e ln b = b 5 a) richtig; Anwendung der Potenzgesetze: () = e e + = e + + = e + b) alsch; () = e = e ln e = e ln + a) richtig; () = = (e ln ) = e ln = e ln a) e = ln e = ln = ln b) e = 000 ln e = ln 000 = ln 000 c) e 0,5 = hat keine Lösung d) ln ( ) ln = ln ( ) = e ln ( ) = e = e e) e + = 5 e + =,5 ln e + = ln,5 = ln,5 ) ln ( ) + ln ( ) = ln + ln = ln = e ln = e = e 7 () = e = e ; () = e = e = ln e = ln somit = ln 8 a) = ln = ln = ln ln b) = = ln = ln = ln ln c) = = = ln = ln = ln ln d) = = = hat keine Lösung Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

10 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 9 a) e = e = Eponentenvergleich b) e = e = Eponentenvergleich c) e (e ) = 0 e = = ln ; e > 0, Produktwert = 0, wenn mindestens Faktor = 0 d) (e ) (ln ) = 0 e = oder ln =, also = 0 oder = e e) e e = 0 e (e ) = 0 e Begründung wie = = ln ) ln (ln ) = 0 ln = 0 oder ln = = oder = e bei Teilaugabe c) 0 a) u = e ; u 7 u + = 0; u / = 7 ± ; u = ; u = e = = ln ; e = = ln b) u = e ; u u + = 0 (u ) = 0 u = e = = 0 c) (e ) e 5 = 0 e = u; u u 5 = 0; u / = ± ; u = 5; u = e = 5 = ln 5 (e = nicht lösbar) d) e = u; u u 0 = 0; u / = ; u = 5; u = e = 5 = ln 5 (e = nicht lösbar) a) b) e = e = = ln 5 D B ( ln ) B c) e = 5 e = 5 = ln 5,5 0,5 0,5,5 C C ( ln 5 5 ) d) () = e ; e = e = = = ln = ln D ( ln ) a) () = (e ln ) = e ln ; () = ln e ln = ln,8 F () = ln e ln = ln b) () = e ln ( ) ; () = ln ( ) e ln ( ) = ln ( ) ( ) 0,055 ( ) F () = ln ( ) e ln ( ) = ln ( ( ) ) c) () = e ( ) ln ; () = ln e ( ) ln = ln 0,9 F () = e ( ) ln = ln e d) () = 0,5 = ( ) = = e ( ) ln ; () = ln e ( ) ln = ln,8 F () = ln e( ) ln = ln 0,5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

11 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig a) b) B (,5,5) A (,8 0,) a A(,7 0,57) 5 5 g,8;,5,7 c) d) 5 B(,7 5,5) a A(,0,0) g A(0,0,0) 5 5 h 0,0;,7,0;, a) 5 ( ) = b) ( ) ( + ) ( ) + = ( ) ( + ) ( ) + = ( ) c) a + b ( a b ) = a + b ( a ab + b ) = ab 5 Eponential- und Logarithmusunktionen und ihre Graphen S. g = 0 e ; Vermutung: lim 0 e = 0 g = 0 e ; Vermutung: lim 0 e = g = e 0 ; Vermutung: lim e 0 = + a) () = e + gehört zum gelben Graph; (0) = ; lim () = + ± b) g () = + e gehört zum blauen Graph; (0) = 0; lim () = + ; lim () = 0 + c) h () = ln ( 0,5) gehört zum schwarzen Graph; (,5) = 0; lim () = 0 d) k () = e gehört zum roten Graph; (0) = ; () < 0 ür alle * D lim () = 0 ± Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 5

12 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig S. 5 a) lim + ( e 7 ) = 7; lim ( e 7 ) = + Asmptote: = 7 lim b) lim + ( 5 e ) = 0; ( 5 e ) = Asmptote: = 0 c) lim + ( 8 ln ) = 0; lim ( 8 ln 0 ) = Asmptote: = 0 d) lim ( e ) = ; lim ( + e ) = e) lim ( e 7 ) = + ; lim + ( e 7 ) = + keine Asmptoten ) lim + ln ( ) = 0; lim ln ( ) = 0 Asmptote: = 0 g) lim 5 ln = + ; lim 5 ln = 0 keine Asmptote + 0 h) lim e = 0; lim e = 0 Asmptote: = i) lim + ( + ln ) = 0; lim 0 ( + ln ) = Asmptote: = 0 k) lim + e = + ; lim e = 0 Asmptote: = b e 8 g 0 k 5 c i g d 0 a 5 h Vorgehensweise ür alle Teilaugaben: Man bestimmt spezielle Funktionswerte und das Verhalten ür lim. ± a) () = e ; (0) = e ; () = lim e = 0, also -Achse ist Asmptote + b) g () = 0,5 e + ; (0) =,5 lim ( 0,5 e + ) = ; lim + ( 0,5 e + ) = + c) h () = 0,5 e ; (0) = ; lim ( 0,5 e ) = ; lim + ( 0,5 e ) = ; Asmptote: = 0,5 d) k () = + e ; k (0) = lim ( + e ) = +, lim + ( + e ) = ; Asmptote: = 0 8 k() () 8 h() g() Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

13 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig 5 a) lim + e = 0 richtig (Satz); lim 0 e = + alsch; richtig: lim 0 e = 0 b) lim + 0 e = lim ( 0 e + e ) = 0 richtig; lim + + e = 0 richtig; (e wächst stärker als ) c) lim ln = alsch; 0 richtig: lim ln = 0; 0 lim ln = + richtig d) lim 0 + = 0 richtig; ln lim + + = 0 alsch; ln richtig: lim + + ln = + e) lim e = + alsch; richtig: lim < e = ; (ln steigt langsamer als + ) lim > e = + richtig d) 8 e) b) c) a) d) e) ) Individuelle Lösungen S. a) D = R; lim + e = 0; Asmptote: = 0 b) D = R + ; lim ln + = ; lim ln 0 = 0 keine Asmptote c) D = R \{0}; lim + e = ; lim e = ; Asmptote: = lim e = + ; 0 Asmptote: = 0 > 0 d) D = R; lim + ( + ) e = 0; Asmptote: = 0 7 Die drei Graphen sind achsensmmetrisch zur -Achse. () Es gilt: lim () = + ür alle ± drei Funktionen. 5 g() 5 7 Die -Achse ist senkrechte Asmptote. D = R \{0} ür und g. D h = R \[ ; ] 5 h() Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 7

14 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 8 a) () = e ; () = 0 ür = ln ; (ln ) = ln E (ln 0,) () > 0 ür < < ln ; () < 0 ür ln < < + E ist Maimum. W = ] ; ln ] keine Nullstelle b) () = 0,5 e ; () = 0 ür = ln ; ( ln ) = ln E ( ln 0,) () < 0 ür < < ln ; () > 0 ür ln < < + E ist Minimum. W = [ ln + ; + [ keine Nullstelle c) () = e e ; () = 0 ür = 0; (0) = E (0 ) () < 0 ür < < 0; () > 0 ür 0 < < + E ist Minimum. W = [ ; + [ keine Nullstelle d) () = ln ; () = 0 ür = e; (e) = e E (e e) (ln ) () < 0 ür 0 < < e; () > 0 ür e < < + E ist Minimum. W = ] ; 0 [, [ e ; [ keine Nullstelle 9 a) () = 5 e ; D = R einzige Nullstelle: = 0 () = 5 e + 5 e = 5 e ( + ) () = 0 ür = () < 0 ür < < ; () > 0 ür < < + Minimum ( 5 e ) lim 5 e = 0; = 0 ist Asmptote. 8 c) () = e + ; D = R einzige Nullstelle ür = 0 () = e + + e + ( ) = e + ( ) () = 0 ür = () > 0 ür < < ; () < 0 ür < < + Maimum ( ) lim + e + = 0; = 0 ist Asmptote. 8 8 b) () = ( + ) e ; D = R einzige Nullstelle ür = () = e + ( + ) e = e ( + ) () = 0 ür = () < 0 ür < < ; () > 0 ür < < + Minimum ( e ) lim ( + ) e = 0; = 0 ist Asmptote. 8 d) () = ln ( ); D = ] ; + [ einzige Nullstelle ür = () = ; kein Etremwert; () > 0 ür * D G steigt monoton. 8 lim ln ( ) = + ; lim ln ( ) = + (keine Asmptoten) 8 8 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 8

15 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig e) () = e ; D = R einzige (doppelte) Nullstelle ür = 0 () = e e = e ( ) () = 0 ür = 0 oder = () < 0 ür < < 0; () > 0 ür 0 < < () < 0 ür < < + Minimum (0 0); Maimum ( 8 e ) lim + e = 0; = 0 ist Asmptote. ) () = sin ( π ) ; D = R Nullstellen ür = π ( k + ) k * Z Etremstellen: () = cos ( π ) ; () = 0 = π (k + ) Hochpunkte ür k gerade Tiepunkte ür k ungerade keine Asmptoten g) () = + ; D = R \{ } einzige doppelte Nullstelle ür = 0 () = + ( + ) = ( + ) ( + ) ; () = 0 ür = 0 oder = () > 0 ür < < ; () < 0 ür < < ; Maimum ( ) () < 0 ür < < 0; () > 0 ür 0 < < ; Minimum (0 0) = ist senkrechte Asmptote. = ist schräge Asmptote ( + = + + ). 8 h) () = 5 ln ; D = R + einzige Nullstelle ür = () = 0 ln + 5 = 5 ( ln + ) () = 0 ür = e () < 0 ür 0 < < e ; () > 0 ür e < < + Minimum ( e,5 e ) keine Asmptoten Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 9

16 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 0 G = G v ; v (0) = ; G v ist achsensmmetrisch zur -Achse; v () 0,07; v ( ) 0,07 G = G p ; p (0) = ; G p ist achsensmmetrisch zur -Achse; G p ist eine Parabel. G = G h ; h (0) = ; h () = 0; lim h () = ; lim h () = + + G = G k ; k (0) = ; keine Nullstellen; G k ist achsensmmetrisch zur -Achse; k () = ; k ( ) = G 5 = G u ; u (0) = ; G u hat Minimum bei (0 ). G = G ; (0) = 0; G ist achsensmmetrisch zur -Achse; W = R 0 + a) () = e ; F () = e + + c c * R b) () = e 0,5 ; F () = e 0,5 + c c * R c) () = ln e ( + ) ln = + ln ; F () = ln e ( + ) ln = ln + + c c * R d) () = ln 0, e ln 0, = 0, ln 0,; F () = ln 0, e ln 0, + + c = ln 0, 0, + + c c * R () = ( ) e a) hat bei = eine doppelte Nullstelle, somit hat G im Punkt P ( 0) einen Etrempunkt; der linke Graph gehört zu G. b) Der rechte Graph ist der an der -Achse gespiegelte G ; also g: ( + ) e a) h () = ln ; D h = R + ; lim h () = ; lim h () = b) h () = ln ; D h = R + ; lim h () = 0; lim h () = + c) h () = ln ; D h = R + ; lim h () = + ; lim h () = d) h () = ln ; D h = R + \{}; lim h () = 0; lim () = ; lim/ > h () = + ; lim h () = 0 < h + e) h () = ln ( ) ; D h = R + ; lim h () = ; lim h () = ) h () = ln () ; D h = [ ; + [; lim h () = + 7 b) a) d) c) ) e) d) () = a e k ; () = k a e k I. () = e e = a e k II. (0) = = a k a = ; k = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 0

17 Schülerbuchseite 7 Lösungen vorläuig S. 7 5 () = (ln ) ; doppelte Nullstelle ür = a) () = ln ; () = 0 ür = ; () < 0 ür 0 < < ; () > 0 ür < < + ; P ( 0) ist Minimum. b) Gleichung der Ursprungsgeraden: = m ; m = () = ln Für Berührpunkt B ( B (ln B ) ) * Ursprungsgeraden (ln B ) = B ln B B (ln B ) = ln B ln B = 0 oder ln B = B = oder B = e Tangenten: = 0 oder = e c) F () = (ln ) + ln ln + = (ln ) + ln ln + = (ln ) a) z. B. () = ln ( ) [() = ln ( + )] b) z. B. () = e + [() = e ] c) z. B. () = e + [() = ln ] d) z. B. () = e + e 7 a) () = 0 ür =, also Schnittpunkt mit der -Achse ( 0). (0) =, also Schnittpunkt mit der -Achse (0 ). (Lage der -Achse und Einheiten siehe Graphik) b) () = e + ( ) e = e ( ); () = 0 ür = () < 0 ür < < () > 0 ür < < + P ( e) ist Tiepunkt. 5 8 a) Erkennbare Merkmale: 5. Achsensmmetrie zur -Achse: ( ) = e + e ( ) = (). Nullstelle bei (0 0): (0) = e 0 + e 0 = 0. Tiepunkt bei (0 0): () = e e b) g () = + a + b; g () = + a g (0) = (0) = 0 b = 0 g (0) = (0) = 0 a = 0 gesuchte Funktion: g () = () = 0 wenn e = e bzw. = somit Etremstelle bei (0 0) () < 0 ür < < 0 () > 0 ür 0 < < + Tiepunkt bei (0 0) 9 L = 0 lg Ø Ø 0 ; Flüstern: Einsetzen von L = 0 ergibt = lg ( Ø 0 Ø0 ), also Ø 0 = 0 Ø 0 oder Ø 0 = 00 Ø 0 ; Normale Unterhaltung: Einsetzen von L = 0 ergibt = lg ( Ø 0 Ø0 ), also Ø 0 = 0 Ø 0 oder Ø 0 = 0000 Ø 0. Damit ist Ø 0 = 00 Ø 0, d. h. die Schallintensität ist beim normalen Reden 00-mal größer gegenüber der beim Flüstern. 0 a; c () = a c ( e c + e c ) a) a; c ( ) = a c ( e c + e c ( ) ) = a c ( e c + e c ) = a; c (); Achsensmmetrie zur -Achse b) a; c () = a c ( e c e c ) ; a; c () = 0 ür e c = e c, also c = c, somit = 0 Minimum ( 0 a c ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

18 Schülerbuchseite 7 9 Lösungen vorläuig c) Es muss gelten: I. c (0) = a c = 5 aus I: a = 5 c eingesetzt in II: II. c (00) = a c ( e 00 c + e 00 c ) = 0 5 ( e 00 c + e 00 c ) = 0 e 00 c + e 00 c = 0 Substitution u = e 00 c : u + u = 0 u u + = 0; u = ,9; u = ,089 u = e 00 c olgt c 0,07789 oder c 0,07789 Damit erhält man in beiden Fällen dieselbe Funktion: () =,5 ( e 0, e 0,0779 ) d) () = 0,097 ( e 0, e 0,0779 ) (00) = 0,798; tan φ = 0,798 ergibt ein Geälle von ca. 7 %. φ, e) Bedingung: () = 5, also,5 ( e 0, e 0,0779 ) = 5 Substitution: u = e 0,0779 : u + u = 0 u u + = 0; u = ,88 u = ,757 u = e 0,0779 olgt: 7, Die Seilhöhe beträgt im Abstand von ca. 7 m, gemessen von der tiesten Stelle, 5 m. ) Bedingung: () = 0,, also 0,097 ( e 0,0779 e 0,0779 ) = 0, Daraus erhält man 50,7 Ein Stuntman könnte das Seil au einer Strecke von gut 00 m beahren. a) Jeder Repräsentant von g liegt parallel zur Geraden g. Somit gibt g die Richtung der Geraden g an. g: Ein Steigungsdreieck von g hat die Katheten und, also gibt = + t der Vektor ( ) die Richtung von g an. t g = ( ) Wegen g. ( b) n: = + t; n = ( ) ; n g = ( ) = ( ) gilt dies auch ür ) ( ) = + ( ) = = 0 Die Vektoren n und g stehen senkrecht aueinander, somit ist auch die Gerade n senkrecht zur Geraden g. Die Euler sche Zahl e S. 9 a) K 0 = K 0 ( + p 00 ) 0 = K = ( + p 00 ) 0 = ( + p 00 ) 0 p = 00 ( ),5 Der Jahreszinssatz beträgt etwa,5 %. b) K 0 = K 0,05 0 = 0000,05 0 5,98 c) K 0 = K 0 ( ) 700 = ( ) ,9 a) t 0 = 0 n (t 0 + 0) = n (t); n (t 0 ) = n (0) = 000 n (t) = n (0) +,75 t n (0) = t = 000 ( +,75 t) b) n (5) = 000 ( +,75 t 5) = 7 50 Es muss gelten: s n + s n = (n + )! < 0. Dies ist ab n = 9 der Fall. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion