1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung"

Transkript

1 Schülerbuchseite 5 5 Lösungen vorläuig VI Natürliche Eponential- und Logarithmusunktion Die natürliche Eponentialunktion und ihre Ableitung S. 5 Durch Ausprobieren erkennt man, dass < a <, bzw. sogar,5 < a <,8., Für a =,7 hat man schon ast die Gerade, als Tangente., 0,9 0,8 a 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,5 0, S. 5 = e ; e 5,598; e 0,5,80; e 0,5; e ,55; e, 0,0; e e 5,5; e ,008; e,7,00 a) () = e + entsteht aus dem,8 Graphen von () = e durch Verschiebung um nach oben.,,, b) () = e ist eine Streckung des Graphen von () = e mit,8, dem Faktor., c) () = e ist eine Spiegelung an, der -Achse. 0,8 d) () = e ist eine Verschiebung 0, um nach rechts. 0, 0, 0, 0, 0, 0,8 Ein DIN-A-Blatt ist cm breit und 9,7 cm hoch. a) Gesucht ist so, dass e 9,7; durch Probieren mit dem TR: e,9 9,7 Der Graph passt bis =,9 au das Blatt. b) e = 8857 cm 000 km Das Blatt müsste rund 000 km hoch sein. 5 a) () = e ; ( ) = e 0,5 b) () = e ; (0,5) = e 0,5,95 c) () = e e; () = e e =,5 e d) () = e e e (0) = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 5

2 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig a) () = e ; Ansatz ür g: = m + t, wobei m A = () und m B = ( ) () = e; e = e + t t = 0; t A : = e ( ) = e ; e = e + t t = e ; t B: = e + e b) m N = m A bzw. m N = m B Steigung der Normalen in A: m N = e ; Steigung der Normalen in B: m N = e 7 Parallele Tangenten haben dieselbe Steigung, also () = g () a) () = e ; g () = e = P (0 ); Q (0 0) b) () = e ; g () = e = keine Lösung möglich c) () = e ; g () = e e = e P ( e ) ; Q ( e ) 8 c () = c e ; Schnittpunkt mit der -Achse: c e 0 = c (0 c) c () = c e ; c (0) = c = 0, 0, () = 0, e 9 a) Gleichung der Tangente im Punkt P (a e a ) m P = (a) = e a ; e a = e a a + t t = e a ( a) t: = e a + ( a) e a Q: e a + ( a) e a = 0 = a b) Die -Koordinate des Punktes Q ist um kleiner als die -Koordinate des Punktes P. c) tan α = e a tan α = ea P Q e a = ea P Q P Q = oder Q = P d) Zu jedem Punkt P (a (a)) indet man immer einen. Punkt Q (a 0), der auch au der Tangente liegt. Die Verbindungsgerade PQ stellt die Tangente dar. 0 Vgl. Augabe 9. Wenn die Tangente durch (0 0) geht, hat der Berührpunkt die Koordinaten ( e). Die Tangente hat die Gleichung = e. a) Der Graph von () wird an der -Achse gespiegelt und um nach oben verschoben. b) Der Graph von () verschiebt sich um nach links. c) Der Graph von () wird an der - und der -Achse gespiegelt. d) Der Graph von () verschiebt sich um nach links und wird an der -Achse gespiegelt. () gehört zu dem lilaarbigen Graphen; (0) = 0 () gehört zu dem blauen Graphen; (0) = () gehört zu dem orangearbigen Graphen; Spiegelung von = e an der -Achse und Verschiebung um nach oben. () gehört zu dem roten Graphen; () = 0; es handelt sich um eine um nach rechts verschobene und mit dem Faktor 0,5 gestauchte Normalparabel. a) () = c e + a =, a = c e () = c e + c e ; also keine eindeutige Lösung möglich. Bsp.: c = a = e () = e + e b) (0) = c e 0 + a =, a = c (0) = c e 0 = c = () = e a = a) 8 b) 57, c) d) 5 e), ) 8,5 g) 80 h) 7 i) 57,8 k) 50 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

3 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig Die natürliche Logarithmusunktion und ihre Ableitung S a) F zugeordnet wird. b) g () = () e = e ür = g (e) = e = e ür = g (e ) = g stellt den Graph einer Funktion dar, da zu jedem * R + genau ein -Wert B e = e ür = g (e ) = g E e = e ür = g ( e ) = D C F' b E' c) g ordnet jeder positiven Zahl ihren A 5 Logarithmus zur Basis e zu. D' C' a S. 57 Teilaugabe b), Fehler im Schülerbuch? a) Schätzung: + = ln = ln 8 = ln + ln 8,0 +,08 =,8 b) Schätzung: : = ln = ln 8 = 0,9 c) Schätzung: + = ln 7 = ln 8 + ln 9 = ln 8 + ln =,8 d) Schätzung: = ln 0,75 = ln 8 = ln ln 8,0,08 = 0,98 e) Schätzung: ln = ln ln = ln,0 ) Schätzung: = 0,7 ln 8 = ln,08 = 0,9 a) ohne TR nicht lösbar b) ln (e ) = ln e = c) ln (e ) = ln e = d) ln ( e ) = ln e = e) ohne TR nicht lösbar ) ohne TR nicht lösbar g) [ln (e )] = [ ln e] = = 8 h) [ln (e ) 5 ] = ln e 0 = 0 i) ohne TR nicht lösbar a) D = R + ; () = b) D = R + ; () = c) D = R + ; () = d) D = R + ; () = e) D = R ; () = ) D = R + ; () = 5 () = gelbes Kärtchen g () = + lila Kärtchen h () = + rotes Kärtchen k () = grünes Kärtchen u () = gelbes Kärtchen v () = blaues Kärtchen Das Kärtchen 8 gehört zu keiner gegebenen Funktion. a) F () = ln + c > 0 b) F () = ln + c > 0 F () = ln ( ) + c < 0 F () = ln ( ) + c < 0 c) F () = + ln + c > 0 d) F () = 5 ln + c > 0 F () = + ln ( ) + c < 0 F () = 5 ln ( ) + c < 0 7 a) > 0: F () = 0,5 ln ; F () = = () < 0: F () = 0,5 ln ( ); F () = ( ) = = () b) > : F () = ln ( ); F () = = () < : F () = ln ( ); F () = ( ) = = () Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 7

4 Schülerbuchseite 57 Lösungen vorläuig 8 a) (0,5) = ; () = ; () = 0,5; () = 0,5 b) abgelesen: (,75) (,75) mit TR: (,7) 0,58; (,7) 0,55 9 Ansatz: = m + t a) m = (e ) = e (e = e ) = e + t t = t P: = e + b) Tangentengleichung an einem beliebigen Punkt P ( P ln P ) * G : Steigung: ( P ) = P ln P = P P + t t = ln P t P : = P + ln P A * t: = P 0 + ln P = ln P P = e t A : = e + c) Tangentengleichung siehe b): t: = P + ln P B (0 n) * t: n = P 0 + ln P n + = ln P P = e n + t B : = e (n + ) + n 0 a) Vermutung: g () ist eine Tangente an G mit g() Berührpunkt bei e b) Schnittpunkt (graphisch): A (e ) A Rechnerisch muss gelten: ln = e 5 ür = e: ln e = e e () = w. A. Tangente an G in (e ): = e a) b) P ( P ln (k P )); m = ( P ) = P 5 7 c) () = ln b p () q () h () g () () () ln (k P ) = P P + t t = ln (k P ) t P : = P + ln (k P ) A * t P : = P 0 + ln (k P ) = ln (k P ) e = k P P = e k Zu jedem k gibt es einen Berühr- punkt P ( e k ). Die Tangente durch P verläut auch durch A. Steigung der Normale in P ( P ln P ): m = P Gleichung der Normale durch 0: = P Da P Schnittpunkt von Normale und Graph () ist, gilt: ln P = P Diese Gleichung wird erüllt von P 0,5. a Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 8

5 Schülerbuchseite 58 Lösungen vorläuig S. 58 = ln ( + ) violetter Graph, da Nullstelle bei = = ln + blauer Graph, Verschiebung von ln um + in -Richtung = ln ( ) gelber Graph, da Nullstelle bei = = + + roter Graph, Nullstelle bei = Keine Graphen ür = ln, = , = ln + ln a) = ln + b) = ln ( + ) c) = ln d) = ln ( ) e) Individuelle Lösungen a) c) ln () d) b) violett: = + ln ; Verschiebung in -Richtung um nach oben blau: = ln ( +,5); Verschiebung in -Richtung um,5 nach links gelb: = ln ; Streckung in -Richtung mit Faktor rot: = ln ( ) ; Streckung in -Richtung mit Faktor 5 Für die Schnittstelle 0 muss gelten: () ln 0 = a 0 + c () 0 a 0 = (orthogonal) a = ln () alle Parabeln mit = schneiden orthogonal. Schnittpunkt au -Achse: ln 0 = 0 0 = c = also: ür = = 0,5 + 0,5 = 0,5 a) = ln nicht lösbar keine Nullstelle () = ; = 0 ür = Minimum ür T ( ), da () < 0 ür < und () > 0 ür > b) () = e ür = e = + e 5 P ( + e + e + ln ( + e) ) (0,7,58) () = e ür = e = e < 0 da + D gibt es keinen solchen Punkt. c) Berührpunkt: ( B B ln B ) Tangente durch Ursprung mit Steigung m = ( B ): B ln B = ( B ) B ln B =, also B = e B (e e ) T 5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 9

6 Schülerbuchseite 58 0 Lösungen vorläuig 7 a) D = R + b) () = ln = ( ln ) Etremwert ür ( ln ) = 0 ln =, also = e; da () > 0 ür < e und () < 0 ür > 0 H ( e e ) c) () ür 0, da () > 0 ür < e und einzige Nullstelle bei = 8 Sei J = Junge; D = Note J J D 9 D a) P (D) = 0, % b) P ( J D) = 9 0 = 0 % c) P J (D) = = 50 % d) P D ( J) = 9 9, % Ableiten zusammengesetzter Funktionen S. 59 a) h () = + e = u () (); h () = ( + ) ln = u () g () h () = e + = (u()); h () = + ln = u () g () h 5 () = (e ) + = u ( ()); h () = g (u ()) b) h 5 () = e ; h () = (Anwendung der Kettenregel) + S. 0 a) () = e b) () = e c) () = = d) () = e + e) () = + = + ) () = e g) () = e + = e + h) () = ) ( = oder () = ln ln ; () = a) ist Stammunktion von g () = () = = b) g ist Stammunktion von () = g () = ln ln = a) D = R; () = e + e = e ( + ) b) D = R + ; () = ln + = ln + c) D = R; () = e + e ( ) = e ( ) d) D = R + ; () = = oder () = ln () = e) D = R + ; () = ln = ln = ( ln + ) ) D = R; () = e ; () = e + e = e ( + ) g) D = R \[0; ]; () = ( ( ) ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) h) D = R \{ }; () = ( + ) e e ( + ) = ( e ( + ) ) ( + ) = ( e + ) ( + ) 5 a) richtig: () = e cos + e ( sin ) = e ( cos sin ) Vorzeichenehler bei der Ableitung von cos! b) richtig: () = e ln + e = e ( ln + ) Fehler bei der Ableitung von e : Richtig ist (e ) = e Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 0

7 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläuig Summe: s () = e + + ; s () = e + Dierenz: d () = e ; d () = e ; d () = + e ; d () = e Produkt: p () = e ( + ); p () = e ( + ) + e = e ( + + ) Quotient : q () = e + ; q () = ( + ) e e ( + ) = e ( + ) ( + ) Quotient : q () = + e ; q () = e ( + ) e 9 e = e ( ) 9 e = e ( + ) Verkettung: Verkettung: (g ()) = e ( + ) = e + ; (g ()) = e + = e + g ( ()) = ( e ) + = 9 e + ; g ( ()) = e 7 a) () = e ; () = e b) () = ln ln ( + ); ( > 0); () = + Kontrolle: Jeweils Etremstellen von mit Nullstellen von c) () = ( ln + ln ) ; () = vergleichen. Ebenso Steigungsverhalten von d) () = e + e = e ( + ); () = e und Vorzeichen. zu a) zu b) ' A 5 B ' zu c) zu d) ' 5 5 ' 5 5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

8 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläuig 8 v () = 0 ür = 0 und =, v () > 0 ür < 0 und > ; v () < 0 ür 0 < < Somit gilt ür v (): v hat bei = 0 einen Hochpunkt und bei = einen Tiepunkt. Ebenso gilt ür () = e v () : hat Hochpunkt bei und Tiepunkt bei. () 5 v () v() 9 waagrechte Tangente, wenn () = 0. a) () = e ; e = 0 wenn = e = 0 P (0 ) b) () = e + e = e ( + ); e ( + ) = 0 wenn + = 0 = P ( e ) c) () = ln ln = ; ln = 0 wenn ln = = e P ( e e ) d) () = e + + e + = e + ( + ); e + ( + ) = 0 wenn + = 0 = P ( ) 0 () F () = = () F () = = () F () = (ln + ) + ln ( + ) = ln + + ln ln = ln + ln + () F () = ln + = ln + = ln F () = ln ist Stammunktion von () = ln Graph der Funktion: schwarz; Graph der Ableitung: grün; Graph der Stammunktion: blau Grad von = ; die beiden Etremwerte sind Nullstellen der Ableitung (). Nullstellen von () sind die Etremwerte der Stammunktionen F (). Ebenso möglich: Prüen des jeweiligen Monotonieverhaltens. a) e + > 0 ür alle * R D = R c) b) F () = e + e = e e +,5,5 F 0,5 5 () = e + Gleichung einer Tangente: = m + t T P : m = ( ) = e 8 P ( e 8 e ) 8 = e 8 ( ) + t t = e e 8 = 9 e 8 ; T P : = e e 8 T P : m = () = e 8 P ( e 8 e ) 8 = e 8 + t t = e e 8 = 9 e 8 ; T P : = e e 8 Schnittpunkt: T P = T P : e e = e e 8 = 0; S (0 9 e 8 ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

9 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläuig () = g (); = m + m + = 0 m 0: / = ± m m Es gibt genau eine Lösung, wenn + m = 0, g S( ) also ür m =. Dann gilt ür S: = = ( ± 0 = S ( ) ) 5 m = 0 = S ( ) Eponentialunktionen und Eponentialgleichungen S. Zu lösen ist die Gleichung,85 Mrd. = 0,99 e 0,09 t Mrd. Durch Probieren (z. B. ür t = 0, t = 0, t = 0, t = 0) erkennt man, dass 0 < t < 0 sein muss. Genaueres Anhähern ergibt 5 < t <. Der genaue (gerundete) Wert ergibt t 5,87, d. h. im Jahr 0 hat sich die Zahl der Einwohner Indiens verdoppelt. Rechnet man mit doppelt so viel, ist e 0,09 t, also t =,. Aus der Deinition von ln olgt e ln =. Also: = e ln k = ln. S. a) b) e ln = ln = c) d) e) e ln = (e ln ) = 8 ) ln ( e ) = ln + ln e = ln ln + = ln g) ln ( e ) = ln ln + ln e = ln h) e ln = ( e ln ) = = i) ln e = ln ar a) ln a s = r ln a s ln a = r s c) a ln a = e ln ( a ln a ) = e ln a ln a = e b) a b ln a = e ln ( a b ln a ) = e ln b ln a ln a = e ln b = b 5 a) richtig; Anwendung der Potenzgesetze: () = e e + = e + + = e + b) alsch; () = e = e ln e = e ln + a) richtig; () = = (e ln ) = e ln = e ln a) e = ln e = ln = ln b) e = 000 ln e = ln 000 = ln 000 c) e 0,5 = hat keine Lösung d) ln ( ) ln = ln ( ) = e ln ( ) = e = e e) e + = 5 e + =,5 ln e + = ln,5 = ln,5 ) ln ( ) + ln ( ) = ln + ln = ln = e ln = e = e 7 () = e = e ; () = e = e = ln e = ln somit = ln 8 a) = ln = ln = ln ln b) = = ln = ln = ln ln c) = = = ln = ln = ln ln d) = = = hat keine Lösung Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

10 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 9 a) e = e = Eponentenvergleich b) e = e = Eponentenvergleich c) e (e ) = 0 e = = ln ; e > 0, Produktwert = 0, wenn mindestens Faktor = 0 d) (e ) (ln ) = 0 e = oder ln =, also = 0 oder = e e) e e = 0 e (e ) = 0 e Begründung wie = = ln ) ln (ln ) = 0 ln = 0 oder ln = = oder = e bei Teilaugabe c) 0 a) u = e ; u 7 u + = 0; u / = 7 ± ; u = ; u = e = = ln ; e = = ln b) u = e ; u u + = 0 (u ) = 0 u = e = = 0 c) (e ) e 5 = 0 e = u; u u 5 = 0; u / = ± ; u = 5; u = e = 5 = ln 5 (e = nicht lösbar) d) e = u; u u 0 = 0; u / = ; u = 5; u = e = 5 = ln 5 (e = nicht lösbar) a) b) e = e = = ln 5 D B ( ln ) B c) e = 5 e = 5 = ln 5,5 0,5 0,5,5 C C ( ln 5 5 ) d) () = e ; e = e = = = ln = ln D ( ln ) a) () = (e ln ) = e ln ; () = ln e ln = ln,8 F () = ln e ln = ln b) () = e ln ( ) ; () = ln ( ) e ln ( ) = ln ( ) ( ) 0,055 ( ) F () = ln ( ) e ln ( ) = ln ( ( ) ) c) () = e ( ) ln ; () = ln e ( ) ln = ln 0,9 F () = e ( ) ln = ln e d) () = 0,5 = ( ) = = e ( ) ln ; () = ln e ( ) ln = ln,8 F () = ln e( ) ln = ln 0,5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

11 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig a) b) B (,5,5) A (,8 0,) a A(,7 0,57) 5 5 g,8;,5,7 c) d) 5 B(,7 5,5) a A(,0,0) g A(0,0,0) 5 5 h 0,0;,7,0;, a) 5 ( ) = b) ( ) ( + ) ( ) + = ( ) ( + ) ( ) + = ( ) c) a + b ( a b ) = a + b ( a ab + b ) = ab 5 Eponential- und Logarithmusunktionen und ihre Graphen S. g = 0 e ; Vermutung: lim 0 e = 0 g = 0 e ; Vermutung: lim 0 e = g = e 0 ; Vermutung: lim e 0 = + a) () = e + gehört zum gelben Graph; (0) = ; lim () = + ± b) g () = + e gehört zum blauen Graph; (0) = 0; lim () = + ; lim () = 0 + c) h () = ln ( 0,5) gehört zum schwarzen Graph; (,5) = 0; lim () = 0 d) k () = e gehört zum roten Graph; (0) = ; () < 0 ür alle * D lim () = 0 ± Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 5

12 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig S. 5 a) lim + ( e 7 ) = 7; lim ( e 7 ) = + Asmptote: = 7 lim b) lim + ( 5 e ) = 0; ( 5 e ) = Asmptote: = 0 c) lim + ( 8 ln ) = 0; lim ( 8 ln 0 ) = Asmptote: = 0 d) lim ( e ) = ; lim ( + e ) = e) lim ( e 7 ) = + ; lim + ( e 7 ) = + keine Asmptoten ) lim + ln ( ) = 0; lim ln ( ) = 0 Asmptote: = 0 g) lim 5 ln = + ; lim 5 ln = 0 keine Asmptote + 0 h) lim e = 0; lim e = 0 Asmptote: = i) lim + ( + ln ) = 0; lim 0 ( + ln ) = Asmptote: = 0 k) lim + e = + ; lim e = 0 Asmptote: = b e 8 g 0 k 5 c i g d 0 a 5 h Vorgehensweise ür alle Teilaugaben: Man bestimmt spezielle Funktionswerte und das Verhalten ür lim. ± a) () = e ; (0) = e ; () = lim e = 0, also -Achse ist Asmptote + b) g () = 0,5 e + ; (0) =,5 lim ( 0,5 e + ) = ; lim + ( 0,5 e + ) = + c) h () = 0,5 e ; (0) = ; lim ( 0,5 e ) = ; lim + ( 0,5 e ) = ; Asmptote: = 0,5 d) k () = + e ; k (0) = lim ( + e ) = +, lim + ( + e ) = ; Asmptote: = 0 8 k() () 8 h() g() Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

13 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig 5 a) lim + e = 0 richtig (Satz); lim 0 e = + alsch; richtig: lim 0 e = 0 b) lim + 0 e = lim ( 0 e + e ) = 0 richtig; lim + + e = 0 richtig; (e wächst stärker als ) c) lim ln = alsch; 0 richtig: lim ln = 0; 0 lim ln = + richtig d) lim 0 + = 0 richtig; ln lim + + = 0 alsch; ln richtig: lim + + ln = + e) lim e = + alsch; richtig: lim < e = ; (ln steigt langsamer als + ) lim > e = + richtig d) 8 e) b) c) a) d) e) ) Individuelle Lösungen S. a) D = R; lim + e = 0; Asmptote: = 0 b) D = R + ; lim ln + = ; lim ln 0 = 0 keine Asmptote c) D = R \{0}; lim + e = ; lim e = ; Asmptote: = lim e = + ; 0 Asmptote: = 0 > 0 d) D = R; lim + ( + ) e = 0; Asmptote: = 0 7 Die drei Graphen sind achsensmmetrisch zur -Achse. () Es gilt: lim () = + ür alle ± drei Funktionen. 5 g() 5 7 Die -Achse ist senkrechte Asmptote. D = R \{0} ür und g. D h = R \[ ; ] 5 h() Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 7

14 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 8 a) () = e ; () = 0 ür = ln ; (ln ) = ln E (ln 0,) () > 0 ür < < ln ; () < 0 ür ln < < + E ist Maimum. W = ] ; ln ] keine Nullstelle b) () = 0,5 e ; () = 0 ür = ln ; ( ln ) = ln E ( ln 0,) () < 0 ür < < ln ; () > 0 ür ln < < + E ist Minimum. W = [ ln + ; + [ keine Nullstelle c) () = e e ; () = 0 ür = 0; (0) = E (0 ) () < 0 ür < < 0; () > 0 ür 0 < < + E ist Minimum. W = [ ; + [ keine Nullstelle d) () = ln ; () = 0 ür = e; (e) = e E (e e) (ln ) () < 0 ür 0 < < e; () > 0 ür e < < + E ist Minimum. W = ] ; 0 [, [ e ; [ keine Nullstelle 9 a) () = 5 e ; D = R einzige Nullstelle: = 0 () = 5 e + 5 e = 5 e ( + ) () = 0 ür = () < 0 ür < < ; () > 0 ür < < + Minimum ( 5 e ) lim 5 e = 0; = 0 ist Asmptote. 8 c) () = e + ; D = R einzige Nullstelle ür = 0 () = e + + e + ( ) = e + ( ) () = 0 ür = () > 0 ür < < ; () < 0 ür < < + Maimum ( ) lim + e + = 0; = 0 ist Asmptote. 8 8 b) () = ( + ) e ; D = R einzige Nullstelle ür = () = e + ( + ) e = e ( + ) () = 0 ür = () < 0 ür < < ; () > 0 ür < < + Minimum ( e ) lim ( + ) e = 0; = 0 ist Asmptote. 8 d) () = ln ( ); D = ] ; + [ einzige Nullstelle ür = () = ; kein Etremwert; () > 0 ür * D G steigt monoton. 8 lim ln ( ) = + ; lim ln ( ) = + (keine Asmptoten) 8 8 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 8

15 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig e) () = e ; D = R einzige (doppelte) Nullstelle ür = 0 () = e e = e ( ) () = 0 ür = 0 oder = () < 0 ür < < 0; () > 0 ür 0 < < () < 0 ür < < + Minimum (0 0); Maimum ( 8 e ) lim + e = 0; = 0 ist Asmptote. ) () = sin ( π ) ; D = R Nullstellen ür = π ( k + ) k * Z Etremstellen: () = cos ( π ) ; () = 0 = π (k + ) Hochpunkte ür k gerade Tiepunkte ür k ungerade keine Asmptoten g) () = + ; D = R \{ } einzige doppelte Nullstelle ür = 0 () = + ( + ) = ( + ) ( + ) ; () = 0 ür = 0 oder = () > 0 ür < < ; () < 0 ür < < ; Maimum ( ) () < 0 ür < < 0; () > 0 ür 0 < < ; Minimum (0 0) = ist senkrechte Asmptote. = ist schräge Asmptote ( + = + + ). 8 h) () = 5 ln ; D = R + einzige Nullstelle ür = () = 0 ln + 5 = 5 ( ln + ) () = 0 ür = e () < 0 ür 0 < < e ; () > 0 ür e < < + Minimum ( e,5 e ) keine Asmptoten Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 9

16 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 0 G = G v ; v (0) = ; G v ist achsensmmetrisch zur -Achse; v () 0,07; v ( ) 0,07 G = G p ; p (0) = ; G p ist achsensmmetrisch zur -Achse; G p ist eine Parabel. G = G h ; h (0) = ; h () = 0; lim h () = ; lim h () = + + G = G k ; k (0) = ; keine Nullstellen; G k ist achsensmmetrisch zur -Achse; k () = ; k ( ) = G 5 = G u ; u (0) = ; G u hat Minimum bei (0 ). G = G ; (0) = 0; G ist achsensmmetrisch zur -Achse; W = R 0 + a) () = e ; F () = e + + c c * R b) () = e 0,5 ; F () = e 0,5 + c c * R c) () = ln e ( + ) ln = + ln ; F () = ln e ( + ) ln = ln + + c c * R d) () = ln 0, e ln 0, = 0, ln 0,; F () = ln 0, e ln 0, + + c = ln 0, 0, + + c c * R () = ( ) e a) hat bei = eine doppelte Nullstelle, somit hat G im Punkt P ( 0) einen Etrempunkt; der linke Graph gehört zu G. b) Der rechte Graph ist der an der -Achse gespiegelte G ; also g: ( + ) e a) h () = ln ; D h = R + ; lim h () = ; lim h () = b) h () = ln ; D h = R + ; lim h () = 0; lim h () = + c) h () = ln ; D h = R + ; lim h () = + ; lim h () = d) h () = ln ; D h = R + \{}; lim h () = 0; lim () = ; lim/ > h () = + ; lim h () = 0 < h + e) h () = ln ( ) ; D h = R + ; lim h () = ; lim h () = ) h () = ln () ; D h = [ ; + [; lim h () = + 7 b) a) d) c) ) e) d) () = a e k ; () = k a e k I. () = e e = a e k II. (0) = = a k a = ; k = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion 0

17 Schülerbuchseite 7 Lösungen vorläuig S. 7 5 () = (ln ) ; doppelte Nullstelle ür = a) () = ln ; () = 0 ür = ; () < 0 ür 0 < < ; () > 0 ür < < + ; P ( 0) ist Minimum. b) Gleichung der Ursprungsgeraden: = m ; m = () = ln Für Berührpunkt B ( B (ln B ) ) * Ursprungsgeraden (ln B ) = B ln B B (ln B ) = ln B ln B = 0 oder ln B = B = oder B = e Tangenten: = 0 oder = e c) F () = (ln ) + ln ln + = (ln ) + ln ln + = (ln ) a) z. B. () = ln ( ) [() = ln ( + )] b) z. B. () = e + [() = e ] c) z. B. () = e + [() = ln ] d) z. B. () = e + e 7 a) () = 0 ür =, also Schnittpunkt mit der -Achse ( 0). (0) =, also Schnittpunkt mit der -Achse (0 ). (Lage der -Achse und Einheiten siehe Graphik) b) () = e + ( ) e = e ( ); () = 0 ür = () < 0 ür < < () > 0 ür < < + P ( e) ist Tiepunkt. 5 8 a) Erkennbare Merkmale: 5. Achsensmmetrie zur -Achse: ( ) = e + e ( ) = (). Nullstelle bei (0 0): (0) = e 0 + e 0 = 0. Tiepunkt bei (0 0): () = e e b) g () = + a + b; g () = + a g (0) = (0) = 0 b = 0 g (0) = (0) = 0 a = 0 gesuchte Funktion: g () = () = 0 wenn e = e bzw. = somit Etremstelle bei (0 0) () < 0 ür < < 0 () > 0 ür 0 < < + Tiepunkt bei (0 0) 9 L = 0 lg Ø Ø 0 ; Flüstern: Einsetzen von L = 0 ergibt = lg ( Ø 0 Ø0 ), also Ø 0 = 0 Ø 0 oder Ø 0 = 00 Ø 0 ; Normale Unterhaltung: Einsetzen von L = 0 ergibt = lg ( Ø 0 Ø0 ), also Ø 0 = 0 Ø 0 oder Ø 0 = 0000 Ø 0. Damit ist Ø 0 = 00 Ø 0, d. h. die Schallintensität ist beim normalen Reden 00-mal größer gegenüber der beim Flüstern. 0 a; c () = a c ( e c + e c ) a) a; c ( ) = a c ( e c + e c ( ) ) = a c ( e c + e c ) = a; c (); Achsensmmetrie zur -Achse b) a; c () = a c ( e c e c ) ; a; c () = 0 ür e c = e c, also c = c, somit = 0 Minimum ( 0 a c ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

18 Schülerbuchseite 7 9 Lösungen vorläuig c) Es muss gelten: I. c (0) = a c = 5 aus I: a = 5 c eingesetzt in II: II. c (00) = a c ( e 00 c + e 00 c ) = 0 5 ( e 00 c + e 00 c ) = 0 e 00 c + e 00 c = 0 Substitution u = e 00 c : u + u = 0 u u + = 0; u = ,9; u = ,089 u = e 00 c olgt c 0,07789 oder c 0,07789 Damit erhält man in beiden Fällen dieselbe Funktion: () =,5 ( e 0, e 0,0779 ) d) () = 0,097 ( e 0, e 0,0779 ) (00) = 0,798; tan φ = 0,798 ergibt ein Geälle von ca. 7 %. φ, e) Bedingung: () = 5, also,5 ( e 0, e 0,0779 ) = 5 Substitution: u = e 0,0779 : u + u = 0 u u + = 0; u = ,88 u = ,757 u = e 0,0779 olgt: 7, Die Seilhöhe beträgt im Abstand von ca. 7 m, gemessen von der tiesten Stelle, 5 m. ) Bedingung: () = 0,, also 0,097 ( e 0,0779 e 0,0779 ) = 0, Daraus erhält man 50,7 Ein Stuntman könnte das Seil au einer Strecke von gut 00 m beahren. a) Jeder Repräsentant von g liegt parallel zur Geraden g. Somit gibt g die Richtung der Geraden g an. g: Ein Steigungsdreieck von g hat die Katheten und, also gibt = + t der Vektor ( ) die Richtung von g an. t g = ( ) Wegen g. ( b) n: = + t; n = ( ) ; n g = ( ) = ( ) gilt dies auch ür ) ( ) = + ( ) = = 0 Die Vektoren n und g stehen senkrecht aueinander, somit ist auch die Gerade n senkrecht zur Geraden g. Die Euler sche Zahl e S. 9 a) K 0 = K 0 ( + p 00 ) 0 = K = ( + p 00 ) 0 = ( + p 00 ) 0 p = 00 ( ),5 Der Jahreszinssatz beträgt etwa,5 %. b) K 0 = K 0,05 0 = 0000,05 0 5,98 c) K 0 = K 0 ( ) 700 = ( ) ,9 a) t 0 = 0 n (t 0 + 0) = n (t); n (t 0 ) = n (0) = 000 n (t) = n (0) +,75 t n (0) = t = 000 ( +,75 t) b) n (5) = 000 ( +,75 t 5) = 7 50 Es muss gelten: s n + s n = (n + )! < 0. Dies ist ab n = 9 der Fall. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN VI Natürliche Eponentialund Logarithmusunktion

1 Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken

1 Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken Schülerbuchseite 8 Lösungen vorläuig S. 8 I Graphen gebrochen rationaler Funktionen Verhalten in der Umgebung der Deinitionslücken : 0 + 0,6 g: 0 + 0,6 (Gesamtpreis in ) (Durchschnittspreis pro Liter in

Mehr

1 Die zweite Ableitung

1 Die zweite Ableitung Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig und deren Graphen Die zweite Ableitung S. Um den Graphen der Ableitung zu skizzieren, sucht man zuerst die Punkte mit waagrechten Tangenten. so erhält man die Nullstellen

Mehr

1 Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

1 Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate Schülerbuchseite 8 9 Lösungen vorläufig Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate S. 8 a) Da der dargestellte Graph keine Gerade ist, verläuft die Temperaturzunahme nicht gleichmäßig. Temperaturzunahme

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 204 Baden-Württemberg Augabe 2 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com September 204 Gegeben ist die Funktion mit

Mehr

1 Exponentielles Wachstum

1 Exponentielles Wachstum Schülerbuchseite 56 58 Lösungen vorläufig VI Anwendungen der Differential- und Integralrechnung Exponentielles Wachstum S. 56 S. 58 a) H (t) = 4000,0 t b),0 t = e k t,0 = e k k = ln,0 0,0 H (t) = 4000

Mehr

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion. Kapitel 5

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion. Kapitel 5 Natürliche Eponential- und Logarithmusfunktion Kapitel . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung 48 Arbeitsaufträge. Individuelle Lösungen Jahr 908 90 90 930 90 960 970 990 000 00 in Sekunden

Mehr

1 Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u (x) = cos (2 x), v (x) = 2 x 2 und w (x) = 9 x 1

1 Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u (x) = cos (2 x), v (x) = 2 x 2 und w (x) = 9 x 1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung Sind die Funktionen u mit u () = und v mit v () = cos () gegeben, so erhält man die Verkettung u v () = u v () dieser beiden Funktionen,

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 6 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I Diese Lösung wurde erstellt von Tanja Reimbold. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. Teil 1 Aufgabe 1 Definitionsbereich: Bestimmung der Nullstelle

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zentrale schritliche Abiturprüungen im Fach Mathematik Augabe : Schibau Au einer Hamburger Wert wird eine Hochgeschwindigkeitsähre als Doppelrumpschi (Katamaran) geplant. Der mittlere Teil des Schisrumpes

Mehr

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 01 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 01 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Mathematik im Berufskolleg I

Mathematik im Berufskolleg I 1 Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg I Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 2016 ISBN 978-3-8120-0234-9 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt.

Mehr

4 x x kleinste6 Funktionswert für alle x aus einer Umgebung von x 1 ist.

4 x x kleinste6 Funktionswert für alle x aus einer Umgebung von x 1 ist. Differenzialrechnung 51 1.2.2 Etrempunkte Die Funktion f mit f () = 1 12 3 7 4 2 + 10 + 17 3 beschreibt näherungsweise die wöch entlichen Verkaufszahlen von Rasenmähern. Dabei ist die Zeit in Wochen nach

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol

Mehr

Matur-/Abituraufgaben Analysis

Matur-/Abituraufgaben Analysis Matur-/Abituraufgaben Analysis 1. Tropfen Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung y = (1 ) im Intervall 1. Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k eine zur -Achse symmetrische

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Korrigendum Lambacher Schweizer 9/10, 1. Auflage 2011

Korrigendum Lambacher Schweizer 9/10, 1. Auflage 2011 Korrigendum Lambacher Schweizer 9/,. Auflage Klett und Balmer Verlag, Baar. April. Seite, Aufgabe Tipp: Suche dir Punkte auf dem Kreis, die du zur Bestimmung heranziehen kannst Bestimme das Streckzentrum

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion

1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion Schülerbuchseite 6 8 Lösungen vorläufig Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion S. 6 Vermutung: Da das Zeit-Weg-Diagramm eine Sinuskurve und das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm 8 eine Kosinuskurve

Mehr

Wurzelfunktionen Aufgaben

Wurzelfunktionen Aufgaben Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0

Mehr

Diese Funktion ist mein Typ!

Diese Funktion ist mein Typ! Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische

Mehr

Pflichtteil - Exponentialfunktion

Pflichtteil - Exponentialfunktion Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()

Mehr

Mathe-Abitur ab 2004: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen (1)

Mathe-Abitur ab 2004: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen (1) Mathe-Abitur ab 24: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen () Die Autoren übernehmen keine Garantie für die Richtigkeit der Lösungen. Auch wurde sicher nicht immer der kürzeste und eleganteste Lösungsweg

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zu Extrempunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen, Extremwertaufgaben (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Matura2016-Lösung. Problemstellung 1

Matura2016-Lösung. Problemstellung 1 Matura-Lösung Problemstellung. Die Funktion f( = + 9k + müsste bei = den Wert annehmen, also gilt + 9k + = k =. Wir betrachten den Bereich mit positiven Werten. Dann gilt: f ( = 8 + 8 = = ; = Bei liegt

Mehr

Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x

Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x Funktionen-Katalog I. Geraden II. Ganzrationale Funktion: Parabeln -ten Grades 3-ten Grades Parabeln höheren Grades III. Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Polstellen... IV. Eponentialfunktionen

Mehr

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)

Mehr

Ausführliche Lösungen

Ausführliche Lösungen Bohner Ihlenburg Ott Deusch Mathematik für berufliche Gmnasien Jahrgangsstufen und Analsis und Stochastik Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 5. Auflage 05 ISBN 978--80-8- Das

Mehr

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion. Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich

Mehr

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F() der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f()

Mehr

Mathematik im Berufskolleg II

Mathematik im Berufskolleg II Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg II Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 6 ISBN 978--8-- Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung

Mehr

5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen

5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen .. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Etrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild

Mehr

Übungsaufgaben II zur Klausur 1

Übungsaufgaben II zur Klausur 1 Übungsaufgaben II zur Klausur. Ableitungen 0. Führen Sie für g mit f ( +,9 8 eine vollständige Kurvendiskussion (siehe S. 9f durch. Markieren Sie alle von Ihnen bestimmten Punkte in der abschließenden

Mehr

Abiturprüung Mathematik 010 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil - Augaben Analysis I 1 Augabe I 1.1: Au einem ebenen Gelände beindet sich ein geradliniger, 500 m langer Lärmschutzwall. Das Proil seines

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion

Mehr

Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:

Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt: K Punkte: / Note: Schnitt: 9.5.6 Pflichtteil (etwa 4 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden

Mehr

BE 1 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 41 x3 3x 2 + 9x 5 und Definitionsmenge IR. Abbildung 1 zeigt den Graphen

BE 1 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 41 x3 3x 2 + 9x 5 und Definitionsmenge IR. Abbildung 1 zeigt den Graphen Gemeinsame Abituraugabenpools der Länder Augabensammlung Augabe ür das Fach Mathematik Kurzbeschreibung Anorderungsniveau Prüungsteil Sachgebiet digitales Hilsmittel erhöht B Analysis WTR Augabe BE Gegeben

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik

Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen.

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

4.4. Potenzfunktionen

4.4. Potenzfunktionen .. Potenzfunktionen Definition: Eine Funktion der Form f() = c z mit z \{; } heißt Potenzfunktion.... Potenzfunktionen mit positiven Eponenten (Parabeln) Schaubilder und Wertetabelle: = = - - - - - - -

Mehr

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen

Mehr

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen .. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = 2 = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen

Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen Nr Aufgabe Lösung 1 Gegeben ist die Funktion g mit g ( x ) = 3 x + 9 a) Geben Sie die Steigung und den y- Achsenabschnitt an. (Begründung) c) Bestimmen

Mehr

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010 Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt

Mehr

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analsis 1... 6 Wahlteil Analsis... 9 Wahlteil Analsis 3... 13 Wahlteil Analtische Geometrie 1... 16 Wahlteil Analtische Geometrie... 3 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung

Mehr

Korrekturblatt zu 3206 / 6. Auflage 2014

Korrekturblatt zu 3206 / 6. Auflage 2014 Korrekturblatt zu 306 / 6. Auflage 014 Lehrbuch Seite 56 3. c) g() = f() + 4 G K 1 1 3 4 Lehrbuch Seite 109 9. Eine Gleichung 3. Grades lasst sich grafisch durch den Graph einer Polnomfunktion 3. Grades

Mehr

Mathematik im Berufskolleg

Mathematik im Berufskolleg Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 06 ISBN 978--80-059-7

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen)

Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 1 Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Gebrochen rationale Funktionen Funktionen der Form f(x) = p(x), p(x) und q(x) ganzrationale Funktionen

Mehr

Abb lokales Maximum und Minimum

Abb lokales Maximum und Minimum .13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen

Mehr

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da

Mehr

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine

Mehr

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 00 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe : ( VP) f() e =. Bestimmen Sie eine Stammfunktion

Mehr

11 Üben X Affine Funktionen 1.01

11 Üben X Affine Funktionen 1.01 Üben X Aine Funktionen.0 Zeichne die Graphen zu olgenden Funktionsgleichungen! + + d c b a Augabenkarte von MUED Lösung X Aine Funktionen.0 + + d c b a Üben X Aine Funktionen.0 Bestimme die Funktionsgleichung

Mehr

e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an.

e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an. Aufgabe 1 2e Gegeben ist die Funktion f mit f() = mit dem Definitionsbereich. e D = R + 9 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von

Mehr

b) [2P] 7x Lösungsvorschlag 1: f '(x) = cos 3x 6x = 6x cos 3x

b) [2P] 7x Lösungsvorschlag 1: f '(x) = cos 3x 6x = 6x cos 3x K1 Punkte: / Note: Schnitt:.10.1 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden

Mehr

Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik

Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik T. Schneider, J. Wirtz, M. Blessing 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Analysis 2 1.1 Monotonie............................................ 2 1.2 Globaler Verlauf........................................

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus Gymnasium Neutraubling Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Mehr

Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [1] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration

Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [1] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration und mehr Kostenlose

Mehr

Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7

Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7 Lösungen zu delta Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) 4 = ; 9 = 4; = 6 X G; L = { 6} b) ( 4) + 8 = ( + 4); 8 + 8 = 4; + 0 = ; 4 = ; = =, X G; L = {,} 4 c) + 7 = 0; + 7 = 0; = 7 G;

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr

4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen

4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen .. Aufgaben zu quadratischen Funktionen Aufgabe : Stauchung und Streckung der Normalparabel a) Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen in das Koordinatensstem. b) Vervollständige die darunter

Mehr

Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Schleswig-Holstein. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen

Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Schleswig-Holstein. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Schleswig-Holstein Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen der Profiloberstufe

Mehr

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben der Klasse 11

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben der Klasse 11 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben der Klasse 11 S. 9 Nr. a) K() = 0,001 1,9 + 600 + 1000 U() = 00.10 5..10 5 K () U ()..10 5 1.6.10 5 8.10 b) Monotonie : 0 00 00 600 800 1000 K() U() 0 1000 0 00 8800 60000

Mehr

Lösungen 0.1. g) x 1 = 1,82; x 2 = 1,9. + q = 0 x 2 p

Lösungen 0.1. g) x 1 = 1,82; x 2 = 1,9. + q = 0 x 2 p Lösungen 0.1 c) Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen: (Buch 11. Klasse) 98/1 a) x 1, = 1,3 b) x 1, = 3,5 c) x 1, = k d) x 1, =,5 e) x 1, = a f) x 1, = t 8 56 98/ a) x 1 = 3; x = 4 b) x 1 = 3; x =

Mehr

11.3. Variablentrennung, Ähnlichkeit und Trajektorien

11.3. Variablentrennung, Ähnlichkeit und Trajektorien 3 Variablentrennung, Ähnlichkeit und Trajektorien Trennung der Veränderlichen (TdV) Es seien zwei stetige Funktionen a (der Variablen ) und b (der Variablen ) gegeben Die Dgl a( ) b( ) b( ) d d läßt sich

Mehr

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I: Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen

Mehr

x 2 x 1.Untersuchen Sie die Schaubilder der Funktion auf ihre Symmetrieeigenschaften. (Achsensymmetrie/ Punktsymmetrie)

x 2 x 1.Untersuchen Sie die Schaubilder der Funktion auf ihre Symmetrieeigenschaften. (Achsensymmetrie/ Punktsymmetrie) I. Grenzverhalten von Funktionen. Verhalten einer Funktion für bzw.. Bestimmen Sie den Grenzwert a) b) ) ( + ( ) c) ( + ) ( ) II. Symmetrie.Untersuchen Sie die Schaubilder der Funktion auf ihre Symmetrieeigenschaften.

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Stichworte: lineare Gleichungen; quadratische Gleichungen; Gleichungen höherer Ordnung; Substitution; Exponentialgleichungen; trigonometrische

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 - 10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor

Mehr

Einstieg. Bogenmaß. Allgemeine Formeln

Einstieg. Bogenmaß. Allgemeine Formeln 2 Einstieg Differenzialrechnung * Integralrechnung * Geometrie Stochastik * Zusatzthemen * Prüfungsaufgaben Wiederholung einiger Formeln Aufgaben aus dem Pflichtteil Schaubilder und Funktionsterme Streckung

Mehr

Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK. Grundlagen für Ökonomen

Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK. Grundlagen für Ökonomen Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK Grundlagen für Ökonomen ÜBUNG.. LÖSUNGEN. Es handelt sich um lineare Funktionen (Geraden), die sich in der Steigung und im Ordinatenschnittpunkt unterscheiden. Der Linearfaktor

Mehr

9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Übungsmaterial 9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion. 9. Eigenschaften der trigonometrischen

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

Pflichtteil Pflichtteil Pflichtteil Abiturprüfung Mathematik 2013 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

Pflichtteil Pflichtteil Pflichtteil Abiturprüfung Mathematik 2013 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit +5 ( VP) Verwende Produkt- und Kettenregel

Mehr

Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen

Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen 3 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f ( x ) = x,75 x + 6 x. 3 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f '. f (x)'(

Mehr

Lösungen ==================================================================

Lösungen ================================================================== Lösungen ================================================================== Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = e x f '(x) = e x ( ) = 4 e c x b) f(x) = x e x f '(x) = e x ( ) = + e x c) f(x) = 3 e (x+)

Mehr

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale

Mehr

Lösung: Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie1 Funktionen und Abbildungen mit GeoGebra

Lösung: Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie1 Funktionen und Abbildungen mit GeoGebra Hinweis: Alle Grafiken dieser Lösung finden Sie auch als GeoGebra-Dateien zum Ausprobieren. 1. Verschiebung: Zeichnen Sie einen beliebigen Vektor zwischen 2 Punkten. a) Verschieben Sie den Graphen von

Mehr

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,

Mehr

PARABELN. 10. Klasse

PARABELN. 10. Klasse PARABELN 0. Klasse Jens Möller Owingen Tel. 0755-9 HUjmoellerowingen@aol.comU INHALTSVERZEICHNIS NORMALPARABEL PARABELN MIT FORMFAKTOR VERSCHIEBUNG IN Y-RICHTUNG VERSCHIEBUNG IN X-RICHTUNG 5 ALLGEMEINE

Mehr