1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung

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1 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h km h = ( km + km + 7, km + km +, km) = km b) s,, h km h +, h km h +,, h km h +,7 h km h +,, h km h = (, km + km +, km + 7 km + km =) =,7 km p b Individuelle Lösungen z. B. V V V km h km h km h km h min min min b ø V = ø min min + ø min min s + ø min min + 9 ø min min V + ø min min + ø min min in min + ø min min + ø min min 7 + ø min min = 9 ø b m V = h m h + m h + h m h h = m,7 m a) b) F () = ( ) F () ( + ) F () = bei = F () =,7 ø h c) V = ( h,7 ø h + h, ø h ) + h, ø h + h, ø h + h, ø h, ø cm = π h cm h, cm 7 a) u = (7 ) ; f () = (7 ) 7 b) u = ( ) ; f () = ( ) = ( ) AB = ( ) ( AC = ( ) AB = 9 9 = AC = 9 ) ( ) = + = = 9 cos α α = 7,9 F ABC = ( ) ( ) ( = ) = = 9, Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

2 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig Inegrale S. a) Zu kleine Fläche sind cm ( Käschen unerhalb des Graphen); Zu große Fläche is das Recheck mi Länge und Höhe + 9 b) Zerlegung der Fläche in Sreifen von, cm Breie: Zu kleine Fläche:, ( +, + +,) =,7 Zu große Fläche:, (,7 + +, +,9) =, S. z n a) b) c) = = :, d = ( + ) = F =,7 F = 9 d) e) f) =, = + = = F = F = F =, n m oder z + I, da Pol und Nullselle und Grenzen passen II Scheiel und Öffnung der Parabel III Seigung IV Definiionslücke und Asmpoe,, a) : ( )d = ( + ) = b) : ( +, )d = (Rechnereinsaz wie Bsp. ) c) : ( + )d, (Wereabelle oder Rechner), Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

3 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig m z n a) U =, ( +, +, +, + +, +, +,) =,7 =, (, +, +, + +, +, +, + ) =,7 b),,,7,,,7 f (),,7,7,7,7,7,7, =, (, + +,7) =, U =, (,7 + +,) =, c) =, U =, genau wie b), nur um nach rechs verschoben d) mi Wereabelle erhäl man: =,79 U =, S. oder m z m b m z v a) U =, ( +, + +,) =, b) : 7 a) : d = n ( n ) + n ( n ) + + n lim n U n = = (, +,) d = 7, b) : 9, ( n n ) = n ( n ) ( n) ( n ) = ( n n ) n n ( n n ) (, +, ) d c) : a) v = wenn =,, b) : (, + ) d, m 9 a) PC b) : ( + +,7 )d ( sin (, ) + ) d c) + d) : ( sin (, ) + ) d a) Weil der Absand zum Ursprung nach Phagoras immer is: d = ( 9 b) + c) : 9 d =,7 = π ) + = Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

4 Schülerbuchseie 9 Lösungen vorläufig a) f () = / = ± sind Erema. f ( ) = 9,7 f () =,7 b) f () = 9 = ( 9) = ; / = ± f () = f ( ) = f () =, b) Individuelle Lösungen z. B. Ω = {,,,,, } A: gerade P (A B) = B: {,, } P P (A B) A (B) = = P (A) = Inegral als Flächenbilanz a) S. a) Ers seig die durchfließende Wassermenge pro Zei, dann bleib sie konsan, dann sink der Wer. Verläuf der Graph unerhalb de -Achse, dann sröm das Wasser in die andere Richung (d. h. läuf ab). b) Die gefärbe Fläche gib die Wassermenge an. Zum Zeipunk = is keine Wasser hiner dem Damm des Krafwerkes. Zum Zeipunk = is noch die Wassermenge V =, ( ) + ( +, ( ), ( 7,) 7,, 7, = cm hiner dem Damm. : b, d = :, d = :, d = b S. 9 a) : f () d =, +, =, b) =, +,9 =,7 c) =,9 +, =, d) =, +, +,9, =, z a) b) 7 : d = ( )= 7 : ( )d = ( + ) = c) d), : (, z + ) dz = (,7, ) : d= = =, (Inegraionsgrenzen sind verausch) Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

5 Schülerbuchseie 9 Lösungen vorläufig e) f) 7 9 : ( + ) d,9 ( ) : r dr= + = 7, 9 vpn a) Posiiv; d a keine Nullselle im Inegraionsbereich und Graph oberhalb der -Achse (links der Inegraionsrichung) b) Negaiv: keine Nullselle; Graph unerhalb (rechs der Inegraionsrichung) c) Null: da gleich große Flächen oberhalb und unerhalb der -Achse d) Negaiv: die Fläche unerhalb der -Achse is größer als die oberhalb der -Achse e) Negaiv: gesame Fläche im Inegraionsbereich rechs der Inegraionsrichung f) Negaiv: gesamer Graph lieg unerhalb der -Achse n Individuelle Lösungen, z. B. a) b) m oder 7 a) b) : ( ) d d) π π ( ) = :, v (v ) dv = : cos + d 9 e) f) π c) d) c) ( ) u du=, : ( e + e) d =, : ( ) d =,7 : Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

6 Schülerbuchseie 9 Lösungen vorläufig m a) :,, ( + ) ( ) d A =,9 b) : f () d =, A =,,7 c) : π f () d A =, d) : f () d A = 7 π m 9 a) b) S. a) Ø () = b) Ø () = c) Ø () = d) Ø () = + v is Ø zu, da die Funkion = zunimm und vorher ebenfalls posiiv is. is Ø zu G h, da die Funkion in, und Erema ha und die höheren Were besser zu G h passen als die von. v links: Fläche oberhalb:,7 ha abgenommen Fläche unerhalb: rechs: Flächenbilanz is posiiv, da die Fläche oberhalb der -Achse deulich größer is (von ). a) Funkionen von f? b) n b v m a) Abnahme von bis Uhr; dann Zunahme bis Uhr und dann wieder Abnahme. b) schnellse Änderung um Uhr und um Uhr c) minimal = ; maimal = d) Differenz is C. ganzer Kreis: A = r π = 7, m Teilkreis: π π A =,79 m =, ha = 79 dm a) = = b) = = c) = = d) = = Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

7 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig Haupsaz S. m a) b) Ø () =, Ø () = Ø () Ø () Ø () =, Ø () c) F () =, + c Ø () Ø () F () = + c F () F () =, = Ø () Ø () Die Flächendifferenz bleib gleich. 7 Fehler im Schülerbuch: Im Lösungssala muss es ansa, heißen: k? S. a) : d = = b) : u du= u = c) k k = 7 k d) e) k ( + ) = k f) k k = k g) a ( ) = h) = = i) 9 v = 7 9 k) = l) = m) k v n () f: Die Grenzen müssen in Klammern und unere Grenze fehl () richig () vor vergessen () vor dem ersen fehl () vorne vergessen () richig nur Schreibweise bei der ersen Grenze is unvollsändig. A = + =, A = + = a) p = g = + = / = 9 + = 9 S ( + 9,) + 9 b) : d + : + 9 A A =, A is um, % größer. ( ) d = =,9 +, =, n S. b a) F () = + ; + = = bei den reslichen Aufgaben muss wie in a) durch Ableiung von F () wieder f () herauskommen. Im Folgenden werden nur noch die Ergebnisse der Inegrale angegeben. b) c) d) 9 e) 7,7 f), g) 7 7 a) = = ; es muss eine Nullselle im Inegraionsbereich geben. b) u + u = + + = ; Nullselle lieg im Inegraionsbereich. c) +, = = ; unere Fläche größer als obere d), + =, +, =,; obere Fläche größer als unere Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

8 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig a) : b) :, d = = + = ; Eremum in E = d= = / = ± ; Eremum in E = c) : ( + ) d = + = + + +, = + +,, = ; = ; E = d) : ( ) d = = = ; E = ; e) : ( + ) ( ) d = : ( ) d = = = ; E = ± ( ) : ( ) = + + ( ) : ( + ) = + = ; = keine weieren Nullsellen ln 9 a) :,7 f () d= F (ln ) F () =, =, b) : f () d =,, =, Fläche =, Fläche =,,,,, c) : f () d =,,7 +,,7 = d) : f () d =, =,7 Fläche = Fläche =, +, +, =,9 a) = f () f () f () = b) f (,) = + c = c = f () = =, b s () = 9, s () =, m b n w() L = cm + cm = 7 cm 7 in d b a) b) Kohlendioidverbrauch pro m : k () in h : ( )d = = mø Die berfläche einer Buche beräg m, der Gesamverbrauch also mø pro Tag. Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

9 Schülerbuchseie 7 Lösungen vorläufig a) f () = ( + ) b) f () =,,7 c) f () = 7 d) g () = sin ln c lieg in der von a und b aufgespannen Ebene. a) α = b) α = ; Sammfunkionen S. f () = f () f () is Sammfunkion von f (); f () = f () f () is Sammfunkion von f (); f () = f () f () is Sammfunkion von f () g ha in = und = Nullsellen F ha dor Erema; g ha in = ein Minimum F ha dor einen Wendepunk; g is für < negaiv F fäll nich; is keine Sammfunkion von g. (F müsse an der -Achse gespiegel sein, dami sie Sammfunkion wäre.) S. 7 n Fehler? im Schülerbuch: Im Lösungssala muss es ansa,7 (Teilaufgabe b)) heißen:,7 und ansa,7 (Teilaufgabe g)):,7. π a) : cos d = sin π = b) = + = c) e ln = d) e = e e =, e) ln = ln + =, f) cos π, = cos, =, g) 9 = 7 h),7 =, a) + c b) a z + c c) e + c d) k ln u + c e) sin + c f) 7 r, + c a) in e b) in a c) in a d) in b v n a) F () = + c = + c c = b) G () = + c 9 = + c c =, c) K (z) = z + z + c = ( ) r + c c = d) H () = + + c 7 = c c = e) R (a) = a + a + c = + c c = 7 () simm, da die Ableiung f von F in diesem Inervall immer negaiv is. () falsch hier is die Selle größer negaiver Seigung; außerdem is hier ein Wendepunk. () simm, da die. Ableiung gleich Null is und f von negaiven Funkionsweren zu posiiven Funkionsweren wechsel. () nein muss nich sein häng von der Konsanen ab. Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

10 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig S. a) b) c) d) z p n 9 a) b) f () = ; f () = ; f () = ; f () = ; f () = G H f () = a + b + c + d f () = a + b + c I: d = II: = a + b + c III: = a + b + c IV: = Å a + b + c V: = c a = b in IV = b + b = b b = a = G F f () = + = ( ) c) H () = + + c; H () = c =,7 c = d) f () = und f ( < ) > und f ( > ) < H ( < ) seigend und H ( > ) fallend e) = mi Vielfachhei ; = mi Vielfachhei f) im Koordinaenssem oben g) gesuch: Enfernung ( ) (,7) mi Phagoras d H = 9 ( ) + (,7 ),9 h) d minimal, wenn K () = c =,7 k () = +,7 n a) weil der Definiionsbereich für den ln (k ) R + is (wenn k * R + ). b) f k () = = + ln (k ) ln k = k = c) ln (k ) = k = e = e ha immer Vielfachhei wegen des Quadras k d) Durch Zerlegen in Summen lim ln + + (ln ( ) = e) f () = ( + ln ()) ( + ln ()) + ln ()) [ ln ()] = ( e e = e f (k) < > > ; = e f (e ) = f (e) = f e,7 Min Ma f) g) Weil die Ableiung f () immer posiiv is, die Sammfunkion in D also sreng monoon seigend is. G H h) g a () = a f () lim g a () = a; Hochpunk ( e a ); Tiefpunk ( e a e ) für a < keine Nullselle für a = eine Nullselle für a = e zwei Nullsellen für < a < e drei Nullsellen für a > e eine Nullselle Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

11 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig a) f () = + Eremum in (,) Nullsellen: = ; = b) + + m = / = + m 9 ( m) + D: ( m) + > gil für alle m * R Eigenschafen von Sammfunkionen und Inegralen S. 9 a) F () = sin + c G () = + + c b) K () = cos ( + ) d = sin ( + ) + c J () =, ( + ) d =, ( + )+ c H () = + + sin + c M () = cos ( + ) d = ( + ) sin + cos c (CAS) m S. : ( + + ) d = ; : d= ; : ( + ) d = : ( + + ) d = : d+ : ( + ) d Fehler im Schülerbuch: Im Lösungssala muss es ansa heißen:? a), + = 7, b) ln z + z = 9, c) ( + ) = d) ( + ) =, e) + ln, =, f) + e =, g) ln (z + z + ) =, h) e, = 7,9 i) u (u ln u u) =, π k) ln cos =, ø) ln ( + ) =, m) = S. m p z () + = 7 () ln ( a + ) =, () CAS:,9 () + ln =,9 () CAS:,7 () u u = (7) r + e r =, () v v =,7 (9) ln ( e b + ) =, () CAS:,7 () CAS:, () + = m a) b) π π π ln ( ) =, sin ( π ) π = π Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

12 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig c) d) e + = u ln v u u e =, m a) e + c b) sin ( ) + c c) a = a = 9 =,7 d) ln + c e) cos ( + ) + c f) a a + = a / = ±,; a / = ± 7,7 g) u + a u = a + a = a, h) cos a π = cos a? = α = 9, =, π v p d = = = Der Graph von f () = is smmerisch zur -Achse. Wenn man die Inegraionsgrenzen smmerisch wähl, : d= dann wird die Fläche von der -Achse halbier. = 9 = b) Individuelle Lösung; Beispiel in a) (Funkion muss smmerisch zur -Achse sein.) 7 a) : v n v a) f () = a + b + c + d f () = d = f ( ) = 7 a + 9 b c = f () = 7 a + 9 b + c = f () = = a + c c = a 7 a a = a = a = c = 9 b) f () = 9 = f () c) Wegen Punksmmerie sind die Flächen unerhalb und oberhalb der -Achse jeweils gleich groß. d) Weil die Fläche : f () d = is (wegen c)). 9 a) + + = b) c) + + = D = 9 9 keine Nullsellen! Eine Inegralfunkion muss mindesens eine Nullselle haben. d) c da Minimum von F () in ( ) oder c + da Maimum von F () in ( ) b = Be Be Br %? Br % P (B ) = % =, = % % % von = Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

13 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig 7 Flächenberechnungen mi dem Inegral S. Nullsellen =,; =,, F = :, ( + ) d + :, ( ) d =, +, =, π a) F = : cos d b) F = : π cos d : π sin d cos sin = F S. m z z a) Nullsellen: = ; ± A = : f () d + : f() d + : b) Nullsellen: = ; A =, , = c) Nullsellen: = ; A =, +, +, =,9 d) Nullsellen: = ; ; A =, +, +, =, e) Nullsellen: = π ; A =,99 +,7 =,77 f) Nullselle: = A =,7 g) Nullselle: =, A =, +, =, a) Nullsellen: = ; ± A = : b) Nullsellen: = ; A = : c) Nullsellen: = ± 9 d) Nullsellen: = ± 9 f () d = + + =,7 + +, = ( + ) d + : A = + ( + ) d = + ( + ) d = + A = + ln 9 e) Nullsellen: = ; ± A = f) Nullsellen: =,;, A = 9 9 d =,77 + 9,9 =, +,, =, = = m a), k k + = + k = k ( k + )= k = b) k = k k k = k ( k k ) = k = + 9, (die anderen möglichen Lösungen sind und 9 also nich die gesuche) k = k k = k (k ) = k = 9, c) d) + k = k + k k = k, (mi CAS durch Probieren) Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

14 Schülerbuchseie Lösungen vorläufig oder m a) b) c) G g G g G g A = : (, + ) d A = : ( ln )d A = : = + = 7, = ln e e ( 9 + e, + )d =, = ( + ) + e, + = 9, n oder m 7 a) g ()= g ()=, = + =, ()=, A = :, d :, (,) d =,, =, b) g ()= ( ) g ()= = + = ()= + A = :, ( ) d : ( + ) d = ( ), + =, =, c) g ()= g (,)=,7 =, + =,7 ()= +,7,7 A = :, 7 (,) d :, =,9, =, ( +,7) d =,,,7 +,7 7, n z a) b) G g G g Schnipunke: = ; ;, A = : ( + ) d A = : ( +, ) d + : = + = =, +, =,, (, + ) d c) d) e) G g G g G g Schnipunke: =,7; ;,7 Schnipunke: =,; Schnipunke: = ;,7 A = : (, ( + ) ( ) )d A = :, (, +, ) d A = : ( 9 ( ) )d =, =,9 =, Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

15 Schülerbuchseie 7 Lösungen vorläufig n 7 9 a) A = : 9 + d + = ( + ) b) Parabelgleichung: = a ( ) +, = a ( ) + a = () = ( ) + f () = ( ) f () = g () =, : ( ( ) +, + ) d =, 7 = = a) A () = : d= b) Nullsellen: = ± A () = : = + = ; A () = = ( ) d = ( ) = ; A () = = S. 7 z n a), c) b) U = = G p Q G, P : ( + )d =,7 Abweichung um, % d) A lieg für a < im I. Quadranen. e) Schnipunk: + a = ( + a) = = ; = a + a : ( + a ) d = ( a) + ( a) a ( a) = ( a) f) F PQ = =, g) F PQ = + = ( = ) oder = a) Volumen = Gesamfläche Länge Parabelgleichung: = Parabelfläche: A = + : ( ) d = cm Resgrundfläche: G = 7 cm Volumen: V = 7, dm,7 m Masse: m, b) Parabelgleichung: = ( ) ( ) Parabelfläche: A = m Resfläche: 9,7 m Volumen: V = 9,7 m Masse: m, m n m a) A = : d = b) Grenze: = a = 9 a) f a () = a a = = ± a = gesuch: a, dami a = a = 9,7 9 a a A = : b) f a ( ) = f a () und h a ( ) = h a () ( a )d = a = c) h a () = = ± a beide haben gleiche Nullsellen a d) A (a) = : ( a a + a ) d = a a 9 a + a = a + 9 a A (a) = a + a = a = = a ( a) a = a < > A (a) < > A (a) Minimum der Fläche in ( 7 9 ) Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

16 Schülerbuchseie 7 9 Lösungen vorläufig a) Ø (a) = a + b) lim Ø (a) = die Fläche, die ins Unendliche reich, ha den endlichen Wer. a c) lim a : a d = lim 9 ( 9 a )= unendliche Fläche mi endlichem Inhal a f () = a + b + c + d + e f () = a + b + c + d I f () = 7 7 = a + 7 b + 9 c + ( d + e) II f () = e = III f () = d = IV f () = = a + b + c V f () = = a + b + c IV V: = a b b = a in V V *: = a a + c c = a + in I I *: 7 = a a + a + a = b = ; c = f () = + Ins Unendliche reichende Flächen S = sehr groß? Trick: + als Endwer S. 9 a) lim a a + = b) lim a e a = e,7 c) lim a k = d) lim 9 a = a a m m a) lim a a ln = lim ln a = b) lim a a e a = c) lim a a = a) Asmpoe = b) Asmpoe ( = e für + ) = für a lim : a d = lim a a = lim : e d = lim a a e a = e a b n h a) W = : γ m M d = γ M m h = R R =,7 m kg s kg,97 kg ( 7 m, 7 m ) =, J b) W = lim : h γ m M h d =,7 m kg s kg,97 kg 7 m =, J R C d Konsrukionsbeschreibung: Zeichne den Winkel β. Ziehe jeweils an den Innenseien der Schenkel Parallelen im S Absand d. A d Der Schnipunk der Parallelen ergib den Schnipunk S der Winkelhalbierenden. c Verbinde S mi dem Endpunk A des einen Schenkels. β Verdopple den Winkel BAS. Der Schnipunk mi dem anderen Schenkel von β ergib C. B Erns Kle Verlag GmbH, Sugar Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Maerialien Klasse ISBN

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