Lambacher-Schweizer Baden-Württemberg Klasse 10. I Potenzen 6 Rationale Hochzahlen
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- Marcus Michel
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1 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze Rtiole Hochzhle Seite Nr. Die folgede Wurzel öe m Beste vereifcht werde, we m zuerst eiml die Zhl uter der Wurzel ls Potez schreit, d die gze Wurzel ls Potez drstellt ud schließed etspreched ürzt. Gegeeeflls m dch die Potez wieder ls Wurzel schreie ) 0 ) c) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 9 g) ( ) 0 0 h) ( ) Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
2 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze Rtiole Hochzhle S. Nr. Bei de folgede Aufge müsse jeweils Poteze multipliziert zw. dividiert werde, die de Sele Epoete he. Wir wede lso folgede Gesetze : Multiplitio: ( ) Divisio: ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) c) d) e) ( ) ( ) f) ( ) 0 0, 0, 0, 0, 0 0 g) ( ) h) ( ) i) ( ) ( ) 9 j) Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
3 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze 9 Vermischte Aufge S. Aufge ) oder 0, 0 0 ) ( 0 )0, 0 ( 0 ) 0 0, 0 ( ) 0,0 0 0,0 0 0, ( 0 ) c) ( 0) d) 0,0 0 ( 0 ) , 0 0, 0 ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) 7 7 ( ) 7 ( ) ( ) 7 0 Ich glue m sieht jetzt scho wie ds immer läuft. M muss größere Zhle i Ftore zerlege ud die Hochzhle d ur uf eide Zhle verteile. We m weig Erfhrug ht sieht m ur schwer wie ds Gze m schellste läuft, deswege eifch mit Mut ml zerlege. So viel Möglicheite git s meistes icht.
4 g) 7 7 Vorsicht, wer jetzt versucht die im Zähler mit der im Neer zu ürze mcht eie Riesefehler. Ihr et j de Spruch: Aus Summe ürze ur die... Also, Ihr öt ur mit der Zhl ürze, die i jedem Summd stect. Ud diese müsst Ihr uslmmer: ( ) 7 Ds Prizip ist: Welche Zhl usgelmmert git reimultipliziert wieder die lte Zhl? oder i Normdrstellug (mit erweiter): 7 0, We Ihr die Gesetze us Allgemeies zum Kpitel Poteziere schut, d öt Ihr sehe, dss die Gesetze uch vo rechts ch lis i diese Aufge zuwede sid. Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
5 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze 9 Vermischte Aufge Seite Nr. Bei dieser Aufge müsst Ihr Euch wieder Allgemeies zu Poteze erier. Dort he wir erlärt, dss ist zw. usw. Asoste gelte lle Recheregel weiterhi wie isher. Ntürlich sollte m dmit uch ds Bruchreche och eherrsche, sost wird m Schwierigeite he. Deshl eie schelle Wiederholug: ) Bei Additio ud Sutrtio vo Brüche müsse diese gleichmig gemcht werde, d.h. uf de gleiche Neer rige, d ur och Zähler ddiere ud Neer eiehlte. ) Bei Multiplitio eifch Zähler Zähler ud Neer Neer. ) Bei Divisio wird mit dem Kehrwert des. Bruches eie Multiplitio durchgeführt. ) ( ) ) ( ) 7 c) d) ( ) 7 7 Amerug: Die Zhl im Neer der Hochzhl ist die Größe der Wurzel. Die Zhl im Zähler der Hochzhl ist die Größe der Potez. Immer. e) ( ) f) ( )
6 g) ( ) ( ) ( ) ( ) h) Jetzt sieht m j wie es läuft: Am Beste ds Wurzelsmol i eie Hochzhl umschreie, idem m die Wurzelzhl ls Neer ud die Potez des Buchstes ls Zähler immt. Also: i) j) ( ) ( ) 7 7 Ich hoffe, dss Ihr seht wie ds Grudprizip immer futioiert, weil jetzt größere ud mehr Terme pro Aufge omme. Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
7 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze 9 Vermischte Aufge Seite Nr. Bei dieser Aufge sollte m sich wieder die iomische Formel erier. D.h. es wird eigetlich fst immer ur die.iomische Formel geprüft. Solche Aufge sid für die zetrle Klssereit wichtig.. iom. Formel: ( ) ( ) Teilufge gewdt. ). Geu dies wird vo mir i de ommede ( ) ( ) ( ) ( ) Trifft Wurzel ud hoch lso im ) ( h ) ( h ) h Qudrt ufeider, d lösche sich diese immer gegeseitig us. (Sgt ds er ie eiem Lehrer. Diese Ausdrucweise ist icht mthemtisch ). Dmit lso: h h, toll! c) ( ) ( ) Hier drf m türlich icht sofort die. iom. Formel wede, d uter de Wurzel verschiedee Terme i de Klmmer stehe. Etweder m rechet es jetzt gz orml, d.h. jedes mit jedem ml ehme oder, der pfiffige Schüler, lmmert i der.klmmer us: ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) M türlich hier uch sofort die. iom. Formel wede, ohe dss m die Bruch-Hochzhle vorher ürzt. Ds Ergeis leit ds Gleiche. Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
8 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze 9 Vermischte Aufge Seite Nr. Bei dieser Aufge sollte m sich gut mit dem eigetliche Wurzelreche usee. Dies wurde j Klsse 9 scho ei weig triiert: ) Bei Multiplitio ud Divisio verschiedeer Wurzelterme, m diese uter ei Wurzelzeiche zusmmeziehe. ) Ds gilt für die Additio ud Sutrtio verschiedeer Wurzelterme icht. ) ( ) ( ) : oder usgelmmert: ( ). ) ( ) ( ) hier m i uslmmer, deswege muss m jedes mit jedem multipliziere: Wie m eree, ürze sich die mittlere Terme mit de Bruch-Hochzhle rus. Ürig leit ls Lösug:. c) ( ) ( ) : hier ediet m sich m Beste eies leie Trics, d m sost i mche. Der Tric ist, dss m die.iom. Formel i umgeehrter Weise wedet: m d ls ( ) ( ) schreie (ml drüer chdee, d leuchtet es ei). Also: ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) oder, we m reimultipliziert:. Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
9 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Epoetilgleichuge Logrithmus Seite Nr. Diese Aufge zeigt eie Umrechugsformel vo Logrithme. Zuerst hd eies Zhleeispiels ud dch die Herleitug mit Vrile. ) log log log log log log drus ergit sich: log 9 9 log log log log 9 log drus ergit sich: ) Es soll log log c log c chgewiese werde. log () log c c () log c z c z () ud somit ist: z Gl. () i Gl. () : c ( ) ( ) Gl. ( ) ud Gl. () gleichsetze: ( ) c z ergit: z c) Es soll gezeigt werde, dss Logrithme zu elieiger Bsis, log, mit Zeherlogrithme, 0 log ud 0 log, erechet werde öe. Wir ehme die Formel us ): log log c log c ud setze 0 Ud erhlte somit 0 log log c 0 log c (0 weggelsse werde) log log c log c (teile durch log ) log c log c log log Wir ereche jetzt 7 log mit der oige Formel: 7 log log 7,079 0,,770 Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
10 Seite Nr. Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Epoetilgleichuge Logrithmus Gegee ist eie Formel ch WEBER-FECHNER, i der die Beziehug zwische der Itesität I des Reizes ud der Lutstäre L, i der wir de To höre, drgestellt wird. Die Formel lutet: L 0 log I I 0 (I 0 ist die Itesität ei der wir de To gerde och höre.) ) gefrgt wird wie sich die Lutstäre ädert we die Reizitesität vo I.000 I 0 um I 0 uf I.000 I 0 gesteigert wird, zw. vo I I 0 uf I 0 ud I I 0 uf I 0. M setzt u i die Formel ei: I.000 I 0 L 0 log I.000 I 0 L 0 log.000i 0 I0 0 log db.000i0 I0 (I 0 geürzt) (I 0 geürzt) 0 log.000, db Die Lutstäre immt lso um, db zu. I I 0 L 0 log I I 0 L 0 log 0.000I0 I0 0 log db 0.000I 0 I0 0 log 0.000,77 db Die Lutstäre immt lso um,77 db zu. I I 0 L 0 log I I 0 L 0 log I0 I0 0 log db 0.000I0 I0 0 log ,79dB Die Lutstäre immt lso um 0,79 db zu. ) Bei eier Lutstäre vo L 0 db he wir eie Reizitesität I vo: L 0 0 log I I 0 log I 0 I I I 0 Bei eier Verdoppelug der Lutstäre uf L 0 db : L 0 0 log I I 0 log I 0 I I I 0 Dies edeutet dss ei eier Verdoppelug der Lutstäre sich die Reizitesität um ds fche verstärt ( ). Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
11 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Reche mit Logrithme Seite 7 Nr. Der Logrithme solle mit Hilfe der Sätze log u * v log u log v log u v log u - log v log u v v log u vereifcht werde. ) log u - log u log u log u log u ) log - log log - ( log log ) log (-log ) log c) log log log log ( log log ) - log d) log r log r - log r log r log log r log r - log r e) log - log - log log log ( log log ) ( log log ) log log log log ( log log ) log log log log log f) log log - log ( log log ) log ( log log ) - log log log log - ( log log ) - log g) log log log log log log - log log - log - log 0 log h) (log ) : (log ) log i) [(log ) : (0,log)] log - 0 log log (- log ) (- log ) - log Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
12 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Reche mit Logrithme Seite 7 Nr.9 Hier solle Gleichuge ch ufgelöst werde idem eie eue Vrile für eie Potez eigeführt wird. ) - 0 Wir setze die Vrile für ei ud erhlte dmit: - 0 ( ) 0.Lösug 0 0.Lösug Nu setze wir i ei: 0 durch logrithmiere erhält m: log 0 log log 0 ist icht defiiert!!!.lösug: log log log 0, log ) ( ) - 0 Wir setze die Vrile für ei ud erhlte dmit, - 0 qudrtische Gleichug!! ± 9 ± eigesetzt i log log eigesetzt i log log log log log log 0 c) 7 0 Wir setze die Vrile für ei ud erhlte dmit 7 0 qudrtische Gleichug, 7± 9 7± eigesetzt i log log eigesetzt i log 0, log log 0, log log log -0,09
13 d) - 0 Wir setze die Vrile für ei ud erhlte dmit - 0, ± ( ) qudrtische Gleichug ± eigesetzt i log log 0 - eigesetzt i - log - ist icht defiiert log log e) Wir setze die Vrile für 7 ei ud erhlte dmit 0, ± - ± 9 qudrtische Gleichug - eigesetzt i 7-7 log ist icht defiiert - eigesetzt i 7 - log - log ist icht defiiert lso eie Lösug f) 0, 0, Wir setze die Vrile für 0, ei ud erhlte dmit - 0 qudrtische Gleichug, ± 7 ± 00 eigesetzt i 0, 0, log log 0, log 0, log 0, eigesetzt i 0, 0, log log 0, log log 0, g) m m umgeformt mit de Potezgesetze Vrile für 0 qudrtische Gleichug, ± 9 0, ( ) 0, ± eigesetzt ergit log log - Logrithmus eier egtive Zhl ist icht defiiert.
14 h) 0 wir forme i 0 Nu setze wir die Vrile für ei 0 wir multipliziere mit 0 qudrtische Gleichug 0, ± ± 9 um siehe Aufge e) ud sid egtiv lso eie Lösug i) 0 wir forme Nu setze wir die Vrile für ei 0 0 multipliziere mit -0 0, 0± 00 0± eigesetzt ergit log log i um log log,0 eigesetzt ergit log log log log 0,9 Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
15 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Vermischte Aufge Seite Nr. Seite-- Hier he wir ei Schuild mit eier -Achse ud -Achse ud Gerde. Für diese Gerde solle wir jetzt die Gerdegleichug ufstelle. Ahd der Koorditechse öe wir Pute, die uf de Gerde liege, estimme. ) Die Gerdegleichug lutet: f() Für die geue Bestimmug der Gleichug mit de Vrile ud ruche wir zwei Pute uf der jeweilige Gerde. Wir etrchte Gerde h mit der Formel: h() Nu suche wir us zwei Pute: P ( / ) ud P ( / ) Setze wir u P i h() ei P ( / 0) ud P ( / ) P (/0) : 0 wir forme um so dss lleie steht - () Nu setze wir P i h() ei P ( /) : () Nu setze wir us () i () ei: (- ) ud löse ch uf. dies setze wir i () - ud somit lutet h() h() Gerde g: g() mit G ( / ) ud G ( / ) G (0/) ud G (/0) G i g() : 0 wir forme um so dss lleie steht () G i g() : 0 () u setze wir () i () ei 0 ud löse ch uf 0 somit lutet g()
16 Gerde : () mit K (0/0) ud K (/7) K i (): 0 0 () 0 K i (): 7 () wir setze u () i () 7 0 ch uflöse () - 0 ) Die drei Gerde scheide sich. Es solle die Schittpute erechet werde. Der Schittput wird erechet idem m die Gleichuge gleichsetzt. Schittput vo g() ud h() wird uch g() h() geschriee: g() h() Diese -Wert etweder i g() oder h() eigesetzt ergit de dzugehörige -Wert. g() g() h() A( 9 9 / 0 9 ) Schittput g() ud (): g() () - 0 ( ) 0 g() () B( / ) g( ) 7
17 Schittput h() ud (): h() () h( ) h() () C( / ) - Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
18 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Vermischte Aufge Seite Nr.0 Gegee ist eie Epoetilfutio mit der Zuordugsvorschrift: f() 0, 0 Diese Futio soll u utersucht, lso Schittpute ud Besoderheite herusgefude wird. ) Gesucht ist der Schittput mit der -Achse. Der Schittput mit der -Achse edeutet immer dss 0 ist. Also suche wir de zu 0 pssede -Wert: f(0) 0, 0 0 0, 0, Schittput S(0/0,) ) Gesucht ist der Schittput mit der Prllele zur -Achse durch de Put A(/0). Wir eötige ls erstes die Gleichug der Prllele. Eie Prllele zur -Achse edeutet dss für lle -Werte ur ei -Wert eistiert. Dieser Wert ist i userem Fll, d die Prllele durch de Put A(/0) geht. Also lutet die Zuordugsvorschrift:. Setze wir u i die Gleichug f() ei so erhlte wir de dzugehörige -Wert für de Schittput. f() 0, 0 0, 00 0 Der Put ht die Koordite Q(/0) Gesucht ist der Schittput mit der Prllele zur -Achse durch de Put B(0/). Eie Prllele zur -Achse edeutet, dss für lle -Werte ei -Wert eistiert. Dieser Wert ist hier. Also lutet die Zuordugsvorschrift:. Setze wir u i die Gleichug f() ei so erhlte wir de dzugehörige -Wert für de Schittput. f() 0, 0 Der Put ht die Koordite R(log7,/) 0 0, log7, log0 woei (log 0 ) log 7,
19 c) Für welche -Werte sid die -Werte leier ls 0,. Bedigug: f() 0, 0 < 0, 0 0, < 0, 0, log 0 < log 0, < log 0, Für welche -Werte sid die -Werte größer ls 00. Bedigug: f() 0, 0 > > 0, log 0 > log 000 > Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
20 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Vermischte Aufge Seite Nr. Wir he eie Epoetilfutio f(). Gesucht ist die Bsis, sodss für lle der Futioswert vo f() um ) 0% größer ist ls f(). Dies edeutet, dss f() 00% ud f() 0% ist. Bedigug: f() 00 ( ) f() 0 Wir müsse u de Zweistz wede ud ch uflöse. 00 ( ) 0 geürzt,,, ) % leier ist ls f(). Dies edeutet, f() 00% ud f() 9%. Bedigug: f() 00 ( ) f() 9 00 ( ) 9 0 geürzt 9, 0,9 0,9 c) hl so groß ist wie f(). Dies edeutet, f() 00% ud f() 0%. Bedigug: f() 00 ( ) f() 0 00 ( ) 0 geürzt 0, 0,0 0,0 Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
21 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 II Epoetilfutioe Vermischte Aufge Seite Nr. Tetufge! Lgsm durchlese ud Schritt für Schritt i Zhle ufschreie. Eie Wssertoe ht 00 l Fssugsvermöge Es duert 0 Miute is sie gefüllt ist. D die Toe lt ud verrostet ist läuft Wsser eim Befülle herus ud m eötigt jetzt Miute läger, lso Miute zum Befülle. ) Wie viel Liter versicer währed des Befülles? 00 l i 0 mi l i mi 00 0 ch uflöse 00 0 es fließe Liter i der Miute us der Leitug. Die Toe wird u i Miute gefüllt: 7 l D die Toe ur 00 l fsst lufe 7 Liter i de Bode. ) Die Toe wird gefüllt, lso 00 Liter Wsser. Ist ch zwei Stude och Wsser i der Toe? I ) he wir erechet dss i Miute 7 Liter is Erdreich sicer. mi sid 7 l mi l 7 7 l/mi versicer. I zwei Stude, ls 0 mi, versicer: 0 mi l/mi 0 l versicer. Es ist ch zwei Stude ei Wsser mehr i der Toe. c) M etimmt der Toe lle zwei Miute eie Gieße mit l Wsser. Für wie viele Gieße reicht es? I zwei Miute versicer: mi l/mi l ud für eie Ke werde l etomme. Dieser Vorgg wird ml wiederholt. Also: 00l ( l l )... drus soll u eie Gleichug werde. f() 00 ( ) 00 - Die Toe ist leer: , Nch Gieße ist die Toe leer. Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
22 Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze Potezrechug ei gze Hochzhle S. Nr. Bei de folgede Aufge geht es um die Multiplitio zw. Divisio vo Poteze mit seler Hochzhl. Poteze mit gleicher Hochzhl, m - multipliziere, idem m die Bse multipliziert. - dividiere, idem m die Bse dividiert. Dei spielt es eie Rolle, o die Bsis eie gze Zhl, ei Bruch, eie Dezimlzhl oder eie Vrile (Buchste) ist. ) 0 ) ( ) ) (0 0 c) 0,) (, 0,, d) ) ( e) Zur Erierug: M dividiert durch eie Bruch, idem m mit dem Kehrruch multipliziert! f) ) ( g) 0, ) (7 7 7 h) ) ( ) ( i) Bei de letzte zwei Teilufge gilt die eischräede Bedigug 0. Köte Null sei, so würde m i estimmte Fälle durch Null teile, ws icht zulässig ist. 0, ) ( ) ( ) ( j) ( ) ) ( ) ( ) ( Dieses Doumet uterliegt dem Copright des Urheers ( Jegliches Veräder, Veröffetliche ud Verufe dieses Doumetes ohe schriftliche Geehmigug des Urheers ist verote. Zuwiderhdluge werde zur Azeige gercht ud strfrechtlich verfolgt. Wir üerehme eie Hftug für die Richtigeit der Lösugswege.
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:...
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
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5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
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7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
Diskrete Mthemtik Teilrkeit Christoph Dohme 7. Mi 2006 Diskrete Mthemtik Teilrkeit Ihltsverzeichis. Eileitug 2. Der größte gemeisme Teiler 3. Divisio mit Rest 4. Der Eukli sche Algorithmus 5. Ds kleiste,
Terme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
9. Jahrgangsstufe Mathematik Unterrichtsskript
. Jhrggsstufe Mthetik Uterrichtsskript. Die ioische Forel Beispiel: Auftrg: Bereche die Gestfläche der oe stehede Figur uf zwei verschiedee Arte!. Möglichkeit. Möglichkeit: Teilflächeerechug Mit Zhleeispiel
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
mathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
mthphys-olie WURZELFUNKTIONEN Grphe der -te Wurzelfuktio.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 = = = mthphys-olie Wurzelfuktioe Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Die Wurzel ud Wurzelgesetze Die eifche
Potenzen und Wurzeln
Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
Ableitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
Terme und Formeln Potenzen II
Terme ud Formel Poteze II Die eizige schriftliche Überlieferug der Mthemtik der My stmmt us dem Dresder Kodex. Ds Zhlesystem der Mys beruht uf der Bsis 0. Als Grud dfür wird vermutet, dss die Vorfhre der
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe 3. Veranstaltung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 16. November 2016
Tutorium Mthemti i der gymsile Oerstufe 3. Verstltug: Berechug vo Whrscheilicheite 6. ovemer 6. Komitori Permuttio: Elemete werde i eie Reihefolge gestellt Vritio: us Elemete werde usgewählt ud i eie Reihefolge
Die Logarithmusfunktion
Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
DOWNLOAD. Potenzgesetze für rationale Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen
DOWNLOAD Michel Körer Potezgesetze für rtiole Expoete Michel Körer Grudwisse Wurzel ud Poteze. 0. Klsse Bergedorfer Kopiervorlge Dowloduszug us dem Origiltitel: Kubikwurzel bzw.. Wurzel Aufgbe Wie groß
( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
Kurzfassung zur Wiederholung mit Wissenstest zum Potenzrechnen DEMO. für alle, die es brauchen. Datei Nr Stand 7.
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Kurzfssug zur Wiederholug mit Wissestest zum Potezreche für lle, die es bruche Dtei Nr. Std 7. Jur 08 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de
der größte Eigenwert von A T A ist, und der größte Singulärwert von A. Diese Matrixnorm ist i.a. nicht einfach berechenbar!
lso m m woei m m der größte Eigewert vo ist ud der größte Sigulärwert vo. Diese Mtriorm ist i.. icht eifch erecher! 3.5.7. Def. der Froeiusorm: F : Fsse die Mtri ls Vetor uf ud eutze für diese lge Vetor
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthetik Repetitiosufgbe Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Vorbeerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufgbe Poteze it Musterlösuge F) Aufgbe Potezgleichuge it Musterlösuge
2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG -502- Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze
Inhaltsverzeichnis. Ein dummer Roboter Pascal Schmidt 3. Teilbarkeit spezieller Zahlen durch 6 Niko Kinas 21
zeitug für mthemtik m mpg trier / heft 4 / jur 08 Ihltsverzeichis Seite Ei dummer Roboter Pscl Schmidt Fkultäte ud Nulle Teil Stmmbrüche ls Summe vo Stmmbrüche Teil Summe vo Primzhle Teil Meikel Diely,
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Kapitel VI. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt
2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
f) n n 2 x x 4 für n gerade; x für n ungerade
R. Brik http://brik-du.de Seite 7.09.0 Lösuge Poteze I Ergebisse: E E E Ergebisse ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 ; = ; 7 = ; = 7 ; = 9 ; ( ) = 7 9 Ergebisse x x x x x x ) ( + ) = + ( + ) = + c) x + x = (
3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl
Wird der Potenzbegriff auf negative Exponenten erweitert, dann können auch sehr kleine Zahlen gut dargestellt werden.
. Poteze mit gze Epoete Wird der Potezegriff f egtive Epoete erweitert, d köe ch sehr kleie Zhle gt drgestellt werde. Ws edetet 0? Die Defiitio wird so festgelegt, dss die isherige Potezgesetze gültig
Elementare Algebra. (Arithmetik, Schulmathematik) Seite
Ausgbe 2007-09 Eleetre Algebr (Arithetik, Schulthetik) Seite Betrg reeller Zhle 10 Bioe Itervlle 10 Liere Fuktioe 8 Liere Gleichuge 8 Mittelwerte Potezgesetze 6 Qudrtische Fuktioe 9 Qudrtische Gleichuge
War Benjamin Franklin Magier?
Wr Bejmi Frkli Mgier? Zusmmefssug Es wird eie Methode etwickelt, ei (fst) mgisches Qudrt der Ordug 8 k ( k ) mit fsziierede Eigeschfte herzustelle. Eileitug I seiem überus leseswerte ud bwechslugsreiche
Grundlagen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Grudlge Mthetik 9. Jhrggsstufe ALGEBRA. Uter der (Qudrt-)Wurzel Zhl, die qudriert ergit : der positive Zhl versteht diejeige positive heißt dei der Rdikd.. Rtiole Zhle Q = lle Brüche zw. edliche oder uedlich
STUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte
STUDIUM Mthetische Grudlge für Betrieswirte Mit de folgede Aufge köe Sie i eie Selsttest üerprüfe, o Sie och eiigerße die Grudlge der Alger eherrsche. Diese hdwerkliche Fertigkeite sid wesetlich, we es
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
Fachschaft Mathematik der Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg
Fchschft Mthemtik der Sttliche Fchoberschule ud Berufsoberschule Augsburg Auf de folgede Seite sid i kurzer Form die Schverhlte der Algebr drgestellt, mit eiige relevte Übugsbeispiele, i der Regel ch Schwierigkeitsgrd
Repetitorium. zur Vorbereitung in. Mathematik. auf die/den. Höhere Berufsfachschule Duale Berufsoberschule Fachhochschulreifeunterricht
Berufsildede Schule Bd Dürkheim Im Slzrue 7 67098 Bd Dürkheim Telefo: 06-9580 F: 06-95844 E-Mil: sekretrit@s-duew.de Repetitorium zur Vorereitug i Mthemtik uf die/de Höhere Berufsfchschule Dule Berufsoerschule
Grundwissen Mathematik Klasse 9
Grudwisse Mthetik Klsse Reelle Zhle: Qudrtwurzel: ist die icht-egtive Lösug der Gleichug:. Merke: heißt Rdikd ud drf icht egtiv sei! Bsp.: 7 6, 7 7 Irrtiole Zhle: Jede Zhl, die sich icht ls Bruch drstelle
In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2
0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe
multipliziert und der Ausdruck dann in Real- und Imaginärteil aufgespaltet: Zur Berechnung der Phase werden Zähler und Nenner zunächst mit 1 F F
8 requezgg lierer Sstee 9 t t t e e e Jede Differetitio etspricht lso eier Multipliktio it! Setze wir diese ere i die Differetilgleichug 87 ei, so erhlte wir ür de requezgg ergit sich lso 88 Beispiel:
1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
Übungen zu den Potenzgesetzen
Üuge u de Potegesete Multiplitio ud Divisio vo Potee it gleicher Bsis. ) d p d q d p q. ). ) + + + p p + p p p + +. ) ²(³ + ) ³( + ) ³(² - ) ( + - ) ( + - ) - ( + ). ) (² + ³)² ( )² ( + )² ( )² (² + ³)²
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
Übungen zu den Potenzgesetzen
Üuge u de Potegesete Multiplitio ud Divisio vo Potee it gleicher Bsis. d p d q d p q.. + + + p p+ p p p+ +. ²(³ + ) ³( + ) ³(² - ) ( + - ) ( + - ) - ( + ). (² + ³)² ( )² ( + )² ( )² (² + ³)² ( )² (d d
Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe
Inhalt 1. Zahlenbereiche / Zahlenmengen 2. Terme
Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Ihlt. Zhlebereiche / Zhlemege. Terme.. Grudbegriffe.. Summe ud Differeze.. Produkte.. Auflöse vo Klmmer.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer... Ausmultipliziere...
Formelsammlung Chemietechnik
EUROPA-FACHBUCHREIHE für Chemieberufe Wlter Bierwerth Formelsmmlug Chemietechik. Auflge VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Strße 23 4278 H-Gruite Euro-Nr.: 763 Autor Wlter
Analysis I SS Zusammenfassung Stephan Weller, Juli 2002
Alysis I SS 2 Zusmmefssug Steph Weller, Juli 22 Ihlt. Vollstädige Idutio ud Ugleichuge 2. Folge ud Reihe 3. Kovergez ud Stetigeit 4. Differetitio, lole Extrem, Kovexität 5. Itegrtio, Sustitutiosregel ud
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... = Fktore Potezwert Es ist =, =, =, : Bsis oder Grudzhl, R
5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
Formelsammlung Chemietechnik
EUROPA-FACHBUCHREIHE für Chemieberufe Wlter Bierwerth Formelsmmlug Chemietechik. Auflge VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Strße 23 4278 H-Gruite Euro-Nr.: 763 Autor Wlter
Teil I.1 Rechnen mit reellen Zahlen
Brückekurs Mthetik Ihlt Teil I. Reche it reelle Zhle Sttliche Studiekdeie Leipzig Studierichtug Ifortik Reelle Zhle. Zhlbereiche.2 Grudrecherte.3 Potez- ud Wurzelrechug.4 Logrithe Dr. Christi Heller 2.
4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Formelsammlung Chemietechnik
Formelsmmlug Chemietechik Berbeitet vo Wlter Bierwerth. Auflge 205. Broschüre im Order. c. 96 S. ISBN 978 3 8085 76 3 Formt (B x L): 5,2 x 2,5 cm Gewicht: 46 g schell ud ortofrei erhältlich bei Die Olie-Fchbuchhdlug
a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert
8. Potenzen 8. Einführung in Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Neen den klssischen Grundrechenopertionen git es weitere Opertionen, welche Beziehungen zwischen Zhlen schffen: Potenzieren Rdizieren Wurzelziehen)
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG. 1. Berechnen Sie von Hand und Beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Block Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeschltet!. Bereche Sie vo Hd ud Bechte Sie dei die Reihefolge der Opertioe:
Mathe Basics für's Studium
Mthe Bsics für's Studiu Grudlge zur Mthetikvorlesug eies etrieswirtschftliche Studius vo Stef Schidt Versio: J. Ihltsverzeichis Vorll... Ws ietet dieses Skript?... Für we ist dieses Skript?... TEIL Bsic
1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg
Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 Eenso, denn 5?
Der binomische Lehrsatz
Der iomische Lehrstz Ei Biom ist die Summe us zwei Glieder, etw +. Poteziert m dieses Biom mit eier ichtegtive gze Zhl, so gilt ch dem iomische Lehrstz (1) Beweis 1 + = k= 0 k k Für die trivile Fälle =
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
R. Brinkmann Seite e) 2ad = 8a d. b) ( )( ) b) b 4b = 20b e) 2 3 5
R. Brik http://rik-du.de Seite 7.0.0 Lösuge Poteze II Ergeisse: E Ergeisse ) d 8 d e) d 8 d ) f) 8 E Ergeisse ) d 6 d d d ) y y y E Ergeisse ) + + 6 + E Ergeisse ) 8 + 8 7 + 0( ) ) 7 y + y 8 y + 9 E E6
Flächenberechnung. Flächenberechnung
Itegrlrechug Gegee sei eie Fuktio. 1 Itegrlrechug Gesucht ist die Fläche zwische der Kurve vo 0 is 1 ud der -Achse. 0 1 2 197 Wegeer Mth/5_Itegrl_k Mittwoch 04.04.2007 18:38:48 Itegrlrechug Wir eee 1 um
MATHEMATIK BASICS. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Marc Peter Rainer Hofer. Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)
MATHEMATIK BASICS Mrc Peter Rier Hofer Poteze, Wurzel ud Logrithme Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersoe (Folievorlge) Impressum Iteret: Folievorlge ud Lerkotrolle www.hep-verlg.ch/mt/mth.sics/ ISBN -9090-96-
x + z y = 6 x 2 + z 2 y 2 = 36 x 3 + z 3 2y 3 = 1 x + z = y + 6 x 2 + z 2 = y x 3 + z 3 = 2y x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 = 0 x + xy + y = 1
Gleihuge/Ugleihuge sltt Seite Gleihuge Aufge (Wurzel π37) Fide lle e (x, y, z) R 3 des Gleihugssystems M stellt ds System um zu x z y = 6 x z y = 36 x 3 z 3 y 3 = x z = y 6 x z = y 36 x 3 z 3 = y 3 Aus
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier
Terme und Formeln Potenzen I
Terme ud Formel Poteze I Die Mrgrit philosophic ist die älteste gedruckte llgemeie Ezyklopädie us dem Jhr 0 i lteiischer Sprche. Ds Werk ethält ls Uiversits literrum ds gesmte Wisse des späte Mittellters.