10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Bogenmaß 10

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1 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Bogenmaß 0 Erklärung Winkel können gemessen werden im Gradmaß (Vollwinkel = 360 ) oder im Bogenmaß (Vollwinkel = ). Letzteres hat seinen Namen daher, die Bogenlänge, die der Winkel aus einem Kreis mit Radius ausschneidet, als Maß für den Winkel zu verwenden. Wegen des Kreisumfangs r = (für r = ) ist dementsprechend ϕ Beispiele für Umrechnungen 360 = Gradmaß Bogenmaß: 7 ist 7 des Vollwinkels, also = Bogenmaß Gradmaß: ist 3 3 = 6 des Vollwinkels, also = Merke auswendig: = 90. Taschenrechner und Gradmaß/Bogenmaß Bei Verwendung der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan ist der Taschenrechner zuvor je nach Bedarf auf Gradmaß oder Bogenmaß einzustellen (siehe Bedienungsanleitung des Taschenrechners, ei manchen z. B. mit den Tasten MODE 4/MODE 5 oder durch wiederholtes Drücken einer DRG-Taste). Im Displa des Taschenrechners wird dies meist durch RAD eim Bogenmaß und DEG (oder nichts) eim Gradmaß angezeigt. Beispiel: Im Gradmaß ist sin 45 = 0,7, im Bogenmaß sin 4 = 0,7. Wann Bogenmaß, wann Gradmaß? Dies hängt natürlich von der Situation und der Aufgaenstellung a. Sofern nichts anderes verlangt ist, kann man sich an folgenden Anhaltspunkten orientieren: Geometrische Berechnungen an Dreiecken und Vierecken: Gradmaß. Wenn das -Zeichen in der Aufgaenstellung vorkommt: Gradmaß. Wenn in verwendeten Formeln oder der Aufgaenstellung vorkommt: Bogenmaß. Beim Zeichnen von Funktionsgraphen, wenn nichts anderes verlangt ist: Bogenmaß. In der Phsik ei Formeln zur Kreisewegung und zu Schwingungen, z. B. = a sin ωt: Bogenmaß.

2 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Polnomdivision 0 Beispiel : (x 3 4x + 0x ) }{{} Dividend : (x ) }{{} Divisor Die Polnome werden wenn nicht schon geschehen nach fallenden Potenzen geordnet. Man eginnt mit der Division der höchsten Potenzen von Dividend und Divisor, hier also x 3 : x. Das Ergenis (hier x ) schreit man rechts vom Gleichheitszeichen an; dieses Ergenis multipliziert man mit dem Divisor (hier also x (x ) = x 3 x ) und notiert dies unter dem Dividenden. Bis jetzt steht also da: (x 3 4x + 0x ) : (x ) = x... x 3 x Da jetzt sutrahiert werden muss (hier (x 3 x ) = x 3 + x ), ist es zweckmäßig, die Vorzeichen durch darüerschreien zu ändern und dann zu rechnen: Das Verfahren wird nun fortgesetzt (höchste Potenzen dividieren: x : x = x anschreien, dann mit Divisor multiplizieren: x x = x und x ( ) = +4x notieren), dann steht da: (x 3 4x + 0x ) : (x ) = x... x 3 + x Man rechnet 4x +x = x nächste Stelle herunterholen x + 0x (x 3 4x + 0x ) : (x ) = x x... x 3 + x x + 0x x + 4x Wieder werden die Vorzeichen geändert, die entsprechende Rechnung durchgeführt (hier 0x 4x = 6x), die nächste Stelle heruntergeholt und aermals das ganze Verfahren durchgeführt, is dasteht: Bleit Rest 0, so ist die Polnomdivision ist aufgegangen. Beispiel : Division mit Rest (x 3 4x + 0x ) : (x ) = x x + 6 x 3 + x x + 0x + x 4x 6x 6x + 0 (Den Vorzeichenwechsel möge der Leser mit Farstift in den jeweils unterstrichenen Zeilen selst vornehmen) (x 5 + 6x 4 x 3 + 4x 70) : (x + 3) = x 4 x + 7x 7 x + 3 x 5 + 6x 4 0 x 3 + 4x Man denke sich 0 x x 3 3x 7x 7x + x x 70 x 63 7

3 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Gleichungen höheren Grades Beispiel: x 4 4x x = x 3. Schritt: Gleichung nach 0 auflösen: x 4 x 3 4x x = 0. Schritt: Falls die Konstante fehlt, x ausklammern: x(x 3 x 4x ) = 0 Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also: x = 0 oder Schritt: x 3 x 4x = 0 Lösung erraten (siehe unten): x = Polnomdivision durch (x 3 x 4x ) : (x + ) = x x x minus Lösung x 3 + x ( Grundwissen 0. Klasse: Polnomdivision; den dort erklärten Vorzeichenwechsel möge der Leser mit Farstift in den x x x 4x jeweils unterstrichenen Zeilen selst vornehmen) x x 0 Die Polnomdivision muss aufgehen, andernfalls hat man eim Raten der Lösung oder ei der Polnomdivision einen Fehler gemacht. Also ist x 3 x 4x = (x+)(x x ), und dieser Ausdruck ist 0, wenn x = oder x x = 0 ist. Das Verfahren (Lösung erraten, Polnomdivision) wird so lange durchgeführt, is sich eine Gleichung ergit, die mit einem Standardverfahren gelöst werden kann (quadratische Gleichung). 4. Schritt: Löse die quadratische Gleichung: x x = 0 x 3/4 = ± + = ± 3 Die Lösungen sind also: x = 0, x =, x 3 = + 3, x 4 = 3 Eine Gleichung n-ten Grades (hier 4. Grades) kann is zu n Lösungen haen. Faktorzerlegung: x 4 x 3 4x x = x(x + )(x ( + 3))(x ( 3)) (Faktoren x minus Lösung ; hier sieht man nochmal, dass das Produkt 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist) Spezialfälle Mehrfache Lösungen sind entsprechend zu kennzeichnen. Beispiel: x 3 + 4x x + 6 = 0 x =. Polnomdivision (x 3 + 4x x + 6) : (x ) = x + 5x 6. x /3 =,5 ± 6,5 + 6, also x =, x 3 = 6. Somit Faktorzerlegung x / = doppelte Lösung, x 3 = 6 einfache Lösung, x 3 + 4x x + 6 = (x ) (x + 6) ( ) Bleit im 3. Schritt eine quadratische Gleichung ohne Lösung, so ist keine weitere Faktorzerlegung möglich. Beispiel: x 3 x + x = (x )(x + ) Zum Erraten einer Lösung Kandidaten sind die Teiler der Konstanten. In ( ) kommen also ±, ±, ±3, ±6 in Frage. (Denn: Beim umgekehrten Ausmultiplizieren der Faktorzerlegung erkennt man, dass die Konstante das Produkt der Lösungen ist). In speziellen Situationen (z. B. Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen, Hinweise im Text einer Prüfungsaufgae) kann es vorkommen, dass eine Lösung schon ekannt ist.

4 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Rechnen mit Potenzen 03 Bezeichnungen: a x heißt Potenz, a Basis, x Exponent Bedeutung: a x = Allgemeine Rechenregeln: a a... a }{{} x Stück gleiche Faktoren Multiplizieren ei gleicher Basis: a x a = a x+. Beispiel: a a 3 = a 5 Multiplikation/Division ei gleichem Exponenten: a x x = (a) x ; ax x = ( a )x Potenzen potenzieren: (a x ) = a x. Beispiel: (3 5 ) = = Negative Exponenten sagen: Ich stehe im Nenner : a x = a x Beispiel: ms = m s Umgekehrt ergeen sich oft equeme Rechnungen, wenn man anstelle eines Nenners einen Ausdruck mit negativem Exponenten schreit: a5 a = a 5 a = a 3 Brüche als Exponenten sagen: Ich in eine Wurzel : a n = n a Beispiele: x = x x 3 = (x 3 ) = x 3 = x x = x x oder x 3 = (x ) 3 = x x x = x x oder x 3 = x + = x x = x x 3 a 6 a Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft equemer als Potenzen weiterverareiten, z. B. = a a 3 a 6 a = a 0 = Vorsicht: Summen/Differenzen (z. B. a 5 a 7 ) können nicht zusammengefasst werden. Sondern: Gemeinsame Faktoren ausklammern, eventuell inomische Formeln suchen, sonst stehen lassen. Beispiel: a 5 a 7 = a 5 ( a ) = a 5 ( + a)( a). Bei Summen/Differenzen (z. B. (a + ) 3, (x ) 4 ) nicht einzeln potenzieren! Sondern: Ausmultiplizieren (inomische Formeln): (a + ) 3 = a 3 + 3a + 3a + 3, oder zusammenfassen: [(x ) 4 ] x = (x ) (x ) = (x ) = x, sonst stehen lassen. Zehnerpotenzen verwendet man zur Angae sehr großer oder sehr kleiner Zahlen (z. B. 0 3 = 000 hat 3 Nullen; 3,5 0 3 = 3,5 0 3 = 0,0035: Kommaverschieung um 3 Stellen). Manche Taschenrechner zeigen Zehnerpotenzen im Displa z. B. so an:,4 04 ; dies muss aer mit 0 hoch auf das Papier geschrieen werden:, Umgekehrt: Eingae einer Zehnerpotenz mit dem Taschenrechner: Meist Exp- oder EE- Taste. Beispiele: 73 Millionen = = 7,3 0 7 : Tippe 7,3 Exp 7 0 = 0 : Tippe Exp +/ (Displa: ) Je nach Taschenrechner kann man die Anzeige von Zehnerpotenzen mit gewissen Tastenkominationen ändern, z. B. MODE 9 oder ENG oder FSE, siehe Bedienungsanleitung des Taschenrechners.

5 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Lösen von Gleichungen (0. Klasse) 04 In manchen Fällen sind zusätzliche Umformungen (z. B. Klammern ausmultiplizieren, Terme zusammenfassen) oder Sustitutionen (ei mehrfachem Vorkommen eines Rechenausdrucks) erforderlich. x x = Tp Name Lösungsverfahren Beispiel 8 + 5x = 0 Linear x e auf eine Seite 5x = 8; x = x 0x = Quadratische Formel x / = 6± ( 8) Alles auf eine Seite; 0x + 6x 8 = 0 5x ; Gleichung x / = ± 4ac 0 a x = ; x = 0,4 8 0x = 0 Reinquadratisch 0, oder Lösungen! Nach x auflösen. x = 8 0,8 0 x = x x Keine Konstante Alles auf eine Seite; x ausklammern x x = 0; x(x ) = 0; x = 0, x = Bruchgleichung Definitionsmenge! 8 + 5x x(8 + 5x) = Mit HN multiplizieren. D = IR\{0; 8}; x 8+5x 5 5x; Wurzelgleichung Definitionsmenge! Wurzel isolieren; quadrieren; Proe! Weitere Sonderformen und Genaueres siehe grund9.pdf 0x 4 + 6x 3 4x + 8x = 0 Gleichung höheren Grades x ausklammern, falls keine Konstante; Lösung raten, Polnomdivision ( grund0.pdf) x =, x = 0,4 x = x ; D = [ ; ] x = x x + x = 0 ; x = x = 0; x = erraten. Pol.div. (0x 3 + 6x 4x + 8) : (x ) = 0x + 6x 8; x 3 =, x 4 = 0,4 x 4 = 5 Reine Umkehroperation x = ±5 4 = 4 5 x 4 = 5 Potenz- hoch 4 hoch. Keine Lösung 4 x 3 = 5 Gleichung Auf Vz und Exponenten x = 5 3 = 3 5 x 3 = 5 (Basis x) [gerade/ungerade] achten. x = 5 3 = x = 5 Wurzel- Umkehroperation x = x = 5 gleichung hoch 4 sin x = 0,6 sin x+cos x =,05 x = Exponentialgl. (Exponent x) log 0 x = 3 Logarithmisch Trigonometrische Gleichung Trigonometrische Gleichung Beide Seiten logarithmieren hoch 4 Keine Lösung Umkehroperation log hoch... Spezielle Werte weiß man; sonst Taschenrechner (SHIFT) sin Mit sin + cos = (und eventuell Additionstheorem) alles z. B. durch sin ausdrücken, Sustitution u = sin x. Je nach Situation auch andere Lösungsverfahren! log,05 x = log ; x log,05 = log ; x = log 4, log,05 0 log x = 0 3 ; x = 0 3 = 000 x 0,64, x = x,50 (hier Bogenmaß). Sich Funktionsgraph vorstellen! Weitere Lsgen -periodisch Mit cos x = ± sin x und Sustitution folgt: u ± u = ; u = 0 (nur für + ), u =. sin x = 0 liefert x = 0 (x = nicht wegen Proe), sin x = liefert x =. Weitere Lsgen -periodisch

6 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Kreis, Kugel, Zlinder, Pramide, Kegel 05 Kreis mit Radius r: Fläche A = r, Umfang u = r. Daei ist die Kreiszahl 3,4, für Üerschlagsrechnungen 3. Kreissektor mit Winkel ϕ: ϕ ϕ Fläche A und Bogenlänge sind Bruchteil (zw., wenn ϕ im Bogenmaß) von Kreisfläche zw. Kreisumfang: 360 A = ϕ r (zw. A = ϕ 360 r = ϕr ), = ϕ r (zw. = ϕ r = rϕ) 360 Kugel: Volumen V = 4 3 r3, Oerfläche O = 4r. Tipp: Bei Berechnungen Einheitenkontrolle: Flächen müssen sich wegen r in der Einheit m, dm, cm,... ergeen, Volumina wegen r 3 in m 3, dm 3 =Liter, cm 3,... Zlinder Volumen (wie eim Prisma Grundfläche mal Höhe h): V = r h Mantelfläche (in der Aildung punktiert, denke man sich agewickelt!): M = rh Oerfläche (Mantel + Deckel + Boden): O = rh + r Pramide Volumen V = Gh (G=Grundfläche) 3 Oerfläche: Grundfläche + dreieckige Seitenflächen, deren Maße man oft mit Pthagoras ermitteln kann. Kegel Volumen (wie ei der Pramide 3 Grundfläche mal Höhe): V = 3 r h Mantelfläche (lässt sich zum Kreissektor awickeln!): M = rm. Daei ist m die Mantellinie von der Spitze zum Umfang unten, die mit Pthagoras erechnet werden kann: m = r + h Oerfläche (Mantel + Boden): O = rm + r h m r Kegelstumpf Hierfür git es auch fertige Formeln, die man in der Regel nicht auswendig weiß, sondern in der Formelsammlung nachschlägt oder sich selst herleitet. Hierzu eachte man, dass sich mit der Höhe in gleichem Maß der Radius ändert (Strahlensatz verwenden!).

7 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck 06 Sinus, Kosinus am Einheitskreis (= Kreis mit Radius r = ) II I cos ϕ = x, sin ϕ = Insesondere ergit sich also z. B. III (x ) ϕ 0 x x IV für ϕ = 30 ein hales gleichseitiges Dreieck mit x = 3, =, für ϕ = 45 ein gleichschenkliges Dreieck ( hales Quadrat ) mit x =, =. Weitere Werte Formelsammlung/Taschenrechner. Ferner ergeen sich die Vorzeichen in den einzelnen Quadranten I IV (zum Winkel im Bogenmaß grund00.pdf): ϕ 0 = 0 I 90 = II 80 = III 70 = 3 IV 360 = cos ϕ = x periodisch sin ϕ = von vorne Beispiel: Für den Punkt mit r =, ϕ = 0 ( Polarkoordinaten ) erhält man x = sin 0 = = 0,5, = cos 0 = 3 0,87 ( kartesische Koordinaten ) Tangens, Kotangens tan ϕ = sin ϕ cos ϕ, cot ϕ = cos ϕ sin ϕ = tan ϕ Trigonometrischer Pthagoras Wegen x + = ist (sin ϕ) + (cos ϕ) =, Kurzschreiweise: sin ϕ + cos ϕ =. Additionstheoreme sind Formeln für sin(α + β), sin(α) usw. Formelsammlung sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck Hpotenuse Denkt man sich das neenstehende Dreieck mit dem Faktor (dem rechten Winkel r gestreckt (zw. gestaucht), so erhält man eines mit Hpotenuse, gegenüer) Ankathete a r r und Gegenkathete r und kann oige Erklärung von sin und cos am Einheitskreis anwenden: ϕ a cos ϕ = a = r Ankathete Hpotenuse Ankathete, sin ϕ = = Gegenkathete r Hpotenuse, (am Winkel ϕ anliegend) Gegenkathete tan ϕ = sin ϕ = r cos ϕ a = (dem Winkel ϕ a = Gegenkathete Ankathete r gegenüer) Beispiele:. Gegeen: α = 50, = Hier ist die Ankathete von α, a die Gegenkathete. a cos α = c = = 3, c cos α cos 50 sin α = a a = c sin α,4 (oder Pthagoras!) c α c (Taschenrechner auf DEGREE, siehe auch grund00.pdf). Gegeen: P ( 3) x = ϕ x = 3 r P (x ) Pthagoras liefert r = x + = 3. tan ϕ = = 3 = 3. x Je nach Taschenrechner ermittelt man meist mit den Tasten (SHIFT) tan vor oder nach Eingae des Wertes 3 einen Winkel von ca. 56,3. Da P im III. Quadranten liegt, sind 80 zu addieren, somit r 3,6, ϕ 36,3.

8 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 sin, cos, tan: Graphen 07 Hier wird meist der Winkel im Bogenmaß verwendet ( grund00.pdf). Wertetaelle grund06.pdf sin x cos x Merke: Der cos-graph geht im Koordinatensstem durch den Punkt (0 ), der sin-graph steigend durch den Punkt (0 0). sin und cos sind -periodisch. tan = sin cos -periodisch, D = IR\{±, ± 3,...} x Verschieung und Streckung von Funktionsgraphen Allgemeine Form: = a sin((x + c)) + d = a sin(x + e) + d Man unterscheide daei den außen stehenden Faktor a und Summanden d, die den Graphen in -Richtung verändern, und den innen ei x stehenden Faktor und Summanden c zw. e. Um den Funktionsgraphen ausgehend vom normalen sin-graphen zu zeichnen, denke man sich eine Wertetaelle. Man erkennt dann: +d ewirkt, dass alle -Werte um d größer werden, d. h. der Funktionsgraph wird um d nach oen verschoen (zw. ei negativem d nach unten). a ewirkt, dass die -Werte mit a multipliziert werden, d. h. der Funktionsgraph wird in -Richtung um den Faktor a gestreckt (zw. ei a < gestaucht), ei negativem a zusätzlich an der x-achse gespiegelt. ewirkt, dass man für x jetzt das -fache einsetzen muss, um das gleiche Ergenis zu erhalten wie ohne diesen Faktor, d. h. der Graph wird in x-richtung um den Faktor gestaucht (zw. ei < gestreckt), ei negativem zusätzlich an der -Achse gespiegelt. +c ewirkt, dass für x jetzt um c weniger eingesetzt werden muss, um das gleiche Ergenis zu erhalten wie ohne diesen Summanden, d. h. der Graph wird in x-richtung um c nach links verschoen (zw. ei negativem c nach rechts); eim oigen Term mit c muss man den sin-graphen zuerst stauchen, dann verschieen, eim zweiten Term mit e zuerst um e verschieen, dann von der -Achse aus stauchen. In Zweifelsfällen fertigt man am esten eine kleine Wertetaelle. Beispiel: = sin(x) x Stauchung in x-richtung auf hale Periodenlänge = sin((x + 4 )) Verschieung um 4 nach links x =,5 sin((x + 4 )) x Streckung in -Richtung um Faktor,5; Spiegelung an x-achse =,5 sin((x + 4 )) + x Verschieung in -Richtung um nach oen

9 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Dreieckserechnungen 08 Rechtwinklige Dreiecke grund06.pdf Gleichseitiges Dreieck grund99.pdf Gleichschenklige Dreiecke: Zerlegung durch die Smmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke Allgemeines Dreieck Je nach gegeenen Größen wählt man einen der folgenden Sätze: Sinussatz: a = sin α sin β (Die Seitenlängen verhalten sich wie die Sinuswerte der gegenüerliegenden Winkel) Kosinussatz: a = + c c cos α ( verallgemeinerter Pthagoras ) γ a α β c Prolem ei Winkelerechnungen mit dem Sinussatz: Die Gleichung sin α = s mit 0 < s < hat im Intervall [0; 80 ] zwei Lösungen (man denke an den Graphen der sin-funktion!), nämlich die vom Taschenrechner angezeigte ϕ und ϕ = 80 ϕ. s ϕ ϕ x Durch Zusatzüerlegungen (z. B. muss der größeren Seite der größere Winkel gegenüerliegen) findet man die richtige Lösung, es kann aer auch sein, dass eide Lösungen möglich sind. Beispiel: Man erechne den Winkel δ in der neenstehenden Skizze. c Gegeen: a = 5, = 4, c = 3, d = 4. d δ ε γ a Vorüerlegung: Zur Berechnung von δ muss man das untere Teildreieck etrachten und enötigt hier eine weitere Größe; hierfür ietet sich der Winkel γ an, da dieser auch im ganzen Dreieck vorkommt und dort schon drei Seitenlängen ekannt sind. Von Sinussatz und Kosinussatz kommt hierfür nur der Kosinussatz in Frage, da er derjenige ist, in dem drei Seitenlängen vorkommen. c = a + a cos γ cos γ = a + c a = = 0,8 γ 36,9 Im unteren Teildreieck verwenden wir den Sinussatz (auch der Kosinussatz wäre möglich; daei wäre dann eine quadratische Gleichung zu lösen). sin δ sin γ = a d sin δ = sin γ a d = 0,75 δ 48,6 oder δ 3,4 Im ersteren Fall wäre (Winkelsumme im unteren Teildreieck) ε 94,5 der größte Winkel in diesem Dreieck; da dort a die größte Seite ist, muss jedoch der a gegenüerliegende Winkel δ der größte sein, also ist δ 3,4.

10 0. Klasse TOP 0 Grundwissen 0 Potenz-, Wurzel-, exp-, log-funktion 09 Potenzfunktionen Paraeln n-ter Ordnung (positiver Exponent) = x 4 = x 3 Hpereln n-ter Ordnung (negativer Exponent) = x = x = x 3 = x x 0 x 0 x 0 x Achsensmmetrisch ei geradem Exponenten Punktsmmetrisch ei ungeradem Exponenten Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen ( grund0.pdf) der Potenzfunktionen (Spiegelung des Graphen an der Winkelhalierenden des I. Quadranten). Definitionsereich: IR + 0 = [0; [ Definitionsereich: IR\{0}. Annäherung an die x-achse für x ± (Asmptote) = 3 x = x 3 0 x Exponentialfunktionen = x 0 x Definitionsereich: IR Werteereich: IR + =]0; [ = 0 x 0 Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion, und zwar ist der Logarithmus zur Basis, agekürzt log, die Umkehrung zur Exponentialfunktion mit Basis. Insesondere steht am Taschenrechner mit der log-taste die Logarithmusfunktion zur Basis 0 zur Verfügung, also die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit der Gleichung = 0 x. Rechenregeln: log(a) = log a + log log x = x log( a ) = log a log log x = x log(a r ) = r log a log = x Anwendungseispiele: Zins und Zinseszins: Ein Guthaen steigt jedes Jahr um 5 %, d. h. mit Faktor,05. Nach x Jahren liegt dann das Guthaen,05 x vor (exponentiell steigend). Radioaktiver Zerfall: Der Vorrat an noch nicht zerfallenen Atomkernen fällt in einer gewissen Zeit jeweils auf die Hälfte. Nach x solchen Zeitaschnitten liegt dann nur noch ( )x = x von der Anfangsmenge vor (exponentiell fallend). = log x 0 x D = IR + W = IR

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