Monte Carlo Simulation

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3 Herbert C. Frey Gero Nießen Monte Carlo Simulation Quantitative Risikoanalyse für die Versicherungsindustrie Gerling Akademie Verlag

4 Die im Buch verwendeten Daten und Beispielmodelle können gratis von der Internet-Seite heruntergeladen werden. Die Deutsche Bibliothek CIP Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich Copyright 2001, Gerling Akademie Verlag GmbH, Amalienstraße 77, Gartenhaus, D München. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung, vorbehalten Umschlaggestaltung: Claus Seitz, München Titelabbildung: Asger Jorn:Without Title Saxnäs, 1946 fam. Jorn/VG Bild-Kunst, Bonn 2001 Satz: Fotosatz Reinhard Amann, Aichstetten Druck und Bindung: Friedrich Pustet GmbH, Regensburg ISBN

5 Für Sabine Für meine Familie

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7 Vorwort Das Thema dieses Buches ist einer Entwicklung gewidmet, welche die tägliche Praxis des Underwriters im Industrieversicherungsmarkt in zunehmendem Maße beeinflußt. Warum? Glücksspiele und Versicherungen basieren auf der gleichen Produktionstechnik, dem Zufallsexperiment. Bei Glücksspielen ist das Zufallsexperiment künstlich, vom Menschen arrangiert: Für einen fixen Geldbetrag, dem Spieleinsatz, kauft man Gewinnchancen, die zu einer Vermögensmehrung des Spielers führen können, wenn die realisierten Gewinne höher sind als der Spieleinsatz. Im Gegensatz zum Glücksspiel resultiert aus einem Versicherungsvertrag keine zufallsabhängige Vermögensmehrung, sondern eine Vermögensstabilisierung. Das versicherungstechnische Zufallsexperiment, das durch den Versicherungsvertrag und die Begriffe»versicherte Gefahren«,»versicherter Bereich«,»versicherte Schäden«festgelegt ist, dient als Ursache-Wirkungsmodell zur Erklärung und zur Berechnung zufällig auftretender Schäden. Gegen Zahlung eines fixen Geldbetrages, der Prämie, garantiert das Versicherungsunternehmen die finanzielle Restitution realisierter Schäden aus diesem»natürlichen«zufallsexperiment. Da die Berechnung, selbst schon das Addieren von komplexen und vernetzten, sich in der Natur realisierender Zufallsprozesse analytisch äußerst schwierig ist, hatte man vor einigen Jahrzehnten, als Monte Carlo noch eine größere Faszination für Spieler ausübte als Las Vegas, die Idee,»natürliche«Zufallsprozesse, also z.b. Schadenprozesse, durch»künstliche«zufallsexperimente nachzuspielen, zu simulieren. Aus dieser Idee entwickelte sich die sogenannte Monte Carlo Simulation. Weil durch Deregulierung und Globalisierung, durch Klimaänderungen und Wertewandel sowie durch andere rechtliche, wirtschaftliche, soziale und technische Entwicklungen der Rahmenbedingungen der Versicherungswirtschaft die Änderungsrisiken immer größer werden, muß man versuchen, deren Wirkungen auf die Schadenprozesse rechnerisch zu antizipieren, zu simulieren. Ähnliche Veränderungen wie bei den Schadenprozessen sind auch bei den immer stärker volatilierenden Kapitalmärkten zu beobachten. Auch hier versucht man, durch Monte Carlo Simulationen Zufallsgesetzmäßigkeiten zu analysieren und zu prognostizieren.

8 8 Monte Carlo Simulation Da die rechnerische Durchführung der Monte Carlo Simulation heute durch DV-Programme unterstützt wird, kann man den Nutzen dieser Methode sehr schnell anhand der instruktiven praktischen Beispiele dieser Monographie erkennen und auch selbst analysieren. München, 18. Juli 2001 Prof. Dr. Elmar Helten

9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Quantitative Risikoanalyse als Entscheidungsunterstützung Wer sollte dieses Buch lesen? Welche Vorkenntnisse werden benötigt? Historische Anmerkungen zur Monte Carlo Simulation Einführendes Beispiel Das deterministische Modell als Ausgangsbasis Betrachtung des schlechtesten, wahrscheinlichsten und besten Falles Kombination der Fälle:»What-if«-Szenarien Monte Carlo Simulation als natürliche Weiterentwicklung der Szenarienbetrachtung Eine Simulation mit anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Ehrenrettung für die Gleichverteilung Auswirkungen auf Managemententscheidungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Der natürliche Weg von der Größenklassenstatistik zur Wahrscheinlichkeitsverteilung Statistische Kenngrößen Gängige Verteilungen in der Versicherungswirtschaft Anpassen von Verteilungen an historische Daten Beurteilung der Güte von angepaßten Verteilungen Ein Plädoyer für die empirische Verteilungsfunktion Monte Carlo Simulation Ein Beispiel aus der Rückversicherung Das Gesetz der großen Zahlen; Erzeugung von Zufallzahlen Software für Monte Carlo Simulation Weitere Beispiele aus verschiedenen Industrien

10 5 Prämienkalkulation für überspartliche Versicherungsprodukte Überspartliche Versicherungsprodukte Merkmale von klassischen MLMY Programmen Vor- und Nachteile von klassischen MLMY Programmen Erhebung der historischen Schadendaten Abwicklung der Schadendaten Anpassen von Verteilungen an die abgewickelten Daten Benötigte Parameter der MLMY Lösung Abschätzung der benötigten Simulationsanzahl Festlegung der zu berechnenden Kenngrößen Implementierung eines Prämienkalkulationsprogramms im Internet »Zwei Fliegen mit einer Klappe«: Anwendung für einzelspartliche Quotierungen Erweiterungsmöglichkeiten Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Register

11 1 Einleitung Der Umgang mit Risiken gehört zum Alltag in der Versicherungswirtschaft. Bislang haben jedoch moderne Methoden zur Quantifizierung der Risiken nur begrenzten Einzug in die Ebenen der Entscheidungsträger Underwriter, Risk-Manager, Versicherungsmakler, etc. gefunden. Dies liegt zum einen an der häufig zu komplexen mathematischen Darstellung solcher Verfahren in der Literatur. Auf der anderen Seite besteht ein gesundes und auch berechtigtes Mißtrauen der Entscheider gegenüber solchen Methoden als alleinigem Mittel der Risikobewertung. Sicherlich darf man sich für die Risikoquantifizierung nicht ausschließlich auf mathematische Modelle stützen, aber zur Absicherung von Entscheidungen sollte man sie auch nicht per se ausschließen. Zudem hat die Versicherungsindustrie in den letzten Jahren eine Vielzahl komplexer Produkte entwickelt, bei denen die Prämienkalkulation ohne Methoden der quantitativen Risikoanalyse nicht mehr möglich ist. Obwohl die Bedeutung der quantitativen Risikoanalyse für die Versicherungsindustrie also stetig steigt, gibt es bislang keine Literatur zu diesem Thema, die auch dem mathematischen Laien das notwendige Rüstzeug zur Anwendung an die Hand gibt. Diese Lücke wird mit dem vorliegenden Buch geschlossen. Es richtet sich primär an die Praktiker aus der Versicherungsindustrie, die ohne akademischen Ballast die Methoden moderner Risikotheorie kennenlernen wollen. Anhand einer Vielzahl von Beispielen, die auch in Tabellen und Grafiken aufbereitet sind, wird der Leser in die quantitative Risikoanalyse mittels Monte Carlo Simulation eingeführt. Darüber hinaus werden auf anschauliche Weise die wichtigsten Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vermittelt, so daß man nach der Lektüre dieses Buches auch selber Risikomodelle entwickeln und mittels Monte Carlo Simulation das modellierte Risiko quantifizieren kann. Den Abschluß bildet die detaillierte Beschreibung der Prämienkalkulation für überspartliche Versicherungsprodukte mittels Monte Carlo Simulation. Diese im Markt als Multi-Line/Multi-Year (MLMY) bekannten Versicherungslösungen für große Industriekunden stellen ein Paradebeispiel für die Anwendung der quantitativen Risikoanalyse dar. Die in diesem Buch verwendeten Beispiele sind in Microsoft Excel programmiert. Diese Modelle finden sich auch auf der Internet-Seite

12 12 Monte Carlo Simulation wieder. Über diese Internet-Seite besteht auch die Möglichkeit, die Software Crystal Ball der Firma Decisioneering, Inc. USA - einem führenden Anbieter von Software für Monte Carlo Simulation direkt in Deutschland oder in der Schweiz bei einem autorisierten Wiederverkäufer zu beziehen. Mit diesem Excel-Add-In können sämtliche in Excel erstellten Modelle mittels Monte Carlo Simulation analysiert werden. 1.1 Quantitative Risikoanalyse als Entscheidungsunterstützung Charakteristisch für jede Art von Entscheidungsfindung in der modernen Geschäftswelt ist das Abwägen von Chancen und Risiken, die aus der jeweiligen Entscheidung resultieren. Im allgemeinen sind jedoch weder die Chancen noch die Risiken durch eine einzige Zahl oder einen Parameter zu beschreiben. Vielmehr müssen wir in diesem Zusammenhang von Bandbreiten von Chancen bzw. Risiken sprechen. Darüber hinaus treten innerhalb dieser Bandbreiten manche Werte mit einer höheren Wahrscheinlichkeit auf als andere Werte. Erschwerend kommt hinzu, daß die meisten Werte, die eine Entscheidung beeinflussen, mit Unsicherheiten behaftet sind. Sicherlich kann man versuchen (und in manchen Fällen gelingt das auch hervorragend), Chancen und Risiken mehr oder weniger gefühlsmäßig gegeneinander abzuwägen und aus diesen Überlegungen heraus eine Entscheidung zu generieren. Häufig scheitert dieser Versuch aber an der Komplexität der realen Welt. In diesen Fällen kann man versuchen, die reale Welt durch ein geeignetes Modell abzubilden, das als Entscheidungsunterstützung dient. Die Einbeziehung der Risiken erfolgt dann mit Methoden der quantitativen Risikoanalyse. Diese dienen auch dazu, die Resultate des Modells in quantifizierbare Chancen zu übersetzen, so daß eine Entscheidungsfindung möglich wird. Entscheidend ist also neben der geeigneten Abbildung der realen Welt in einem (vereinfachten) Modell die richtige Quantifizierung der Einflußvariablen. Dabei ist die Modellbildung in nahezu allen Unternehmen heutzutage eine Selbstverständlichkeit, wie unzählige Entscheidungsvorlagen in Form von Excel-Tabellen belegen. Ganz anders verhält es sich jedoch mit der Akzeptanz der Quantifizierung der Einflußvariablen. So werden auch heute noch vielfach Geschäftspläne erstellt, bei denen (beispielsweise) der Umsatz des übernächsten Jahres als deterministische Größe (sprich: als eine Zahl) dargestellt wird. Dieses Vorgehen scheint

13 Einleitung 13 allgemein akzeptiert zu sein, obwohl jedem bewußt ist, daß diese Zahl lediglich eine aus heutiger Sicht beste Schätzung für den zu erwartenden Umsatz darstellt. Vielmehr ist der Umsatz (eines zukünftigen Jahres) aber eine stochastische Größe, die vielen Einflußfaktoren unterliegt. Insofern müßten wir für diese Größe im Geschäftsplan eigentlich eine Bandbreite von Werten vorsehen, wobei diese um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung des Auftretens der einzelnen Werte ergänzt werden muß. Selbstverständlich ist ein solches Vorgehen komplizierter als die Vorgabe eines einzelnen Wertes, aber die Resultate sind dafür auch von größerer praktischer Relevanz. Ein Grund für die bislang stiefmütterliche Behandlung der Quantifizierung von Modellvariablen ist aus unserer Erfahrung heraus häufig die Unwissenheit über den Einsatz solcher Methoden. Vielfach ist gar nicht bekannt, mit welch einfachen Mitteln bereits existierende Modelle (in Form von Excel-Tabellen) durch die Hinterlegung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgewertet werden können. Dieses Buch möchte helfen, dieses Manko zu beseitigen. Dabei haben wir den Fokus auf die Modellbildung im Bereich der Versicherungsindustrie gelegt. Aber auch Mitarbeiter anderer Disziplinen finden hier Anregungen und Informationen, um die vielfältigen Aufgaben des Risikomanagements mit Methoden der quantitativen Risikoanalyse anzuwenden. Wir möchten an dieser Stelle unserer Meinung Ausdruck verleihen, daß die quantitative Risikoanalyse bei weitem nicht das einzige Mittel ist, um Risiken zu analysieren und zu managen. Aber sie ist immer dann eine hervorragende Möglichkeit, wenn die vorliegende Situation gut in einem Modell beschrieben werden kann und die Eingangsparameter adäquat eingeschätzt werden können. In einem solchen Fall ist es nicht angebracht, Entscheidungen ohne eine umfassende Risikoanalyse zu treffen. Die Techniken der quantitativen Risikoanalyse können also eine Entscheidungsfindung durch fundamentale Analysen unterstützen. Sie können aber nicht alleiniges Mittel zur Entscheidungsfindung sein. 1.2 Wer sollte dieses Buch lesen? Zielgruppe dieses Buches sind die folgenden Personengruppen: Analytiker, die tagtäglich Risikoanalysen für ihre Unternehmen oder Organisationen erstellen müssen; Manager, die die Resultate der Risikoanalysen verstehen und interpretieren müssen;

14 14 Monte Carlo Simulation Studenten, die sich mit dem Thema Risikoanalyse beschäftigen; Statistiker, die daran interessiert sind, ihr Berufsfeld aus einer etwas anderen Perspektive zu betrachten; Aktuare, die nach neuen Möglichkeiten suchen, Risikoinformationen für das Management aufzubereiten und daraus Entscheidungen zu generieren; Versicherungsmakler, die ihren Kunden zusätzliche Dienstleistungen anbieten wollen; Rückversicherer, die sich Gedanken über den Einfluß der quantitativen Risikoanalyse auf ihr Geschäft mit den Versicherungsgesellschaften machen. Der Titel des Buches deutet bereits an, daß wir uns im wesentlichen mit Risiken und deren Behandlung in der Versicherungsindustrie beschäftigen. Hierbei können wir nicht die komplette Bandbreite des Versicherungsmarktes behandeln. Der Schwerpunkt liegt im Bereich der Sachversicherung mit einem Fokus auf dem Industrie- und Rückversicherungsmarkt. Da aber auch hier jedes Problem seine Eigenheiten hat, werden wir keine Patentrezepte liefern. Statt dessen stellen wir die Zutaten zur Verfügung, mit denen dann umfassende Modelle für die Versicherungsindustrie entwickelt werden können. Wir möchten hier jedoch noch einmal deutlich herausstellen, daß dieses Buch einführenden Charakter hat. Wir wollen insbesondere den Praktikern aus der Versicherungsindustrie die Konzepte der quantitativen Risikoanalyse näherbringen, ohne sie mit mathematischen Abhandlungen zu langweilen. 1.3 Welche Vorkenntnisse werden benötigt? Zum Verständnis der in diesem Buch behandelten Themen benötigt der Leser ein (wie auch immer geartetes) Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wir haben im Rahmen diverser Seminare erlebt, daß dieses Verständnis (in welcher Ausprägung auch immer) bei nahezu allen Mitarbeitern in Versicherungsunternehmen vorhanden ist. Da wir weitestgehend auf mathematische Formalismen verzichten, ist auch in der dahinterstehenden Mathematik kein Hindernis zu sehen. Die meisten mathematischen Aussagen in diesem Buch werden darüber hinaus grafisch dargestellt. Nach unserer Erfahrung sagt auch hier ein Bild mehr als tausend Formeln... Der Leser sollte im Umgang mit einem Tabellenkalkulationspro-

15 Einleitung 15 gramm geschult sein. In den meisten Unternehmen kommt derzeit Microsoft Excel zum Einsatz, so daß wir auch im vorliegenden Buch auf diese Software zurückgreifen, um Modelle zu erstellen. Excel-Tabellen bieten eine ausgezeichnete Plattform für die gleichzeitige Verarbeitung von Daten, Formeln und Grafiken auf intuitive Art und Weise, ohne dabei abstrakte mathematische Formalismen zu verwenden. Sämtliche im Buch dargestellten Beispiele können gratis von der Internet-Seite heruntergeladen werden. Die Beispiele sind im bekannten Excel-Spreadsheet-Format aufbereitet. Die Modelle wurden in Microsoft Excel 2000 Version ( SR-1) zusammen mit Crystal Ball 2000 Professional Edition Version erstellt. Sie können jedoch auch auf relativ einfache Weise mit einer anderen Tabellenkalkulationssoftware und anderen Monte Carlo Simulations-Programmen wie bearbeitet werden. Hinweise, wie Sie die Monte Carlo Simulations-Software direkt in Deutschland oder der Schweiz erwerben können, finden Sie ebenfalls auf der Webseite Bevor Sie sich im folgenden mit der Monte Carlo Simulation vertraut machen, möchten wir noch vier Grundsätze für die erfolgreiche Arbeit mit Methoden der quantitativen Risikoanalyse erwähnen: 1. Lassen Sie das Problem die Analyse führen. 2. Identifizieren Sie alle signifikanten Annahmen. 3. Seien Sie präzise bezüglich der Unsicherheiten. 4. Dokumentieren Sie Ihr Vorgehen klar und übersichtlich. 1.4 Historische Anmerkungen zur Monte Carlo Simulation Der Name Monte Carlo wird wohl zuerst einmal mit dem unabhängigen Staat Monaco an der französischen Mittelmeerküste in Verbindung gebracht. Monte Carlo ist heute ein Stadtteil von Monaco. Es ist vor allem berühmt durch sein Spielkasino. Das Land um das heutige Spielkasino herum wurde früher»les Spelugues«genannt. Erst 1866 wurde es in»monte Carlo«umbenannt. Der Name»Carlo«kommt vom damals herrschenden Fürsten Prinz Charles III., der Urgroßvater des heute herrschenden Fürsten Prinz Rainier III. In einem Spielkasino wird bekanntlich u.a. das Glücksspiel Roulette gespielt. Dieses Spiel ist nichts anderes als ein einfacher mechanischer Zufallszahlen-Generator. Monte Carlo hat sich offenbar schon zu Be-

16 16 Monte Carlo Simulation Bild 1.1: Das Spielkasino von Monte Carlo in Monaco Berthold Werner ginn des letzten Jahrhunderts als fester Begriff für Glücksspiel etabliert und hat dann bei der systematischen Entwicklung und Namensgebung der neuen Methode zur quantitativen Risikoanalyse Pate gestanden. Wer nun aber letztendlich genau für die Namensgebung verantwortlich war, ist nicht bekannt. Die Bezeichnung der Monte Carlo Simulation wurde durch die geheime Arbeit der Wissenschaftler von Neumann und Ulam an der Entwicklung der Atombombe im 2. Weltkrieg in Los Alamos, USA, geprägt. Das Codewort für diese Arbeiten war»monte Carlo«. Von Neumann und Ulam benutzten die Technik der Simulation, um mathematische Funktionen, die nicht explizit programmiert werden konnten, abzubilden. Diese Forschungsarbeit beinhaltete auch die direkte Simulation von Wahrscheinlichkeiten betreffend der zufälligen Verbreitung von radioaktiven Teilchen in der Umwelt. Seither ist die dort verwendete Simulationsmethode als Monte Carlo Simulation bekannt. Dies bedeutet aber nicht, daß die Techniken nicht schon vorher verwendet wurden. Der Ursprung der Methode kann bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts zurückverfolgt werden. Damals wurden solche Simulationsmethoden beispielsweise zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π (Pi) eingesetzt. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts lieferten Simulationsverfahren Fortschritte bei der Untersuchung der Boltzmann-Gleichung. Im Jahre 1908 nutzte der Wissenschaftler W.S. Gossett (unter

17 Einleitung 17 dem Synonym Student) Simulationsverfahren zur Abschätzung des Korrelationskoeffizienten der von ihm erfundenen und benannten»student-t«-verteilung. Die Anwendung von mathematischen Modellen und Methoden zur quantitativen Risikoanalyse als Werkzeuge zur Entscheidungsfindung kann also insbesondere auf militärische Bereiche zurückgeführt werden. Von dort wurde die Monte Carlo Simulationsmethode in den 50er und frühen 60er-Jahren schnell in die Geschäftswelt getragen. Wissenschaftler machten sich die immer größere Leistungsfähigkeit der Computer zu Nutze und definierten damit auch die Grundsätze für die Programmierung von mathematischen Anwendungen, Entscheidungsfindung und Simulationsmethoden. In den 70er und 80er-Jahren des letzten Jahrhunderts wurde jedoch diesen Themen weniger Beachtung geschenkt, und es fanden keine richtungsweisenden Veränderungen mehr statt. Die Geschäftswelt betrachtete offenbar die bis dahin entwickelten Methoden als zu theoretisch und teilweise irrelevant für die realen Probleme. In den 90er-Jahren erlebte dann die quantitative Risikoanalyse als Teil von Management Science und der stetig steigenden Leistungsfähigkeit der Computer und Software, wie z.b. Microsoft Excel, eine wahre Renaissance. Zusammen mit dieser raschen technischen Entwicklung des Computers konnte sich auch die Monte Carlo Methode schon bald in einigen Industrien gut etablieren. Hier sind vor allem die Erdöl- und Gas-Industrie zu erwähnen. Im weiteren ist Management Science und Decision Technology in Amerika bereits ein Standard-Kurs an allen bekannten Wirtschafts-Universitäten, d.h. daß sämtliche Absolventen eines MBA Kurses in den USA bereits mit der Technik der Monte Carlo Simulation als Management-Instrument bestens vertraut sind. In Europa wurden diese Themen an den Wirtschafts-Universitäten bisher eher stiefmütterlich behandelt. Erst seit diesem Jahr bieten einige Wirtschafts-Universitäten spezielle Lehrgänge in diesem Bereich an.

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19 2 Einführendes Beispiel Bevor wir im nächsten Kapitel die Methoden der quantitativen Risikoanalyse aus dem Blickwinkel der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik beleuchten, gehen wir in diesem Kapitel einen anderen Weg. Anhand eines einfachen Beispiels verfolgen wir die natürliche aber wenig bekannte Entwicklung von einem klassischen Modell über die Betrachtung von»what-if«-szenarien bis hin zur quantitativen Risikoanalyse mittels Monte Carlo Simulation. Dabei haben wir bewußt nicht auf ein Beispiel aus der Versicherungsindustrie zurückgegriffen, da solche Modelle in der Regel zu komplex sind, um die grundlegenden Konzepte zu erläutern. 2.1 Das deterministische Modell als Ausgangsbasis Das Modell, das uns durch dieses Kapitel begleiten wird, stammt aus einem Produktionsunternehmen. Ein neues Produkt soll entwickelt, getestet und in den Markt eingeführt werden. Um die Rentabilität dieser Produktentwicklung zu beurteilen und damit auch eine eventuelle Fehlinvestition bereits frühzeitig zu verhindern, wird das folgende Modell benutzt. Tab. 2.1: Das Modell: Ausgangsbasis

20 20 Monte Carlo Simulation Da wir in diesem Kapitel primär die Grundlagen der quantitativen Risikoanalyse darstellen wollen, haben wir das Modell stark vereinfacht. In praktischen Situationen wird man sicherlich noch weitere Aspekte in einem solchen Modell abbilden. Die reinen Entwicklungskosten des Produktes (für Forschung & Entwicklung) werden also auf Mio. 1,5 geschätzt. Weiterhin wird angenommen, daß die tatsächlichen Herstellungskosten bei Mio. 3,5 liegen. Gemeinsam mit den Testkosten und Aufwänden für das Produktmarketing ergeben sich somit Gesamtkosten in Höhe von Mio. 10,25. Auf der anderen Seite wird bei einem erwarteten Absatz von Stück und einem Stückpreis von 21 mit einem Umsatz von Mio. 10,5 gerechnet. Mit diesen Annahmen zu Kosten und Umsatz ergibt sich ein Gewinn in Höhe von Folgt man also den Aussagen dieses Modells, so wird man die Produktentwicklung befürworten. 2.2 Betrachtung des schlechtesten, wahrscheinlichsten und besten Falles Obwohl wir bei der Betrachtung des Grundmodells bereits gesehen haben, daß die Produktentwicklung einen Gewinn von erwarten läßt, ist diese Aussage jedoch unsicher. Denn alle Werte, die im Modell verwendet wurden, sind nur Schätzwerte. Und wie schnell hat man sich bei solchen Werten verschätzt. Nehmen wir beispielsweise an, daß nach der Entwicklung und Markteinführung des Produktes nicht , sondern lediglich Produkte abgesetzt werden konnten. Die Folgen dieser Annahme können wir dann aus der Tabelle 2.2 ablesen. Die Fragen nach einem solchen Verlauf sind vorprogrammiert: Warum hat eine Verschätzung um lediglich 5% bei nur einer Variablen ( statt verkaufte Produkte) einen solch dramatischen Einfluß auf das erwartete Ergebnis (ein Verlust von statt eines Gewinns von entspricht einer negativen Abweichung von 210%)? Wieso wurden keine Alternativrechnungen mit anderen Szenarien durchgespielt? Hätte man nämlich die Anzahl der verkauften Produkte von Beginn an auf Stück geschätzt, so wäre das Produkt nie entwickelt worden, da das Unternehmen hierbei keinen Profit erwarten konnte. Da unser Modell also offensichtlich sehr sensibel auf die Änderungen (von lediglich) einer Variablen reagiert, wollen wir in einem nächsten Schritt überlegen, welche Werte unsere Modellvariablen in Extremfällen annehmen können. Dazu erweitern wir unser Modell wie folgt:

21 Einführendes Beispiel 21 Tab. 2.2: Veränderung bei der Anzahl der verkauften Produkte Die Stückpreise lassen wir erst einmal konstant bei 21. Wir variieren also nur die Werte Entwicklungskosten, Testkosten, Marketingkosten, Herstellungskosten und Anzahl der verkauften Produkte. Dabei treten im schlechtesten Fall bei allen Variablen gleichzeitig die jeweils ungünstigsten Annahmen ein. So sind alle Teilkosten höher und die Umsatzkomponenten niedriger als im»wahrscheinlichsten«fall. Dagegen ist der beste Fall durch das simultane Auftreten der jeweils günstigsten Annahmen für alle Variablen gekennzeichnet. Bei dem»wahrscheinlichsten«fall wurden die Variablen mit den ursprünglich geschätzten Werten belegt, so daß wir hierin das Grundmodell wiedererkennen. Wir werden später sehen, daß dieser Fall nicht unbedingt mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auftritt. Daher verwenden wir hier vorsichtshalber die Anführungszeichen für die Kennzeichnung des»wahrscheinlichsten«falls. Bei dieser erweiterten Analyse mit drei Szenarien können wir erkennen, daß neben einem»wahrscheinlichen«gewinn von im schlimmsten Fall ein Verlust von eintreten kann. Demgegenüber besteht aber auch die Möglichkeit, im besten Fall als Gewinn zu verbuchen (vgl. Tabelle 2.3). Wie kann man nun aus dieser Analyse eine Entscheidung für oder gegen die Produktentwicklung generieren? Der mögliche Verlust ist deutlich höher als ein möglicher Gewinn, andererseits suggeriert der»wahrscheinlichste«fall, daß man einen Gewinn erwarten darf. Doch ist der»wahrscheinlichste«fall wirklich der wahrscheinlichste? Müßte nicht gerade der Mittelwert von maximalem Verlust und maximalem Gewinn

22 22 Monte Carlo Simulation Tab. 2.3: Erweiterung des Modells der wahrscheinlichste Wert sein? Dann wäre ein Verlust von zu erwarten und die Produktentwicklung von den Entscheidungsträgern abzulehnen. Anstelle einer besseren Entscheidungsgrundlage haben wir also lediglich eine Zusatzinformation generiert, die angibt, in welchem Bereich der mögliche Gewinn bzw. Verlust liegen wird. Auf der anderen Seite sind neue Fragen aufgetaucht nach den Wahrscheinlichkeiten des Auftretens der betrachteten Fälle. 2.3 Kombination der Fälle:»What-if«-Szenarien Selbstverständlich hofft man, daß nicht alle Variablen gleichzeitig den für das Endergebnis schlechtesten Wert annehmen. Implizit nimmt man eher an, daß vielleicht bei einer oder zwei Variablen solche Ausreißer auftreten werden, die anderen Variablen aber gemäß der Schätzung (»wahrscheinlichster«wert) oder vielleicht sogar besser verlaufen werden. Um alle diese Fälle durchzuspielen, müssen wir sämtliche mögliche Kombinationen, die unsere fünf Variablen (die vier Kostenkomponenten sowie die Anzahl der verkauften Produkte) mit ihren drei möglichen Werten generieren können, durchrechnen. Da die komplette Berechnungstabelle einige Seiten dieses Buches füllen würde, drucken wir hier nur einen Ausschnitt ab:

23 Einführendes Beispiel 23 Tab. 2.4:»What-if«-Szenarien Insgesamt hat man in diesem Modell = 243 verschiedene Kombinationen zu betrachten. Für jedes dieser 243 Szenarien berechnen wir also gemäß der Variablenbelegung den Gewinn. Offensichtlich ist dieses Verfahren relativ aufwendig und wird daher auch in der Praxis selten eingesetzt. Aber dennoch nähern wir uns mit großen Schritten der Idee der quantitativen Risikoanalyse. Wir können nun nämlich bereits verschiedene statistische Kenngrößen aus den 243 Ergebnissen ableiten. Summieren wir beispielsweise alle Gewinne auf und teilen das Ergebnis anschließend durch 243 (= Anzahl der Szenarien), so erhalten wir einen»mittleren erwarteten Gewinn«in Höhe von Im Mittel ergibt sich also bei dem Vorhaben, das Produkt zu entwickeln und in den Markt einzuführen, ein Verlust von Aber wir können noch mehr Informationen aus den 243 Ergebnissen erfahren. Neben dem Mittelwert können wir auch berechnen, in wie viel Prozent der Fälle ein positiver Gewinn zu erwarten ist. Dazu bestimmen wir die sogenannten Quantile. Da wir auf die Berechnung von Quantilen ausführlicher im nächsten Kapitel eingehen, erklären wir hier nur kurz den Sprachgebrauch. Beispielsweise bedeutet die Aussage»das

24 24 Monte Carlo Simulation 30%-Quantil liegt bei «, daß das tatsächliche Ergebnis den Wert mit 30% Wahrscheinlichkeit unterschreiten wird. Umgekehrt schließen wir daraus, daß das tatsächliche Ergebnis den Wert mit 70% Wahrscheinlichkeit (100% 30%) überschreiten wird. Mit Hilfe der Excel-Funktion QUANTIL können wir unmittelbar solche Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Für unser Beispiel ergibt sich dann folgende Tabelle: Tab. 2.5: Quantile Mit Hilfe der Quantile können wir nun auch die Frage beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein positiver Gewinn erzielt wird. Dazu müssen wir das Quantil bestimmen, das den Wert 0 annimmt oder diesem zumindest am nächsten kommt. Hierzu sehen wir uns die Umgebung des 60%-Quantils einmal genauer an:

25 Einführendes Beispiel 25 Tab. 2.6: Umgebung des 60%-Quantils Wir erkennen also, daß das 61%-Quantil den Wert 0 annimmt. Gemäß der Definition des Quantils ist somit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Gewinn den Wert 0 unterschreitet (also ein Verlust entsteht), gerade 61%. Im Umkehrschluß haben wir daher eine Wahrscheinlichkeit von 39% für einen positiven Gewinn. Wir haben also durch die Betrachtung der Quantile die Gewinnchancen quantifizieren können. Damit haben wir die erste Erfahrung auf dem Gebiet der quantitativen Risikoanalyse gemacht. Selbstverständlich können wir die Ergebnisse auch grafisch darstellen. Dazu bestimmen wir die Quantile in 1%-Abständen. Die zugehörigen Werte (»Gewinn«) tragen wir auf der x-achse (Horizontale) ab, wobei die Prozentwerte auf der vertikalen Achse abgetragen werden. Dieses Vorgehen ergibt dann die folgende Abbildung:

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