Mat(2 2, R) Wir bestimmen das charakterische Polynom 1 f A (t) = t 2 t 2 = (t 2)(t + ( 1). ) 2 2. Eigenvektor zu EW 2 ist v 2 = 1 1

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1 Aufgabe. Bestimmen Sie das Exponential expa) der Matrix ) 5 6 A = Mat, R). 4. Wir bestimmen das charakterische Polynom f A t) = t t = t )t + ). ). Eigenvektor zu EW ist v = ). Eigenvektor zu EW ist v = ) ) ) 4. also A = ) ) ) 5. Damit ist expa) = exp ) e 6. Nebenrechnung : Es gilt exp 7. Nebenrechnung : Es gilt 8. Mithin, haben wir expa) = ) = = ) e ) ) e + e e + e e e e e

2 Aufgabe. Wir betrachten die Matrix 5 A = 6 Mat, R). i) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A. ii) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A. iii) Geben Sie die Eigenwerte von A an! iv) Bestimmen Sie die Haupträume zu den Eigenwerten! v) Geben Sie eine Basis B des R so an, dass die durch A gegebene lineare Abbildung ϕ : R R bezüglich der Basis B Jordansche Normalform hat.. da A obere Dreiecksmatrix ist, ist das charakterische Polynom f A t) = t t ) kein Problem. Als Minimalpolynom kommen nur tt ) und das charakterische Polynom in Frage. tt ) scheidet aus RECHNEN!), also ist das charakterische Polynom das Minimalpolynom.. EW sind und. 4. Haupraum zum EW : A = 9 8 also kera) = 9 span und kera ) = span, ). Der Kern von A ist der Hauptraum zu Null. 5. Hauptraum zu : ist einfach der Eigenraum zu drei, also kera E ) = span. 6. da A = gilt ist v = v = eine gute Basis., v = und

3 Aufgabe. Wir betrachten den R-Vektorraum V = Mat, R) der reellen Matrizen und die Bilinearform s : V V R A, B) tra B), die zwei Matrizen die Spur Ihres Produktes zuordnet. i) Zeigen Sie, dass s symmetrisch ist. ii) Geben Sie die Gramsche Matrix M B s) von s bezüglich einer Basis B an! iii) Ist s ausgeartet? Begründen Sie Ihre Antwort! iv) Ist s positiv definit? Begründen Sie Ihre Antwort! ) ) ). bezüglich der Basis v =, v =, v = und 4 ) v 4 = haben wir die Gramsche Matrix A =.. da A symmetrische Matrix ist, ist s symmetrisch.. da deta) =, ist s nicht ausgeartet. 4. da sv, v ) =, ist s nicht positiv definit.

4 Aufgabe 4. Wir betrachten die folgenden Vektoren im euklidischen Vektorraum E v = 4 4 w = w = Berechnen Sie den Abstand von v zu dem von w und w aufgespannten Unterraum W.. Strategie: Schreiben v = v + w mit w W und v W. Dann gilt: der Abstand von v zu W ist die Länge von v.. Suchen orthogonale Basis {w, w } von W, dazu w = w und w = OP w w ) = w w,w w,w = 6 =. Bestimmen nun den Vektor v durch das Orthogonalisierungsverfahren 4 v = OP w,w v) = v v,w w,w w v,w w,w w v = 4 9 w = 4 4. Wir berechnen v = 6..

5 Aufgabe 5. Bestimmen Sie alle möglichen Jordanschen Normalformen einer R-linearen Abbildung ϕ : R 5 R 5 mit dem Minimalpolynom MinPol ϕ t) = t ) t + ).. Es kommen nur die drei Jordanblöcke B, = ), B, = ) und B, = ) in Frage.. der Block B, muss mindestens einmal vorkommen.. der Block B, muss mindestens einmal vorkommen. 4. die Lösung besteht aus dieser Viererliste: B,, B,, B, ), B,, B,, B,, B, ), B,, B,, B,, B, ) und B,, B,, B,, B, ).

6 Aufgabe 6. Wir betrachten auf dem komplexen Vektorraum V = C die Sesquillinearform ) )) x y s : V V C s, = x x y y + x y. i) ii) iii) Zeigen Sie, dass s eine hermitesche Sesquilinearform ist. Geben Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich der Bilinearform s an! Ist s ausgeartet? Begründen Sie Ihre Antwort!. Die Gramsche ) Matrix von s bezüglich der Standardbasis ist A =.. Da Ā = At gilt, ist s hermitesch.. Da deta) =, ist s nicht ausgeartet. 4. Um das Orthogonalisierungsverfahren anzuwenden, braucht man einen Vektor v mit sv, v ). Jeder Vektor außer den Standardbasisvektoren und ihren Vielfachen) geht. z.b. v =, ) ) 5. Nun ist offenbar Raten oder Rechnen) v = orthogonal zu v.

7 Aufgabe 7. Die Vektoren 9 v = v = v = v 4 = bilden eine Orthogonalbasis des E 4. Mithin, läßt sich der Vektor w = als Linearkombination w = 4 i= λ iv i schreiben. Bestimmen Sie die reelle Zahl λ Weil wir eine Orthogonalbasis haben gilt: v v i für i.. aus der Gleichung w = 4 i= λ iv i wir nach Skalarprodukt mit v die 4 Gleichung v, w = λ v, v. λ = v, w v, v = = 5 5

8 Aufgabe 8. Sei V ein K-Vektorraum und V sein Dualraum. Für einen Unterraum W V bezeichne ann V W ) = {f V fw) = für alle w W } den Unterraum der auf W verschwindenden Funktionale. Beweisen Sie die folgende Aussage: Sind V V und V V zwei lineare Unterräume von V, so gilt ann V V + V ) = ann V V ) ann V V ). Ich denke, dass dieser Beweis rein formal ist und kein Problem bereiten sollte. Zehn Punkte sollten nur bei einem komplett sauberen Beweis gegeben werden. Um aber im Lösungschema zu bleiben nun folgendes:. sei f ann V V + V ), dann ist fv ) = fv + ) = für alle v 5 V = f ann V V ). Analog f ann V V ). Folglich gilt: f ann V V ) ann V V ).. Sei f ann V V ) ann V V ), dann gilt fv + v ) = fv ) + fv ) = + =, also f ann V V + V ). 5

9 Aufgabe 9. Wir betrachten den reellen Vektorraum V = Mat, R). i) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung M : V R V V mit MA B) = A B gibt. ii) Ferner betrachten wir die lineare Abbildung Φ : V R V Sym RV ) mit ϕv v ) = v v. Gibt es eine lineare Abbildung M : Sym RV ) V, so dass M = M Φ gilt? Begründen Sie Ihre Antwort!.=i).=ii) Hier sollte nur bemerkt werden, dass die Matrizenmultiplikation bilinear ist und damit die Abbildung M induziert. Hier muss man nur bemerken, dass das Matrizenprodukt nicht kommutativ ist und damit obige Abbildung nicht durch Sym RV ) faktorisieren kann. 5 5