Die Exponentialfunktion. exp(x)

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1 Die Exponentialfunktion exp(x)

2 Wir erinnern: Ist f : R R eine glatte Funktion, dann bezeichnet f (x) die Steigung von f im Punkt x.

3 f (x) x x 0 x

4 Wie sehen Funktionen aus mit 3 2 f f (x) = f(x) x für alle x R? -1-2 Steigung gleich -3 Funktionswert

5 Funktionen f mit f = f gibt es viele, aber durch jeden Punkt (x 0, y 0 ) gibt es genau eine! 2 3

6 3 Speziell: 2 1 (x 0, y 0 ) = (0,1) f(0) =

7 Fakt: Es gibt genau eine Funktion f = f(x) mit f (x) = f(x), x R, und f(0) = 1. Man schreibt für diese Funktion exp(x) und nennt sie die (Standard-) Exponentialfunktion.

8 exp (x) = exp(x), x R, und exp(0) = 1. Wie kann man exp(x) berechnen?

9 Hier ist ein Vorschlag. f(x) := 1 + x + x2 2 + x x x f(0) = 1 schon mal fein! Und: man darf summandenweise ableiten: f (x) = x 2 + 3x x x = 1 + x + x2 2 + x x = f(x)

10 Wir haben gefunden: exp(x) = 1 + x + x2 2 + x x x Mit der Bezeichnung n! := 1 2 n (lies: n Fakultät) und der Konvention 0! := 1 schreibt sich exp(x) als unendliche Summe exp(x) = n=0 x n n!

11 exp(x) = n=0 ist die Darstellung von exp als Exponentialreihe. Die Euler sche Zahl e ist der Wert von exp bei x = 1. x n n! exp(1) = n=0 1 n! = }{{} 2,718

12 Die wichtigste Eigenschaft der Funktion exp: exp(a + b) = exp(a) exp(b) Wie sieht man das ein? Behauptung: Für jede feste Zahl a stimmen die Funktionen y 1 (x) = exp(a + x) und y 2 (x) = exp(a) exp(x) überein.

13 Beweis: Die Funktionen y 1 (x) = exp(a + x) und y 2 (x) = exp(a) exp(x) erfüllen beide die Gleichung y (x) = y(x), x R, mit y(0) = exp(a). In der Tat:

14 y 1 (x) = exp(a + x) y 2 (x) = exp(a)exp(x) y 1 (x) = exp(a + x) 1 = y 1 (x) y 2 (x) = exp(a)exp(x) = y 2 (x) y 1 (0) = exp(a + 0) = exp(a) y 2 (0) = exp(a)exp(0) = exp(a) 1 = exp(a)

15 Es gibt aber nur eine Funktion y(x) mit y (x) = y(x) und y(0) = exp(a). Also sind y 1 (x) und y 2 (x) gleich! y 1 (x) = y 2 (x) exp(a + x) = exp(a)exp(x)

16 Hier ist noch eine zweite Begründung für exp(a)exp(b) = exp(a + b) durch gliedweises Ausmultiplizieren von (1 + a + a2 2! + a3 3! +... ) ( 1 + b + b2 2! + b3 3! +... ):

17 1 b 1 1 b a a ab a 2 2! a 3 3! a 2 2! a 3 3! a 2 b 2! a 3 b 3! b 2 2! b 2 2! ab 2 2! a 2 b 2 2!2! a 3 b 2 3!2! b 3 3!. b 3 3!. ab 3 3!. a 2 b 3 2!3!. a 3 b 3 3!3! a + b (a2 + 2ab + b 2 ) (a3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) +... = 1 + (a + b) + 1 2! (a + b) ! (a + b)2 +...

18 (1 + a + a2 2! + a3 3! +... ) ( 1 + b + b2 2! + b3 3! +... ) = 1 + (a + b) + 1 2! (a + b) ! (a + b) exp(a)exp(b) = exp(a + b)

19 exp(2) = exp(1 + 1) = e e = e 2 exp(n) = exp( ) = e... e }{{} n mal }{{} n mal = e n

20 ( ) 1 ( ) 1 exp 2 exp 2 = exp(1) = e also exp ( ) 1 2 = e = e 1/2 Analog:

21 exp ( ) 1 k = e 1/k = k e

22 Wir haben gesehen (für l N 0, k N): exp(l) = e l, exp ( ) 1 k = e 1/k exp ( ) l k Allgemeiner: = e l/k = k e l = ( k e ) l.

23 exp( x) = 1 exp(x) denn exp( x)exp(x) = exp( x + x) = exp(0) = 1.

24 All dies zusammen macht klar, dass man auch für reelle Zahlen x und a mit Potenzen rechnen kann wie gewohnt: e x := exp(x), x R (e a ) x := e ax, a R, x R.

25 Größenordnungen: Die o-notation

26 Wir haben gesehen: Die Exponentialfunktion lässt sich als (unendliche) Summe von Potenzfunktionen schreiben: exp(x) = n=0 Wir fragen: Welche Potenzen geben den Ton an für (dem Betrag nach) kleines x großes x? x n n!

27 Eine Tatsache und eine Schreibweise: Sei p N. 1 wird beliebig klein, wenn nur x hinreichend groß wird. xp Man schreibt: 1 x p 0 für x und liest: 1 strebt gegen Null für x gegen Unendlich. xp Analog: x p 0 für x 0.

28 Vergleichen wir x k und x l im Fall k < l. x k Dann gilt für den Quotienten x l = 1 0 für x. xl k Man schreibt: x k = o(x l ) für x und sagt: x k ist von kleinerer Größenordnung als x l für x gegen Unendlich oder einfach x k ist klein gegen x l für große x.

29 Die o-notation: Man schreibt für zwei Funktionen f(x), g(x): f(x) = o(g(x)) für x x 0 und sagt : f(x) ist von kleinerer Größenordnung als g(x) für x gegen x 0 oder einfach f(x) ist klein gegen g(x) bei x 0 wenn f(x) g(x) 0 für x x 0.

30 Speziell: g(x) 1: f(x) = o(1) für x x 0 ist gleichbedeutend mit f(x) 0 für x x 0.

31 Merkregel Höhere Potenzen sind zu vernachlässigen bei x = 0. Niedrigere Potenzen sind zu vernachlässigen bei x =.

32 Beispiele: 2x 5x 3 + x 4 = o(1) für x x 5x 3 + x 4 = 4 + o(1) für x 0. 5x 3 + x 4 = o(x 2 ) für x x 5x 3 + x 4 = 4 + 2x + o(x 2 ) für x 0.

33 Mit o-termen kann man (fast) wie gewohnt rechnen. Z. B. gilt (bei 0 ebenso wie bei ) o(x 4 ) = x 4 o(1). Damit: 4 + 2x 5x 3 + x 4 = o(x 4 ) + x 4 = x 4 (1 + o(1)) für x.

34 Zwei wichtige Abschätzungen für exp: Für kleine x ist e x ungefähr gleich 1 + x: e x = 1 + x + o(x) für x 0. Das sieht man aus der Reihendarstellung: exp(x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +... = 1 + x + o(x) über einen Vergleich mit der geometrischen Reihe: x 2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +... x2 (1+ x + x 2 + x ) = x x

35 2,5 e x x 1,5 e x = 1 + x + o(x) für x ,5

36 Für große x wird e x größer als jede Potenz von x: x n = o(e x ) für x. Denn in der Reihendarstellung von exp kommen beliebig große Potenzen von x vor, alle mit positivem Vorzeichen. e x xn+1, x 0, impliziert (n + 1)! x n (n + 1)! ex x 0 für x.

37 Stammfunktionen f(x)dx

38 Zur Erinnerung: F heißt Stammfunktion von f, falls F (x) = f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich von f. Man sagt dafür auch: F ist unbestimmtes Integral von f und schreibt F(x) = f(x) dx

39 Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist für jede Konstante C auch F + C eine Stammfunktion von f. Denn: Die Ableitung von F(x) + C ist F (x) = f(x)

40 Außerdem: Je zwei Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur um eine additive Konstante. Denn Wenn F (x) = f(x) und G (x) = f(x), dann hat H(x) := F(x) G(x) die Ableitung H (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0, ist also konstant.

41 Zusammen: Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, so sind F(x) + C alle Stammfunktionen von f(x) (wobei C alle rellen Zahlen durchläuft).

42 Die Stammfunktionen von exp sind von der Form e x dx = e x + C.

43 Wie findet man die Fläche zwischen der Kurve y = e x, der x-achse und den Grenzen a und b?

44 Wie findet man die Fläche zwischen der Kurve y = e x, der x-achse und den Grenzen a und b? 10 y = e x a 2 b 3 x

45 y = f(x) Φ(a, b) a b Φ(a, b) ist die Größe der Fläche zwischen der Kurve y = f(x) und der x-achse zwischen x = a und x = b

46 f(x) Φ(a, b) a b b + h Wie wächst Φ(a, b) mit b?

47 f(x) Φ(a, b) a b b + h Φ(a, b + h) = Φ(a, b) + hf(b) + o(h)

48 f(x) F(b) a b b + h F (b) = f(b) Die Größe der Fläche unter der Kurve f, aufgefasst als Funktion der oberen Grenze b, ist eine Stammfunktion von f.

49 y = f(x) ba f(x)dx a b Man nennt Φ(a, b) auch das bestimmte Integral von f(x) zwischen a und b und schreibt b f(x)dx := Φ(a, b) a

50 Wir haben gesehen: b a Die Beziehung f(x)dx = F(b) F(a) gilt für die Stammfunktion F(x) = Φ(a, x) und damit für jede Stammfunktion F.

51 Fazit: 10 y = e x 5 b a e x dx = e b e a a 2 b 3 x

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