Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen

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1 KAPITEL 4 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 1. Lineare Abbildungen Definition 4.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über den selben Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung falls für alle x,y V und alle λ K gilt: (i) (ii) f(x+y) = f(x)+f(y), f(λx) = λf(x). Eine lineare Abbildung f : V W nennt man auch Homomorphismus. Ist W = V so nennet man f : V V einen Endomorphismus. Ist f : V W bijektiv so nennt man f einen Isomorphismus. Satz 4.2. Seien V und W Vektorräume über K, A ein Unterraum von V und B ein Unterraum von W. Weiter sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt: a) f(0) = 0 b) Das Bild von A unter f ist ein Unterraum von W. c) Das Urbild von B unter f ist ein Unterraum von V. Definition 4.3 (Kern und Bild). Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Die Menge f(v) heißt Bild von f (Bild(f)). Die Dimension von f(v) heißt Rang von f (Rang(f)). Das Urbild von {0} unter f heißt Kern von f (Kern(f)). Ist A K m n und f : K n K m, x Ax so spricht man auch vom Bild der Matrix A (Bild(A)) bzw. vom Kern der Matrix A (Kern(A)). 29

2 2. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Satz 4.4. Es sei f : V W eine lineare Abbildung. a) f ist injektiv, genau dann wenn Kern(f) = {0}. b) f ist surjektiv, genau dann wenn Rang(f) = dimw. Satz 4.5. Es seien f : V W und g : W U lineare Abbildungen. a) Die Abbildung g f : V U ist linear b) Ist f bijektiv, so ist f 1 linear. Satz 4.6 (Rangsatz). Es seien V und W Vektorräume über K. V sei ein endlich dimensionaler Vektorraum. Weiter sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt: dim(v) = dim(kern(f))+rang(f). Korollar 4.7. Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume mit dim(v) = dim(w) und f : V W eine lineare Abbildung. Dann ist f entweder injektiv und surjektiv oder weder injektiv noch surjektiv.

3 3. Darstellungsmatrizen Definition 4.8 (Koordinatenabbildung). Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K mit Basis B = (b 1,...,b n ) eine Basis von B die Abbildung n Φ B : V K n, x (x 1,...,x n ) mit x = x i b i heißt Koordinatenabbildung von V bezüglich B. Satz 4.9. Die Koordinatenabbildung φ B eines endlich dimensionalen Vektorraumes V zur Basis B ist wohldefiniert, linear und bijektiv. Satz Zu jeder linearen Abbildung f : K n K m gibt es eine eindeutige Matrix A K m n mit f(x) = Ax für jedes x K n. Definition 4.11 (Darstellungsmatrix). Seien V und W endlich dimensionale Vektorräume über den selben Körper K, B 1 eine geoordnete Basis zu V und B 2 eine geordnete Basis zu W. Weiter sei f : V W eine lineare Abbildung. Mit Φ B1 und Φ B2 werden die entsprechenden Koordinatenabbildungen bezeichnet. Die eindeutige Matrix A welche jedem x K n (mit n = dim(v)) den Wert Ax = Φ B2 f Φ 1 B 1 (x) zuordnet heißt Darstellungsmatrix von f bezüglich B 1 und B 2. i=1

4 4. Invarianten unter Basiswechsel Satz Es seien V und W endlich dimensionale Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung. Zu V sei B = (b 1,...,b n ) bzw. B = ( b1,..., b n ) jeweils eine geordnete Basis. Zu W sei P = (p 1,...,p m ) bzw. P = ( p 1,..., p m ) jeweils eine geordnete Basis. Weiter sei A die Darstellungsmatrix von f bezüglich B und P und à die Darstellungsmatrix von f bezüglich B und P. Dann gilt: a) Es gibt invertierbare Matrizen S K n n und T K m m, so dass AS = TÃ. b) Rang(A) = Rang(Ã). Satz Sei dim(v) = n und f : V V ein Endomorphismus. Weiter seien B = (b 1,...,b n ) und B = ( b 1,..., b n ) geordnete Basen von V, A die Darstellungsmatrix bezüglich B (in Bild- und Urbildraum) und à die Darstellungsmatrix bezüglich B (in Bild- und Urbildraum). Dann gilt a) A und à sind ähnlich b) det(a) = det(ã) c) Spur(A) = Spur(Ã) d) Rang(A) = Rang(Ã) e) χ A = χã f) Spektrum(A) = Spektrum(Ã). Definition 4.14 (Basisinvariante Eigenschaften bei Endomorphismen). Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Weiter sei B eine geoordnete Basis von V und A die Darstellungsmatrix von f bezüglich B (im Bild- und Urbildraum). a) λ K heißt Eigenwert, falls es einen Vektor x V\{0} mit f(x) = λx gibt. b) Die Menge aller Eigenwerte heißt Spektrum von f (Spektrum(f)). c) Die Zahl det(f) := det(a) heißt Determinate von f. d) Die Zahl Spur(f) := Spur(A) heißt Spur von f.

5 5. Lineare Gleichungen (Lineare Gleichungssysteme IV) Definition 4.15 (Lineare Gleichung). Seien V und W Vektorräume über K, w W und f : V W linear. Eine Gleichung der Form f(v) = w heißt lineare Gleichung. Wir bezeichnen die Lösungsmenge dieser Gleichung mit L f,w = {v V f(v) = w}. Satz Es seien V und W Vektorräume über K, w W und f : V W linear. a) Die Lösungsmenge L f,w der Gleichung f(v) = w ist entweder leer oder ein affiner Unterraum von V. Genauer: ist v 0 eine Lösung von f(v 0 ) = w so gilt L f,w = v 0 +Kern(f). b) Seien V und W endlich dimensional, und B = (b 1,...,b n ) bzw. B = ( b 1,..., b m ) geordnete Basen von V bzw. W und A die Darstellungsmatrix von f bezüglich B und B. Dann gilt L f,w = Φ 1 B (L A,b) mit b = Φ B(w) und L A,b = {x K n Ax = b}. Korollar Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über K, dimv = dimw und f : V W linear. Dann sind äquivalent: a) Zu jedem w W gibt es ein eindeutiges v V mit f(v) = w. b) Zu jedem w W gibt es ein v V mit f(v) = w. c) Rang(f) = dim(v) d) det(f) 0 e) 0 / Spektrum(f) f) Kern(f) = {0}