Berechnen eines Bildpunktes bei Parallelprojektion: die Kavalierproduktion

Transkript

1 Matrizen Projektionen: Bei einer Projektion werden Geraden (Projektionsstrahlen) durch die abzubildenden Raumpunkte gezogen und mit der Zeichenebene geschnitten. Die resultierenden Schnittpunkte sind die Bildpunkte der Raumpunkte. Wir haben die Parallelprojektion und die Zentralprojektion als mögliche Projektionsarten kennengelernt. Parallelprojektion Die Projektionsstrahlen verlaufen bei der Parallelprojektion parallel zueinander. Bsp: Schattenbilder durch paralleles Sonnelicht sind Bilder einer Parallelprojektion (Projektionsstrahlen sind hier die Sonnenstrahlen). Berechnen eines Bildpunktes bei Parallelprojektion: die Kavalierproduktion P= (x y z) ->P'=(y+bx z+cx) (a) wobei b und c die Komponenten des Richtungsvektors v = (b) der Projektionsstrahlen sind. (c) Berechnen eines Bildpunktes bei Parallelprojektion: die Axonometrische Abbildung Man stellt ein Schrägbild des Räumlichen Koordinatensystems dar, zeichnet also alle drei Achsen e1, e2, e3 des Raumes in die Zeichnungsebene. Dem Ursprung dieses neuen Koordinatensystems wird ein Ortsvektor w zugeschrieben. (x,y)= w + x*e1 + y*e2 + z*e3 1

2 Zentralprojektion Alle Projektionsstrahlen verlaufen durch ein festes Projektionszentrum. Bsp: Schattenbilder von Glühbirnen (Projektionsstrahlen sind die Lichtstrahlen) Berechnen eines Bildpunktes bei der Zentralprojektion: x' = a*y - b*x a - x y' = a*z - c*x a - x a, b und c sind die Koordinaten des Projektionszentrum Z = (a b c) Begriff der Matrix und lineare Abbildung Unter einer (m,n)-matrix versteht man ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Eine (m,n)-matrix A kann mit einem Vektor p des R ^ n multipliziert werden und das Ergebnis ist ein Vektor p des R^m dabei ist die j-te Komponente des Produkt- Vektors p' = A * p das Skalarprodukt der j-ten Zeile von A mit dem Vektor p Eine lineare Abbildung ist eine Zuordnung, die jedem Punkt P des R^n einen Bildpunkt P' des R^m zuordnet, heisst lineare Abbildung (oder lineare Transformation), wenn es eine (m,n)-matrix A gibt, so dass für die Ortsvektoren p und p' die Beziehung: gilt. Die Matrix A heisst die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung. Ihre Elemente sind die Koeffizienten der Abbildungsgleichung. (Bsp. Abbildungsgleichung -> Matrix einfügen) Satz von der Geradentreue Wenn eine Gerade anhand einer linearen Abbildung/Matrix auf eine Ebene projeziert wird, ist ihr Abbild wieder eine Gerade. 2

3 Bedeutung der Einheitsvektoren und erstellen einer allgemeinen Matrix. Voraussetzung: Abbildung ist additiv und homogen Die Bilder der Einheitsvektoren e1, e2, e3 sind die Spalten der Abbildungsmatrix. Das rührt daher, dass man das Bild v' eines Vektors v aus der Linearkombination der Bilder e1', e2', e3' der Einheitsvektoren e1, e2, e3 von v erhält. Beispiel: Ein Punkt im Raum soll um die z-achse mit dem Drehwinkel φ gedreht werden. Berechne die Matrix. Lösung: Man untersucht bei den Einheitsvektoren, welche Funktion auf jede Komponente angewendet wird. y(φ) = sin (φ) x(φ) = cos (φ) z(φ) = z (1) (cos(φ)) e1= (0) Drehung um z-achse mit φ e1' = (sin(φ)) (siehe Kreisgleichung) (0) (0) (0) ((-sin(φ)) e2= (1) Drehung um z-achse mit phi e2' = ( cos(φ)) (siehe Kreisgleichung) (0) (0) (0) (0) e3= (0) Drehung um z-achse mit φ e1' = (0) (siehe Kreisgleichung) (1) (1) Nach obiger Theorie zur Bedeutung der Einheitsvektoren kann man jetzt die Einheitsvektoren in das Raster einer Matrix einfüllen: ( cos(φ) sin(φ) 0 ) M= ( -sin(φ)) cos(φ) 0 ) ( ) Abbildungsverkettung und Matrizenmultiplikation 3

4 Eine Verkettung zweier Matrizen heisst, auf einen Punkt im Raum zwei oder mehrere Projektionen nacheinander anzuwenden. Die gesamte Transformation des Punktes kann dann wieder in einer Matrix zusammengefasst werden, indem beide verketteten Matrizen miteinander multipliziert werden. Matrizenmultiplikation: Man will die Matrix B mit der Matrix A multiplizieren und erhält die Matrix C=A*B. Es ist dabei wichtig, welche Matrix vorne und welche hinten steht, jene die hinten steht wird nämlich zuerst auf den Punkt angewandt, das wäre in diesem Fall also B. Wenn man jede Spalte der hinteren Matrix als Vektor auffasst, kann man die beiden Matrizen so wie bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Multiplizieren. Jede Spalte von B wird also als Vektor einmal mit der gesamten Matrix A multipliziert. Die jeweilige Zeile von A gibt dabei die Zeile von C und die jeweilige Spalte von B die Spalte von C an, in welcher das Skalarprodukt (Resultat aus A-Zeile * B-Spalte) eingetragen wird. 4

5 a21 * b13 + a22 * b23 + a23 * b33 + a24 * b43 + a25 * b53 = c23 Inverse Matrizen Ist C eine quadratische Matrix, dann ist C^-1 die umgekehrte, man sagt die Inverse Matrix für die gilt: C*C^-1=E. E ist hierbei die Einheitsmatrix. Berechnen der inversen Matrix: Die Matrix M wird mit geeigneten Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix (auf allen Diagonalfeldern 1 und überall sonst 0) umgeformt. Parallel werden dieselben Umformungen an einer ursprünglichen Einheitsmatrix vorgenommen. Das Resultat ist dann die inverse Matrix M -1. Beispiel: M E Vertausche die erste und die dritte Zeile Subtrahiere das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Subtrahiere das Dreifache der ersten Zeile von der dritten Vertausche die zweite und die dritte Zeile und multipliziere diese mit -1 5

6 Subtrahiere das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten Addiere das Achtfache der dritten Zeile zur ersten Subtrahiere das Fünffache der dritten Zeile von der zweiten = E = M -1 Berechne zur Probe M M -1 : a b c d e f g h i a = = 1 b = = 0 c = = 0 d = = 0 e = = 1 6

7 f = = 0 g = = 0 h = = 0 i = = 1 Geometrie der Matrizen - Fixgeraden von (2,2)-Matrizen Richtungsvektoren von Fixgeraden bleiben fix wenn eine Matrix auf sie angewendet wird. Für diese Vektoren gilt also A * v = b * v'. A * u = k * u A ist die Matrix, u nennt man den Eigenvektor, k den Eigenwert der Matrix. Geometrie der (2,2)-Matrizen Jede reguläre (2,2)-Matrix A lässt sich in der Form A=T*D darstellen, wobei D eine Drehmatrix ist und T eine Matrix mit zwei orthogonalen Eigenvektoren. Eigenwerte und Eigenvektoren von (3,3) - Matrizen Berechnen der Eigenwerte und Eigenvektoren, gezeigt an einem Beispiel: (1,5 1,5 0) (1,5 1,5 0) (x) (x) (x) (2,5 0,5 0) * u=u * k ; (2,5 0,5 0) * (y) = (y) *k (0 2 4) (0 2 4) (z) (z) (z) A (1.5k -k)*x+ 1.5*y =0 *2.5 B 2.5*x+(0.5-k)*y =0 *(1,5-k) C 2*y+(4-k)*z =0 (2.5*x*(1,5-k)+(0.5-k)*y*(1,5-k) - ((1.5k-k)*2.5x + 1.5*2.5*y) = (0.5y-k*y)*(1,5-k) - 1.5*2.5*y = 0.75y-2y*k+k*k*y = 0 B-A A (1.5k -k)*x+ 1.5*y =0 B-A (0.75-2k+k*k)*y =0 C 2*y+(4-k)*z =0 k herauslesen: Wenn B-A stimmt wenn (0.75-2k+k*k)=0, und z wird eliminiert, falls k=4. Zur Ermittlung von k wird darum folgende Gleichung aufgestellt: (k*k-2k+0.75)*(4-k) = 0 7

8 k=4, k=0.5, k=1.5 Für k=0.5 und k=1.5 resultiert ein Nullvektor, deshalb gilt nur k=4. Nun kann man k ins Gleichungssystem einsetzen, und man erhält x, y, z, die Komponenten des Eigenvektors: (0) k=4: u1= (0) (1) Markoff-Ketten Markoff-Ketten beschreiben stochastische Prozesse der folgenden Art: Endlich viele Zustände, die eine Anfangswahrscheinlichkeit und Übergangswahrscheinlichkeiten besitzen. Mit Prozessdiagrammen lassen sich solche Markoff-Ketten darstellen: In einem Prozessdiagramm gilt: -Summe der Wahrscheinlichkeiten für die abgehenden Pfeile bei einem Zustand =1 -Endzustände (Prozess ist da fertig) sind durch einen Ringpfeil (geht vom Zustand aus und zeigt wieder auf ihn selbst) mit der Wahrscheinlichkeit 1 gekennzeichnet -Ein Durchgang eines Experiments wird im Diagramm als Pfad gekennzeichnet. Die Pfadwahrscheinlichkeit berechnet sich, indem man alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades miteinander multipliziert. Anhand des Beispiels oben: Wahrscheinlichkeit für wäre also: P= 1/6 * 5/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 Übergangsmatrizen (Markoff-Ketten) Erste Beobachtung: Die Zustände Z1, Z2, Z3 haben die Wahrscheinlichkeiten v1, v2, v3. Diese Wahrscheinlichkeiten schreibt man als Vektor, um dann die Übergangsmatrix darauf anwenden zu können. Die Übergangsmatrix stellt die Projektion dar, anhand 8

9 derer die Wahrscheinlichkeiten der Zustände der zweiten (also späteren) Beobachtung berechnet werden: Beispiel ist obige Grafik, 1 ist Z1, 2 ist Z2, 3 ist Z3 (nach obigen Ausführungen); U*v=v (5/6 5/6 5/6) (125/216) (835/1296) (1/6 0 1/6) * (1/36) = (161/1296) (0 1/6 0) (1/6) (1/216) berechnen der Übergangsmatrix, erklärt anhand des Beispiels: von Z1 Z2 Z3 nach 5/6,5/6,5/6 Z1 U= 1/6,0,1/6 Z2 0,1/6,0 Z3 Die Übergangswahrscheinlichkeiten von Z1 nach Z1, Z2 nach Z1 und Z3 nach Z1 kommen in die erste Zeile der Matrix, die Übergangswahrscheinlichkeiten von Z1 nach Z2, Z2 nach Z2 und Z3 nach Z2 kommen in die zweite Zeile, die Übergangswahrscheinlichkeiten von Z1 nach Z3, Z2 nach Z3und Z3 nach Z23kommen in die dritte Zeile. Absorptionswahrscheinlichkeiten (Markoff-Ketten) Zustände, die nach dem Erreichen nicht mehr verlassen werden, nennt man absorbierend. Die ganze Markoff-Kette nennt man dann absorbierend, wenn sie mindestens einen absorbierenden Zustand besitzt, und jeder absorbierende Zustand von jedem inneren Zustand aus erreichbar ist. Bei solchen Markoff-Ketten interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, mit denen die Endzustände erreicht werden. Hierfür gibt es zwei rechenmöglichkeiten: Iteration Die Übergangsmatrix U wird mit dem Zustandsvektor v (Vektor, dessen Komponenten die Wahrscheinlichkeiten der Zustände enthalten) multipliziert. Das Resultat U*v=v wird abermals mit der Matrix multipliziert. Dieser Prozess wird so lange durchgeführt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde. Gleichungs-Verfahren (Mittelwertsregel) Bei der Mittelwertsregel werden Wahrscheinlichkeiten von jedem inneren Zustand zu den absorbierenden Zuständen errechnet. Die Mittelwertregel lautet: Absorptionswahrscheinlichkeit a = a1 *u(1i)+a2*u2i+a3*u3i+...+a(n)*u(ni) i: Matrix-Spaltenzahl ; 1,2,...,n: Matrix-Zeilenzahl 9

10 Beispiel Ein Käfer krabbelt auf der folgenden Abbildung. In den Zuständen A und B wird er von einem Vogel gefressen (absorbierende Zustände). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erfolgt die Absorption in A, mit welcher in B? b) Wie lange dauert es im Mittel bis zur Absorption? a) Lösung: Iteration a =U*a ( ) ( ) U= ( ) ( ) ( ) ( ) (1/20) ( ) (1/10) ( ) * (1/2) = a ( ) (1/4) ( ) (1/8) 10

11 ( ) ( ) ( ) * a = a ( ) ( ). b) Lösung: Mittelwertregel. Das Gleichungssystem sieht folgendermassen aus: a1 = a1 * 0 + a2*0.2 + a3*0.8 a3 = 0.5*a *a1 + a3 * 0 a2 = a1*0.2 + a3* a2 * 0 + 1/8 11

12 b1 = 0.2 * b * b2 + b1 * 0 b2 = 0.25 * b * b b2 * 0 b3 = * b * b1 + b3 * 0 Die Gleichungen kann man also aufstellen, indem man alle Wege von einem inneren Zustand zum absorbierenden Zustand zusammenzählt. Diese Summe entspricht dann der unbekannten direkten Wahrscheinlichkeit von diesem inneren Zustand zu einem von den absorbierenden Zuständen. P(A) = a1 = a2*0.2 + a3 * 0.8 a3 = 0.5*a *a1 a2 = a1*0.2 + a3 * ⅛ I. a3 = 0.5*a * (a2*0.2 + a3 * 0.8) a2 = * a3 II. a2 = (a2*0.2 + a3 * 0.8) * a3 * ⅛ a3 * ⅛ = 0.96 * a2 a1 = 0.18 a3 = 0.17 a2 = 0.24 P(A) = a1 + a2 + a3 = 0.59 (gerundet) P(B) = b1 = 0.2 * b * b2 b2 = 0.25 * b * b

13 b3 = * b * b1 I * b2 = 0.55 * b b2 = 0.65 * b II * b3 = * b2 b3 = 0.20 b2 = 0.40 b1 = 0.30 P(B)= 0.9 (gerundet) 13