2D-Abbildungen mit wxmaxima

Transkript

1 Kapitel 4 D-Abbildungen mit wxmaxima 4. Eingabe von Matrizen Die Matrix zur Abbildungsvorschrift Abb 4 aus Kapitel. erzeugen wir so: abb4 : matrix ( [ /, ], [, / ] ; Das Ergebnis ist die Matrix: Abb 4 = (4. Hier wird der Variablen abb4 eine Matrix zugewiesen. dies geschieht mit der Funktion matr i x(. Als Argument werden die Funktion die Werte der Matrix zeilenweise in eckigen Klammern übergeben. Die einzelnen werte in den Klammern und die eckigen Klammern werden durch Kommata getrennt. 4. Punkte Das Haus könnten wir auch gleich als Matrix eingeben, wir wählen aber einen anderen Weg und definieren die Punkte einzeln: pa : [, ] ; pb : [ 7, ] ; pc : [ 7, 5 ] ; pd: [ 6, 7 / 3 ] ; \ \ pe : [ 6, 7 ] ; pf : [ 5, 7 ] ; pg: [ 5, 9 / 3 ] ; ph: [ 4, 7 ] ; pi : [, 5 ] ; 4.3 eine Liste zum Zeichnen wxmaxima/gnuplot sind in der Lage, eine Liste von Punkten als Vorlage zum Zeichnen zu benutzen: 4-

2 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Also erzeugen wir eine Liste mit: z L i s t : [ pa, pb, pc,pd, pe, pf,pg,ph, pi, pa ] ; und lassen mit plotd ( [ [ discrete, f l o a t ( z L i s t ] ] ; Abbildung 4.: D-Haus -.Versuch das Haus zeichnen. Das Ergebnis ( Abb. 4.ist enttäuschend. Das zu zeichnende Objekt nutzt die Zeichenfläche optimal aus - die hat aber hier zur Folge, dass nur das Dach erkennbar ist. Auch hier helfen wir uns mit einem Kunstgriff: z l i s t _ a x : [ [ 0, 0 ], [ 0, 0 ], [ 0, 0 ], [ 0, 0 ], [ 0, 0 ] ] ; legt eine zweite Liste zum Zeichen eines Koordinaten-Kreuzes fest. Der Befehl plotd ( [ [ discrete, f l o a t ( z L i s t ], [ discrete, f l o a t ( z l i s t _ a x ] ] ; liefert schon ein besseres Ergebnis ( Abb die vier Matrizen zum D-Haus Jetzt wird es Zeit die vier Matrizen aus. zu definieren: abb : matrix ( [, 0 ], [ 0, ] ; abb : matrix ( [, 0 ], [ 0, ] ; 3 abb3 : matrix ( [ /, 0 ], [ 0, ] ; 4 abb4 : matrix ( [ /, ], [, / ] ; Zur Definition der Matrix des Hauses benutzen wir die schon festgelegten Punkte: 4-

3 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Abbildung 4.: D-Haus -.Versuch haus : matrix (pa, pb, pc,pd, pe, pf,pg,ph, pi ; 4.5 die Bild-Matrix und die Zeichnung Die Bild-Matrix wird wieder mit der bekannten Matrizen-Multiplikation berechnet - allerdings nimmt uns wxmaxima die Arbeit ab: bild : haus. abb ; Beachte! Als Multiplikationszeichen für die Matrizenmultiplikation dient der Punkt! Das Ergebnis ist die Matrix der Bildpunkte. Um wieder eine Liste zum Zeichnen zu bekommen, müssen wir diese Matrix aber zerlegen und die Punkte erzeugen. Dazu dient der Befehl pa : part ( bild, Die erste Zeile der Matrix wird extrahiert und dem Objekt pa zugewiesen. (Ich habe den Originalpunkt mit pa, das dazugehörige Bild mit pa bezeichnet - du siehst daran, dass Maxima Groß-Klein-Schreibung ernst nimmt! Also: \ l abel { eq : punkte } pa : part ( bild, ; pb : part ( bild, ; pc : part ( bild, 3 ; 3 pd : part ( bild, 4 ; pe : part ( bild, 5 ; pf : part ( bild, 6 ; 4 pg : part ( bild, 7 ; ph : part ( bild, 8 ; pi : part ( bild, 9 ; und blist : [ pa, pb, pc, pd, pe, pf, pg, ph, pi, pa ] ; 4-3

4 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Dann können wir mit: plotd ( [ [ discrete, f l o a t ( z l i s t _ a x ], [ discrete, f l o a t ( z L i s t ], [ discrete, f l o a t ( blist ] ] ; Achsen und die beiden Bilder (Abb. 4.3 zeichnen. Abbildung 4.3: D-Haus - 3.Versuch 4.5. Aufgabe Erzeuge ein Bild mit dem Original-Haus und den vier Bildern! Noch ein Hinweis: Sobald Du blist erzeugt hast, brauchst du die Matrix Bild und die Einzel-Punkte nicht mehr. Du kannst also mit Pfeiltaste-hoch die Befehle (4.5 und wieder in die Eingabe holen, bearbeiten und nutzen Aufgabe Erfinde weitere Abbildungsmatrizen! Untersuchen, was sie bewirken! Versuche Schemata zu erkennen! Aufgabe :Das Haus des Nikolaus Zeichne das Haus des Nikolaus. und seine Bilder mit den o.a. Abbildungen! Versuche dazu die gespeicherte Sitzung so zu verändern, dass dies klappt! 4.6 Erste Klassifizierungen Nachdem wir einiges an Vorarbeit geleistet haben, sollst du nun weitere Abbildungsmatrizen untersuchen. Ich habe die Beispiele so gewählt, dass immer vier zusammengehören. 4-4

5 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Abbildung 4.4: D-Haus - alle 4 Abbildungen Nimm bitte wieder das Haus mit Schornstein als Vorlage. Da das Haus des Nikolaus achsensymmetrisch ist, ist es hier oft nicht geeignet. ( 0 A = 0 ( 0 A = 0 ( 0 A 3 = 0 ( 0 A 4 = 0 (4. Abbildung 4.5: Zu Aufgabe 4.6 (A Was bemerkst du? Wenn du dir nicht sicher bist, kannst kannst du deine Vermutung testen, indem du dir weitere geeignete Beispiele erzeugst. 4-5

6 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Ein Tipp: Falls du durch die Überlagerung zu wenig erkennst, solltest du eventuell die Werte geringfügig ändern, z.b. die ( in 0.9 ( oder.. Und schon die nächsten Beispiele: ( 0 B = 0 ( 0 B = 0 ( 0 B 3 = 0 ( 0 B 4 = 0 (4.3 Abbildung 4.6: Zu Aufgabe 4.6 (B Die ersten beiden Abbildungen zu erkennen, dürfte einfach sein. Die dritte ist nur unwesentlich schwieriger. Um die vierte Abbildung zu analysieren, solltest du ihre Matrix mit der dritten vergleichen. Trotzdem wird es nicht ganz einfach sein erste Klassifizierungen Du wirst sicher bemerkt haben, dass die vier Matrizen A, A, A 3 und A 4 zu zentrischen Streckungen gehören. Zentrum der Streckung ist der Ursprung des Koordinatensystems. Dies ist auch leicht nachvollziehbar, wenn man die Abbildungsgleichungen ausschreibt : ( a 0 ( ( 0 a x y ax ay 4-6

7 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Für die Koordinaten der Bildpunktes P(x y gilt damit : x = ax y = ay Die Matrizen B und B gehören zu Spiegelungen an den Koordinatenachsen. Wenn wir wie im obigen Beispiel vorgehen, erhalten wir für B : x = x y = y und für B : x = x y = y Die zur Matrix B 3 gehörende Abbildung vertauscht die x und y-koordinaten; es ist also wirklich die Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten: x = y y = x Die gleiche Rechnung, auf die Matrix B 4 angewandt, liefert: x = y y = x Hier ist wahrscheinlich doch der Blick auf das Bild des Hauses aufschlussreicher: Es wurde an der Winkelhalbierenden des II: und IV. Quadranten ( der Geraden mit der Gleichung y = -x gespiegelt. Die nahe liegende Frage, welche Matrix zu einer beliebigen Geraden-Spiegelung gehört heben wir uns für später auf Drehungen Dies Kapitel (4.6. ist hier kein Unterrichtsstoff. Für unseren Kurs kannst du einfach das Ergebnis (siehe Gleichung 4.4 nehmen. Sinus- und Cosinuswerte bestimmst Du dann mit dem Taschenrechner. Bei den nächsten Abbildungen solltest du zuerst überlegen, ob dir die krummen Zahlen aus der Trigonometrie bekannt vorkommen: ( 0 C = 0 ( C = 3 3 ( 0 C = 0 C = ( 4-7

8 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Abbildung 4.7: zu Kap.4.6. (C Die Abbildungen sind eindeutig Drehungen, und zwar um 90,70,30 und 45 Wir werden nun versuchen, die zu einer beliebigen Drehung um den Ursprung gehörende Matrix zu ermitteln. Dazu überlegen wir uns, wohin die Drehung um den Winkel ϕ einen Punkt P(x y abbildet. Zuerst ermitteln wir die Bilder der Punkte P x ( 0 und P y (0. Der nebenstehenden Zeichnung entnimmt man: P x (cosϕ si nϕ P y ( si nϕ cosϕ (4 Da die Drehung an einem Beispiel besser nachvollziehbar ist, erläutere ich nun die Drehung des Punktes P(3 um den Winkel ϕ. In der Zeichnung wird das Viereck mit den Eckpunkten O(0 0 und P(3 um den Ursprung gedreht (die obere Seite ist nicht gezeichnet. Wir haben gerade die Drehung der Punkte P x ( 0 und P y (0 behandelt. Um die Drehung der Punkte P 3 (3 0 und P (0 zu berechnen, müssen wir die obigen Ergebnisse nur mir 3 bzw. multiplizieren. Beachtet man nun noch, dass die beiden kurzen Seiten des Rechtecks parallel und gleichlang sind, können wir die Koordinaten des Bildpunktes P ermitteln: P(3 P (3cosϕ si nϕ 3si nϕ + cosϕ 4-8

9 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Abbildung 4.8: dreh (5 Auf dem gleichen Weg kann man das Bild bei der Drehung eine beliebigen Punktes P(x y bestimmen : P(x y P (xcosϕ y si nϕ xsi nϕ + ycosϕ (6 Damit erhalten wir die Matrix die die Drehung mit dem Winkel ϕ um den Ursprung als Drehpunkt beschreibt: ( cosϕ si nϕ D ϕ = si nϕ cosϕ (

10 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Abbildung 4.9: xxx Spiegeln an (Ursprungs-Geraden Dies Kapitel (4.6.3 ist hier kein Unterrichtsstoff. Für unseren Kurs kannst du einfach das Ergebnis (siehe Gleichung 4. nehmen. Ich habe in diesem Abschnitt nicht alle Rechenschritte vollständig aufgeschrieben. Inder mathematischen Literatur gibt es die (gefürchtete Floskel Eine einfache Rechnung zeigt. In solchen Fällen empfiehlt es sich fast immer die betreffenden Schritte selbst nach zurechnen Du kannst leicht überprüfen, dass die Matrix ( 3 spg = (4.5 die Spiegelung an der Geraden mit der Gleichung g : y = x beschreibt. Wir werden nun herleiten, welche Matrix zu der Spiegelung an einer beliebigen Ursprungs-geraden gehört. Wir wissen schon, dass es ausreicht, die Bilder der Einheitspunkte zu bestimmen. Es sei P x (x y das Bild des Punktes P( 0. Er liegt einerseits auf der Geraden h x durch P, die zur Geraden g senkrecht ist.außerdem sind die Abstände von P und P x zur Geraden g gleich. Aufgrund des Kongruenz-Satzes SWS sind auch die Strecken OP und OP x gleichlang. 4-0

11 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Die Gerade h x hat (da sie zu g senkrecht ist die Steigung m den Punkt P( 0. Damit ergibt sich die Gleichung und läuft durch h x : y = m x + m (4.6 somit gilt für den Punkt P x : P x (x m x + m = P x(x ( x (4.7 m Weiter ist OP x = = x + m m x + m x (4.8 Diese einfache quadratische Gleichung lösen wir jetzt: quadratische Ergänzung: x = ( x m + m + + x ( m + m x = m m (4.9 x x m + = m m + (4.0 (4. = m m + + (m + = m4 + (m + = m 4 (m + (4. m m + = m + m + = x = einsetzen in Gleichung (4.6 liefert: m + m m + = m m + (4.3 y = 0 y = m m m + + m = m + m (4.4 Die Lösung y = 0 liefert den Punkt P. Mit der quadratischen Gleichung bestimmen wir schließlich alle Punkte, die von (0 0 den Abstand haben und auf der Geraden h x liegen. Ähnlich ermittelt man mit Hilfe der Geraden h y : y = m x + (4.5 4-

12 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen die Koordinaten des Bildpunktes P y zum Punkt P(0 : wir setzen in Gleichung (4.5 ein und erhalten: = x + x m x m (4.6 0 = x ( + m x m = 0 (4.7 ( m + x = 0 x m = (4.8 m x = 0 x = m + m (4.9 y = y = m m + m + = m m + Damit haben die beiden Bildpunkte die Koordinaten ( m P x m + m ( m + m undp y + m m + m (4.0 (4. und wir erhalten damit die Matrix zur Spiegelung an der Geraden,mit der Gleichung y=mx : spg m = ( m m +m +m m m +m +m (4. Weiter oben in diesem Abschnitt (4.5 hatten wir bereits die Spiegelung an der Geraden mit der Gleichung y = x behandelt. Unser jetziges Ergebnis stimmt damit überein. Auch die Matrizen B, B, B 3 und B 4 (Kap:4.6. beschreiben Spiegelungen an den Ursprungs-geraden. Der Fall der Spiegelung an der y-achse (Matrix B ist wegen der unendlichen Steigung hier nicht handhabbar. Die anderen Beispiele ( m=0, m=, m=- zeigen ebenfalls Übereinstimmung. Versuche bitte noch einige weitere Spiegelungen mit wxmaxima darzustellen, um unser Ergebnis zu testen. Im folgenden Bild werden noch einmal die Spiegelungen an den Ursprungsgeraden mit den Steigungen m=0, m=, m= und m=- und zusätzlich die Spiegel- Achse mit der Steigung m= dargestellt. (4.3 4-

13 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen D D-Abbildungen (Übersicht Matrix ( 0 0 ( z 0 0 z ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 ( m m +m +m m m +m +m ( 0 0 ( 0 0 ( cosϕ si nϕ si nϕ cosϕ ( ( ( a 0 0 b Abbildungsgleichungen x = x y = y x = zx y = z y x = x y = y x = x y = y x = y y = x x = y y = x x = m x + m y +m +m y m = x m y +m +m x = x y = y x = y y = x x = x cosϕ y si nϕ y = x si nϕ + y cosϕ x = x y = x = 0 y = y x = ax y = by geometrische Wirkung der Matrix identische Abbildung zentrische Streckung mit dem Faktor z Spiegelung an der x-achse Spiegelung an der y-achse Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I./III. Quadranten Spiegelung an der Winkelhalbierenden des II./IV. Quadranten Spiegelung an der Geraden mit der Gleichung y=mx Punktspiegelung am Ursprung Drehung um den Ursprung Drehung mit dem Winkel ϕ um den Ursprung Orthogonale Projektion auf die x-achse Orthogonale Projektion auf die y-achse Neue Skalierung der Achsen (a,b 0

14 Diff M/Inf (ht Perspektiven und Matrizen Aufgaben 4.7. Ein Hammer wird durch die Punkte pa:[,]; pb:[7,]; pc:[7,3/]; pd:[8,/]; pe:[9,3/]; pf:[9,4]; pg:[7,4]; ph:[7,3]; pi:[,3]; definiert. Bilde diesen Hammer durch die Matrizen ab. abb bis abb4 (Kap. 4.4 A bis A 4 (Gl. 4. B bis B 4 (Gl. 4.3 C bis C 4 (Kap Weise nach, dass eine lineare Abbildung im zweidimensionalen meist schon vollständig festgelegt wurde, wenn das Bild ( von zwei Punkten bekannt ist. Bilde a b dazu den Punkt P(x y durch die Matrix ab. c d Bestimme die Matrix der Abbildung, die folgende Bilder erzeugt: P( 3 P ( 6 P( 4 P (