Anwendungen der Linearen Algebra

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1 Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB Bearbeitet von Günter M. Gramlich 1. Auflage 4. Buch. 179 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 14,5 x 21 cm Gewicht: 265 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra > Lineare und multilineare Algebra, Matrizentheorie Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 CARL HANSER VERLAG Günter M. Gramlich Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB

3 106 4 Die Singulärwertzerlegung 4.4 Anwendung der Singulärwertzerlegung: Bildkompression Um ein Bild ein Videobild oder eine Fotografie zu digitalisieren, muss man es in ein Gitter von kleinen Rechtecken (Zellen) zerlegen und jedem Rechteck eine Zahl zuordnen, die den Grau- oder Farbgehalt misst. Deshalb ergibt ein feines Gitter mit vielen Rechtecken eine bessere Darstellung als ein groberes Gitter mit weniger Rechtecken. Das feinere Gitter aber benötigt mehr Zahlen. Diese Zahlen können in einer Matrix gespeichert werden, die die gleiche Größe wie das Gitter hat. Ein 0-mal-0-Gitter erfordert eine (0, 0)-Matrix mit 1.2 Millionen Zahleneinträgen. Will man das Bild auf einem Computer speichern, um es später wieder zu verarbeiten, so muss die Matrix gespeichert werden. Das Problem besteht darin, dass man in der Regel mehrere Bilder hat, was für große Matrizen einen großen Speicheraufwand bedeutet. Zudem erfordert die Verarbeitung großer Datenmengen auch für schnelle Computer viel Zeit. Nötig ist es daher, diese Daten derart zu komprimieren, dass das ursprüngliche Bild oder eine geeignete Näherung des Bildes aus weniger Daten rekonstruiert werden kann. Die Singulärwertzerlegung bietet eine Möglichkeit, dies zu tun. Angenommen, es sei A = USV T die Singulärwertzerlegung der (m, n)-matrix A, wie in Hauptsatz 1 beschrieben. Die singulären Werte seien der Größe nach geordnet, das heißt s 1 s 2 s p und nur die ersten r p Werte mit p =Min{m, n} sind von Null verschieden. Nach Satz 4.4 kann die Matrix A wie folgt als Summe dyadischer Produkte geschrieben werden A = s 1 u 1 v T 1 + s 2u 2 v T s ru r v T r. Bricht man diese Summe vor dem r-ten Summanden ab, so erhält man eine Approximation an A von kleinerem Rang. Da die größten singulären Werte s i in den ersten Summanden stehen, kann man annehmen, dass die meisten Informationen über A (bzw. über das Bild) in den ersten Summanden stecken. Man wird daher vermuten, dass eine Matrix A k mit k r der Form A k = s 1 u 1 v T 1 + s 2 u 2 v T s k u k v T k auch für k sehr viel kleiner als r die Matrix A ganz gut approximiert. Um das Bild näherungsweise zu speichern, braucht man nicht alle Summanden, das heißt die ganze Matrix A abzulegen, sondern nur die ersten k Glieder.

4 4.4 Anwendung der Singulärwertzerlegung: Bildkompression 107 Hierzu reicht es, wenn man die 2k Vektoren u i R m, v i R n und die k Skalare s i speichert. Damit hat man zwar Informationen weggeworfen, aber die Qualität des Bildes leidet vielleicht nicht wesentlich; man kann damit leben. Der Speicheraufwand aber reduziert sich, insbesondere dann erheblich, wenn k viel kleiner als r ist, denn es sind (k + m k + n k) skalare Werte zu speichern. Als Beispiel betrachten wir das Bild 4.5. Dies ist ein 3-mal--Pixelbild zu dem eine (3, )-Matrix gehört [8]. Die anderen drei Bilder 4.6, 4.7 und 4.8 zeigen die Näherung für k =3,k = 10 und k =. Die Tabelle 4.1 gibt die Bild 4.5: Originalbild; A = A Bild 4.6: k =3;A 3 A Bild 4.7: k = 10; A 10 A Bild 4.8: k = ; A A dazugehörigen Kompressionsfaktoren (k + m k + n k)/(m n) = 521k/600 an, welche das Verhältnis der abgespeicherten Information zur Information in der ursprünglichen Matrix A angeben. Alle vier Bilder habe ich in Matlab

5 108 4 Die Singulärwertzerlegung mit den folgenden Befehlen erzeugt (beachten Sie, dass im Matlab-Code die Matrix A mit X bezeichnet ist): load clown [U,S,V] = svd(x); colormap( gray ) image(u(:,1:k)*s(1:k,1:k)*v(:,1:k) ) Tabelle 4.1: Kompressionsfaktoren k Kompressionsfaktor = 521k/ Lineare Systeme und die Pseudoinverse Lineare Gleichungssysteme durchdringen die ganze Lineare Algebra. In [14], Abschnitt 4.17, haben wir lineare Ausgleichsaufgaben behandelt; als Ersatz wenn Ax = b unlösbar ist. Über die Normalgleichungen A T Ax = A T b haben wir die Lösung x =(A T A) 1 A T b = A + b bestimmt. Als Voraussetzung muss man jedoch annehmen, dass A R m n linear unabhängige Spalten hat. Sonst ist A T A nicht invertierbar und x so nicht berechenbar. Das lineare Ausgleichsproblem hat im Fall Rang(A) <nunendlich viele Lösungen; zu jeder Lösung x kann jeder Vektor aus dem Nullraum von A addiert werden. Aus diesen unendlich vielen Lösungen konstruieren wir uns nun eine beste Lösung für das lineare Ausgleichsproblem und letztlich für das unlösbare lineare System Ax = b. Eine zweite Situation beim Lösen linearer Gleichungen ist unbefriedigend, nämlich die, wenn Ax = b lösbar mit unendlich vielen Lösungen ist. Welche soll man berechnen? Dieser Fall tritt insbesondere dann auf, wenn ein unterbestimmtes System mit m < nund Rang(A) = m vorliegt. Dies ist zum Beispiel in der Optimierung der Fall. Wir werden in diesem Abschnitt auch dieses Problem lösen. Es wird sich zeigen, dass in beiden Fällen mit Hilfe der Pseudoinversen (Singulärwertzerlegung) der Lösungsvektor mit der kleinsten Länge berechnet werden kann und dieser in diesem Sinne die beschriebenen Probleme löst.