14. Rot-Schwarz-Bäume

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1 Bislang: Wörterbuchoperationen bei binären Suchbäume effizient durchführbar, falls Höhe des Baums klein. Rot-Schwarz-Bäume spezielle Suchbäume. Rot-Schwarz-Baum mit n Knoten hat Höhe höchstens 2 log(n+1). Tree-Search, Tree-Minimum, können unverändert bleiben. Tree-Insert, Tree-Delete müssen erweitert werden, um Rot-Schwarz-Bäume zu erhalten. 1

2 Rot-Schwarz-Bäume - Überblick 1. Definition von Rot-Schwarz-Bäumen 2. Zeigen Rot-Schwarz-Baum mit n Knoten hat Höhe höchstens 2 log(n+1). 3. Definieren Rotationen, als wichtiges Hilfsmittel zur Erweiterung von Tree-Insert und Tree-Delete. 4. Beschreiben Erweiterungen von Tree-Insert (und Tree-Delete), so dass Rot-Schwarz-Bäume erhalten bleiben. 2

3 Rot-Schwarz-Bäume Definition (1) Rot-Schwarz-Bäume sind binäre Suchbäume mit zusätzlichem Feld color für jeden Knoten x. color ist entweder Rot oder Schwarz. Wenn ein Eltern oder ein Kind eines Knotens nicht vorhanden, dann wird entsprechendes Feld auf NIL gesetzt. NIL wird als Verweis auf spezielle, externe Knoten betrachtet. Diese Knoten speichern keine Schlüssel. Restliche Knoten sind interne Knoten. 3

4 Rot-Schwarz-Bäume Definition (2) Definition 14.1: Ein binärer Suchbaum heisst Rot- Schwarz-Baum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. 2. Die Wurzel ist schwarz. 3. Jedes Blatt (NIL-Knoten) ist schwarz. 4. Ist ein Knoten rot, so sind seine Kinder schwarz. 5. Für jeden Knoten x enthält jeder abwärts gerichteter Pfad zu einem Blatt die gleiche Anzahl von schwarzen Knoten. 4

5 Illustration von Rot-Schwarz-Bäumen NIL NIL NIL NIL NIL 4 NIL NIL 15 NIL NIL NIL NIL 5

6 Vereinfachung durch nil[t] Vereinfachung durch Ersetzen der NIL-Knoten durch ein zusätzliches Objekt nil[t]. Verweise zu NIL-Knoten ersetzt durch Verweise auf nil[t] nil[t] 6

7 Vereinfachte Darstellung Verzichten bei Darstellung von Rot-Schwarz-Bäumen auf nil[t] und auf Kanten zu nil[t]:

8 Höhe von Rot-Schwarz-Bäumen (2) Satz 14.2: Ein Rot-Schwarz-Baum mit n inneren Knoten hat höchstens Höhe 2 log(n+1). Korollar 14.3: Bei einem Rot-Schwarz-Baum mit n Knoten erfordern die Algorithmen Tree-Search Tree-Minimum, Tree-Maximum Tree-Successor, Tree-Predecessor Tree-Insert, Tree-Delete Zeit O(log(n)). 8

9 Erhaltung der Rot-Schwarz-Eigenschaft Nach Anwendung von Tree-Insert, Tree-Delete bei Rot-Schwarz-Baum ist Rot-Schwarz-Eigenschaft nicht notwendigerweise mehr erfüllt. Tree-Insert, Tree-Delete garantieren damit nicht, dass alle Wörterbuchoperationen effizient unterstützt werden. Dazu müssen Tree-Delete, Tree-Insert so erweitert werden, dass sie Rot-Schwarz-Eigenschaft erhalten. Erhaltung durch Umfärben von Knoten und Änderung von Verweisen. Letzteres durch Rotationen. 9

10 Illustration Rotationen Links-Rotation(T,x) x Rechts-Rotation(T,y) y α y x γ β γ α β 10

11 Algorithmus Left-Rotate Left 1 y 2 right 3 if 4 5 p 6 if left 12 p - Rotate( T,x) right[ x] [ x] left[ y] left[ y] nil[ T ] then p[ left[ y ] x [ y] p[ x] p[ x] = nil[ T ] then root[ T ] y else if x = left[ p[ x] ] then left[ p[ x ] else right[ p[ x ] [ y] x [ x] y y α y x β y Links- Rotation(T,x) γ α x β y γ

12 Illustration Left-Rotate x 2 y Left-Rotate(T,x) x y

13 Eigenschaften der Rotationen Lemma 14.4: Left-Rotate und Right-Rotate benötigen Zeit O(1). Lemma 14.5: Left-Rotate und Right-Rotate erhalten die Suchbaum-Eigenschaft. D.h. ist T ein Suchbaum und x ein Knoten in T, dann ist auch der Baum der nach Anwendung von Left-Rotate(T,x) entsteht ein Suchbaum, und analog für Right-Rotate. 13

14 Tree - Insert y nil x root while x Einfügen eines Elements ( T, z) [ T ] [ T ] nil[ T ] if key[ z] < key[ x] then x left[ x] else x right[ x] [ ] y y = nil[ T ] then root[ T ] z else if key[ z] < key[ y] then left[ y] z else right[ y] z [ z] nil[ T ] [ z] nil[ T ] [ z] RED p z if left right do y x color RB -Insert - Fixup( T,z) Änderungen zu Tree-Insert: 1. NIL ersetzt durch nil[t]. 2. Setzen von left[z],right[z] auf nil[t]. (Zeilen 14,15) 3. Färbung von z. (Zeile 16) 4. Aufruf von RB-Insert-Fixup. (Zeile 1) 14

15 Einfügen eines Elements - Illustration Nach Einfügen von Knoten mit Schlüssel 4:

16 Verletzungen der Rot-Schwarz-Eigenschaft nach Zeilen 1-16 von RB-Insert Rot-Schwarz-Eigenschaft: 1. Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. 2. Die Wurzel ist schwarz. 3. Jedes Blatt (nil[t]) ist schwarz. 4. Ist ein Knoten rot, so sind seine Kinder schwarz. 5. Für jeden Knoten x enthält jeder Pfad zu einem Blatt die gleiche Anzahl von schwarzen Knoten. Rot-Schwarz-Eigenschaft nach RB-Insert: 1. Erfüllt. 2. Nicht erfüllt, wenn z Wurzel. 3. Erfüllt. 4. Nicht erfüllt, wenn Eltern von z bereits rot ist. 5. Erfüllt. 16

17 Algorithmus RB-Insert-Fixup RB -Insert - Fixup 1 while color color do if [ root[ T ] ( T,z) [ p[ z ] = RED p[ z] = left[ p[ p[ z ] y right[ p[ p[ z ] if color [ y] = RED then color [ p[ z ] color [ y ] color [ p[ p[ z ] z p[ p[ z ] else if z = right[ p[ z ] then z p[ z] then else BLACK color color [ p[ z ] [ p[ p[ z ] Right - Rotate BLACK BLACK Left - Rotate BLACK RED (wie then, nur mit left/right RED ( T,z) ( T,p[ p[ z ]) vertauscht) 1

18 Invariante für RB-Insert-Fixup Ziel: Nach Durchlauf von RB-Insert-Fixup soll T wieder ein Rot-Schwarz-Baum sein. Invariante für while-schleife: a. Knoten z ist rot. b. Ist p[z] die Wurzel, dann ist p[z] schwarz. c. Gibt es eine Verletzung der Rot-Eigenschaft, so ist Eigenschaft 2. und Eigenschaft 4. verletzt. Ist Eigenschaft 2. verletzt, dann nur weil z Wurzel und rot ist. Ist Eigenschaft 4. verletzt, dann nur weil z und p[z] rot sind. 18

19 Initialisierung der Invariante Starten mit Rot-Schwarz-Baum, in den Knoten z eingefügt wurde. a. Eingefügter Knoten z ist rot. b. Ist p[z] Wurzel, so war p[z] schwarz. RB-Insert ändert Farbe von p[z] nicht. c. Haben gesehen, dass 1., 3., 5., auch nach Tree-Insert gelten. Verletzung von 2. und 4. kann nur durch Knoten z herbeigeführt werden. 19

20 Verletzungen der Rot-Schwarz-Eigenschaft nach Zeilen 1-16 von RB-Insert Rot-Schwarz-Eigenschaft: 1. Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. 2. Die Wurzel ist schwarz. 3. Jedes Blatt (nil[t]) ist schwarz. 4. Ist ein Knoten rot, so sind seine Kinder schwarz. 5. Für jeden Knoten x enthält jeder Pfad zu einem Blatt die gleiche Anzahl von schwarzen Knoten. Rot-Schwarz-Eigenschaft nach RB-Insert: 1. Erfüllt. 2. Nicht erfüllt, wenn z Wurzel. 3. Erfüllt. 4. Nicht erfüllt, wenn Eltern von z bereits rot ist. 5. Erfüllt. 20

21 Terminierung der Invariante Nach Invariante kann Rot-Schwarz-Eigenschaft nur bei 2. und 4. verletzt sein. Bei Terminierung ist p[z] schwarz. Da Verletzung von 4. nur bei p[z] und z auftreten kann, ist 4. erfüllt. Nur noch 2. kann verletzt sein. Zeile 16 stellt sicher, dass 2. erfüllt ist. Zeile 16 kann nicht zur Verletzung anderer Eigenschaften führen. Alle 5 Eigenschaften erfüllt, damit T nach Durchlauf von RB-Insert-Fixup wieder Rot-Schwarz-Baum. 21

22 Erhaltung der Invariante (1) Müssen bei Erhaltung 6 Fälle betrachten: 1) p[z] ist linkes Kind von p[p[z]] und Onkel y von z ist rot. 2) p[z] ist linkes Kind von p[p[z]] Onkel y von z ist schwarz und z ist rechtes Kind. 3) p[z] ist linkes Kind von p[p[z]] Onkel y von z ist schwarz und z ist linkes Kind. 4) p[z] ist rechtes Kind von p[p[z]] und Onkel y von z ist rot. 5) p[z] ist rechtes Kind von p[p[z]] Onkel y von z ist schwarz und z ist rechtes Kind. 6) p[z] ist rechtes Kind von p[p[z]] Onkel y von z ist schwarz und z ist linkes Kind. Fälle 1),2),3) symmetrisch zu Fällen 4),5),6). Deshalb nur 1),2),3). Wie auch schon in RB-Insert-Fixup. 22

23 Illustration Fall 1) und 2) Fall 1) y z 4 Fall 2) 2 1 z 14 y

24 Illustration Fall 3) Fall 3) z y

25 Algorithmus RB-Insert-Fixup RB -Insert - Fixup 1 while color color do if [ root[ T ] ( T,z) [ p[ z ] = RED p[ z] = left[ p[ p[ z ] y right[ p[ p[ z ] if color [ y] = RED then color [ p[ z ] color [ y] color [ p[ p[ z ] z p[ p[ z ] else if z = right[ p[ z ] then z p[ z] then else BLACK color color [ p[ z ] [ p[ p[ z ] Right - Rotate BLACK BLACK RED Left - Rotate BLACK RED (wie then, nur mit left/right ( T,z) ( T,p[ p[ z ]) vertauscht) Fall 1) Zeilen 5 8 Fall 2) Zeilen10- Fall 3) Zeilen

26 RB-Insert-Fixup in Fall 1) 5 then color 6 color color 8 z p [ p[ z ] [ y] [ p [ p [ z ] [ p[ z ] BLACK BLACK RED C C neues z A D y A D α B z δ ε α B δ ε β γ β γ Wurzeln der Teilbäume α,β,γ,δ,ε jeweils schwarz. 26

27 RB-Insert-Fixup in Fall 2) [ z] 10 z p Left - Rotate ( T,z) C C α A B z δ y z A B γ δ y β γ α β Wurzeln der Teilbäume α,β,γ,δ,ε jeweils schwarz. 2

28 RB-Insert-Fixup in Fall 3) [ p[ z ] BLACK [ p [ p [ z ] RED T,p[ p[ z ] color color Right - Rotate( ) C B z A B γ δ y α z A β γ C δ α β Wurzeln der Teilbäume α,β,γ,δ,ε jeweils schwarz. 28

29 Illustration von RB-Insert-Fixup 2 14 Fall 1) 2 14 y y z 8 15 z 4 4 Fall 2) Fall 3) 1 z z y

30 Laufzeitanalyse RB-Insert hat wie Tree-Insert Laufzeit proportional zur Höhe des Baumes. Bei einem Rot-Schwarz-Baum mit n Knoten also Laufzeit O(log(n)). Fälle 2) und 3) von RB-Insert-Fixup werden jeweils höchstens einmal ausgeführt. Nach 2) kommt immer 3) und in 3) wird die Verletzung von 4. beseitigt ohne neue Verletzungen einzuführen. In Fall 1) wird die Verletzung von Knoten z auf Knoten p[p[z]] übertragen. Damit kann Fall 1) höchstens O(log(n)) auftreten. Laufzeit von RB-Insert-Fixup somit O(log(n)). 30

31 Tree-Delete und Zusammenfassung Tree-Delete führt wie Tree-Insert zu Problemen: Nach Anwendung auf Rot-Schwarz-Baum sind Rot-Schwarz- Eigenschaften nicht mehr erfüllt. Erweiterung von Tree-Delete mit Hilfe von RB-Delete- Fixup. Zusammen Laufzeit O(log(n)) und erhalten Rot-Schwarz- Eigenschaften bei Entfernen von Knoten. Insgesamt können also durch Rot-Schwarz-Bäume alle Wörterbuchoperationen effizient nämlich in Zeit O(log(n)) unterstützt werden. 31

32 Alternativen zu Rot-Schwarz-Bäumen Neben Rot-Schwarz-Bäumen gibt es noch andere Varianten von Suchbäumen, die Wörterbücher effizient implementieren. Hierzu gehören u.a. 1. AVL-Bäume Bäume 3. Zufällige Suchbäume (randomized search trees (RST)) 4. B-Bäume (besonders gut für Sekundärspeicher geeignet) Als Alternative zu Hashing und Suchbäumen gibt es noch Skip-Listen. Diese sind Erweiterungen von verketteten Listen. 32

33 Zusammenfassung Datenstrukturen Dynamische Menge/abstrakten Datentypen sind Mengen mit Operationen, die effizient ausgeführt werden sollen, z.b. Wörterbücher, Warteschlangen,. Dabei kann die Menge durch Einfügen/Entfernen von Objekte geändert werden. Nützlich, wenn bestimmte Operationen immer wieder durchgeführt werden müssen, z.b. Maximumbestimmung bei Heap-Sort. Datenstrukturen als Implementierungen von dynamischen Mengen. 33

34 Geometrische Datenstrukturen Kennen gelernt: 1. Stacks, Queues, Listen 2. Hashing 3. Binäre Suchbäume, speziell Rot-Schwarz- Bäume Datenstrukturen werden häufig auch in geometrischen Anwendungen (Computer Graphik, Geographische Informationssysteme (GIS)) benutzt. Dynamische Menge S definiert durch Punkte in der Ebene und so genannte Bereichsabfragen. 34

35 Geometrische Datenstrukturen Bereichsabfragen: Gegeben ein geometrisches Objekt eines bestimmten Typs, sollen alle Elemente aus S berechnet werden, die im Objekt enthalten sind. Typen von Objekten können z.b. sein Halbebenen Kreise Rechtecke 35

36 Geometrische Datenstrukturen - Beispiel Kreisabfrage: 36

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