lassen sich die beiden ersten Eigenschaften von (2,4)- Bäume auch mit binären Knoten erreichen?

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Markus Fleischer
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1 .7 Rot-Schwaz Schwaz-Bäume (2,4)-Bäume sind ausgeglichen: gleiche Höhe fü alle Blätte Standadopeationen auf Mengen in O(h), d.h. O(log n) unteschiedliche Knoten (, 2 ode Schlüssel) Fage: lassen sich die beiden esten Eigenschaften von (2,4)- Bäume auch mit binäen Knoten eeichen? Waum eigentlich?? (2,4)-Bäume sind Hauptspeichedatenstuktu, nu B-Bäume mit t >> 2 fü Extenspeiche. Implementieungsvaianten (Hauptspeiche): gleiche Knoten mit unteschiedlich vielen Weten => speicheineffizient veschiedene Knoten: zusätzliche Abfagen (welche Knotentyp?) hs / fub alp-2-rbbaum- (2,4)-Bäume als Binäbäume implementieen? Antwot: siche "nicht ganz": müssten sonst imme 2 h+ - Knoten enthalten (ausgeglichen!). abe "im Wesentlichen": R. Baye: Symmetic Binay B-Tees: Data Stuctue and Maintenance Algoithms. Acta Infomatica, Vol, 290-0, 972, heute Rot-Schwaz-Bäume genannt. Idee: Abbilden von (2,4) Knoten auf binäe. hs / fub alp-2-rbbaum- 2

2 2, und 4-Knoten 4 als binäe Teilbäume 7 7 hs / fub alp-2-rbbaum- 8 8 Pe Konstuktion: Jede (2,4)-Baum lässt sich in einen binäen Suchbaum umwandeln. 2

3 Beispiel Fagen: 2 - Höhe von RB-Baum im Vegleich zu (2,4)? -Opeationen - Was ist übehaupt ein RB-Baum?? hs / fub alp-2-rbbaum- 7 Eigenschaften Knoten sind ot ode schwaz.. Wuzel ist schwaz. 2. Extene Knoten sind schwaz 7. Die Kinde von oten Knoten sind schwaz (Rotbedingung 4. Jede Pfad von einem Knoten x zu einem extenen Knoten besitzt die gleiche Anzahl schwaze Knoten. 4a) Diese Anzahl (x nicht gezählt) heißt schwaze Höhe bh(x) eines Knotens. 2 hs / fub alp-2-rbbaum-

4 Rot-Schwaz Schwaz-Bäume Ein binäe Suchbaum, de die Eigenschaften 0 bis 4 efüllt, heißt Rot-Schwaz-Baum (Red-Black-, RB-Tee) Jede (2,4)-Baum kann in einen Rot-Schwaz-Baum umgewandelt weden. Gilt nach Konstuktion: beibehalten von -Knoten, esetzen von 2- und -Knoten so, dass schwaze Knoten mit einem ode zwei oten Kinden entsteht. hs / fub alp-2-rbbaum- 7 Rot-Schwaz Schwaz-Bäume Umgekeht: zu jedem Rot-Schwaz-Baum gibt es einen (2,4)-Baum. Konstuktiv: Veeinige jeden oten Knoten x mit seinem Eltenknoten e (de ist schwaz!) zu einem 2-Knoten, wenn x schwazen Nachban hat, sonst zu einem gemeinsamen - Knoten, de x, e und den oten Nachban y von x enthält. Dabei folgt aus de Eindeutigkeit de Reihenfolge (x, e) bzw. (e, x ) und (x, e, y) bzw. (y,e,x) gemäß Sotiefolge die Eindeutigkeit des (2,4)-Baumes. Fü die extene Höhe von Rot-Schwazbäumen mit n intenen Knoten gilt h <= 2* log (n+). hs / fub alp-2-rbbaum- 8 4

5 Opeationen auf Rot-Schwaz Schwaz-Bäumen seach() : wie in binäen Suchbäumen inset(key k) seach(k) findet extenen Knoten e als Einfügepunkt (ode DUPL_KEY) esetze e duch oten Knoten k mit schwazen Kinden e' und e'' (extene Knoten) ehalte RB-Invaianten 7 9 entspicht in (2,4)-Baum: 7 9 hs / fub alp-2-rbbaum- 9 Einfügen in Rot-Schwaz Schwaz-Baum: die kitischen Fälle Kitische Fälle im (2,4)-Baum: 4-Knoten k, k enthält schon Schlüssel entspicht 8 Einfügen an diesen Stellen ist kitisch füht zu Veletzung de Rot-Bedingung hs / fub alp-2-rbbaum- 0

6 Umfäbung de Knoten: Spalten im (2,4)-Baum Beachte: keine Ändeung de schwazen Tiefe! 8 hs / fub alp-2-rbbaum- Funktionale Implementieung data RBTee a = Empty Node Colo (RBTee a) a (RBTee a) data Colo = R B deiving (Show) inset :: Od a => RBTee a -> a -> RBTee a Situation entspicht dem folgenden Muste: ecolou B (Node R (Node B lll l ll) (Node R ll l)) v (Node R l v ) = Node R (Node B (Node B lll l ll) (Node R ll l)) v (Node B l v )

7 Funktionale Implementieung Weitee Fälle analog zu (2,4)-Knotenspaltung. ecolou B (Node R (Node R lll l ll) l ) v (Node R l v ) = Node R (Node B (Node R lll l ll) l) v (Node B l v ) v 8 v 8 l l l lll ll hs / fub alp-2-rbbaum- Funktionale Implementieung Die estlichen Fälle: ecolou B (Node R ll l) v (Node R (Node R ll vl l) v ) = Node R (Node B ll l) v (Node B (Node R ll vl l) v ) ecolou B (Node R ll l) v (Node R l v (Node R l v )) = Node R (Node B ll l) v (Node B l v (Node R l v )) In allen 4 Fällen: ote Nachban (d.h. 4-Knoten in (2,4)-B). hs / fub alp-2-rbbaum- 4 7

8 Tansfomieen in Rot-Schwaz Schwaz-Baum Knoten mit 2 Weten in (2,4)-Baum fühen ebenfalls zu Veletzung de Rot-Eigenschaft! v 8 v inset() l lll l l ll Kein Poblem im (2,4)-Baum, abe... hs / fub alp-2-rbbaum- Tansfomieen inset() l lll v 8 ll v l l l lll ll l v 8 v l hs / fub alp-2-rbbaum- 8

9 Implementieung Tansfomieen balance B (Node R (Node R lll l ll) l) v = Node B (Node R lll l ll) (Node R l v ) Wenn Musteabgleich zu Fäbung vohe duchgefüht wid, ist hie ein Muste "Schwaze Zwilling" entbehlich: balance B (Node R (Node R lll l ll) l) v (Node B l v ) =... hs / fub alp-2-rbbaum- 7 Tansfomation: weitee Fall ll v ll v ll l ll l balance B (Node R ll (Node R ll l)) v = Node B (Node R ll ll) (Node R l v ) hs / fub alp-2-rbbaum- 8 9

10 Beispiel,- [,- R0--< `- [,- B9--< `- [-],- R8--<,- [-] `- B7--< `- [-],- B--<,- [-] `- B--< `- [-] = B4--<,- [-],- B--< `- [-] `- B2--<,- [-] `- B--< `- [-] Einfügen in von.. 0 in diese Reihenfolge. Tansfomation des Beispiel-Baums Baums in (2,4)-Baum Egibt sich deselbe (2,4)-Baum bei Einfügen in gleiche Reihenfolge: inset x : x<- [..0]? hs / fub alp-2-rbbaum- 20 0

11 Implementieung Veeinfachte Implementieung: v 8 v ll ll ll l 8 ll l Imme Tansfomieen, wenn Rotbedingung veletzt, kein Umfäben. hs / fub alp-2-rbbaum- 2 Laufzeit Eine Tansfomation auseichend! Wenn Rotbedingung vo Einfügen efüllt, dann auch nach Tansfomation. Ggf. bis zu Wuzel ückscheitendes Umfäben. 8 8 hs / fub alp-2-rbbaum- 22

12 Laufzeit Einfügen in einen Rot-Schwaz-Baum benötigt - O(log n) Schitte zu Suche de Einfügeposition wie binäe Suchbaum - maximal eine Tansfomation O() - maximal h <= 2* log (n+) Umfäbungen => inset() hat Laufzeit O(log n) Paktisch seh gute Egebnisse: Suche benötigt ca.,002 log 2 n Vegleiche. hs / fub alp-2-rbbaum- 2 Löschen in Rot-Schwaz Schwaz-Bäumen Löschen eines von n Weten : Maximal 2 Umstuktuieungen O(log n) Umfäbungen => Suche, Einfügen, Änden in Rot-Schwaz-Bäumen in O(log n) Laufzeit.... und gute Konstanten. hs / fub alp-2-rbbaum- 24 2

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